Problemas de Matemática

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83. Problema: Resolva a equação \( \frac{5}{x + 5} = \frac{3}{x - 4} \). 
 Resposta: \( 5(x - 4) = 3(x + 5) \) \( \rightarrow 5x - 20 = 3x + 15 \) \( \rightarrow 2x = 35 \) \( 
\rightarrow x = \frac{35}{2} \). 
 Explicação: Isolamos a incógnita \( x \) para encontrar seu valor. 
 
84. Problema: Determine o volume de uma esfera com raio 10 cm. 
 Resposta: O volume é \( 1000\pi \) cm³. 
 Explicação: Utilizamos a fórmula do volume da esfera. 
 
85. Problema: Fatorize completamente a expressão \( x^3 + 64 \). 
 Resposta: \( (x + 4)(x^2 - 4x + 16) \). 
 Explicação: Utilizamos o método de fatorização. 
 
86. Problema: Encontre a soma dos termos de uma progressão aritmética com o primeiro 
termo \( a_1 = 4 \), último termo \( a_n = 84 \) e número total de termos \( n = 15 \). 
 Resposta: A soma é \( \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{15}{2}(4 + 84) = 690 \). 
 Explicação: Utilizamos a fórmula da soma dos termos de uma sequência aritmética. 
 
87. Problema: Determine a área da região sombreada em um círculo de raio 5 cm com um 
pentágono regular inscrito. 
 Resposta: A área sombreada é \( 25(\pi - \frac{5\sqrt{5}}{2}) \) cm². 
 Explicação: Subtraímos a área do pentágono da área do círculo. 
 
88. Problema: Resolva a equação \( \frac{2}{x + 3} + \frac{1}{x - 2} = \frac{5}{x^2 + x - 6} \). 
 Resposta: \( 2(x - 2) + (x + 3) = 5 \) \( \rightarrow 2x - 4 + x + 3 = 5 \) \( \rightarrow 3x - 1 = 5 
\) \( \rightarrow 3x = 6 \) \( \rightarrow x = 2 \). 
 Explicação: Isolamos a incógnita \( x \) para encontrar seu valor. 
 
89. Problema: Determine o volume de um cilindro com raio 8 cm e altura 12 cm. 
 Resposta: O volume é \( 768\pi \) cm³. 
 Explicação: Utilizamos a fórmula do volume do cilindro.