Problemas de Matemática

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 **Resposta:** \( x = C_1e^{3t} + C_2e^{-t} \) e \( y = C_1e^{3t} - 2C_2e^{-t} \), onde \( C_1 
\) e \( C_2 \) são constantes. 
 **Explicação:** Resolvemos as equações diferenciais separadamente e combinamos 
as soluções. 
 
38. **Problema:** Determine o conjunto de convergência da série \( \sum_{n=0}^{\infty} 
\frac{(-1)^n}{n+2}x^n \). 
 **Resposta:** O conjunto de convergência é \( -1 < x \leq 1 \). 
 **Explicação:** Utilizamos o teste da razão ou o teste da raiz para encontrar o intervalo 
de convergência. 
 
39. **Problema:** Resolva a equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = x^2e^{2x} \). 
 **Resposta:** Uma solução particular é \( y_p = \frac{1}{4}x^2e^{2x} \). 
 **Explicação:** Usamos o método dos coeficientes a determinar. 
 
40. **Problema:** Determine a derivada de segunda ordem da função \( f(x) = \cos(2x)e^x 
\). 
 **Resposta:** \( f''(x) = (4\cos(2x) - 12\sin(2x))e^x \). 
 **Explicação:** Aplicamos a regra do produto duas vezes para encontrar a segunda 
derivada. 
 
41. **Problema:** Calcule a integral tripla de \( \iiint (x + y + z) \, dV \) sobre o cubo 
delimitado pelos planos \( x = 0 \), \( x = 1 \), \( y = 0 \), \( y = 1 \), \( z = 0 \) e \( z = 1 \). 
 **Resposta:** A integral é \( \frac{3}{2} \). 
 **Explicação:** Calculamos a integral sobre cada dimensão e multiplicamos os 
resultados. 
 
42. **Problema:** Determine a solução particular da equação diferencial \( y'' - 2y' + y = 
4xe^x \). 
 **Resposta:** Uma solução particular é \( y_p = (2x^2 - 2x)e^x \). 
 **Explicação:** Usamos o método dos coeficientes a determinar.