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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo II
Módulo 3 Lista 4 2.◦/2021
Atenção: na questão 1, decida se cada item é certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espaço
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) A figura ilustra o gráfico de uma solução da equação
2x(1 + x)y′′(x) + (3 + x)y′(x)− xy(x) = 0,
em que os coeficientes não são constantes. Em relação a essa equação,
C E a) x0 = 0 é o único ponto singular.
C E b) Em x0 = 0, a equação indicial é 2r(r−1)+3r = 0.
C E c) Em torno de x0 = 0, as soluções em série conver-
gem no intervalo 0 < x < 1.
C E d) As soluções permanecem limitadas com x → 0.
C E e) De fato, as soluções são anaĺıticas em x = 0.
2) Para λ ∈ R, a equação
xy′′(x) + (1− x)y′(x) + λy(x) = 0 , x > 0
é conhecida como a equação de Laguerre, e está associada à equação de Schrödinger para o
átomo de hidrogênio. Para valores espećıficos de λ a equação possui solução polinomial, e a
figura abaixo ilustra o gráfico de algumas dessas soluções.
p1
p2
p3
p0
a) Justifique a afirmação de que x = 0 é ponto singular regular.
Resposta:
b) Determine a equação indicial e suas ráızes.
Resposta:
c) Justifique a afirmação de que a equação possui tanto soluções
anaĺıticas como não anaĺıticas em x0 = 0.
Resposta:
d) Determine a relação de recorrência para as soluções anaĺıticas em x0 = 0. Em seguida,
determine os quatro primeiros termos da série da solução anaĺıtica que satisfaz y(0) = 1.
Resposta:
e) Determine os valores de λ para os quais a equação possui uma solução polinomial. Em
seguida, use o item anterior para determinar as quatro primeiras dessas soluções.
Resposta:
Cálculo II Módulo 3 Lista 4 2.◦/2021 – 1/3
3) Se um sistema massa-mola, originalmente de massa m e constante da mola k, oscila
por um longo peŕıodo de tempo, é de se esperar que a mola diminua a sua elasticidade e
sua constante passe a ser uma função decrescente do tempo. Desconsiderando as forças de
amortecimento e supondo α > 0, essa situação pode ser modelada com a equação
(∗) y′′(t) + ω2 e−αt y(t) = 0, t > 0 .
onde ω =
√
k/m. Surpreendentemente, esse problema está relacionado com a equação de
Bessel de ordem zero, isto é, com a equação com coeficientes polinomiais
(∗∗) x2Y ′′(x) + xY ′(x) + x2Y (x) = 0, x > 0 .
a) Calcule as derivadas de y(t) em termos das derivadas de Y (x) e
x(t), onde x(t) = 2ω
α
e−αt/2 e Y (x(t)) = y(t).
b) Use o item anterior para concluir que Y (x) é solução de (∗∗).
c) Estabeleça a relação de recorrência e calcule os três primeiros ter-
mos da solução em série J0(x) de (∗∗) que é anaĺıtica em x = 0.
d) Justifique a afirmação de que as soluções de (∗∗) que são limitadas em torno de x = 0
são necessariamente múltiplos dde J0(x).
e) Finalmente, justifique a afirmação de que, se y(t) é uma solução de (∗) que é limitada
no intervalo (0,∞), então y(t) é necessariamente um múltiplo de J0(x(t)).
4) Sejam (r, θ) as coordenadas polares do disco x2 + y2 ≤ 1, e suponha que o disco tenha
temperatura estacionária v(r, θ). Nesse caso, v(r, θ) satisfaz a equação de Laplace
x 1
y
θ
r
(∗) vrr(r, θ) +
1
r
vr(r, θ) +
1
r2
vθθ(r, θ) = 0
a) Por separação de variáveis, tente solução de (∗) na forma v(r, θ) =
g(r)h(θ), e obtenha as equações satisfeitas por g(r) e h(θ).
b) Justifique o fato de que a constante de separação de variáveis deve
ser não-negativa, e indique essa constante por w2, com w ≥ 0.
c) Obtenha a solução geral da equação satisfeita por h(θ), e conclua
que, de fato, w deve ser um inteiro.
d) Para um interio w, tente solução para a equação satisfeira por g(r) na forma g(r) = rα,
e obtenha os valores de α que fornecem solução limitada no intervalo [0, 1].
e) Os passos anteriores fornecem uma infinidade de soluções elementares de (∗). Use o
prinćıpio da superposição para obter um condidato à solução de (∗) na forma de uma série.
