Problemas de Cálculo e Álgebra

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Explicação: Encontre a segunda derivada e determine os intervalos onde é positiva ou 
negativa para determinar a concavidade. Os pontos de inflexão ocorrem onde a 
concavidade muda. 
 
49. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = x^3 \) 
no intervalo \( [0, 1] \). 
 Resposta: A área é \( \frac{1}{12} \) unidades quadradas. 
 Explicação: Use a integração definida para encontrar a área entre as curvas no intervalo 
dado. 
 
50. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \ln(x) \) no ponto onde 
\( x = e \). 
 Resposta: A equação da tangente é \( y = x - 1 \). 
 Explicação: Use a derivada para encontrar a inclinação da tangente e a equação ponto-
inclinação. 
 
51. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \) com a condição 
inicial \( y(1) = 1 \). 
 Resposta: A solução é \( y = x \ln(x) \). 
 Explicação: Separe as variáveis e integre para resolver a equação diferencial, em 
seguida, use a condição inicial para encontrar a constante de integração. 
 
52. Problema: Calcule a integral indefinida \( \int \frac{1}{x^2 + 2x + 1} \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( -\frac{1}{x + 1} + C \), onde \( C \) é uma constante. 
 Explicação: Complete o quadrado no denominador e use a fórmula da integral de \( 
\frac{1}{u} \). 
 
53. Problema: Determine o raio de convergência da série de potências \( 
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2 + 1} x^n \). 
 Resposta: O raio de convergência é \( +\infty \). 
 Explicação: Use o teste da razão para encontrar o raio de convergência. 
 
54. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y' + 4y = 0 \). 
 Resposta: A solução geral é \( y = (c_1 + c_2 x) e^{-2x} \), onde \( c_1 \) e \( c_2 \) são 
constantes.