Problemas de Cálculo Avançado

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Exp 
 
licação: Resolva a equação característica associada à equação diferencial homogênea de 
segunda ordem. 
 
61. Problema: Determine a área da região no primeiro quadrante limitada pelas curvas \( y 
= x^2 \) e \( y = \sqrt{x} \). 
 Resposta: \( \frac{1}{6} \) unidades de área. 
 Explicação: Encontre os pontos de interseção das curvas e calcule a integral definida da 
diferença entre as duas funções. 
 
62. Problema: Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas 
curvas \( y = x^2 \) e \( y = 4x - x^2 \) em torno do eixo \( y \). 
 Resposta: \( \frac{128\pi}{15} \) unidades cúbicas. 
 Explicação: Utilize o método dos discos ou cascas para calcular o volume. 
 
63. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' - y' - 2y = 0 \) com condições iniciais \( 
y(0) = 1 \) e \( y'(0) = 0 \). 
 Resposta: \( y(x) = e^x - e^{-2x} \). 
 Explicação: Resolva a equação diferencial homogênea e aplique as condições iniciais 
para encontrar as constantes. 
 
64. Problema: Calcule a integral imprópria \( \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{\pi}{2} \). 
 Explicação: Utilize o método da substituição trigonométrica ou calcule o limite \( \lim_{R 
\to \infty} \int_{0}^{R} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \). 
 
65. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 2y' + y = e^x \). 
 Resposta: \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^x + e^x \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes 
arbitrárias. 
 Explicação: Resolva a equação diferencial homogênea associada e depois use o 
método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular. 
 
66. Problema: Encontre a derivada parcial de segunda ordem \( \frac{\partial^2 f}{\partial x 
\partial y} \) para a função \( f(x, y) = x^2y + \sin(xy) \).