Problemas de Cálculo Matemático

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34. **Problema**: Resolva a equação diferencial \( y' + y = 2e^{-x} \). 
 **Resposta**: A solução é \( y = 2 - e^{-x} \). Explicação: Utilizamos o método do fator 
integrante para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem. 
 
35. **Problema**: Calcule a área da região delimitada pela curva \( y = \sqrt{x} \) e o eixo \( 
x \) no intervalo \( [0, 4] \). 
 **Resposta**: A área é \( \frac{8}{3} \). Explicação: Aplicamos a fórmula da área sob 
uma curva. 
 
36. **Problema**: Determine a solução da equação \( \sin(x) = \frac{1}{2} \) no intervalo \( 
[0, 2\pi] \). 
 **Resposta**: As soluções são \( x = \frac{\pi}{6} \) e \( x = \frac{5\pi}{6} \). Explicação: 
Encontramos 
 
 os valores onde \( \sin(x) \) é igual a \( \frac{1}{2} \) dentro do intervalo dado. 
 
37. **Problema**: Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(3x^4) \). 
 **Resposta**: A derivada é \( f'(x) = \frac{12}{x} \). Explicação: Aplicamos a regra da 
potência do logaritmo. 
 
38. **Problema**: Resolva a integral definida \( \int_1^2 e^x\,dx \). 
 **Resposta**: A integral definida é \( e^2 - e \). Explicação: Aplicamos a fórmula da 
integral definida. 
 
39. **Problema**: Determine a solução para a equação \( e^x - 5 = 0 \). 
 **Resposta**: A solução é \( x = \ln(5) \). Explicação: Aplicamos o logaritmo natural em 
ambos os lados. 
 
40. **Problema**: Calcule o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x} \). 
 **Resposta**: O limite é \( 0 \). Explicação: Aplicamos a definição de limite 
trigonométrico. 
 
41. **Problema**: Encontre a derivada parcial de \( f(x, y) = \cos(xy) \) em relação a \( x \). 
 **Resposta**: A derivada parcial é \( \frac{\partial f}{\partial x} = -y\sin(xy) \). Explicação: 
Derivamos em relação a \( x \) mantendo \( y \) constante.