Avaliação da rotina inversa R2W na estimação de parâmetros de transferência de massa no processo de adsorção de glicose e frutose

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TEMA Tend. Mat. Apl. Comput., 13, No. 3 (2012), 277-289.
doi: 10.5540/tema.2012.013.03.277

© Uma Publi
ação da So
iedade Brasileira de Matemáti
a Apli
ada e Computa
ional.
Avaliação da Rotina Inversa R2W na Estimação
de Parâmetros de Transferên
ia de Massa no
Pro
esso de Adsorção de Gli
ose e Frutose
A.L.J. BIHAIN
1
, Departamento de Engenharia Me
âni
a e Energia, DEMEC,
Instituto Polité
ni
o da Universidade do Estado do Rio de Janeiro, IPRJ - UERJ,
28625-530 Nova Friburgo, RJ, Brasil
L.D.T. CÂMARA
2
, Departamento de Engenharia Me
âni
a e Energia, DE-
MEC, Instituto Polité
ni
o da Universidade do Estado do Rio de Janeiro, IPRJ -
UERJ, 28625-530 Nova Friburgo, RJ, Brasil
A.J. SILVA NETO
3
, Departamento de Engenharia Me
âni
a e Energia, DE-
MEC, Instituto Polité
ni
o da Universidade do Estado do Rio de Janeiro, IPRJ -
UERJ, 28625-530 Nova Friburgo, RJ, Brasil
Resumo. As té
ni
as inversas são ferramentas muito utilizadas na determinação
dos parâmetros envolvidos na modelagem de pro
essos industriais. Neste trabalho o
método Random Restri
ted Window (R2W ) é empregado na estimação dos parâme-
tros de transferên
ia de massa envolvidos na 
romatogra�a da separação da gli
ose
e frutose a partir do su
o de 
aju. O R2W é um método esto
ásti
o simples, que
analisa a função 
usto a partir de estimativas aleatórias perten
entes a um domínio
de�nido para os parâmetros que se deseja ajustar, assumindo novas bus
as aleató-
rias através de uma janela de domínio restrito próxima aos melhores 
andidatos à
solução do problema de interesse. Na modelagem do pro
esso 
romatográ�
o foi
utilizada uma nova abordagem fenomenológi
a, 
hamada de "velo
idade da frente
de 
onve
ção", a qual mostrou poten
ial na 
ara
terização da 
oluna 
romatográ-
�
a. Nesta, a velo
idade da fase móvel (líquida) é 
onsiderada o fator dominante
no transporte das molé
ulas ao longo da 
oluna. O método R2W mostrou-se e�
az
na obtenção dos parâmetros do modelo forne
endo uma ótima 
on
ordân
ia entre
os resultados da simulação 
omputa
ional e os dados experimentais.
Palavras-
have. Problema Inverso, Algoritmo R2W, Cromatogra�a.
1. Introdução
A estimativa dos parâmetros des
onhe
idos em um modelo matemáti
o a partir de
dados experimentais 
onstitui um problema inverso e é um passo muito importante
1
aluis�iprj.uerj.br;
2
d
amara�iprj.uerj.br;
3
ajsneto�iprj.uerj.br;
Re
ebido em 16 Abril 2011; A
eito em 23 Novembro 2012.
278 Bihain, Câmara e Silva Neto
para uma melhor 
ompreensão dos fen�menos envolvidos em muitas áreas de apli-

