Problemas de Cálculo

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76. Problema: Calcule a integral \( \int \frac{\tan(x)}{\sin^2(x)} \,dx \). 
 Resposta: A integral é \( -\frac{1}{\sin(x)} + C \). 
 
77. Problema: Encontre os valores de \( a \) e \( b \) para que a função \( f(x) = ax^3 + bx^2 + 
\cos(x) \) tenha um ponto de inflexão em \( x = \pi \). 
 Resposta: \( a = 0 \) e \( b = -1 \). 
 
78. Problema: Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas 
curvas \( y = x^2 \) e \( y = e^x \) em torno do eixo \( x \). 
 Resposta: O volume é \( e^2 - \frac{1}{3} \pi \). 
 
79. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = \ln(\cos(x)) \). 
 Resposta: A derivada é \( -\tan(x) \). 
 
80. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\cos(x) \) no intervalo \( [0, \pi] \). 
 Resposta: A área é \( 2 \). 
 
81. Problema: Calcule a integral \( \int \frac{\tan(x)}{\cos(x)} \,dx \). 
 Resposta: A integral é \( -\ln|\cos(x)| + C \). 
 
82. Problema: Encontre os valores de \( a \) e \( b \) para que a função \( f(x) = ax^3 - 3x^2 + 
bx + 2 \) tenha um ponto de inflexão em \( x = -1 \). 
 Resposta: \( a = -1 \) e \( b = -3 \). 
 
83. Problema: Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas 
curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = \cos(x) \) em torno do eixo \( x \). 
 Resposta: O volume é \( \frac{8}{3}\pi \). 
 
84. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2} \). 
 Resposta: A derivada é \( \frac{1 - 2\ln(x)}{x^3} \).