Problemas de Cálculo e Álgebra

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90. Problema: Encontre a derivada da função \( f(x) = \ln(\sec(x) + \tan(x)) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{\sec(x)\tan(x) + \sec(x)}{\sec(x) + \tan(x)} \). 
 Explicação: Usando a regra do quociente e a derivada da função trigonométrica 
secante. 
 
91. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = x^2 - y^2 \). 
 Resposta: \( y = \frac{1}{2}e^{2x} - \frac{1}{2}e^{-2x} + Ce^x \), onde \( C \) é a constante 
de integração. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial separável. 
 
92. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\arctan(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite é 1. 
 Explicação: Utilizando as propriedades do limite e da função arcotangente. 
 
93. Problema: Encontre os pontos críticos da função \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \). 
 Resposta: O ponto crítico ocorre em \( x = \frac{1}{3} \). 
 Explicação: Os pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe. 
 
94. Problema: Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \) e \( y = x^2 
\) de \( x = 0 \) a \( x = 1 \). 
 Resposta: A área é \( \frac{1}{6}(3\sqrt{3} - 1) \) unidades quadradas. 
 Explicação: A área é dada pela integral da diferença das duas funções nos limites 
dados. 
 
95. Problema: Calcule a soma dos termos da série geométrica \( 3 + 9 + 27 + 81 + \ldots + 
19683 \). 
 Resposta: A soma é \( 29524 \). 
 Explicação: Uma série geométrica é somada usando a fórmula \( \frac{a}{1 - r} \), onde \( 
a \) é o primeiro termo e \( r \) é a razão. 
 
96. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y^3 \). 
 Resposta: A solução geral é \( y = \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{C - x}} \), onde \( C \) é a constante 
de integração.