Exericico fixação-135

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60. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' + y = \frac{1}{\cos(x)} \). 
 Resposta: \( y = e^{-x} \left( C + \int \frac{1}{\cos(x)} e^x \, dx \right) \), onde \( C \) é uma 
constante. 
 Explicação: Utilizamos o método do fator integrante para resolver a equação diferencial 
linear. 
 
61. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 4y = e^{2x} \). 
 Resposta: \( y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x} - \frac{1}{12}e^{2x} \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) 
são constantes. 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial homogênea associada e, em seguida, 
encontramos uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar. 
 
62. Problema: Calcule a integral \( \int_0^{\pi} \cos^2(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( \pi/2 \). 
 Explicação: Utilizamos identidades trigonométricas para simplificar a integral e, em 
seguida, avaliamos a integral definida. 
 
63. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y = \sin(2x) \). 
 Resposta: \( y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) - \frac{1}{20}\cos(2x) - \frac{1}{10}\sin(2x) \), 
onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes. 
 Explicação: Resolvemos a equação diferencial homogênea associada e, em seguida, 
encontramos uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar. 
 
64. Problema: Calcule a integral \( \iint_R (x^2 + y^2) \, dA \), onde \( R \) é a região 
delimitada pelo retângulo com vértices \( (0,0) \), \( (1,0) \), \( (1,2) \) e \( (0,2) \). 
 Resposta: A integral é \( 7/3 \). 
 Explicação: Utilizamos coordenadas retangulares para avaliar a integral dupla sobre a 
região \( R \). 
 
65. Problema: Determine o intervalo de convergência da série de potências \( 
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n} \). 
 Resposta: O intervalo de convergência é \( -1 \leq x \leq 1 \). 
 Explicação: Utilizamos o teste da razão para determinar o intervalo de convergência. 
 
66. Problema: Resolva a equação diferencial \( y' - 3xy = 0 \).