AP3 Met Est I 2023-2 - GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Métodos Estat́ısticos I – 2/2023
Código da disciplina EAD06076
GABARITO
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome e Matŕıcula, Polo • Apresente o desenvolvimento de todas as respostas.
e Data. • Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul
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a conexão à internet. • As Folhas de Respostas serão o único material
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador. considerado para correção. Quaisquer anotações feitas
• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, fora deste espaço,mesmo que em folha de rascunho,
pois isto pode invialbilizar a digitalização e a correção. serão ignoradas.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 1 A 7.
Considere o seguinte banco de dados:
05 05 10 10 10 10
15 15 15 15 15 15
20 20 20 20 20 20
20 20 25 25 25 25
25 25 30 30 30 30
Sabendo que σ2 = (∑nix2i −nX2)/n, e = (X−x∗)/σ e que é obrigatório mostrar todos os cálculos
e/ou mostrar todas as justificativas, determine:
Questão 1 [0,5 ponto] A moda.
R:
Métodos Estat́ısticos I AP3 2/2023
A moda é o valor de maior frequência. A maior frequência é 8 e o valor com esta frequência é 20.
Logo:
x∗ = 20
Questão 2 [0,5 ponto] A mediana.
R:
Como n = 30 é par, então a mediana é a média dos valores centrais. Logo:
Q2 =
x(15) + x(16)
2 =
20 + 20
2 = 20
Questão 3 [0,5 ponto] A média.
R:
Para o cáclulo da média, podemos fazer uma tabela de distribuição de frequências:
xi ni nixi
5 2 10
10 4 40
15 6 90
20 8 160
25 6 150
30 4 120
Total 30 570
Assim:
X =
∑
nixi
n
= 57030 = 19
Questão 4 [0,5 ponto] A variância.
R:
Uma vez conhecida fórmula que é sugerida para o cálculo da variância, conforme o enunciado, há a
necessidade de obter
∑
nix
2
i . Este valor pode ser calculado completando a tabela usada no cálculo
da média ao incluir a coluna nix
2
i .
xi ni nixi nix
2
i
5 2 10 50
10 4 40 400
15 6 90 1.350
20 8 160 3.200
25 6 150 3.750
30 4 120 3.600
Total 30 570 12.350
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Métodos Estat́ısticos I AP3 2/2023
Logo:
σ2 =
∑
nix
2
i − (n× (X
2)
n
= 12.350− (30× (19
2))
30 =
12.350− 10.830
30 =
1.520
30 = 50,7
Questão 5 [0,5 ponto] O desvio padrão.
R:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Logo:
σ =
√
50, 7 = 7,12
Questão 6 [0,5 ponto] O coeficiente de variação.
R:
CV = σ
X
= 7, 1219 = 0,37
Questão 7 [0,5 ponto] O coeficiente de assimetria.
R:
Assim como está informado no enunciado, temos:
e = X − x
∗
σ
= 19− 207, 12 =
−1
7, 12 = −0,14
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 8 A 11.
A área comercial de uma indústria de queijos é composta por 4 departamentos de vendas que atendem
as regiões Norte, Sul, Leste e Oeste. Todos os departamentos são formados por profissionais de ambos
os sexos, conforme tabela a seguir.
Sexo
Região de Atendimento
Total
Norte (N) Sul (S) Leste (L) Oeste (O)
Masculino (M) 80 60 40 50 230
Feminino (F ) 40 90 60 80 270
Total 120 150 100 130 500
Um profissional será selecionado ao acaso. Determine a probabilidade de ele:
Questão 8 [0,5 ponto] Atender a Região Norte, dado que é do sexo feminino.
R:
P (N |F ) = P (N ∩ F )
P (F ) =
40/500
270/500 =
40
270 = 0,148148.
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Questão 9 [0,5 ponto] Ser do sexo masculino e atender a Região Sul.
R:
P (M ∩ S) = 60500 = 0,12.
Questão 10 [0,5 ponto] Ser do sexo feminino, dado que atende a Região Leste.
R:
P (F |L) = P (F ∩ L)
P (L) =
60/500
100/500 =
60
100 = 0,6.
Questão 11 [0,5 ponto] Ser do sexo masculino ou atender a Região Oeste.
R:
P (M ∪O) = P (M) + P (O)− P (M ∩O) = 230500 +
130
500 −
50
500 =
310
500 = 0,62.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 12 A 14.
