Problemas e Soluções Matemáticas

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- **Resposta:** A soma dos coeficientes é dada pela substituição de \( x = 1 \) na 
expansão binomial. 
 
15. **Problema:** Determine a solução geral da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} + 2y = 
e^x \). 
 - **Resposta:** A solução geral é \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3}e^x \), onde \( C \) é a 
constante de integração. 
 
16. **Problema:** Encontre a área da região limitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\cos(x) \) no intervalo \( [0, \pi] \). 
 - **Resposta:** A área é dada pela integral de \( |\sin(x) - \cos(x)| \) no intervalo \( [0, \pi] 
\). 
 
17. **Problema:** Resolva a equação \( \tan(x) = 1 \) para \( 0 \leq x \leq 2\pi \). 
 - **Resposta:** As soluções são \( x = \frac{\pi}{4} \) e \( x = \frac{5\pi}{4} \). 
 
18. **Problema:** Calcule a derivada de \( f(x) = e^{2x} \cdot \cos(x) \). 
 - ** 
 
Resposta:** A derivada é \( f'(x) = 2e^{2x} \cdot \cos(x) - e^{2x} \cdot \sin(x) \). 
 
19. **Problema:** Encontre a matriz inversa de \( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 
\end{pmatrix} \). 
 - **Resposta:** A matriz inversa é \( \frac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 
\end{pmatrix} \). 
 
20. **Problema:** Determine a solução da equação diferencial \( \frac{dy}{dx} + y = 3e^x 
\). 
 - **Resposta:** A solução é \( y = 3e^x - 1 \), onde \( C = -1 \). 
 
21. **Problema:** Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{1}{x} \, dx \). 
 - **Resposta:** A integral é \( \ln|x| + C \).