Exericico fixação-191

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58. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int e^x \cos(x) \, dx \). 
 Resolução: Podemos usar integração por partes para resolver essa integral. A resposta é 
\( \frac{1}{2} e^x (\sin(x) + \cos(x)) + C \), onde \( C \) é uma constante de integração. 
 
59. Problema: Encontre o ponto crítico da função \( f(x) = \sqrt{x} \). 
 Resolução: A derivada de \( f(x) \) é \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \), que é zero quando \( x = 0 \). 
Portanto, \( x = 0 \) é o ponto crítico. 
 
60. Problema: Determine a solução da equação diferencial \( y'' + 5y' + 6y = 0 \). 
 Resolução: Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com 
coeficientes constantes. A solução geral é \( y(x) = (C_1e^{-2x} + C_2e^{-3x}) \), onde \( C_1 
\) e \( C_2 \) são constantes. 
 
61. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(x) \, dx \). 
 Resolução: A integral de \( \cos(x) \) é \( \sin(x) \). Substituindo os limites de integração, 
obtemos \( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin(0) = \frac{\sqrt{2}}{2} \). 
 
62. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = \tan(x) \). 
 Resolução: A derivada da função tangente é \( \sec^2(x) \). 
 
63. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \sin(x) - e^x \). 
 Resolução: Integrando ambos os lados, obtemos \( y = -\cos(x) - e^x + C \), onde \( C \) é 
uma constante de integração. 
 
64. Problema: Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sin(2x)}{x} \). 
 Resolução: Usando a definição de seno, \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \). Portanto, \( \lim_{x 
\to \infty} \frac{\sin(2x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2\sin(x)\cos(x)}{x} \). Aplicando a regra 
de L'Hôpital, obtemos \( \lim_{x \to \infty} \frac{2\cos^2(x) - 2\sin^2(x)}{1} = 0 \). 
 
65. Problema: Determine a solução da equação \( x^2 - 10x + 25 = 0 \). 
 Resolução: Esta é uma equação quadrática que pode ser fatorada como \( (x - 5)^2 = 0 
\). Portanto, a única solução é \( x = 5 \).