Matematica analitica (165)

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Explicação: Esta é uma equação diferencial que podemos resolver integrando ambos os 
lados. A integral de \( 2x \) em relação a \( x \) é \( x^2 + C \), onde \( C \) é uma constante 
de integração. 
 
37. Problema: Qual é a derivada de \( \ln{(2x)} \)? 
 Resposta: \( \frac{d}{dx}(\ln{(2x)}) = \frac{1}{x} \). 
 Explicação: A derivada de \( \ln{(2x)} \) é \( \frac{1}{x} \). 
 
38. Problema: Se \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin{2x}}{x} \), qual é o limite? 
 Resposta: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin{2x}}{x} = 2 \). 
 Explicação: Este é um limite fundamental em cálculo. Podemos usar a regra de 
L'Hôpital ou a definição de derivada do seno para provar isso, ou podemos usar 
argumentos geométricos. 
 
39. Problema: Se \( f(x) = e^x \), qual é o valor de \( f'(0) \)? 
 Resposta: \( f'(x) = e^x \), então \( f'(0) = e^0 = 1 \). 
 Explicação: A derivada de \( e^x \) é \( e^x \). Portanto, \( f'(0) = e^0 = 1 \). 
 
40. Problema: Qual é o valor de \( \int e^x \, dx \)? 
 Resposta: \( \int e^x \, dx = e^x + C \), onde \( C \) é uma constante de integração. 
 Explicação: A integral de \( e^x \) é \( e^x + C \), onde \( C \) é uma constante de 
integração. 
 
41. Problema: Se \( \frac{dy}{dx} = \cos{x} \), qual é \( y \) quando \( x = \frac{\pi}{2} \) e \( y = 
0 \)? 
 Resposta: \( y = \sin{x} + C \), onde \( C \) é uma constante de integração. Substituindo \( 
x = \frac{\pi}{2} \) e \( y = 0 \), podemos resolver para \( C \), obtendo \( C = 0 \). Portanto, \( y 
= \sin{x} \). 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial que podemos resolver integrando ambos os 
lados. A integral de \( \cos{x} \) em relação a \( x \) é \( \sin{x} + C \), onde \( C \) é uma 
constante de integração. 
 
42. Problema: Qual é o valor de \( \sqrt{49} - \sqrt{36} + \sqrt{25} \)? 
 Resposta: \( \sqrt{49} - \sqrt{36} + \sqrt{25} = 7 - 6 + 5 = 6 \).