Cálculos Matemáticos

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Resposta: \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2 + y\cos(xy) \). 
 Explicação: Calcule primeiramente a derivada parcial \( \frac{\partial f}{\partial x} \) e 
depois derive novamente em relação a \( y \). 
 
67. Problema: Calcule a integral tripla \( \iiint_V (x^2 + y^2 + z^2) \, dV \), onde \( V \) é o 
sólido delimitado pelos planos \( x = 0 \), \( y = 0 \), \( z = 0 \) e \( x + y + z = 1 \). 
 Resposta: \( \frac{1}{60} \) unidades cúbicas. 
 Explicação: Utilize coordenadas cilíndricas ou esféricas para simplificar a integral tripla. 
 
68. Problema: Encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva \( y = \sqrt{x} \) 
de \( x = 0 \) a \( x = 4 \) em torno do eixo \( x \). 
 Resposta: \( 8\pi \) unidades quadradas. 
 Explicação: Utilize a fórmula da área da superfície de revolução. 
 
69. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + 4y = 2e^{-4x} \). 
 Resposta: \( y(x) = Ce^{-4x} + \frac{1}{2}e^{-4x} \), onde \( C \) é uma constante arbitrária. 
 Explicação: Resolva a equação diferencial homogênea associada e use o método da 
variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular. 
 
70. Problema: Determine os limites laterais de \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{|x-2|} \) quando \( x \) 
se aproxima de \( 2 \). 
 Resposta: \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = -4 \) e \( \lim_{x \to 2^+} f(x) = 4 \). 
 Explicação: Avalie a função para \( x \) ligeiramente menor e ligeiramente maior que 2. 
 
71. Problema: Calcule a integral definida \( \int_{1}^{2} \frac{1}{x^3} \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{1}{4} \). 
 Explicação: Calcule a integral indefinida e aplique os limites de integração. 
 
72. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y' = y^2 \). 
 Resposta: \( y(x) = -\frac{1}{x + C} \), onde \( C \) é uma constante arbitrária. 
 Explicação: Resolva a equação diferencial separável. 
 
73. Problema: Calcule a integral definida \( \int_{0}^{\pi} x\sin(x) \, dx \).