Atividade de Autoaprendizagem 3

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1. Pergunta 1
0/0
A soma de Riemann em uma variável consiste em dividir uma curva em n retângulos de largura delta , sendo a área da curva aproximadamente a soma da área dos retângulos. Em duas variáveis, a soma de Riemann é:, onde x e y são pontos amostrais.
Tendo em vista a definição apresentada, analise os procedimentos e ordene as etapas a seguir, de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização da soma de Riemann:
I. ( ) Definir o número de retângulos n e m e suas respectivas larguras e .
II. ( ) Fazer o produto dos termos do somatório.
III. ( ) Avaliar a função usando os pontos amostrais escolhido pela regra do ponto médio por exemplo.
IV. ( ) Fazer a soma de todos os termos do somatório.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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1. 
1, 3, 2, 4.
Resposta correta
2. 
1, 2, 4, 3.
3. 
4, 3, 2, 1.
4. 
2, 1, 3, 4.
5. 
3, 4, 1, 2.
2. Pergunta 2
0/0
Ao descrever uma função em um dado sistema de coordenadas e fazer a mudança de um sistema de coordenadas para outro, é necessário ter cautela para escrever corretamente os elementos de área ou volume, caso contrário, o resultado da integração pode ficar comprometido.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de sistemas de coordenadas, analise as afirmativas a seguir:
I. O elemento de área em coordenadas polares é dA = rdrd0 .
II. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV = rdrd0dz .
III. O elemento de volume em coordenadas esféricas é .
IV. Dada uma função f(x,y,z) em coordenadas cartesianas. Em coordenadas esféricas, ela é escrita como .
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
II e III.
2. 
II e IV.
3. 
I e II.
4. 
I, III e IV.
5. 
I, II e IV.
Resposta correta
3. Pergunta 3
0/0
Vetor e campo vetorial são conceitos importantes para o estudo de Cálculo Vetorial. Ambos auxiliam, por exemplo, no entendimento do objeto matemático chamado integral de linha
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de campos vetoriais, vetores e integral de linha, analise as afirmativas a seguir:
I. A função descreve um campo vetorial.
II.A integral de linha mensura o efeito geral de um campo ao longo de uma curva específica.
III. é uma representação de uma integral de linha.
IV. Um vetor possuí dois parâmetros básicos: sentido e módulo.
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
I, II e III.
Resposta correta
2. 
I, III e IV.
3. 
I e II.
4. Incorreta:
II, III e IV.
5. 
II e IV.
4. Pergunta 4
0/0
As integrais triplas são utilizadas para efetuar cálculos de volumes de sólidos. Porém, existem inúmeros jeitos de se mensurar numericamente esses volumes. Um exemplo disso é a mudança de coordenadas, podendo ser cilíndrica, esférica ou cartesiana. Tenha como base a seguinte integral tripla:
 .
Tendo em vista seus conhecimentos acerca de integrais triplas em diversas coordenadas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) refere-se ao diferencial de volume dV.
II. ( ) A integral será efetuada primeiro com relação a z, depois com relação a e por último com relação a .
III. ( ) A integral está escrita em coordenadas esféricas.
IV. ( ) Essa integral mensura a área de uma região no plano xy.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
V, F, V, F.
2. 
V, V, F, F.
Resposta correta
3. 
F, V, V, F.
4. 
V, F, F, V.
5. 
F, V, F, V.
5. Pergunta 5
0/0
Integrais em uma ou mais variáveis são essencialmente somas que se faz em uma função de interesse. A soma possui certas propriedades, como, por exemplo, (a,b)*c=a*c+b*c.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca das propriedades das integrais de várias variáveis, analise as afirmativas a seguir:
I. Dada as funções f(x,y) e g(x,y), temos que.
II. Sendo c uma constante
III. Se , então .
IV. Dada as funções f(x,y) e g(x,y), temos que .
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
II e III.
2. 
I e II.
Resposta correta
3. 
I, III e IV.
4. 
I, II e IV.
5. 
II e IV.
6. Pergunta 6
0/0
Muitas integrais duplas de funções de duas variáveis são definidas a partir de regiões retangulares. Porém, existem maneiras de se calcular essas integrais, mesmo que não estejam definidas em regiões retangulares, mas a região no plano xy deve ser limitada por funções. Cada tipo de limitação funcional caracteriza um certo tipo de região (Tipo I ou Tipo II).
