Exericico fixação-127

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Resposta: O comprimento da curva é \( e - 1 \). 
 Explicação: Utilizamos a fórmula do comprimento de arco para calcular o comprimento 
da curva. 
 
14. Problema: Calcule o gradiente da função \( f(x, y) = x^2 + 3y^2 \) no ponto \( (1, 2) \). 
 Resposta: \( \nabla f(1, 2) = (2, 12) \). 
 Explicação: Calculamos as derivadas parciais e avaliamos no ponto dado. 
 
15. Problema: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \sin(x) \) e o eixo \( x 
\) entre \( x = 0 \) e \( x = \pi \). 
 Resposta: A área é \( 2 \) unidades de área. 
 Explicação: Calculamos a área da região entre a curva e o eixo \( x \) integrando a função 
\( \sin(x) \) entre \( 0 \) e \( \pi \). 
 
16. Problema: Encontre a solução para a equação diferencial \( y'' - 5y' + 6y = e^x \). 
 Resposta: \( y = (C_ 
 
1 + C_2x)e^x + \frac{1}{6}e^x \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes. 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial homogênea associada e aplicamos o 
método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular. 
 
17. Problema: Calcule a integral dupla \( \iint_R xy \, dA \), onde \( R \) é a região delimitada 
pelo retângulo com vértices \( (0,0) \), \( (2,0) \), \( (2,3) \) e \( (0,3) \). 
 Resposta: A integral dupla é \( 9 \). 
 Explicação: Calculamos a integral dupla sobre a região \( R \) utilizando coordenadas 
retangulares. 
 
18. Problema: Determine o ponto de máximo e o valor máximo da função \( f(x) = x^3 - 
6x^2 + 9x + 1 \) no intervalo \( [0, 4] \). 
 Resposta: O ponto de máximo é \( (3, 10) \) e o valor máximo é \( 10 \). 
 Explicação: Encontramos os pontos críticos da função e utilizamos o teste da segunda 
derivada para determinar o ponto de máximo. 
 
19. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + y = \cos(x) \).