Problemas de Matemática

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Resposta: A 
 
 área é \( \frac{\pi}{8} \) unidades quadradas. 
 Explicação: A área é dada pela integral da diferença das duas funções nos limites 
dados. 
 
71. Problema: Calcule a soma dos termos da série harmônica \( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} 
+ \frac{1}{16} + \ldots + \frac{1}{100} \). 
 Resposta: A soma é aproximadamente \( 1.63498 \). 
 Explicação: A série harmônica é a soma dos inversos dos quadrados dos números 
naturais. 
 
72. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = x^2y \). 
 Resposta: A solução geral é \( y = Ce^{\frac{x^3}{3}} \), onde \( C \) é a constante de 
integração. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial separável. 
 
73. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{1}{\cos(x)} + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Esta é a integral indefinida da função \( \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \). 
 
74. Problema: Encontre a derivada da função \( f(x) = \ln(\sec(x)) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \tan(x) \). 
 Explicação: Usando a regra do quociente e a derivada da função trigonométrica 
secante. 
 
75. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \cos^2(x) \). 
 Resposta: \( y = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C \), onde \( C \) é a constante de 
integração. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial separável. 
 
76. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é 1.