Problemas de Cálculo Matemático

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33. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = e^{-x} \) e o eixo \( x 
\) entre \( x = 0 \) e \( x = \infty \). 
 Resposta: A área é 1. 
 Explicação: Calculamos a integral definida da função e aplicamos o limite superior de 
integração. 
 
34. Problema: Calcule \( \int \cos^2(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C \), onde \( C \) é a 
constante de integração. 
 Explicação: Usamos a identidade trigonométrica \( \cos^2(x) = \frac{1}{2}(1 + \cos(2x)) \) 
e integramos. 
 
35. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 Resposta: A derivada é \( \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 Explicação: Aplicamos a regra da cadeia para encontrar a derivada da função 
logarítmica composta. 
 
36. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} + y = 3x \). 
 Resposta: A solução é \( y = 3x - 1 + Ce^{-x} \), onde \( C \) é a constante de integração. 
 Explicação: Usamos o método de integração por fator integrante para resolver a 
equação diferencial. 
 
37. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \tan(x) \) e o eixo \( x 
\) entre \( x = 0 \) e \( x = \frac{\pi}{4} \). 
 Resposta: A área é \( \ln(\sqrt{2}) \). 
 Explicação: Calculamos a integral definida da função e aplicamos os limites de 
integração. 
 
38. Problema: Calcule \( \int \frac{1}{x^2 + 4x + 3} \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( -\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 3} + C \), onde \( C \) é a 
constante de integração. 
 Explicação: Usamos a técnica de decomposição de frações parciais para integrar a 
função.