ação [18℄. A abordagem inversa é uma té
ni
a muito utilizada em diversas áreas
da 
iên
ia, 
omo na modelagem de pro
essos industriais, pro
essos 
romatográ�
os,
et
. [3℄. Nos problemas de identi�
ação de parâmetros de modelos teóri
os em
engenharia quími
a, muitos autores tem utilizado ferramentas 
omo o algoritmo de
Luus-Jaakola[11℄, Levenberg-Marquardt [12℄ entre outros métodos.
A 
romatogra�a é um método físi
o-quími
o de separação fundamentada na mi-
gração diferen
ial dos 
omponentes de uma mistura, que o
orre devido a diferentes
interações entre duas fases imis
íveis, a fase móvel e a fase esta
ionária [9℄.
Entre os pro
essos 
romatográ�
os existentes, o Leito Móvel Simulado (LMS)
tem sido muito apli
ado em misturas de difí
il difí
il separação devido à e�
iên
ia
do mesmo. Em função da apli
abilidade do LMS, muitos estudos vem sendo de-
senvolvidos 
om diferentes abordagens [15, 17℄. Na modelagem do fen�meno, em
geral são 
onsiderados diversos fatores, entre eles, dispersão axial, transferên
ia de
massa entre o �uido e a partí
ula, difusão intrapartí
ula e as 
inéti
as de adsorção
e dessorção.
Neste trabalho foi proposta uma nova abordagem fenomenológi
a 
hamada "ve-
lo
idade da frente de 
onve
ção"para des
rever o pro
esso de transferên
ia de massa
na 
romatogra�a de adsorção da gli
ose e frutose presentes no su
o de 
aju. Para
estimar os parâmetros de adsorção e dessorção a partir dos dados experimentais [1℄,
uma rotina inversa de otimização simples foi utilizada, o método Random Restri
ted
Window (R2W ) [3℄.
A rotina R2W é baseada em uma bus
a aleatória, que tem o domínio de bus
a
reduzido de a
ordo 
om o quadrado dos resíduos entre os valores 
al
ulados 
om a
simulação 
omputa
ional e os dados experimentais. O método R2W possui algumas
pe
uliaridades 
om relação ao Algoritmo Genéti
o (GA) e ao método de Luus-
Jaakola (LJ), que restringem a região de bus
a de a
ordo 
om as melhores soluções
obtidas a partir de estimativas aleatórias.
A abordagem fenomenológi
a "velo
idade da frente de 
onve
ção"mostrou-se
efetiva na 
ara
terização da 
oluna 
romatográ�
a para a separação de gli
ose e
frutose presentes no su
o de 
aju, assim 
omo o método R2W foi e�
iente na ob-
tenção dos parâmetros do modelo.
2. Modelagem
2.1. Problema Direto
O Leito Móvel Simulado (LMS) é um pro
esso 
ontínuo de separação de molé
ulas
por 
romatogra�a, no qual a modelagem e simulação podem ser utilizadas para en-

ontrar as melhores 
ondições opera
ionais para a separação. Entretanto a 
ara
te-
rização da 
oluna 
romatográ�
a é uma etapa prévia e importante ná determinação
dos prin
ipais parâmetros utilizados em diferentes pro
essos 
romatográ�
os, assim

omo no LMS.
Em um pro
esso 
romatográ�
o por adsorção líquido-sólido, a transferên
ia de
massa baseia-se no gradiente de 
on
entração de molé
ulas entre as fases sólida e
líquida, onde as molé
ulas do eluente (fase líquida) são adsorvidas pela fase sólida
Estimação de Parâmetros no Pro
esso de Adsorção 279
o
upando os sítios ativos na superfí
ie desta. O limitante do pro
esso é a 
apa
idade
máxima de adsorção de molé
ulas pela fase sólida.
Para des
rever a transferên
ia de massa que o
orre no pro
esso 
romatográ�
o
uma nova abordagem 
hamada "velo
idade da frente de 
onve
ção"foi desenvolvida.
Esta 
onsidera que a velo
idade da fase líquida é o fator dominante no transporte
das molé
ulas ao longo da 
oluna 
romatográ�
a [5℄. Portanto o primeiro passo
assumido na dis
retização foi a velo
idade da fase líquida, seguido da transferên
ia
de massa entre a fase líquida e sólida. A velo
idade da fase líquida foi obtida através
do �uxo volumétri
o da fase móvel através do meio poroso,
v =
Q
εAT
(2.1)
onde v é a velo
idade da fase líquida, Q é a vazão volumétri
a, ε é a porosidade e
AT é a área total da 
oluna.
Para o 
ál
ulo da transferên
ia de massa, a 
oluna 
romatográ�
a foi dis
retizada
em volumes de 
ontrole de 
omprimento ξ que se movem ao longo da 
oluna 
om a
mesma velo
idade do �uxo do eluente, 
onforme pode ser observado na �gura 1.
Figura 1: Representação da 
oluna 
romatográ�
a.
Para 
ara
terizar a 
inéti
a de transferên
ia de massa do soluto entre a fase
líquida e a fase sólida foi assumido o modelo global de 
inéti
a de transferên
ia de
massa,
dC
dt
∣
∣
∣
∣
ξ
= −kads.C + kdes.q (2.2)
onde, C é a 
on
entração na fase líquida, q é a 
on
entração na fase sólida, t é
o tempo, kads é a 
onstante 
inéti
a de adsorção e kdes é a 
onstante 
inéti
a de
dessorção.
Entre as prin
ipais 
ara
terísti
as do modelo "velo
idade da frente de 
onve
-
ção", podemos 
itar a fa
ilidade de implementação e análise e ainda o mesmo ne-

