Cálculos Matemáticos Básicos

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Explicação: Para resolver a integral definida, você pode aplicar a fórmula da integral \( 
\int_a^b f(x) \, dx \) e, em seguida, substituir os limites de integração. 
 
2. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \). 
 Resposta: A derivada de \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \) é \( f'(x) = \cos(x) - \sin(x) \). 
 Explicação: Para encontrar a derivada de uma função, aplique a regra da derivada para 
cada termo da função e, em seguida, combine os resultados. 
 
3. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + y = 0 \). 
 Resposta: A solução da equação diferencial \( y' + y = 0 \) é \( y(x) = Ce^{-x} \), onde \( C \) 
é uma constante. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral é 
encontrada utilizando o fator integrante \( e^{\int 1 \, dx} \). 
 
4. Problema: Determine a matriz inversa de \( \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} 
\). 
 Resposta: A matriz inversa de \( \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \) é \( 
\begin{bmatrix} 3/5 & -1/5 \\ -1/5 & 2/5 \end{bmatrix} \). 
 Explicação: Para encontrar a matriz inversa, você pode usar o método da matriz adjunta 
ou o método da matriz inversa. 
 
5. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \). 
 Resposta: O limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) é 1. 
 Explicação: Este é um limite fundamental que pode ser resolvido utilizando a regra de 
L'Hôpital ou através da expansão da série de Taylor para \( \sin(x) \). 
 
6. Problema: Encontre a solução para o sistema de equações lineares: 
 \[ 2x + 3y = 5 \] 
 \[ 4x - 2y = 10 \] 
 Resposta: A solução para o sistema de equações lineares é \( x = 2 \) e \( y = 1 \). 
 Explicação: Você pode resolver esse sistema usando métodos como substituição, 
eliminação ou matriz aumentada. 
 
7. Problema: Calcule a derivada segunda de \( f(x) = e^x \).