Problemas de Cálculo e Álgebra

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13. Problema: Calcule a integral definida \( \int_{0}^{1} e^x \, dx \). 
 Resposta: \( e - 1 \). 
 Explicação: Para calcular a integral definida, encontramos a antiderivada da função e 
avaliamos nos limites de integração. 
 
14. Problema: Resolva o sistema de equações lineares: 
 \[ \begin{cases} 
 2x - y = 1 \\ 
 4x + 3y = 5 
 \end{cases} \] 
 Resposta: \( x = 2 \) e \( y = 3 \). 
 Explicação: Podemos resolver o sistema utilizando métodos como substituição, 
eliminação ou matrizes. 
 
15. Problema: Determine a equação do plano tangente à superfície \( z = x^2 + y^2 \) no 
ponto \( (1,1,2) \). 
 Resposta: A equação do plano tangente é \( z = 2x + 2y - 2 \). 
 Explicação: Para encontrar o plano tangente, calculamos as derivadas parciais da 
função e utilizamos o ponto dado para obter a equação do plano. 
 
16. Problema: Calcule o produto interno entre os vetores \( \mathbf{u} = \langle 1, 2, -1 
\rangle \) e \( \mathbf{v} = \langle 2, -1, 3 
 
 \rangle \). 
 Resposta: O produto interno é \( 1 \). 
 Explicação: O produto interno entre dois vetores é calculado multiplicando as 
componentes correspondentes e somando os resultados. 
 
17. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x,y) = x^2 + 2xy + 
2y^2 - 4x - 6y + 10 \). 
 Resposta: Máximo em \( (-1,2) \) e mínimo em \( (1,-2) \). 
 Explicação: Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, calculamos as derivadas 
parciais e determinamos os pontos críticos.