Problemas de Cálculo e Álgebra

Prévia do material em texto

Explicação: Utilize o método da função de Green para encontrar a solução particular. 
 
90. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sin(x) \) e \( y = 
\cos(x) \) de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{2} \). 
 Resposta: A área é \( 1 \). 
 Explicação: Calcule as interseções das curvas e integre a diferença das funções. 
 
91. Problema: Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pela 
curva \( y = x^3 \) de \( x = 0 \) a \( x = 1 \) em torno do eixo \( y \). 
 Resposta: O volume é \( \frac{\pi}{20} \). 
 Explicação: Utilize o método dos discos para encontrar o volume. 
 
92. Problema: Resolva a equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = e^x \). 
 Resposta: A solução é \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{2x} + xe^x \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes arbitrárias. 
 Explicação: Utilize o método da função de Green para encontrar a solução particular. 
 
93. Problema: Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + y = \sec(x) \). 
 Resposta: A solução geral é \( y(x) = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) + \frac{1}{2}\ln|\sec(x) + 
\tan(x)| \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são constantes arbitrárias. 
 Explicação: Utilize o método dos coeficientes a determinar para encontrar a solução 
particular. 
 
94. Problema: Calcule a soma dos termos de uma série geométrica infinita com o 
primeiro termo \( a = 1 \) e razão \( r = \frac{1}{2} \). 
 Resposta: A soma é \( 2 \). 
 Explicação: Utilize a fórmula da soma da série geométrica infinita. 
 
95. Problema: Determine os intervalos de concavidade da função \( f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 
- 4x + 1 \). 
 Resposta: A função é côncava para cima em \( (-\infty, 1) \) e côncava para baixo em \( 
(1, \infty) \). 
 Explicação: Calcule a segunda derivada e determine onde ela é positiva/negativa.