essita 
onhe
er pou
os dados opera
ionais do problema real. Porém ainda para

onhe
er as 
onstantes 
inéti
as referentes às substân
ias a serem separadas, se faz
ne
essária a apli
ação de uma rotina inversa.
280 Bihain, Câmara e Silva Neto
2.2. Problema Inverso
A análise do problema inverso 
onstitui uma área multidis
iplinar de pesquisa, 
om
um grande número de apli
ações em diferentes 
ampos da 
iên
ia [10, 13, 16℄. As
té
ni
as inversas são de grande importân
ia no estudo da adsorção, para a ob-
tenção dos parâmetros dos modelos usados para simular esse fen�meno. Muitos
estudos dessa natureza podem ser en
ontrados 
om diferentes abordagens, 
omo
por exemplo a apli
ação de métodos determinísti
os [19, 20℄ e métodos evolutivos

om pro
edimentosaleatórios [4, 14℄, os quais mostraram que a 
ombinação da aná-
lise de erros 
om uma rotina inversa pode ser satisfatória para uma estimativa de
parâmetros 
om boa pre
isão.
Neste trabalho os dados experimentais 
orrespondentes à separação da gli
ose e
frutose presente no su
o de 
aju, realizada em uma unidade LMS 
omposta por um

onjunto de onze 
olunas 
romatográ�
as em série [1℄, foram ajustados ao modelo
do problema direto apresentado anteriormente.
Para a obtenção dos parâmetros do modelo, foi usado o método Random Restri
-
ted Window (R2W ) [3℄, que é 
onsiderado um método esto
ásti
o simples, o qual
utiliza um algoritmo de bus
a 
om uma distribuição aleatória. A �gura 2 mostra
uma representação esquemáti
a do algoritmo.
Figura 2: Representação esquemáti
a do algoritmo R2W.
Na formulação do problema inverso de transferên
ia de massa 
onsiderado nesse
trabalho, bus
a-se minimizar uma função objetivo dado pela soma dos resíduos
quadrados entre os valores experimentais e os valores 
al
ulados para a variável
observável.
O algoritmo aleatório R2W, analisa a função objetivo a partir de estimativas
aleatórias (ζ) perten
entes a um domínio de�nido (Z) para os parâmetros que se
deseja obter, es
olhendo as melhores soluções nos intervalos de valores estimados
para os parâmetros em que a função objetivo apresenta menor resíduo,
Z = f(ζ1, ζ2, ζ3, ...) (2.3)
ζi = ζiL +R(ζiH − ζiL) (2.4)
Estimação de Parâmetros no Pro
esso de Adsorção 281
onde ζiL e ζiH representam respe
tivamente o menor e o maior valor do parâmetro,
ou seja, o intervalo ao qual as estimativas perten
em, sendo R um número aleatório
no intervalo 0 ≤ R ≤ 1.
O pro
edimento representado na equação (2.4) é repetido para 
ada parâmetro
ζi, obtendo valores aleatórios perten
entes ao domínio de�nido 
onforme o número
de sementes S desejadas.
Após gerar todas as estimativas aleatórias perten
entes a um domínio para os
parâmetros 
onforme o número de sementes de�nidos a priori, os resultados das
simulações são 
omparados 
om os dados experimentais a �m de en
ontrar as me-
lhores soluções. Para des
obrir quais os valores para os parâmetros apresentam as
melhores soluções é feita uma avaliação da soma dos resíduos quadrados (Q),
Q =
∑np
i=1
(Cexpi
− Csimi
)2
(2.5)
onde Cexp, Csim, e np 
orrespondem respe
tivamente aos dados experimentais do
pro
esso de adsorção, os dados simulados pelo modelo e o número de dados experi-
mentais.
Após a bus
a aleatória ini
ial Ψ1, 
omo pode ser visto na �gura 2, uma nova fase
de bus