Cálculo II Módulo 3 Lista 4 2.◦/2021 – 2/3
Í Computational Assistance Resource
Atenção: Para baixar o Maxima: no Linux, no Windows, no Android. Manuais do Maxima e extra para
o Android. Executar comandos: shift+enter. Comandos uteis: f(x):=sin(x), plot2d(x,[x,0,1]),
limit(exp(-x),x,inf), diff(sin(x),x), integrate(sin(x)^3,x), ode2('diff(y,x)=y,y,x). Constan-
tes: e=%e, π=%pi.Números complexos: a+ib= a+%i*b. Sintaxe: resultado do último comando= %.
Digite os comandos a seguir no Maxima para obter ajuda na resolução dos itens.
Limpe a memória do programa no ińıcio de cada questão.
2) a) p(x):=(1-x)/x;
q(x):=b/x;
p0:limit(x*p(x),x,0);
q0:limit(x^2*q(x),x,0);
b) eq2:radcan(r*(r-1)+p0*r+q0);
solve(%,r);
d) y:sum(a[n]*x^n,n,0,inf);
y1:sum(n*a[n]*x^(n-1),n,1,inf);
y2:sum((n-1)*n*a[n]*x^(n-2),n,2,inf);
parte1:factorsum(sumcontract(intosum(x*y2+y1)));
parte1c:changevar(intosum(parte1),n-1=k,k,n);
parte2:factorsum(sumcontract(intosum(-x*y1+b*y)));
serie:factorsum(sumcontract(intosum(parte1c+parte2)));
CON:part(%,[2,3]);
define(b[n],part(serie,1,1)/x^n);
solve(b[n]=0,a[n+1]);
e) powerdisp:true$
makelist(b[n]=0,n,1,6);
append(%,[CON=0]);
SOL:factor( linsolve(%,makelist(a[n],n,1,7)));
subst([a[0]=1],SOL);
"Y0(x)"=1+subst(%,sum(a[n]*x^n,n,1,7));
3) a) x1:-(a/2)*x; x2:(a^2/4)*x; y:Y;
y1: ' diff(Y,x)*x1;
y2: ' diff(Y,x,2)*x1^2+ ' diff(y,x)*x2;
b) eq3 :expand((4/a^2)*(y2+(a^2/4)*x^2*y= 0));
c) y:sum(a[n]*x^n,n,0,inf);
x2y:changevar(intosum(x^2*y),n+2=k,k,n);
y1:sum(n*a[n]*x^(n-1),n,1,inf);
y2:sum((n-1)*n*a[n]*x^(n-2),n,2,inf);
serie:factorsum(sumcontract(intosum(x^2*y2 + x*y1+x2y)));
define(b[n],part(serie,1,1)/x^n);
solve(b[n]=0,a[n]);
c) powerdisp:true$
makelist(b[n]=0,n,2,5);
SOL:factor( linsolve(%,makelist(a[k],k,2,5)));
subst([a[0]=1,a[1]=0],SOL);
"J0(x)"=1+subst(%,sum(a[n]*x^n,n,2,4));
Cálculo II Módulo 3 Lista 4 2.◦/2021 – 3/3
https://pkgs.org/download/wxmaxima
http://maxima.sourceforge.net/windows-install.html
https://play.google.com/store/apps/details?id=jp.yhonda&feature=search_result#?t=W251bGwsMSwxLDEsImpwLnlob25kYSJd
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt_BR/maxima.html
https://sites.google.com/site/maximaonandroid/
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/maxima_36.html
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt_BR/maxima_8.html#SEC31
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt_BR/maxima_18.html#SEC59
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt_BR/maxima_19.html#SEC61
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt_BR/maxima_20.html#SEC63
http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt_BR/maxima_22.html#SEC71