Séries, Inversa e Integral

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**Resposta e Explicação:** 
 Podemos reescrever \(\frac{1}{n(n+1)}\) como \(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\). Então, a série 
se torna telescópica: 
 \[ 
 \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 
\frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots 
 \] 
 Todas as parcelas se cancelam, exceto o primeiro termo \(1\). Portanto, a soma da série 
é \(1\). 
 
5. Encontre a inversa da função \(f(x) = \ln(x + 2)\). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 Para encontrar a inversa, trocamos \(x\) e \(y\) e resolvemos para \(y\): 
 \[ 
 x = \ln(y + 2) \implies e^x = y + 2 \implies y = e^x - 2. 
 \] 
 Portanto, a inversa de \(f(x)\) é \(f^{-1}(x) = e^x - 2\). 
 
6. Calcule a integral imprópria \(\int_0^\infty e^{-x} \, dx\). 
 
 **Resposta e Explicação:** 
 Essa é uma integral imprópria com limite superior infinito. Podemos resolver usando o 
limite \(b \to \infty\): 
 \[ 
 \int_0^\infty e^{-x} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_0^b e^{-x} \, dx = \lim_{b \to \infty} \left[-
e^{-x}\right]_0^b = \lim_{b \to \infty} (-e^{-b} + e^0). 
 \] 
 Como \(\lim_{b \to \infty} e^{-b} = 0\), temos que a integral converge para \(1\). 
 
7. Determine o valor de \(k\) para que a matriz \(\begin{bmatrix} 1 & k \\ 2 & 3 
\end{bmatrix}\) seja inversível.