Problemas de Cálculo Matemático

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87. Problema: Determine a soma dos termos da série \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} 
\). 
 Resposta: 2. Explicação: Este é um caso especial da série geométrica infinita. 
 
88. Problema: Calcule a derivada de \( f(x) = \ln(x^2) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{2}{x} \). Explicação: Utilizamos a regra do logaritmo e a derivada 
da função \( x^2 \). 
 
89. Problema: Resolva a integral definida \( \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{\pi}{2} \). Explicação: Utilizamos a substituição trigonométrica ou a 
identidade trigonométrica para resolver a integral. 
 
90. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 2y' + y = e^x \). 
 Resposta: \( y = (C_1 + C_2x)e^x + xe^x \). Explicação: Utilizamos o método da variação 
dos parâmetros para encontrar a solução particular. 
 
91. Problema: Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \sqrt{x} \) no ponto \( (4, 
2) \). 
 Resposta: \( y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{2} \). Explicação: Calculamos a derivada da função 
e utilizamos o ponto dado para encontrar a inclinação da reta tangente. 
 
92. Problema: Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \). 
 Resposta: 1. Explicação: Este é um limite fundamental da trigonometria, conhecido 
como o limite do seno sobre x. 
 
93. Problema: Calcule a área da região delimitada pela curva \( y = \ln(x) \) e o eixo \( x \) 
entre \( x = 1 \) e \( x = e \). 
 Resposta: \( e - 1 \). Explicação: Calculamos a integral definida da função logarítmica 
entre os limites dados. 
 
94. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + y = \sin(x) \). 
 Resposta: \( 
 
 y = Ce^{-x} - \cos(x) + 1 \). Explicação: Utilizamos o método do fator integrante para 
resolver a equação diferencial linear de primeira ordem.