Problemas de Cálculo e Álgebra

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113. Problema: Encontre a inversa da função \( f(x) = \ln(3x + 1) \). 
 Resposta: A inversa é \( f^{-1}(x) = \frac{{e^x - 1}}{{3}} \). 
 Explicação: Trocamos \( x \) por \( y \) e \( y \) por \( x \) na função original e resolvemos 
para \( y \). 
 
114. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( \frac{{dy}}{{dx}} = 
\frac{{1}}{{\sin(x) + y}} \). 
 Resposta: A solução geral é \( y = -\sin(x) + \ln|C - \cos(x)| \), onde \( C \) é uma constante 
arbitrária. 
 Explicação: Podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação 
diferencial para encontrar a solução. 
 
115. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \sqrt{{\ln(x)}} \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) \) é \( f'(x) = \frac{{1}}{{2x\sqrt{{\ln(x)}}}} \). 
 Explicação: Utilizamos a regra do poder para derivar a função. 
 
116. Problema: Resolva a equação \( \log(x) + \log(x - 1) = 2 \). 
 Resposta: A solução é \( x = 2 \). 
 Explicação: Utilizamos as propriedades dos logaritmos para resolver a equação. 
 
117. Problema 
 
: Determine a solução geral da equação diferencial \( \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{x}}{{y^2 + 1}} 
\). 
 Resposta: A solução geral é \( y = \sqrt{{C + \frac{{x^2}}{2}}} \), onde \( C \) é uma 
constante arbitrária. 
 Explicação: Podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação 
diferencial para encontrar a solução. 
 
118. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{{\sin(x)}}{{\cos^2(x)}} \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( \sec(x) + C \). 
 Explicação: Utilizamos substituição trigonométrica para resolver a integral.