Matematica analitica (180)

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40. Se \( \frac{dy}{dx} = y^2 \) e \( y(0) = 1 \), qual é o valor de \( y(1) \)? 
 Resposta: \( y(1) = \frac{1}{2} \). 
 
41. Qual é o valor de \( \int_{0}^{1} \frac{\ln(x + 1)}{x^2 + 1} \, dx \)? 
 Resposta: \( -\frac{\pi}{4}\ln(2) \). 
 
42. Se \( f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x) \), qual é a derivada de \( f^{-1}(x) \) em \( x = 1 \)? 
 Resposta: A derivada é \( \frac{1}{2} \). 
 
43. Se \( \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - 1}{y} \) e \( y(0) = 3 \), qual é o valor de \( y(1) \)? 
 Resposta: \( y(1) = \sqrt{8e^2 - 1} \). 
 
44. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \)? 
 Resposta: O limite é 5. Isso pode ser resolvido usando a definição de limite. 
 
45. Se \( \frac{dy}{dx} = \frac{\sin(x)}{xy} \), qual é a solução da equação diferencial? 
 Resposta: \( y = \frac{1}{x\cos(x) + C} \), onde \( C \) é uma constante. 
 
46. Qual é o valor de \( \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(x)}{x} \, dx \)? 
 Resposta: \( \frac{\pi}{2} \). 
 
47. Se \( f(x) = e^{3x} \), qual é a derivada de \( f^{-1}(x) \) em \( x = 1 \)? 
 Resposta: A derivada é \( \frac{1}{3e^3} \). 
 
48. Se \( \frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy} \), qual é a solução da equação diferencial? 
 Resposta: \( y = \frac{1}{x} - x^2 + C \), onde \( C \) é uma constante. 
 
49. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(6x)}{x} \)? 
 Resposta: O limite é 6. Isso pode ser resolvido usando a definição de limite. 
 
50. Se \( \frac{dy}{dx} = 2x\cos(x^2) \), qual é a solução da equação diferencial?