as Ψ2 é realizada em uma janela de domínio restrito, próxima às melhores
solução obtidas na fase anterior, sendo o novo intervalo de bus
a de�nido pelo fator
de restrição (δ) através das relações (2.6) e (2.7), onde ζ∗i 
orresponde à melhor
solução para o parâmetro i en
ontrado na fase anterior Ψ1.
ζL = ζ∗i − δ(ζ∗i ) (2.6)
ζH = ζ∗i + δ(ζ∗i ) (2.7)
Na bus
a por uma solução melhor uma ter
eira fase Ψ3 é realizada, repetindo
o pro
edimento das etapas (2.6) e (2.7), realo
ando a janela de domínio restrito.
Esse pro
edimento é mantido até que seja realizado um número de fases de�nido a
priori.
282 Bihain, Câmara e Silva Neto
Figura 3: Diagrama representativo do algoritmo R2W.
O algoritmo R2W representado no diagrama da �gura 3 é um método evolu
i-
onário de bus
a. Pois o mesmo é um tipo de algoritmo evolutivo que 
onstitui um
método e�
iente de otimização esto
ásti
a. Esse algoritmo realiza bus
a em uma
população de possíveis soluções para o problema e utiliza uma estratégia de sobre-
vivên
ia pro
urando as regiões em que melhor se adapta, ou seja, pro
ura as regiões
onde poten
ialmente estão as melhores soluções para poder re�nar os resultados.
O algoritmo R2W possui algumas 
ara
terísti
as em 
omum 
om o algoritmo
Luus-Jaakola e o Algoritmo Genéti
o, pois ambos são métodos esto
ásti
os de oti-
mização. Entre estes o algoritmo R2W possui uma semelhança maior 
om o Luus-
Jaakola, pois ambos geram estimativas aleatórias dentro de um domínio de bus
a
pré-estabele
ido, entretanto no Luus-Jaakola, as restrições do domínio são reali-
zadas ao longo das avaliações da função objetivo, enquanto no R2W o domínio é
reduzido somente na primeira fase, mantendo-se 
onstante a área da região de bus
a
nas fases posteriores.
3. Resultados e Dis
ussões
Com a intenção de se avaliar a poten
ialidade da abordagem fenomenológi
a "ve-
lo
idade da frente de 
onve
ção", e do algoritmo R2W na solução do problema
inverso, serão utilizados dados experimentais referentes a um pulso de 
on
entração
de uma amostra de (300ml)[1℄ de su
o de 
aju injetado em uma 
oluna 
romatográ-
�
a. Vale ressaltar ainda que a amostra do su
o de 
aju é 
omposta basi
amente
por uma mistura binária de gli
ose e frutose.
A 
ritério de 
omparação, o algoritmo Luus-Jaakola também foi utilizado na
solução do problema inverso. Os resíduos e os valores ótimos dos parâmetros de
transferên
ia de massa kads e kdes da equação 2.2 obtidos pelos algoritmos R2W
e Luus-Jaakola podem ser observados na tabela 1. Para a exe
ução do algoritmo
R2W foram usados δ = 0, 08, S = 100 e Ψ = 3 e o domínio de pesquisa para os
Estimação de Parâmetros no Pro
esso de Adsorção 283
dois 
omponentes da mistura foi 0 ≤ kads ≤ 0.4.
Tabela 1: Parâmetros ótimos de adsorção e dessorção para a gli
ose e frutose.
Algoritmo Componente kads kdes Resíduo Q Tempo Pro
. em s
R2W
Gli
ose 0, 01511 0, 02810 6, 18058 60,04
Frutose 0, 01454 0, 01332 1, 66883 56,41
Luus-Jaakola
Gli
ose 0, 01749 0, 03359 14, 67762 99,99
Frutose 0, 01463 0, 01353 1, 74073 93,27
Comparando na tabela 1 os resíduos que 
ada método apresentou, pode ser
observado que para o 
aso estudado o R2W apresentou um melhor desempenho,
além de ter tempo de pro
essamento inferior ao Luus-Jaakola. Para realizar estes
ajustes, foram feitas 500 
hamadas da função objetivo para 
ada algoritmo e para

