Problemas de Matemática do Ensino Superior

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Explicação: Este é um limite fundamental que pode ser provado utilizando técnicas 
como a regra de L'Hôpital. 
 
99. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \ln(x) \) no ponto \( (1,0) 
\). 
 Resposta: A equação da reta tangente é \( y = x - 1 \). 
 Explicação: Para encontrar a reta tangente, calculamos a derivada da função e 
utilizamos o ponto dado. 
 
100. Problema: Calcule a derivada parcial de \( f(x,y,z) = x^2yz \) em relação a \( y \). 
 Resposta: \( \frac{\partial f}{\partial y} = x^2z \). 
 Explicação: Para encontrar a derivada parcial em relação a \( y \), tratamos \( x \) e \( z \) 
como constantes e derivamos em relação a \( y \). 
 
Espero que esses problemas atendam às suas expectativas! Se precisar de mais alguma 
coisa, estou por aqui. 
Desafio aceito! Aqui estão 100 problemas de matemática do ensino superior, cada um 
com sua resposta e explicação: 
 
1. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = e^{\sin(x)} \). 
 Resposta: \( f'(x) = e^{\sin(x)}\cos(x) \). 
 Explicação: Utilize a regra da cadeia para derivar a função exponencial composta com 
uma função trigonométrica. 
 
2. Problema: Resolva a integral indefinida \( \int \frac{x^2}{\sqrt{1+x^3}} \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{2}{3}(1+x^3)^{3/2} + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Faça a substituição \( u = 1 + x^3 \) e utilize a regra da cadeia para resolver a 
integral. 
 
3. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 
1 \). 
 Resposta: Máximo em \( (2, 3) \) e mínimo em \( (3, -1) \). 
 Explicação: Encontre os pontos críticos da função e aplique o teste da segunda derivada 
para determinar se são máximos ou mínimos.