Teoria dos Erros e Medidas

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Aula 1
Introdução à teoria dos erros e 
medida
Introdução às medidas físicas
• O que são grandezas físicas?
• Como detectar e quantificar as mesmas?
• Qual a importância das mesmas para as 
ciências biomédicas?
Unidades básicas do SI
Representação da medida
• Algarismos significativos: todos os 
algarismos exatos mais o 1º duvidoso
Ex: 3,492 m (valor proveniente de uma 
medida)
• 3, 4 e 9 são os algarismos exatos
• 2 é o 1º duvidoso
Operações com algarismos 
significativos
• Soma - ex: 23,62 + 5,238 + 41,2
23,62X
+ 5,238
41,2XX
70,0XX 
Para a soma, deve-se ter o mesmo número de 
casas decimais. Se necessário, completar com 
X
Operações com algarismos 
significativos
• Multiplicação - ex: 4,56 x 3,7
4,56X
x 3,7XX
XXXX
XXXX
3192X 
1368X
168XXXXX => 16,8
Para a multiplicação: mesmo número de casas decimais, 
até que os dois números contenham pelo menos um 
algarismo X!
Operações com algarismos 
significativos
• Divisão - ex: 3,62 : 4,625
362X 4625
0000 0,786X
362XX
32375 
039XXX 
37000
2XXXX
27750
0XXXXX Resultado: 0,786
Critérios grosseiros
• No método dos X, o resultado da conta 
terá o mesmo número de algarismos 
significativos que o número mais pobre 
em algarismos significativos, ou este 
número +1.
• O único método exato é o dos X, mas nem 
sempre pode ser feito, devido à
complexidade e quantidade de operações
Critérios grosseiros
Para o curso, o critério para os cálculos será: 
• Adição e subtração: o resultado terá o 
mesmo n. de casas decimais que o número 
mais pobre em casas decimais
• Multiplicação e divisão: o resultado de terá o 
mesmo n. de alg. significativos que o 
número mais pobre em alg. significativos
Outro critério do curso: Os critérios para a 
expressão dos algarismos significativos de 
um número devem ser aplicados em cada 
uma das operações envolvidas em uma 
expressão!
Ex: 2,32 + 3,20 x 1,5 = 
= 2,32 + 4,8 
= 7,1
• Os critérios de operação com algarismos 
significativos são necessários para fins de 
padronização do resultado, pois senão, o 
resultado depende de como a conta foi 
feita. 
• Os critérios escolhidos para o curso são 
os que já descartam os algarismos 
desnecessários ao longo das operações e 
economizam o n. de casas durante as 
operações
Alguns cuidados!
• Quando um número é exato (proveniente 
de uma fórmula), são conhecidos todos os 
algarismos, e portanto, o número tem 
infinitos alg. Significativos
• Ex: calcular a média entre 4,2 e 4,9 
média = (4,2 + 4,9) / 2 (2 é exato!)
= 9,1 / 2 = 4,6
Alguns cuidados!
• Exemplo:medida de comprimento : 4800 m 
Quantos alg. significativos há na medida?
DEPENDE!
Os zeros à direita são importantes na medida! 
4800 m – 4 alg. sig.
4,8 x 103 m – 4,8 km – 2 alg. sig.
Notação científica
Quando necessário, a medida é transformada em 
notação com potência de 10 para facilitar a distinção
• Ex: 0,0035261 = 3,5261 x 10-3
Quando há zeros à direita, SEMPRE se expressa o 
resultado com potencia de 10 para evitar a ambiguidade
• Ex: 1450 => 1,45 x 103 ou 1,450 x 103
(incorreto) (correto)
Qual das duas formas é mais apropriada depende, se o 
último zero for um alg. sig. conhecido! 
Representação de um conjunto de 
medidas
• Exemplo: determinar o comprimento de um 
objeto
Medidas (mm): 19,1 19,2 19,4 19,2 19,3
Resultado: média aritmética
Incerteza: amostral – desvio padrão: 
N
L
L
N
i
i∑
== 1
1
)(
1
2
−
−
=
∑
=
N
LL
N
i
i
amostralσ
Representação de um conjunto de 
medidas
• Exemplo: determinar o comprimento de um 
objeto
Medidas (mm): 19,1 19,2 19,4 19,2 19,3
Resultado: média aritmética
Incerteza: amostral – desvio padrão: 
2,19
5
5
1 ==
∑
=i
iL
L
1,0
15
)(
5
1
2
=
−
−
=
∑
=i
i
amostral
LL
σ
Representação de um conjunto de 
medidas
Incerteza experimental – limite de resolução do 
instrumento
Incerteza de uma régua - 0,5 mm (metade da 
menos escala mensurável no instrumento)
Incerteza total: 5,05,01,0 222
exp
2
=+=+ erimentalamostral σσ
Representação de um conjunto de 
medidas
Regras para a expressão final de um resultado 
com desvio:
- Desvio total deve conter somente um algarismo 
significativo
- Resposta deve ter o mesmo número de casas 
decimais que o desvio
mm 5,02,19 ±=L
Propagação de desvios: operações com 
incerteza
• Soma:
• Subtração:
• Multiplicação:
• Divisão:
)()()()( yxyx yxyx σσσσ +±+=±+±
)()()()( yxyx yxyx σσσσ +±−=±−±