ada 
omponente da mistura. A evolução do resíduo nas avaliações da função
objetivo para 
ada um dos 
asos é apresentada na �gura 4.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
10
1
10
2
10
3
R
es
íd
uo
s 
Q
(m
g
/m
l)
Número de avaliações da função objetivo
 
 
Luus−Jaakola
R2W
(a) Evolução da função objetivo no ajuste dos
parâmetros para gli
ose.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
10
1
10
2
R
es
íd
uo
s 
Q
(m
g
/m
l)
Número de avaliações da função objetivo
 
 
Luus−Jaakola
R2W
(b) Evolução da função objetivo no ajuste dos
parâmetros para frutose.
Figura 4: Evolução da função objetivo através dos métodos Luus-Jaakola e R2W.
A partir dos resultados apresentados na �gura 4, é possível a�rmar que o algo-
ritmo R2W no 
aso estudado se aproxima mais rapidamente do valor mínimo da
função objetivo e ainda ao �nal das avaliações 
hega a um valor absoluto de resíduo
quadrado menor se 
omparado ao Luus-Jaakola.
A �gura 5 mostra a 
orrelação dos dados experimentais [1℄ 
om as simulações
feitas a partir da abordagem fenomenológi
a do problema direto usando os parâme-
tros ajustados pelos métodos R2W e Luus-Jaakola. Os resultados estão em termos
da 
on
entração do soluto na fase líquida em função do tempo (em minutos).
284 Bihain, Câmara e Silva Neto
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
2
4
6
8
10
12
14
C
on
ce
nt
ra
çã
o 
(m
g
/m
l)
Tempo (min)
 
 
Glicose − experimental
Luus−Jaakola
R2W
(a) Con
entração gli
ose
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
1
2
3
4
5
6
7
8
C
on
ce
nt
ra
çã
o 
(m
g
/m
l)
Tempo (min)
 
 
Frutose − experimental
Luus−Jaakola
R2W
(b) Con
entração frutose
Figura 5: Comparação dos dados experimentais da 
on
entração da gli
ose 5(a) e
frutose 5(b) no soluto [1℄ 
om os valores 
al
ulados.
Os resultados apresentados gra�
amente na �gura 5 mostram o bom desempenho
da abordagem "velo
idade da frente de 
onve
ção"na representação da separação

romatográ�
a da gli
ose e da frutose presente no su
o de 
aju, pois a simulação
apresenta um per�l semelhante ao per�l dos dados experimentais. Assim 
omo rea-
�rma obom desempenho do algoritmo R2W frente ao Luus-Jaakola para o problema
abordado.
Para melhor entender o 
omportamento do algoritmo R2W e des
obrir a melhor
forma de operar o mesmo, uma avaliação dos parâmetros de 
ontrole do método
foi realizada para 
ada 
omponente da amostra de su
o de 
aju. Para a análise
de sensibilidade apresentada nas �guras 6 e 7, foi utilizado o mesmo 
onjunto de
sementes para a ini
ialização do gerador aleatório.
Na �gura 6 estão representados os estudos das avaliações dos parâmetros de

