Matematica analitica (110)

Prévia do material em texto

52. Problema: Calcule o produto vetorial entre os vetores \( \mathbf{u} = (1, 2, -1) \) e \( 
\mathbf{v} = (-2, 0, 3) \). 
 Resposta: \( (-6, -1, 4) \). 
 Explicação: Utilize a definição de produto vetorial para encontrar o vetor resultante. 
 
53. Problema: Determine a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = x^2 \) 
entre \( x = 0 \) e \( x = 1 \). 
 Resposta: \( e - \frac{1}{3} \) unidades quadradas. 
 Explicação: Calcule a integral da diferença entre as duas funções no intervalo dado. 
 
54. Problema: Resolva a equação logarítmica \( 2\log(x) - \log(2x) = 1 \). 
 Resposta: \( x = 10 \). 
 Explicação: Utilize as propriedades dos logaritmos para combinar os termos e resolver 
para \( x \). 
 
55. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \frac{\tan(x)}{x^2} \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{x\sec^2(x) - 2\tan(x)}{x^3} \). 
 Explicação: Utilize a regra do quociente e a regra do produto para derivar a função. 
 
56. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 - 2x^2 + 3}{5x^3 + x + 1} \). 
 Resposta: \( \frac{4}{5} \). 
 Explicação: Divida todos os termos da função pelo maior termo de \( x^3 \) e 
simplifique. 
 
57. Problema: Determine a solução para a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 
\frac{y^2}{x} \). 
 Resposta: \( y = -\frac{1}{\ln(x) + C} \), onde \( C \) é uma constante de integração. 
 Explicação 
 
: Esta é a solução geral da equação diferencial. 
 
58. Problema: Resolva a equação trigonométrica \( \sin(x) + \cos(x) = 0 \).