Cálculos Matemáticos

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62. Qual é a derivada de \( y = \log_3(x^2) \)? 
 Resposta: \( \frac{d}{dx}(\log_3(x^2)) = \frac{1}{x^2 \ln(3)} \). 
 
63. Resolva a equação \( 4^x = 16 \). 
 Resposta: \( 4^x = 4^2 \), então \( x = 2 \). 
 
64. Se \( f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} \), qual é o valor de \( f(2) \)? 
 Resposta: \( f(2) = \frac{2^2 - 5 \times 2 + 6}{2 - 2} = \frac{4 - 10 + 6}{0} \), a função não é 
definida para \( x = 2 \), pois isso resultaria em divisão por zero. 
 
65. Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} \)? 
 Resposta: Utilizando a regra de L'Hôpital, \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} = \lim_{x \to 
\infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = 0 \). 
 
66. Se \( \tan(\theta) = \frac{24}{7} \) e \( \theta \) está no segundo quadrante, qual é o valor 
de \( \sin(\theta) \)? 
 Resposta: No segundo quadrante, \( \sin(\theta) \) é positivo, então \( \sin(\theta) = 
\sqrt{1 - \tan^2(\theta)} = \frac{\sqrt{575}}{7} \). 
 
67. Determine os valores de \( x \) para os quais \( \sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 1} \) é indefinido. 
 Resposta: \( \sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 1} \) é indefinido quando algum dos radicandos é 
negativo, então \( x + 2 \geq 0 \) e \( x - 1 \geq 0 \), o que implica em \( x \geq -2 \) e \( x \geq 
1 \), portanto, \( x \geq 1 \). 
 
68. Qual é o valor de \( \int_0^\pi \sin^2(x) \, dx \)? 
 Resposta: \( \int_0^\pi \sin^2(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_0^\pi (1 - \cos(2x)) \, dx = \frac{1}{2} 
\left[ x - \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_0^\pi = \frac{\pi}{2} \). 
 
69. Se \( f(x) = e^{3x} \), qual é a terceira derivada de \( 
 
 f(x) \)? 
 Resposta: \( \frac{d^3}{dx^3}(e^{3x}) = \frac{d}{dx}(27e^{3x}) = 27^2e^{3x} \). 
 
70. Resolva a equação \( \ln(x - 2) = 3 \).