AULA 03 - DISTRIB POISSON - ALUNOS

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Professor(a) Dra Deiby Santos Gouveia
ESTATÍSTICA APLICADA
AULA 03: DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Tema: Distribuição de Poisson
▪ Binomial x Poisson
▪ Definição
▪ Formulário
▪ Uso da Tecnologia
▪ Hora de Praticar!
▪ Exercícios de Fixação
Objetivo
Distribuição
de
Poisson
Distribuição Binomial:
▪ Em um experimento Binomial, você esta interessado em obter a probabilidade
de um número específico de sucessos em um determinado número de
tentativas.
Agora....
▪ Suponha que, em vez disso, você queira saber qual é a probabilidade de
ocorrer um número específico de resultados dentro de uma determinada
unidade de tempo ou espaço.
Ex.: Determinar a probabilidade de um funcionário adoecer por 15 dias em um
ano
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Revisando...
▪ Distribuição de Poisson é semelhante a Distribuição Binomial, diferenciando 
apenas o fato de que
✓ Na DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL os eventos ocorrem em tentativas 
fixas, enquanto que 
✓ Na DISTRIBUIÇÃO DE POISSON os eventos ocorrem continuamente.
▪ Na Distribuição de Poisson podemos enumerar os fatos que ocorreram mas 
não é possível enumerar aqueles que deixaram de acontecer.
▪ Exemplo: Não podemos dizer quantos acidentes deixaram de ocorrer em determinado dia 
Quantas reações deixaram de ocorrer.
BINOMIAL x POISSON
Onde a Distribuição de Poisson é frequentemente utilizada:
✓Usuários de computador ligados à Internet;
✓Clientes chegando ao caixa de um supermercado;
✓Acidentes com automóveis em uma determinada estrada;
✓Número de carros que chegam a um posto de gasolina;
✓Número de falhas em componentes por unidade de tempo;
✓Número de requisições para um servidor em um intervalo de tempo.
Aplicação típica da distribuição de Poisson
no controle da qualidade é como um modelo para o número de defeitos (não-conformidades)
que ocorre por unidade de produto (por m2, por volume ou por tempo, etc.).
▪ Definição:
É uma distribuição discreta de probabilidade de uma variável aleatória x que satisfaz às
seguintes condições:
1- O experimento consiste na contagem do número de vezes, x, que um evento ocorre em um 
determinado intervalo (tempo, área, volume)
2- A probabilidade de que o evento ocorra é a mesma para cada intervalo
3- O número de ocorrência de um intervalo é independente do número de ocorrências em outro 
intervalo.
Distribuição de Poisson
FÓRMULA:
A probabilidade de que haja x ocorrências em um intervalo é:
Onde 𝑥 = 0,1,2,3.... (assume valores em todo o conjunto dos números naturais)
e = 2,71828 (nº de Euler)
µ = número médio de ocorrências por intervalo unitário 
p = probabilidade de sucesso
n = número de repetições 
Distribuição de Poisson
P X = 𝑥 =
μ𝑥.e−μ
𝑥!
μ = 𝑛. 𝑝
Usando a tecnologia
Acessar calculadora online:
Poisson Distribution Calculator: 
https://stattrek.com/online-calculator/poisson.aspx
Distribuição de Poisson
P X = 𝑥 =
μ𝑥.e−μ
𝑥!
https://stattrek.com/online-calculator/poisson.aspx
Um laboratório estuda a emissão de partículas de certo material radioativo. Sabendo que o laboratório admite uma taxa média de 6
ocorrências a cada minuto, determine a probabilidade de que ocorrerá a seguinte emissão de:
a) Exatamente 5 partículas em 1 minuto.
b) Exatamente 3 partículas em 10 segundos.
c) Três ou mais partículas em 2 minutos
Exemplo 01: P X = 𝑥 =
μ𝑥.e−μ
𝑥!
Um laboratório estuda a emissão de partículas de certo material
radioativo. Sabendo que o laboratório admite uma taxa média de 6
ocorrências a cada minuto, determine a probabilidade de que
ocorrerá a seguinte emissão de:
a) Exatamente 5 partículas em 1 minuto.
Resposta:
µ = 6 ocorrências/min P (X) = ?
P X = 𝑥 =
μ𝑥.e−μ
𝑥!
☺INTERPRETAÇÃO
Exatamente 5 partículas: X = 5
µ = 6 
P (X = 5) = ?
P X = 5 =
65.e−6
5!
𝑃 𝑋 = 5 = 16,06%
Poisson Distribution Calculator: 
https://stattrek.com/online-calculator/poisson.aspx
https://stattrek.com/online-calculator/poisson.aspx
Calculadora científica 
(6 ^ 5 . SHIFT ex -6) ÷ 5 SHIFT X!
