Problemas de Matemática

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97. Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos(x)} \). 
 Resposta: \( y = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
Explicação: Integre ambos os lados em relação a \( x \). 
 
98. Determine a soma dos termos de uma série aritmética infinita com \( a_1 = 7 \) e \( a_5 
= 29 \). 
 Resposta: \( S_{\infty} = \frac{a_1 + a_5}{2} = \frac{7 + 29}{2} = 18 \). Explicação: Use a 
fórmula da soma dos termos de uma série aritmética infinita. 
 
99. Encontre a derivada da função \( f(x) = \ln(\sec(x)) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \tan(x) \). Explicação: Use a regra da cadeia e a derivada de \( \ln(x) \). 
 
100. Calcule a integral definida de \( \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx \). 
 Resposta: \( \left[ -\cos(x) \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos(\frac{\pi}{2}) - (-
\cos(\frac{\pi}{4})) = 0 - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Explicação: Aplique a regra 
fundamental do cálculo. 
 
Espero que essas questões tenham sido úteis e desafiadoras! 
Claro, aqui estão 100 problemas de matemática do ensino superior, cada um com sua 
resposta e explicação: 
 
1. **Problema:** Calcule a integral indefinida de \( \int (3x^2 + 2x + 1) \, dx \). 
 **Resposta:** \( x^3 + x^2 + x + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 **Explicação:** Aplicamos a regra da potência para integrar termo a termo. 
 
2. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 2x \). 
 **Resposta:** \( y = x^2 + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 **Explicação:** Integramos ambos os lados da equação diferencial em relação a \( dx \) 
para encontrar \( y \). 
 
3. **Problema:** Determine os pontos de inflexão da função \( f(x) = x^3 - 3x \). 
 **Resposta:** O ponto de inflexão ocorre em \( x = \sqrt{3} \) e \( x = -\sqrt{3} \). 
 **Explicação:** Encontramos os pontos de inflexão onde a concavidade da curva muda.