ontrole do método problema inverso apli
ado no problema direto para a simulação
da separação 
romatográ�
a da gli
ose. Os resultados foram obtidos através de uma
média de 3 simulações independentes do algoritmo R2W.
Na �gura 6(a) é possível observar que existe uma relação inversamente propor
i-
onal entre o número de sementes e o resíduo, pois quando foi aumentado o número
de sementes no algoritmo R2W, foram obtidas 
onstantes para a gli
ose que resul-
taram em um resíduo menor entre a simulação e os dados experimentais. Como o
método é esto
ásti
o, podemos dizer que quanto maior a quantidade de sementes,
maior é a 
han
e de obtermos bons resultados, ou seja, se en
ontrará 
onstantes
que vão resultar em menores resíduos.
Na �gura 6(b) pode ser observado que se existe a ne
essidade de se en
ontrar uma
solução re�nada, o ideal é usar um fator de restrição menor, porém é ne
essário um
número relativamente elevado de fases para se 
hegar ao resultado. Já 
om um fator
de restrição maior existe a possibilidade de se 
hegar próximo à solução rapidamente,
porém obter um resultado 
om boa pre
isão é pou
o provável, pois o método �
ará
andando em torno da solução, pelo motivo de que este estará trabalhando 
om uma
es
ala maior do que a da solução.
Na �gura 7 podem ser observados os resultados dos estudos das avaliações dos
Estimação de Parâmetros no Pro
esso de Adsorção 285
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
20
40
60
80
100
120
R
es
íd
uo
s 
Q
(m
g
/m
l)
Fator de restrição (δ)
 
 
25 sementes
50 sementes
100 sementes
(a) In�uên
ia do número de sementes (S) e do
fator de restrição (δ)
1 2 3 4 5
0
20
40
60
80
100
120
140
R
es
íd
uo
s 
Q
(m
g
/m
l)
Fases
 
 
Fator de restrição δ=0,05
Fator de restrição δ=0,25
Fator de restrição δ=0,75
(b) In�uên
ia do fator de restrição (δ) e do
número de fases
Figura 6: Avaliação dos parâmetros no método R2W, na bus
a das 
onstantes de
adsorção e dessorção da gli
ose.
parâmetros de 
ontrole do método R2W para o ajuste dos parâmetros kads e kdes
do modelo da equação (2.2) para a adsorção da frutose adsorvida do su
o de 
aju
através do pro
esso 
romatográ�
o.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
R
es
íd
uo
s 
Q
(m
g
/m
l)
Fator de restrição (δ)
 
 
25 sementes
50 sementes
100 sementes
(a) In�uên
ia do número de sementes (S) e do
fator de restrição (δ)
1 2 3 4 5
0
5
10
15
20
25
30
35
R
es
íd
uo
s 
Q
(m
g
/m
l)
Fases
 
