Problemas e Soluções Matemáticas

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**Resposta**: As soluções são \( x = 2 \) e \( x = -2 \). Explicação: Resolvemos a equação 
quadrática através da fatoração. 
 
4. **Problema**: Encontre a matriz inversa de \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 
\end{bmatrix} \). 
 **Resposta**: A matriz inversa de \( A \) é \( A^{-1} = \frac{1}{-2}(4 \quad -2 \\ -3 \quad 1) 
\). Explicação: Utilizamos a fórmula para encontrar a matriz inversa. 
 
5. **Problema**: Calcule \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \). 
 **Resposta**: O limite é \( 4 \). Explicação: Simplificamos a expressão e substituímos \( 
x \) por \( 2 \). 
 
6. **Problema**: Determine o valor de \( \frac{d}{dx}(x^3 \cdot \sin(x)) \). 
 **Resposta**: A derivada é \( 3x^2 \cdot \sin(x) + x^3 \cdot \cos(x) \). Explicação: 
Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia. 
 
7. **Problema**: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = 2x \). 
 **Resposta**: A solução é \( y = x^2 + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
Explicação: Integrando ambos os lados da equação. 
 
8. **Problema**: Calcule \( \int_0^1 x^2\,dx \). 
 **Resposta**: A integral definida é \( \frac{1}{3} \). Explicação: Aplicamos a fórmula da 
integral definida. 
 
9. **Problema**: Encontre a derivada parcial de \( f(x, y) = x^2y + \sin(xy) \) em relação a \( 
x \). 
 **Resposta**: A derivada parcial é \( \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + y\cos(xy) \). 
Explicação: Derivamos em relação a \( x \) mantendo \( y \) constante. 
 
10. **Problema**: Resolva a equação \( e^x = 10 \). 
 **Resposta**: A solução é \( x = \ln(10) \). Explicação: Aplicamos o logaritmo natural em 
ambos os lados. 
 
11. **Problema**: Calcule o produto vetorial entre \( \mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle \) 
e \( \mathbf{v} = \langle 4, 5, 6 \rangle \).