Problemas de Cálculo

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Resposta: \(x = 1\), \(y = 2\), \(z = 3\). Explicação: Podemos resolver este sistema usando 
eliminação Gaussiana ou substituição. 
 
69. Problema: Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de \(y = \ln(x)\) no ponto \(x 
= 1\). 
 Resposta: A equação da reta tangente é \(y = x - 1\). Explicação: Usamos a derivada de 
\(y = \ln(x)\) para encontrar a inclinação da reta tangente e então usamos o ponto dado 
para encontrar a equação da reta. 
 
70. Problema: Determine a área da região no primeiro quadrante limitada pela curva \(y = 
e^x\), o eixo \(x\) e as linhas \(x = 0\) e \(x = 2\). 
 Resposta: A área é \(e^2 - 1\). Explicação: Usamos integração definida para encontrar a 
área sob a curva \(y = e^x\) entre \(x = 0\) e \(x = 2\). 
 
71. Problema: Encontre a derivada de \(f(x) = \arctan(x^2)\). 
 Resposta: A derivada de \(f(x)\) é \(\frac{2x}{1 + x^4}\). Explicação: Usamos a regra da 
cadeia e a derivada da tangente inversa. 
 
72. Problema: Resolva a equação diferencial \(y' - y = e^x\). 
 Resposta: A solução é \(y = Ce^x - e^x\), onde \(C\) é uma constante arbitrária. 
Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea. 
 
73. Problema: Calcule a integral indefinida de \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). 
 Resposta: A integral indefinida é \(\arctan(x) + C\), onde \(C\) é uma constante arbitrária. 
Explicação: Usamos a integral da tangente inversa. 
 
74. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \(y'' - 4y = 0\). 
 Resposta: A solução geral é \(y = Ae^{2x} + Be^{-2x}\), onde \(A\) e \(B\) são constantes 
arbitrárias. Explicação: Esta é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem 
com coeficientes constantes. 
 
75. Problema: Encontre a inversa da função \(f(x) = \frac{2x}{3x - 1}\). 
 Resposta: A inversa de \(f(x)\) é \(f^{-1}(x) = \frac{x}{2x + 1}\). Explicação: Trocamos \(x\) 
por \(y\) e resolvemos para \(y\).