Exercicios de conta-131

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Resposta: \( y = x - 1 \) 
 Explicação: Use a derivada da função e substitua as coordenadas do ponto dado. 
 
80. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + 3y' + 2y = 0 \). 
 Resposta: \( y = Ae^{-x} + Be^{-2x} \), onde \( A \) e \( B \) são constantes. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial de segunda ordem com solução 
característica \( r^2 + 3r + 2 = 0 \). 
 
81. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos(2x) \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{1}{2} \) 
 Explicação: Integre \( \cos(2x) \) em relação a \( x \) e substitua os limites de integração. 
 
82. Problema: Resolva a equação \( \log_2(x) = 5 \). 
 Resposta: \( x = 32 \) 
 Explicação: \( \log_2(32) = 5 \), então \( x = 32 \). 
 
83. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(3x^2) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{2}{x} \) 
 Explicação: Use a regra do logaritmo para derivar \( \ln(3x^2) \). 
 
84. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 + 2x^2}{3x^3 - 5} \). 
 Resposta: \( \frac{4}{3} \) 
 Explicação: Divida todos os termos por \( x^3 \) e tome o limite. 
 
85. Problema: Encontre a inversa da função \( f(x) = \frac{1}{5}x - 1 \). 
 Resposta: \( f^{-1}(x) = 5x + 5 \) 
 Explicação: Troque \( x \) e \( y \) e resolva para \( y \). 
 
86. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \sin(x) \). 
 Resposta: \( y = -\cos(x) + C \), onde \( C \) é uma constante. 
 Explicação: Integre ambos os lados em relação a \( x \).