Avaliação On-Line 3 (AOL 3) - Questionário Cálculo Integral

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1. Pergunta 1
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As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo Cálculo. É por meio delas que se tem uma mensuração mais precisa de áreas, volumes e comprimentos. Identificar as propriedades das integrais definidas é essencial para a sua manipulação.
De acordo com seu conhecimento acerca das propriedades das integrais definidas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) 
II. ( ) 
III. ( ) 
IV. ( ) 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
F, F, V, F.
2. 
V, F, V, V.
3. 
V, V, F, F.
4. 
V, V, V, F.
Resposta correta
5. 
V, V, F, V.
2. Pergunta 2
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No cálculo de integrais definidas de funções, após fazer a integral indefinida da função, é necessário substituir os limites do intervalo na fórmula da primitiva e realizar um cálculo. E isso significa calcular a área entre a curva da função e o eixo x, de forma a atribuir valores positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre integração de funções polinomiais, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A primitiva da função f(x) = 2x + 1 é F(x) = x(x + 1) + C, e a integral definida no intervalo [1,2] vale 4.
Porque:
II. A integral de f(x) num intervalo [a,b] qualquer equivale à área definida pelo eixo x, pelas retas y = a, y = b e pela curva dessa função, e esse valor equivale a F(b) – F(a).
A seguir, assinale a alternativa correta.
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1. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
2. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
3. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
4. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
Resposta correta
5. 
As asserções I e II são proposições falsas.
3. Pergunta 3
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O estudo das funções exponenciais e logarítmicas e suas propriedades têm fundamental importância para o Cálculo, pois essas funções descrevem uma série de fenômenos observados nas ciências naturais.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre o significado da derivada como limite e seu uso em problemas da reta tangente e de velocidade instantânea, analise as afirmativas a seguir:
I. A integral de qualquer função exponencial é a própria função.
II. Diferentemente da derivada, a integral não pode ser calculada por meio de limites.
III.A integral de 4e^(2x) é igual a 2e^(2x).
IV.Os gráficos de f(x) = e^x e de g(x) = ln(x) são simétricos em relação à reta y = x.
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
II e IV.
2. 
II e III.
3. 
II, III e IV.
Resposta correta
4. 
I, e IV.
5. Incorreta: 
I, II e III.
4. Pergunta 4
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Existem inúmeros meios de se tentar mensurar uma área sob uma curva. Uma aproximação válida é dada pela igualdade a seguir, que faz essa mensuração por meio de retângulos.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca dessa representação, analise as afirmativas a seguir:
I. ∆x refere-se a largura de cada retângulo.
II. O n tendendo ao infinito indica um crescente número de retângulos.
III. A multiplicação f(Xk)* ∆x equivale a área de um retângulo.
IV. Esse método mensura com exatidão a área sob a curva.
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
III e IV.
2. 
II e IV.
3. 
I, II e IV.
4. 
I, II e III.
Resposta correta
5. 
I e II.
5. Pergunta 5
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Conseguir identificar integrais, sendo elas definidas ou não, é fundamental nos estudos de Cálculo pelas limitações teóricas que cada uma impõe. Em uma situação aplicada, a integral definida funciona como uma ferramenta de mensuração de área para uma determinada curva, já a integral indefinida consegue identificar uma família de soluções para uma determinada situação.
Com base no seu conhecimento acerca dessas integrais, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s):
I. ( )  é uma integral indefinida.
II. ( )  é uma integral definida.
III. ( )  é uma integral definida.
IV. ( )  é uma integral definida.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
V, F, V, V.
Resposta correta
2. 
V, V, V, F.
3. 
V, F, F, F.
4. 
V, V, F, F.
5. 
F, F, V, V.
6. Pergunta 6
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Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e o eixo x, de forma a atribuir valores positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário. Entretanto, não podemos tomar toda função como integrável em um intervalo [a,b], pois, antes de calcular a integral definida, precisamos analisar a continuidade da função. 
