Problemas de Cálculo Avançado

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27. Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais: 
 \[ \frac{dx}{dt} = x + y \] 
 \[ \frac{dy}{dt} = x - y \] 
 Resposta: \( x(t) = C_1e^{2t} + C_2e^{-t} \), \( y(t) = C_1e^{2t} - C_2e^{-t} \). 
 
28. Determine a integral \( \int_{1}^{3} \frac{1}{x^2} \, dx \). 
 Resposta: \( \frac{2}{3} \). 
 
29. Encontre a equação da reta tangente à curva \( y = \sqrt{x} \) no ponto (4, 2). 
 Resposta: \( y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{2} \). 
 
30. Calcule a soma dos termos da série \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} \). 
 Resposta: \( \ln(2) \). 
 
31. Resolva a integral \( \int \frac{x}{\sqrt{4x^2 - 1}} \, dx \). 
 Resposta: \( \sqrt{4x^2 - 1} + C \). 
 
32. Determine a derivada direcional da função \( f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 \) no ponto (1, 2, 
-1) na direção do vetor \( \mathbf{v} = \langle 1, 1, 1 \rangle \). 
 Resposta: \( \frac{6}{\sqrt{3}} \). 
 
33. Encontre a solução geral da equação diferencial \( y' + 2y = e^{-x} \). 
 Resposta: \( y(x) = Ce^{-2x} + \frac{1}{3}e^{-x} \). 
 
34. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada por \( y = x^2 \) e 
\( y = 4x - x^2 \) em torno do eixo \( x \). 
 Resposta: \( \frac{256\pi}{15} \). 
 
35. Determine a inversa da função \( f(x) = \frac{2x + 3}{x - 4} \). 
 Resposta: \( f^{-1}(x) = \frac{4x + 3}{x - 2} \).