Cálculos Matemáticos

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Resolução: Podemos reescrever o denominador como \( (x + 2)(x + 3) \), e então a 
integral torna-se \( \int \frac{1}{(x + 2)(x + 3)} \, dx \). Após decompor em frações parciais e 
integrar, obtemos \( \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3} + C \). 
 
76. Problema: Determine o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 3x - 1}{3x^3 - 2x^2 + 4} \). 
 Resolução: Dividindo todos os termos por \( x^3 \), o limite se reduz a \( \lim_{x \to \infty} 
\frac{2 + \frac{3}{x^2} - \frac{1}{x^3}}{3 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^3}} \). Assim, o limite é \( 
\frac{2}{3} \). 
 
77. Problema: Encontre a área da região delimitada pela curva \( y = \ln(x) \) e pelo eixo \( x 
\) de \( x = 1 \) a \( x = e \). 
 Resolução: A área é dada pela integral definida \( \int_{1}^{e} \ln(x) \, dx \), que é igual a \( 
e - 1 \). 
 
78. Problema: Determine a equação da reta tangente à curva \( y = \cos(x) \) no ponto \( 
(\frac{\pi}{2}, 0) \). 
 Resolução: Calculando a derivada da função em \( x = \frac{\pi}{2} \), que é \( y' = -
\sin(\frac{\pi}{2}) = -1 \), a equação da reta tangente é \( y = -x \). 
 
79. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \). 
 Resolução: Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. A 
solução geral é \( y = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes 
arbitrarias. 
 
80. Problema: Encontre a derivada parcial de \( f(x, y) = x^2y + \ln(y) \) em relação a \( x \). 
 Resolução: A derivada parcial de \( f(x, y) \) em relação a \( x \) é \( \frac{\partial f}{\partial 
x} = 2xy \). 
 
81. Problema: Calcule a integral definida \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \, dx \). 
 Resolução: Fazendo a substituição \( u = \tan(x) \), a integral torna-se \( \int_{0}^{1} 
\frac{1}{u} \, du \), que diverge. 
 
82. Problema: Determine o ponto de mínimo global da função \( f(x) = -x^3 + 2x^2 + 6x - 5 
\).