AP3 Met Est I 2022-2 - GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Métodos Estat́ısticos I – 2/2022
Código da disciplina EAD06076
GABARITO
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome e Matŕıcula, Polo • Apresente o desenvolvimento de todas as respostas.
e Data. • Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul
• É permitido o uso de calculadora, desde que não seja de ou preta para registro das resoluções nas Folhas de
telefone celular ou de qualquer outro aparelho que permita Respostas.
a conexão à internet. • As Folhas de Respostas serão o único material
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador. considerado para correção. Quaisquer anotações feitas
• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, fora deste espaço,mesmo que em folha de rascunho,
pois isto pode invialbilizar a digitalização e a correção. serão ignoradas.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 1 A 5.
Em um determinado jogo de loteria, cada apostador pode escolher no ḿınimo quatro e no máximo
seis números diferentes entre 1 e 20. Ganha o prêmio máximo quem acertar os quatro números que
serão sorteados e o preço de uma aposta ḿınima de quatro números custa $2, 50. Determine:
Questão 1 [0,5 ponto] Qual o número total de jogos simples de 4 números que pode ser feito
nesta loteria?
R:
O número total de jogos são todas as combinações posśıveis de 4 números no universo de 20 números.
Desta forma, o número total de jogos é(
20
4
)
= 20!
4!16! = 20× 19× 18× 17
4× 3× 2× 1 = 116.280
24 = 4.845.
MMétodos Estat́ısticos I AP3 2/2022
Questão 2 [0,5 ponto] Qual o número de jogos simples de 4 números há em um cartão com seis
números marcados?
R:
Quando se marca seis números, então todas as combinações de 4 números dentre estes seis pode ser
um jogo. Então, o número de jogos simples em uma cartela com seis números marcados é(
6
4
)
= 6!
4!2! = 6× 5
2× 1 = 30
2 = 15.
Questão 3 [0,5 ponto] Quanto custaria um cartão desta loteria com seis números marcados?
R:
Ao marcar seis números, estamos fazendo 15 jogos simples. Como cada jogo simples custa $2, 50,
então este cartão custa
15× $2, 50 = $37,50.
Questão 4 [0,5 ponto] Qual a probabilidade de acertar nesta loteria com um cartão simples com
quatro números marcados?
R:
Ao marcar quatro números, vocês está fazendo 1 das 4.845 posśıveis combinações. Desta forma, a
probbilidade será:
p = 1
4.845 = 0,000206.
Questão 5 [0,5 ponto] Qual a probabilidade de acertar nesta loteria com um cartão com seis
números marcados?
R:
Usando o mesmo racioćınio da questão anterior e considerando que ao marcar seis números são feitas
15 apostas, então a probabilidade será:
p = 15
4.845 = 0,003096.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 6 A 8.
Trê empresas (A,B e C) são responsáveis por todo serviço de entrega de produtos de limpeza de uma
rede de supermercado. Em geral, a empresa A cumpre o horário em 96% das entregas, a empresa
B cumpre o horário em 97% e a empresa C, em 99%. Sabendo que a empresa A é responsável por
metade das entregas e a empresa B, por dois quintos das entregas e, assumindo que um produto foi
selecionado aleatoriamente determine:
Questão 6 [0,5 ponto] Qual a probabilidade de este produto ter sido entregue pela empresa C?
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R:
Se metade das entregas são feitas pela empresa A, então a probabilidade de um produto ser entregue
pela empresa A é P (A) = 0, 5.
Usando o racioćınio análogo, a probabilidade de um produto ser entregue pela empresa B é P (B) =
2
5 = 0, 4.
Como todas as entregas são feitas por estas três empresas, então:
P (A) + P (B) + P (C) = 1
P (C) = 1− [P (A) + P (B)]
= 1− (0, 5 + 0, 4)
= 1− 0, 9
= 0,1.
Questão 7 [1,0 ponto] Qual a probabilidade de este produto ter chegado dentro do prazo?
R:
Considere o evento: P : “O produto chegou no prazo”. Então, P (P ) será obtido a partir do Teorema
da Probabilidade Total.
P (P ) = P (A)P (P |A) + P (B)P (P |B) + P (C)P (P |C)
= (0, 5× 0, 96) + (0, 4× 0, 97) + (0, 1× 0, 99)
= 0, 490 + 0, 388 + 0, 099
= 0,977.
Questão 8 [1,0 ponto] Sabendo que este produto chegou com atraso, qual a probabilidade de a
empresa B ter sido a responsável?
R:
Agora considere o evento: Q: “O produto chegou com atraso”.
Temos que P (Q) = 1 − P (P ) = 1 − 0, 977 = 0,023. A probabilidade desejada é obtida pelo
Teorema de Bayes.
P (B|Q) = P (B)P (Q|B)
P (Q) = 0, 4× 0, 03
0, 023 = 0, 012
0, 023 = 0,5217.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 9 A 11.
Uma pesquisa recente mostra que a cada 5 empresas, 2 são administradas por mulheres em uma
determinada cidade. Uma amostra aleatória com 10 empresas desta cidade foi feita. Determine:
Questão 9 [0,9 ponto] A probabilidade de pelo menos 1 destas 10 empresas ser administrada por
uma mulher.
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R:
Considere a variável aleatória X o número de empresas administradas por mulheres. Este é um
problema de Distribuição Binomial de Probabilidades, onde p = 2
5 = 0, 4 e n = 10.
P (X ≥ 1) = 1− P (X = 0)
= 1−
[(
10
0
)
(0, 4)0(0, 6)10
]
= 1− (1× 1× 0, 006047)
= 1− 0, 006047
= 0,993953.
Questão 10 [0,8 ponto] A probabilidade de exatamente 1 destas 10 empresas ser administrada por
mulher.
R:
P (X = 1) =
(
10
1
)
(0, 4)1(0, 6)9
= 10× 0, 4× 0, 010078
= 0,040311.
Questão 11 [0,8 ponto] A probabilidade de nenhuma destas 10 empresas ser administrada por
mulher.
R:
Deseja-se P (X = 0). Este cáclculo já foi feito na resolução da questão 9.
P (X = 0) = 0,006047.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 12 A 15.
Sabendo que
σ2 =
∑
nix
2
i − n
(
X
2)
n
e X =
∑
nixi
n
e sabendo que uma amostra de 40 indiv́ıduos gerou
∑
nixi = 480 e
∑
nix
2
i = 12.520, determine:
Questão 12 [0,5 ponto] A média.
R:
X = 480
40 = 12.
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Questão 13 [1,0 ponto] A variância.
R:
σ2 = 12.520− (40× 122)
40
= 12.520− (40× 144)
40
= 12.520− 5.760
40
= 6760
40
= 169.
Questão 14 [0,5 ponto] O desvio-padrão.
R:
σ =
√
169 = 13.
Questão 15 [0,5 ponto] O coeficiente de variação.
R:
CV = σ
X
= 13
12 = 1,08.
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