De acordo com os seus conhecimentos sobre integrais duplas definidas em regiões do Tipo I e do Tipo II, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) As integrais definidas em regiões do Tipo I são definidas da seguinte forma  
II. ( ) As integrais definidas em regiões do Tipo II são definidas da seguinte forma .
III. ( ) As regiões do Tipo I são limitadas por funções em y.
IV. ( ) As regiões dos tipos I e II são casos específicos de regiões retangulares.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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1. 
F, V, F, V.
2. 
V, V, V, F.
Resposta correta
3. 
F, V, V, F.
4. 
F, F, V, V.
5. 
V, V, F, F.
7. Pergunta 7
0/0
O resultado de uma derivada ou integral deve independer da escolha de coordenadas para representar o espaço. Isso faz sentido pois, dado um problema, resolvê-lo por um método ou outro não o altera.
Acerca dos seus conhecimentos de coordenadas espaciais, pode-se afirmar que é conveniente utilizar coordenadas cilíndricas ou esféricas em alguns problemas porque:
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1. 
reduz uma integral tripla em um produto de três integrais.
2. 
só é possível resolver algumas integrais em uma coordenada específica.
3. Incorreta:
permite integrar em qualquer ordem as coordenadas.
4. 
a simetria do problema, sendo cilíndrica ou esférica, torna a resolução da integral mais simples nessas coordenadas.
Resposta correta
5. 
reduz o número de coordenadas e integrais.
8. Pergunta 8
0/0
As integrais podem representar diversos tipos de mensuração. Pode-se mensurar áreas, comprimentos e volumes com elas de maneira extremamente distinta. A seguinte integral dupla de uma função de duas variáveis efetua a mensuração de uma dessas medidas:
 
Considerando essas informações e seus conhecimentos acerca de integrais, afirma-se que a integral supracitada mensura o volume de uma superfície, porque:
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1. 
o integrando dessa integral é uma função de duas variáveis.
2. Incorreta:
o contradomínio dessa função faz parte dos reais R.
3. 
a função que compõe o integrando é uma função par.
4. 
o diferencial de volume dv = dxdy.
5. 
a região integrativa é uma região R retangular.
Resposta correta
9. Pergunta 9
0/0
Sabendo como cada coordenada se relaciona entre cada sistema, basta fazer a substituição na função. Por exemplo, em coordenadas polares é .
De acordo com essas informações e com os seus conhecimentos de integração, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A função  em coordenadas cilíndricas é .
II. ( ) A função em coordenadas polares é .
III. ( ) A função  em coordenadas polares é .
IV. ( ) A função  em coordenadas esféricas é .
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, F, F, V.
2. 
F, F, V, V.
3. 
V, V, F, F.
4. 
F, V, V, F.
Resposta correta
5. 
V, F, V, F.
10. Pergunta 10
0/0
O teorema de Green, em sua forma vetorial, é utilizado para simplificar a resolução de integrais de linha em caminhos fechados. O teorema relaciona a borda do caminho com a área formada pelo caminho fechado, que deve ter orientação anti-horária. O teorema de Green possui mais de uma forma de ser escrito.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Green, analise as afirmativas a seguir.
I.  é uma forma do teorema de Green.
II. é uma forma do teorema de Green, sendo
III.  é uma forma do teoremade Green.
IV.  é uma forma do teorema de Green.
Está correto apenas o que se afirma em:
Ocultar opções de resposta 
1. 
II e IV.
2. 
I e IV.
3. 
I e II.
4. 
I, II e IV.
Resposta correta
5. 
I, II e III.
1. Pergunta 1
0/0
Considere a situação problema a seguir: 
Um barco está sendo rebocado a uma velocidade de 12 nós. No instante inicial em que o cabo do reboque é largado, uma pessoa dentro do bote começa a remar, no sentido do movimento, exercendo uma força de 10 kgf. Sabendo que o peso total do conjunto homem barco é de 200 kgf, e a resistência ao movimento é 2,6 v, e v é a velocidade em m/s. 
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, calcule a velocidade do bote após 0,5 minuto (adotar g=10 m/s2).
Dica: Como temos que: Massa x aceleração = força aplicada – resistência 
Chegamos a dv/dt + 0,13v = 1/2
Avalie as afirmativas a seguir e selecione a velocidade correta do barco.
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1. Incorreta:
A velocidade do barco após 0,5 segundos é 2,5 m/s.