A produção das peças vendidas em uma determinda loja provém de três unidades produtoras: U1,
U2 e U3. Historicamente, sabe-se que das peças produzidas por estas unidades são defeituosas
respectivamente 2,3%, 3,1% e 1,2%. Se os percentuais de produção de peças desta loja pelas unidades
U1 e U3 são respectivamente 38% e 49% e uma peça desta loja deve ser sorteada aleatoriamente
para averiguação e controle.
Questão 12 [0,5 ponto] Determine a probabilidade de a peça sorteada ter sido produzida pela
unidade U2.
R: Considere os seguintes eventos:
• U1: A peça foi produzida pela unindade U1;
• U2: A peça foi produzida pela unindade U2;
• U3: A peça foi produzida pela unindade U3;
• D: A peça é defeituosa.
Estamos diante de suma situação de partição de um espaço amostral e de um evento transversal.
Isso nos leva a situação de uso dos Teoremas de Bayes e da Probabilidade Total.
Como são apenas 3 unidades e as unidades U1 e U3 são responsáveis por 38% e 49% respectivamente,
então o percentual de peças produzidas pela unidade U2 é:
100%− (38% + 49%) = 13%
Logo:
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P (U2) = 0,13
Questão 13 [1,0 ponto] Determine a probabilidade de a peça sorteada ser defeituosa.
R:
Com o resultado obtido da questão anterior, temos:
P (U1) = 0, 38 P (U2) = 0, 13 P (U3) = 0, 49
P (D|U1) = 0, 023 P (D|U2) = 0, 031 P (D|U3) = 0, 012
Aqui, usa-se o Teorema da Porbabilidade Total:
P (D) = P (U1)P (D|U1) + P (U2)P (D|U2) + P (U3)P (D|U3)
= (0, 38× 0, 023) + (0, 13× 0, 031) + (0, 49× 0, 012)
= 0, 00874 + 0, 00403 + 0, 00588
= 0,01865.
Questão 14 [1,0 ponto] Sabendo que a peça sorteada é defeituosa, qual a probabilidade de ela ter
sido produzida pela unidade U2?
R: Aqui, usa-se o Teorema de Bayes:
P (U2|D) =
P (U2)P (D|U2)
P (D)
P (U2|D) =
P (U2)P (D|U2)
P (D)
= 0, 13× 0, 0310, 01865
= 0, 004030, 01865
= 0,216086.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 15 A 18.
Uma urna contém 10 bolas idênticas, sendo 7 bolas azuis e 3 bolas brancas. Bolas serão extráıdas
dessa urna de forma aleatória e com reprosição. Determine:
Questão 15 [0,5 ponto] A probabilidade de todas as bolas serem azuis em 4 extrações.
R:
Cada extração é uma distribuição Bernoulli(p). Como são feitas várias extrações com reposição,
então são eventos independentes. Essa é uma caracteŕıstica da distribuição Binomial.
Considerando os eventos:
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• A: Número de bolas azuis extráıdas
• B: Número de bolas brancas extráıdas
Teremos:
A ∼ Binomial(n; 0, 7)
B ∼ Binomial(n; 0, 3)
Nesta questão, solicita-se:
P (A = 4) =
(
4
4
)
(0, 7)4(0, 3)0 = 1× 0, 2401× 1 = 0,2401.
Questão 16 [0,5 ponto] A probabilidade de pelo menos 1 bola ser branca em 5 extrações.
R:
P (B ≥ 1) = 1− [P (B < 1)]
= 1− P (B = 0)
= 1−
[(
5
0
)
(0, 3)0(0, 7)5
]
= 1− [1× 1× 0, 16807]
= 1− 0, 160807
= 0,83193.
Questão 17 [0,5 ponto] A probabilidade de no máximo uma bola ser azul em 4 extrações.
R:
P (A ≤ 1) = P (A = 0) + P (A = 1)
=
[(
4
0
)
(0, 7)0(0, 3)4
]
+
[(
4
1
)
(0, 7)1(0, 3)3
]
= [1× 1× 0, 0081] + [4× 0, 7× 0, 027]
= 0, 0081 + 0, 0756
= 0,0837.
Questão 18 [0,5 ponto] O número esperado de bolas brancas em 40 extrações.
R:
Trata da esperança:
E(B) = np = 40× 0, 3 = 12.
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