 
Fator de restrição δ=0,05
Fator de restrição δ=0,25
Fator de restrição δ=0,75
(b) In�uên
ia do fator de restrição (δ) e do
número de fases
Figura 7: Avaliação dos parâmetros no método R2W, na bus
a das 
onstantes de
adsorção e dessorção da frutose.
Os resultados da �gura 7(a) são semelhantes àqueles apresentados na �gura 6(a),
o que rea�rma que aumentando o número de sementes, tem-se um resíduo menor,
pois o aumento do número de sementes no R2W faz 
om que aumente a densidade
de estimativas no domínio levando a uma melhor solução.
Outra observação que pode ser feita a partir das �guras 7(a) e 6(a) é que usar
um fator de restrição maior do que 0.5 não é re
omendado, pois nesta faixa de
valores o método 
omeça a se distan
iar da solução ótima.
A semelhança entre os resultados da �gura 7(b) 
om 7(b) rea�rma a hipótese
286 Bihain, Câmara e Silva Neto
que, quanto se deseja uma solução re�nada a melhor estratégia a ser adotada é,
es
olher um fator de restrição relativamente pequeno e um elevado número de fases.
Na tabela 2 é apresentada uma 
omparação dos valores das 
onstantes de equi-
líbrio da gli
ose (kgli) e da frutose (kfru) obtidas através de dois modelos 
om
diferentes abordagens.
Tabela 2: Comparação das 
onstantes de equilíbrio.
Modelo [1℄ Este Trabalho R2W Este Trabalho LJ
kgli 0,28 0,53 0,52
kfru 0,60 1,09 1,08
kfru
kgli
2,14 2,06 2,08
Na abordagem usada em [1℄, 
onsidera-se os efeitos da transferên
ia de massa no
interior da partí
ula, tanto na fase líquida 
omo na fase sólida, enquanto a utilizada
neste trabalho 
onsidera que a velo
idade da fase líquida é o fator dominante na
transferên
ia de massa.
É possível notar que apesar dos valores de kgli e kfru en
ontrados pelas duas
abordagem serem diferentes, a relação entre os mesmos é semelhante, o que mostra
que o modelo "velo
idade da frente de 
onve
ção", apesar de 
onsiderar um número
menor de fatores, é 
apaz de rela
ionar as 
on
entrações dos 
omponentes nas fases
sólida e líquida de forma similar à modelagem 
lássi
a utilizada em [1℄.
4. Con
lusões
A abordagem fenomenológi
a 
hamada "velo
idade da frente de 
onve
ção"empregada
neste trabalho para a simulação do pro
esso de separação por adsorção da gli
ose e
frutose presentes no su
o de 
aju, possui poten
ial para ser usado na 
ara
terização
da 
oluna 
romatográ�
a devido à simpli
idade de implementação e à ne
essidade
de um menor número de parâmetros em relação aos modelos 
lássi
os.
O algoritmo R2W usado na solução do problema inverso mostrou-se efetivo na
obtenção das 
onstantes de adsorção e dessorção tanto da gli
ose 
omo da frutose,
levando a boas soluções, as quais apresentaram um resíduo reduzido na 
orrelação
das simulações 
om os dados experimentais.
O algoritmo R2W além de ser um método simples de implementar 
omputa
io-
nalmente, mostrou um desempenho ligeiramente melhor e tempo de pro
essamento
inferior ao do algoritmo Luus-Jaakola na obtenção dos parâmetros de adsorção e
dessorção estudados.
A avaliação dos parâmetros do algoritmo R2W mostrou que a bus
a pela solu-
ção ideal é dependente do fator de restrição, número de fases e número de sementes
aleatórias. A análise mostrou também que se o fator de restrição assumir valores
maiores que 0,5 o algoritmo se distan
ia da solução ótima e ainda quando é aumen-
tado o número de sementes aumenta a possibilidade de obter boas soluções 
om um
Estimação de Parâmetros no Pro
esso de Adsorção 287
número reduzido de fases.
Agrade
imentos Os autores agrade
em o apoio �nan
eiro da FAPERJ, Fun-
dação Carlos Chagas Filho de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro,
do CNPq, Conselho Na
ional de Desenvolvimento Cientí�
o e Te
nológi
o, e da
CAPES, Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior.
Abstra
t. Inverse te
hniques are tools widely used in the determination of para-
meters involved in the modelling of industrial pro
esses. In the present work the
method Restri
ted Random Window (R2W ) is employed to estimate the parame-
ters of mass transfer involved in the 
hromatographi
 separation of glu
ose and
fru
tose from 
ashew apple jui
e. The R2W is a simple sto
hasti
 method, that
evaluates the 
ost fun
tion for random estimates within the domain for the para-
meters to be adjusted, with new random sear
hes performed within a restri
ted
domain in the vi
inity of the best solution 
andidates for the problem of interest.
In the 
hromatographi
 pro
ess a new approa
h phenomenologi
al is used, 
alled
"front velo
ity", whi
h 
onsiders as the dominant fa
tor in the mole
ules transfer in

hromatographi
 
olumns the liquid phase velo
ity. The R2W method has shown
to be e�e
tive in the model parameters determination yielding a good agreement
between the 
omputational simulation and experimental data.
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