Exericico fixação-154

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Explicação: Separe as variáveis e integre para resolver a equação diferencial, em 
seguida, use a condição inicial para encontrar a constante de integração. 
 
72. Problema: Calcule a integral indefinida \( \int \frac{\cos(x)}{1 + \sin(x)} \, dx \). 
 Resposta: A integral indefinida é \( \ln|1 + \sin(x)| + C \), onde \( C \) é uma constante. 
 Explicação: Use a substituição \( u = 1 + \sin(x) \) para simplificar a integral. 
 
73. Problema: Determine o raio de convergência da série de potências \( 
\sum_{n=1}^{\infty} n x^n \). 
 Resposta: O raio de convergência é \( 1 \). 
 Explicação: Use o teste da razão para encontrar o raio de convergência. 
 
74. Problema: Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' - 3y' + 2y = 0 \). 
 Resposta: A solução geral é \( y = (c_1 e^x + c_2 e^{2x}) \), onde \( c_1 \) e \( c_2 \) são 
constantes. 
 Explicação: Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes 
constantes. 
 
75. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{\tan(3x)} \). 
 Resposta: O limite é \( \frac{2}{3} \). 
 Explicação: Use as identidades trigonométricas \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) e \( 
\tan(3x) = \frac{\sin(3x)}{\cos(3x)} \). 
 
76. Problema: Determine a área da região delimitada pelas curvas \( y = x^3 \) e \( y = 3x \) 
no intervalo \( [0, 1] \). 
 Resposta: A área é \( \frac{5}{4} \) unidades quadradas. 
 Explicação: Use a integração definida para encontrar a área entre as curvas no intervalo 
dado. 
 
77. Problema: Encontre a soma dos termos da série harmônica \( \sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{1}{n} \). 
 Resposta: A série diverge. 
 Explicação: Esta é a série harmônica, que é bem conhecida por divergir.