2. 
A velocidade do barco após 0,5 segundos é 3,2 m/s.
3. 
A velocidade do barco após 0,5 segundos é 4,2 m/s.
Resposta correta
4. 
A velocidade do barco após 0,5 segundos é 1 m/s.
5. 
A velocidade do barco após 0,5 segundos é 4,5 m/s.
2. Pergunta 2
0/0
Dentre as principais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, encontramos as equações diferenciais homogêneas, o termo homogênea procede do fato que um dos lados da equação diferencial é, nesse caso, uma função homogênea de grau qualquer. Por definição, uma função f=f(x,y) é dita homogênea de grau k se, para todo t real, tem-se que: f(tx,ty) = tk.f(x,y). Para tais equações, uma substituição de variável conveniente permite reescrever a equação diferencial como sendo uma equação de variáveis separáveis.
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações homogêneas, dada a equação abaixo, determine se a mesma é homogênea e caso seja, determine o grau da equação.
f(x, y) = x3 + y3 + 1
Assinale a alternativa correta a seguir.
Ocultar opções de resposta 
1. 
Equação homogênea grau 1.
2. 
Equação homogênea grau 2.
3. 
Equação homogênea, grau 3.
4. 
A equação não é homogênea.
Resposta correta
5. Incorreta:
Equação homogênea grau 0.
3. Pergunta 3
0/0
Considere a situação problema a seguir:
Um grupo de cientistas, estudando o crescimento populacional de um certo tipo de bactéria em relação a outro tipo de bactéria que prejudica o crescimento conjunto, chegou ao seguinte equacionamento:
(e2y – y cos(xy)) dx + (2xe2y – xcos(xy) + 2y)dy = 0
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações diferenciais exatas, obtenha a relação entre o crescimento da bactéria x e y utilizando o método de resolução de equações diferenciais exatas.
Avalie as afirmativas a seguir e selecione a relação correta.
Ocultar opções de resposta 
1. 
A relação entre x e y é sen(x) + xe2y + c = 0
2. 
A relação entre x e y é xe2x + sen(x)cos(x) + c = 0
3. 
A relação entre x e y é cos(x)sen(x) + y2 = c
4. Incorreta:
A relação entre x e y é xe2 + cos(xy) + c = 0
5. 
A relação entre x e y é xe2y – sen(xy) + y2 + c = 0 
Resposta correta
4. Pergunta 4
0/0
Considere a situação-problema a seguir:
Imagine que há um tanque de 400 litros, e que uma solução de 60 kg de sal em água enche o tanque. Despeja-se 8 litros de água por minuto e a mistura homogênea sai na mesma proporção. 
 Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, calcule a quantidade de sal existente no tanque após 1 hora.
Dica: A concentração será S/400 Kg/litro, porém, a cada 8 minutos, temos que 8S/400 = -S/50 dt é a variação na quantidade de sal que sai do tanque.
Avalie as afirmativas abaixo e selecione a quantidade correta de sal.
Ocultar opções de resposta 
1. 
A quantidade de sal é igual a 20 kg.
2. 
A quantidade de sal é igual a 26 kg.
3. Incorreta:
A quantidade de sal é igual a 24 kg.
4. 
A quantidade de sal é igual a 18 kg.
Resposta correta
5. 
A quantidade de sal é igual a 10 kg.
5. Pergunta 5
0/0
As equações diferenciais lineares estão presentes em vários ramos da engenharia. Um modelo matemático é uma representação de um sistema físico que pode ser, por diversas vezes, expresso por uma equação diferencial linear.
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações diferenciais lineares, dada a equação abaixo, encontre a solução geral utilizando o método de resolução de uma equação linear:
dy/dx + xy/(x2 + 9) = 9
Avalie as afirmativas abaixo e selecione o valor correto da solução.
Ocultar opções de resposta 
1. 
O valor de y é igual a = x2 / (c+9)
2. 
O valor de y é igual a = c / (x2 + 9)^1/2
Resposta correta
3. 
O valor de y é igual a = (c / x2)
4. Incorreta:
O valor de y é igual a = c / (x2 + 9)
5. 