Ex.: 𝐏(𝐱 = 𝟓) =
𝟔𝟓.𝒆−𝟔
5!
P X = 𝑥 =
μ𝑥.e−μ
𝑥!
HP – 12C
6 CHS g eX .
5 g n! ÷
6 ENT 5 YX
Ex.: 𝐏(𝐗 = 𝟓) =
𝟔𝟓.𝒆−𝟔
5!
P X = 𝑥 =
μ𝑥.e−μ
𝑥!
b) Exatamente 3 partículas em 10 segundos.
Resposta: P X = 𝑥 =
μ𝑥.e−μ
𝑥!
☺INTERPRETAÇÃO
Exatamente 3 partículas: X = 3
µ = 1 
P (X = 3) = ?
Poisson Distribution Calculator: 
https://stattrek.com/online-calculator/poisson.aspx
6 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 ______ 60 𝑠𝑒𝑔
𝜇 ______ 10 𝑠𝑒𝑔
 = 1
P X = 3 =
13.e−1
3!
𝑃 𝑋 = 3 = 6,13%
https://stattrek.com/online-calculator/poisson.aspx
c) Três ou mais partículas em 1 minutos
Resposta:
☺INTERPRETAÇÃO
Três ou mais: X ≥ 3
P X = 𝑥 =
μ𝑥.e−μ
𝑥!
P X ≥ 3 = 𝑃 𝑋 = 3 + 𝑃 𝑋 = 4 + 𝑃 𝑋 = 5 +⋯+ 𝑃(𝑋 = 𝑛)
P X ≥ 3 = 1 − P(X < 3)
P X ≥ 3 = 1 − [P X = 0 + P X = 1 + P(X = 2)]
P X ≥ 3 = 1 − [
60.e−6
0!
+
61.e−6
1!
+
62.e−6
2!
]
P X ≥ 3 = 1 − [ 0,016197]
P X ≥ 3 = 93,80%
µ = 6
P (X ≥ 3) = ?
Poisson Distribution Calculator: 
https://stattrek.com/online-calculator/poisson.aspx
https://stattrek.com/online-calculator/poisson.aspx
A empresa Limpeza 100% Clean recebe em média 8 chamadas por hora para realizar o agendamento de seus serviços de limpeza
em casas e apartamentos residenciais. Qual a probabilidade de que:
a) Em uma hora, ela receba até três chamadas?
b) Em 45 minutos, ela receba pelo menos cinco chamadas?
c) Em 15 minutos não ocorra nenhuma chamada?
Exemplo 02:
A empresa Limpeza 100% Clean recebe em média 8 chamadas por
hora para realizar o agendamento de seus serviços em casas e
apartamentos residenciais. Qual a probabilidade de que:
a) Em uma hora, ela receba até 3 chamadas?
Resposta:
µ = 8 chamadas/hora P (X) = ?
P X = 𝑥 =
μ𝑥.e−μ
𝑥!
☺INTERPRETAÇÃO: 
Exatamente três: X ≤ 3
Poisson Distribution Calculator: 
https://stattrek.com/online-calculator/poisson.aspx
µ = 8
P (X ≤ 3) = ?
P X ≤ 3 =
80. e−8
0!
+
81. e−8
1!
+
82. e−8
2!
+
83. e−8
3!
P X ≤ 3 = 4,24 %
P X ≤ 3 = 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃(𝑋 = 3)
https://stattrek.com/online-calculator/poisson.aspx
b) Em 45 minutos, ocorra pelo menos cinco chamadas?
Resposta: P X = 𝑥 =
μ𝑥.e−μ
𝑥!
☺INTERPRETAÇÃO: 
Pelo menos cinco: X ≥ 5
Fórmula: usar o complementar 
8 𝑐ℎ𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 ______ 60 𝑚𝑖𝑛
𝜇 ______ 45 𝑚𝑖𝑛
 = 6
Poisson Distribution Calculator: 
https://stattrek.com/online-calculator/poisson.aspx
µ = 6
P (X ≥ 5) = ?
P X ≥ 5 = 𝑃 𝑋 = 5 + 𝑃 𝑋 = 6 + 𝑃 𝑋 = 7 +⋯+ 𝑃(𝑋 = 𝑛)
P X ≥ 5 = 1 − P(X < 5)
P X ≥ 5 = 1 − [P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + 𝑃 𝑋 = 3 + 𝑃 𝑋 = 4 ]
P X ≥ 5 = 1 − [ 0,28506 ]
P X ≥ 5 = 71,49 %
P X ≥ 5 = 1 − [
60.e−6
0!