Considerando essas informações, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. É possível realizar o cálculo da integral da função f(x) = (x²-9)/(x+3), cujo conjunto domínio é D = [-6,0].
Porque:
II. A função pode ser simplificada se realizado o produto notável f(x) = (x-3)(x+3)/(x+3), de forma que f(x) = x-3, sendo então uma função definida em todo o intervalo [-6,0] e, integrando, temos a primitiva F(x) = x²/2 – 3x + C e, calculando a integral definida, temos F(0) – F(-6) = 0 – 0 + C – (18 + 18 + C) = -36.
A seguir, assinale a alternativa correta.
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1. 
As asserções I e II são proposições falsas.
2. Incorreta: 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
3. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
4. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma justificativa correta da I. 
5. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
Resposta correta
7. Pergunta 7
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As integrais de funções possuem inúmeros significados dentro da física, sendo que nosso primeiro contato com esses conceitos nessa área do conhecimento ocorre no estudo de movimento de corpos, trabalho de forças, volumes, pressões etc. 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A primitiva de f(x) = sen(x) é F(x) = cos(x) + C.
II. ( ) A integral de uma função sempre é calculável em um intervalo, pois, diferentemente da derivada, é possível calcular uma área que seja um número real para qualquer função, mesmo que seja descontínua no ponto.
III. ( ) A primitiva de g(x) = cos(x) é G(x) = sen(x).
IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = 2cos(x) é igual a 0.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
F, F, V, F.
2. 
V, V, F, F.
3. 
V, F, F, V.
Resposta correta
4. 
F, V, F, V.
5. 
V, F, F, V.
8. Pergunta 8
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Funções exponenciais e logarítmicas têm comportamentos peculiares quando comparadas, já que a potência e o logaritmo são operações inversas, de forma que, quando aplicamos um expoente a uma base, calculamos o resultado por meio de uma multiplicação, enquanto, quando aplicamos o logaritmo de uma determinada base a um logaritmando, o resultado é o expoente a que se eleva essa base para chegarmos ao logaritmando.
Dessa forma, considerando as funções f(x) = e^x e g(x) = ln(x) e também seus conhecimentos sobre as derivadas e integrais desses tipos de funções, é correto afirmar que:
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1. 
Ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais.
2. 
Para x < 0, a taxa de variação de ambas as funções é negativa.
3. 
Ambas as funções não possuem taxa de variação em x = 0.
4. 
No intervalo 0 < x < 1, a integral de f(x) é positiva e a de g(x) é negativa.
Resposta correta
5. 
No intervalo 0 < x < 1, a integral definida de ambas as funções é positiva.
9. Pergunta 9
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As funções trigonométricas, ou aquelas chamadas de funções circulares, são definidas a partir do círculo trigonométrico.Elas possuem um caráter periódico e suas variáveis e integrais estão relacionadas entre si.
Com base no seu conhecimento acerca das integrais das funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A integral do seno relaciona-se com o cosseno.
II. ( ) A integral da tangente relaciona-se com a secante.
III. ( ) A derivada primeira e a integral do seno são iguais.
IV. ( ) Ao integrar duas vezes a função seno, obtém-se –sen(x).
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
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1. 
V, F, F, V.
2. 
V, F, V, F.
3. 
V, V, F, V.
Resposta correta
4. 
F, F, V, V.
5. 
F, V, F, F.
10. Pergunta 10
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As funções exponenciais e logarítmicas estão ligadas, uma é inversa da outra. Apesar de serem inversas, o logaritmo natural está presente na integral de uma função exponencial qualquer. A relação de ambos se dá da seguinte forma:
Utilizando seus conhecimentos sobre as integrais logarítmicas e exponenciais, analise as afirmativas a seguir:
I. Ao calcular  por essa relação, obtém-se 
II. O a pode assumir qualquer valor real.
III. Ao calcular  por essa relação, obtém-se 
IV.Ao calcular  por essa relação, obtém-se 
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. Incorreta: 
III e IV.
2. 
I, III e IV.
Resposta correta
3. 
I, II e III.
4. 
II e IV. 
5. 
I, II e IV.