O valor de y é igual a = x2 + 9/c
6. Pergunta 6
0/0
A aplicação do método das variáveis separáveis é tida como uma das mais fáceis, sua resolução consiste em colocar a derivada na forma dy/dx, por exemplo, em um lado da equação e o restante dos termos do outro lado, depois disso, deve-se colocar tudo que tem a variável x junto com o termo dx e, da mesma forma, tudo que tem y deve ser colocado juntamente com dy.
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, dada a equação diferencial dy/dx = sen(x), ache a equação de y(x).
Avalie as afirmativas a seguir e selecione a opção que contém a solução correta.
Ocultar opções de resposta 
1. 
A solução para a equação corresponde a y = cos(x) + c
2. 
A solução para a equação corresponde a y = -cos(x) + c
Resposta correta
3. 
A solução para a equação corresponde a y = -sen(x) + c
4. 
A solução para a equação corresponde a y = sen(x) + c
5. 
A solução para a equação corresponde a y = -cos(x)
7. Pergunta 7
0/0
O fator de integração é uma função na qual o produto da equação diferencial por tal função transforma o lado esquerdo da equação em uma derivada do produto de duas funções, a saber, y e o fator integrante. Essa função é utilizada na resolução de equações lineares.
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações diferenciais lineares, para a equação diferencial dada abaixo, ache o fator de integração necessário para sua resolução:
Dy/dx – 3y = 0
Avalie as afirmativas abaixo e assinale a correta:
Ocultar opções de resposta 
1. 
O fator de integração é 3x.e
2. 
O fator de integração é e3x
3. 
O fator de integração é ex
4. Incorreta:
O fator de integração é 3x
5. 
O fator de integração é e-3x
Resposta correta
8. Pergunta 8
0/0
Uma equação diferencial ordinária de primeiro grau pode ser muitas vezes simplesmente solucionada pelo método das variáveis separáveis, tal método, que é considerado a forma mais simples de se resolver uma equação diferencial, basicamente divide as variáveis independentes e dependentes com seus respectivos fatores de integração, permitindo a integração das variáveis. 
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre variáveis separáveis, calcule a equação abaixo utilizando o método das variáveis separáveis:
dy/dx = (1+e2x)
Avalie as afirmativas a seguir e marque a que representa o resultado correto da integral.
Ocultar opções de resposta 
1. 
O resultado da integral é x + ½ e2x + c
Resposta correta
2. Incorreta:
O resultado da integral é x2 + e2x + c
3. 
O resultado da integral é x + 2e2x + c
4. 
O resultado da integral é x + ex + c
5. 
O resultado da integral é x + 1/2ex + c
9. Pergunta 9
0/0
Uma equação diferencial ordinária do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy=0 é equivalente a M(x, y) + N(x, y)y’ = 0, pois y’ = dy/dx, ou seja, uma equação diferencial ordinária é exata se pode ser escrita como M(x, y) + N(x, y)y’ = 0, e teremos que M/dy = N/dx.
Considere a situação problema a seguir:
 
Um grupo de cientistas que estavam estudando o efeito de um certo gene em pessoas com câncer chegou na seguinte equação, que descreve o comportamento do gene aliado ao fato de as pessoas fumarem:
2xydx + (x2 -1)dy = 0
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações diferenciais exatas, calcule,com base na equação acima, a relação entre as variáveis x e y:
Avalie as afirmativas a seguir e selecione a alternativa com a relação correta
Ocultar opções de resposta 
1. 
A relação entre x e y é x2y2 – y = c
2. Incorreta:
A relação entre x e y é 2xy – y = c
3. 
A relação entre x e y é 2xy2 + x = c
4. 
A relação entre x e y é x2y – y = c
Resposta correta
5. 
A relação entre x e y é y2 + 2x = c
10. Pergunta 10
0/0
Para se resolver uma equação diferencial linear, há um método lógico que leva em consideração alguns passos: deve-se primeiramente escrever a equação linear na forma dy + [P(x) – f(x)]dx = 0, sendo o fator de integração igual a e^(integral de P(x)). 
Considerando o texto apresentado e o conteúdo estudado sobre equações diferenciais lineares, calcule o fator de integração da seguinte equação:
Dy/dx – 4y = x5ex
Avalie as afirmativas e assinale a correta:
Ocultar opções de resposta 
1. 
O fator de integração é igual a e-4X
Resposta correta
2. 
O fator de integração é igual a x-e
3. 
O fator de integração é igual a e-4
4. 
O fator de integração é igual a xe-4
5. Incorreta:
O fator de integração é igual a e-4x