Problemas de Cálculo Matemático

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18. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \ln(x^2) \). 
 Resposta: Usando a regra da cadeia, a derivada é \( \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x} \). 
 
19. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = y^2 \) com condição inicial \( 
y(0) = 1 \). 
 Resposta: Integrando ambos os lados, obtemos \( -\frac{1}{y} = x + C \). Usando a 
condição inicial, encontramos \( C = -1 \), então a solução é \( y = \frac{1}{1 - x} \). 
 
20. Problema: Calcule a soma dos termos de uma série geométrica finita com primeiro 
termo 5, razão 2 e 4 termos. 
 Resposta: A soma é dada por \( \ 
 
frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \), onde \( a \) é o primeiro termo, \( r \) é a razão e \( n \) é o número de 
termos. Substituindo, temos \( \frac{5(1 - 2^4)}{1 - 2} = 155 \). 
 
21. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = e^x \) e o eixo \( x \) 
de 0 a 1. 
 Resposta: A área é \( \int_{0}^{1} e^x \, dx \), que é igual a \( e - 1 \). 
 
22. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 2x - 3y \). 
 Resposta: A solução geral é \( y = Ce^{-3x} + \frac{2x}{3} - \frac{1}{3} \), onde \( C \) é uma 
constante arbitrária. 
 
23. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \). 
 Resposta: Usando a regra de L'Hôpital, o limite é \( \lim_{x \to 0} \frac{3\cos(3x)}{1} = 3 \). 
 
24. Problema: Determine a inversa da função \( f(x) = e^x \). 
 Resposta: A inversa de \( e^x \) é \( \ln(x) \). 
 
25. Problema: Resolva a equação \( \ln(x) = 2 \). 
 Resposta: Tomando o exponencial dos dois lados, temos \( x = e^2 \). 
 
26. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int e^{2x} \, dx \).