Problemas de Cálculo e Álgebra

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84. Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + 2y' + y = 0 \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-x} \). 
 
85. Calcule o valor de \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \). 
 Resposta: O limite é \( e \). 
 
86. Determine a equação da tangente à curva \( y = \ln(\cos(x)) \) no ponto \( x = 
\frac{\pi}{4} \). 
 Resposta: A equação da tangente é \( y = \frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2} + 
\ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \). 
 
87. Encontre a área da superfície gerada pela rotação da curva \( y = x^2 \) em torno do 
eixo \( x \) no intervalo \( [0, 1] \). 
 Resposta: A área é \( \frac{\pi}{10} \). 
 
88. Calcule a derivada da função \( f(x) = \ln(\sin(x)) \). 
 Resposta: A derivada é \( f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \). 
 
89. Determine os valores de \( a \) para os quais a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^a} 
\) converge. 
 Resposta: A série converge para \( a > 1 \). 
 
90. Encontre a matriz inversa de \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \). 
 Resposta: A matriz inversa é \( A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 
\end{pmatrix} \). 
 
91. Determine os valores próprios e os vetores próprios da matriz \( B = \begin{pmatrix} 3 & 
1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \). 
 Resposta: Os valores próprios são \( \lambda_1 = 4 \) com vetor próprio \( v_1 = 
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) e \( \lambda_2 = 2 \) com vetor próprio \( v_2 = 
\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \). 
 
92. Encontre a solução da equação diferencial \( y' + y = e^{-x} \) com condição inicial \( 
y(0) = 1 \).