+
61.e−6
1!
+⋯+
64.e−6
4!
]
https://stattrek.com/online-calculator/poisson.aspx
c) Em 15 minutos não ocorra nenhuma chamada?
Resposta P X = 𝑥 =
μ𝑥.e−μ
𝑥!
☺INTERPRETAÇÃO: 
Nenhuma: X = 0
P X = 0 =
20.e−2
0!
P X = 0 = 13,53%
8 𝑐ℎ𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 ______ 60 𝑚𝑖𝑛
𝜇 ______ 15 𝑚𝑖𝑛
 = 2
µ = 2
P (X = 0) = ?
Poisson Distribution Calculator: 
https://stattrek.com/online-calculator/poisson.aspx
https://stattrek.com/online-calculator/poisson.aspx
Hora de praticar!
1. Segundo a CNN Brasil: “Renda do brasileiro caiu 9,4% durante a Pandemia”. Estudos realizados têm mostrado
que o consumo de produtos não essenciais tem caído drasticamente. No último mês, pesquisadores observaram
que em média 6 clientes entram por hora em uma loja para adquirir estes produtos. Determine a probabilidade de
que
a) Quatro clientes entrem na primeira meia hora de funcionamento da loja R. 16,80%
b) Três clientes ou menos entrem a qualquer hora na loja R. 15,12%
c) Três clientes ou mais entrem a qualquer hora na loja R. 93,80%
2. Numa estrada com curvas sinuosas observa-se dois acidentes para cada 100 km rodados. Qual a probabilidade 
de que em:
a) 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes? R. 87,53%
b) 300 km ocorram 5 acidentes? R. 16,06%
3. O número de mortes por afogamento em fins de semana, numa cidade praiana, é de 2 para cada 50.000
habitantes.Qual a probabilidade de que em:
a) 200.000 habitantes ocorram 5 afogamentos? R.9,16%
b) 112.500 habitantes ocorram pelo menos 3 afogamentos? R. 82,64%
4. Na fabricação de resistores de 50 ohms, são considerados bons os que têm resistência entre 45 e 55ohms.
Sabe-se que a probabilidade de um deles ser defeituoso é 0,2% sendo que são vendidos em lotes de 1000
unidades. Nesse caso, qual a probabilidade de um resistor ser defeituoso em um lote? R. 27,07%
5. Sabe-se que a probabilidade de uma pessoa sofrer reação alérgica resultante da injeção de um medicamento é
de 0,02%. Determine a probabilidade de que, entre 5000 pessoas que recebam esta injeção, exatamente três
sofram a mesma reação. R. 6,13%
1. Sabe-se por experiência que 1,5% das pastilhas de freio fabricadas por
determinada empresa apresentam defeitos. O controle de qualidade da empresa
escolheu ao acaso 100 peças de pastilhas. Determinar a probabilidade de que:
a) Pelo menos duas apresentam defeitos R. 44,22%
b) No máximo duas apresentarem defeitos R. 80,88%
EXTRA
2. O fluxo de carros que passam em determinado pedágio é de 1,7 carros por minuto. Qual a
probabilidade de passarem exatamente dois carros em dois minutos? R. 19,29%
3. Determinada empresa fabricante de peças para reposição e manutenção de freios e
veículos automotores apresenta 5 peças defeituosas, para cada 1000 produzidas. Retirando-
se uma amostra de 800 peças e examinando-as deseja-se saber:
a) Qual a Probabilidade de aparecerem quatro peças defeituosas desse lote? R. 19,54%
b) Qual a probabilidade de que menos de duas peças sejam defeituosas? R. 9,16%
c) Qual a probabilidade de que o número de peças defeituosas seja exatamente 2? R. 14,65%
EXTRA
4. Consideremos um processo industrial que tenha a taxa de 3 defeitos a cada 1000 un. Qual
a probabilidade de:
a) 2 defeitos em 1000 un? R.: 22,40%
b) 1 defeito em 1000 un? R.: 14,94%
c) 0 defeito em 1000 un? R.: 4,98%
d) Até 2 defeitos em 1000 un? R.: 42,32%
5. Há um defeito em cada 250 páginas editadas. Qual a P(x) de que em 500 páginas haja:
a) Nenhum defeito R= 13,53%
b) Mais de um defeito R= 59,39%
EXTRA
Bibliografia Digital
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2015.
MCCLAVE, J. T.; BENSON, P. G.; SINCICH, T. Estatística para administração e economia. 10. 
ed. São Paulo: Pearson Education, 2009.
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P.A. Estatística Básica 9ª ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
Material elaborado por:
Prof.ª Dra. Deiby Santos Gouveia 
Referências