Problemas de Cálculo Matemático

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Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser 
resolvida usando o método do fator integrante. 
 
57. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx \). 
 Resposta: \( \arctan(x) + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Esta é a integral indefinida da função racional. 
 
58. Problema: Encontre a derivada da função \( f(x) = \cos(x)\tan(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = -\sin(x)\sec^2(x) \). 
 Explicação: Usando a regra do produto para derivar a função. 
 
59. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 2y^2 - 2y \). 
 Resposta: \( y = 1 - \frac{1}{x + C} \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial separável. 
 
60. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} \). 
 Resposta: O limite é 1. 
 Explicação: Simplificando a expressão, obtemos \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2}}{x} = 
\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} = 1 \). 
 
61. Problema: Encontre os pontos críticos da função \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \). 
 Resposta: Os pontos críticos ocorrem em \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \), onde \( k \) é um 
número inteiro. 
 Explicação: Os pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. 
 
62. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \) e \( y = 
\frac{1}{\sqrt{x}} \) de \( x = 1 \) a \( x = 4 \). 
 Resposta: A área é \( 3 + 2\ln(2) \) unidades quadradas. 
 Explicação: A área é dada pela integral da diferença das duas funções nos limites 
dados. 
 
63. Problema: Calcule a soma dos termos da série geométrica \( 4 + 8 + 16 + 32 + \ldots + 
1024 \).