Problemas de Cálculo e Álgebra

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16. Problema: Encontre a derivada direcional da função \(f(x, y) = x^2 + 3y\) no ponto \((1, 
2)\) na direção do vetor \((3, 4)\). 
 Resposta: A derivada direcional é \(13\). Explicação: Usamos o gradiente de \(f(x, y)\) e o 
vetor direção fornecido para calcular a derivada direcional. 
 
17. Problema: Calcule a integral tripla de \(f(x, y, z) = xyz\) sobre o paralelepípedo 
delimitado pelos planos \(x = 0\), \(x = 1\), \(y = 0\), \(y = 2\), \(z = 0\) 
 
 e \(z = 3\). 
 Resposta: A integral tripla é \(6\). Explicação: Dividimos o paralelepípedo em seis 
tetraedros e calculamos a integral sobre cada um deles. 
 
18. Problema: Encontre a solução particular da equação diferencial \(y'' - 2y' + y = 4e^x\) 
sujeita às condições iniciais \(y(0) = 1\) e \(y'(0) = 0\). 
 Resposta: A solução particular é \(y = (4x + 2)e^x + 1\). Explicação: Usamos o método da 
variação dos parâmetros para encontrar a solução particular. 
 
19. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo relativos da função \(f(x) = 2x^3 - 
3x^2 - 12x + 5\). 
 Resposta: O ponto de máximo relativo é \((-1, 20)\) e o ponto de mínimo relativo é \((2, -
15)\). Explicação: Calculamos a derivada segunda de \(f(x)\) e usamos o teste da segunda 
derivada para determinar a natureza dos pontos críticos. 
 
20. Problema: Encontre a matriz inversa de \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 
\end{pmatrix}\). 
 Resposta: A matriz inversa de \(A\) é \(\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}\). 
Explicação: Usamos o método de adjuntos para encontrar a matriz inversa. 
 
21. Problema: Calcule o volume do sólido limitado pelos planos \(x = 0\), \(y = 0\), \(z = 0\) 
e pelo plano \(2x + 3y + 6z = 12\). 
 Resposta: O volume é \(4\) unidades cúbicas. Explicação: Este é um paralelepípedo 
retângulo, e o volume é dado pela multiplicação das dimensões. 
 
22. Problema: Resolva a equação diferencial não homogênea \(y'' + 4y = \sin(2x)\).