+±=±×±
yx
xyxyyx
yx
yx
σσ
σσ )()(






+±=±÷±
yxy
x
y
x
yx
yx
yx
σσ
σσ )()(
Propagação de desvios: operações com 
incerteza
• Exemplo: Fazendo todas as contas com x:
( )( )
( )
( )
( )
115
3,11,15
5,08,0)1,130,2(
5,01,13)8,00,2(
04,01,131,13)8,00,2(
007,003,01,131,13)8,00,2(
12,3
02,0
2,4
1,0
12,32,412,32,4)8,00,2(
)02,012,3()1,02,4()8,00,2(
±=
±=
+±+=
±+±=
×±+±=
+×±+±=












+××±×+±
=±×±+±
Propagação de desvios: operações com 
incerteza
• Exemplo: Usando a regra grosseira para todas as 
operações, e a calculadora :
( )( )
( )
( )
( )
115
2,10,15
4,08,0)130,2(
4,013)8,00,2(
03,01313)8,00,2(
006,002,01313)8,00,2(
12,3
02,0
2,4
1,0
12,32,412,32,4)8,00,2(
)02,012,3()1,02,4()8,00,2(
±=
±=
+±+=
±+±=
×±+±=
+×±+±=












+××±×+±
=±×±+±
Propagação de desvios: operações com 
incerteza
• Importante: os critérios de expressão do desvio e 
do valor principal só devem ser aplicados no final 
das operações com números contendo desvio!
• Note que, no exemplo anterior, somente aplicamos 
os critérios dos algarismos significativos durante as 
contas, e no resultado final, aplicamos os critérios 
do desvio e resultado principal.
Linearização de funções
3)( 2
+= xxf
Exemplo:
- Mudança de variável
3XY X , )(Y 2
+=⇒== xxf
Linearização de funções
b
axxf =)(Exemplo: função potência
Como achar a e b graficamente?
Mudança de variável:
BXAY B ,log A , logX , Y +=⇒==== baxy
xbayaxy
b logloglog +=⇔=
Linearização de funções
b
axxf =)(
Exemplo: dados os valores:
Fazer o gráfico de y(x):
A melhor função que ajusta os pontos é uma 
função potência:
x 1 2 3 4
y 2 8 18 32
Resolução gráfica: escala logaritmica
• Mudança de variável:
X=log x 0 0.30103 0.477121 0.60206
Y= log Y 0.30103 0.90309 1.255273 1.50515
BXAY B ,log A , logX , Y +=⇒==== baxy
Coef. angular:
2
030103.0
30103.090309.0
X
Y
B =
−
−
=
∆
∆
=
Coef. linear:
30103.0A =
2Bb == 210a A
== 22)( xxf =
• Nem sempre a tendência dos pontos é
nitidamente visível, devido a incertezas 
nos valores!
• A melhor maneira de reconhecer o melhor 
gráfico é tentar linearizar a expressão
• Para isto, é necessário ter alguma 
informação sobre a função desejada
Resolução gráfica