MI Vetores e Matrizes e princíos de limites PP

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Matemática Instrumental
Vetores e Matrizes
Raul Júdice
Raul Júdice
Raul Júdice
Grandezas
Grandezas Escalares
São definidas apenas pelo valor numérico que especifica sua magnitude.
Ex: 
• Comprimento de 5 metros
• Volume de 10 metros cúbicos
• Área de 400 metros quadrados
Raul Júdice
Grandezas
Grandezas Vetoriais
São definidas pelo valor numérico que especifica sua magnitude, direção 
e sentido.
Ex: Velocidade de um avião de 500 quilômetros por hora.
Indica o quão rápido ele se desloca, mas nada informa em qual direção 
ou sentido seu deslocamento ocorre
Raul Júdice
Grandezas
Grandezas Vetoriais
São definidas pelo valor numérico que especifica sua magnitude, direção 
e sentido.
Ex: 
Raul Júdice
Vetor
Vetores são segmentos de retas usados para representar alguma 
grandeza vetorial. O vetor possui três elementos associados:
1. Magnitude (ou intensidade ou, ainda, módulo);
2. Direção;
3. Sentido
Raul Júdice
Vetor
Notação𝑽 Se usa a letra que representa a grandeza com uma seta em cima,
sendo a seta sempre horizontal e para a direita)
Ou simplesmente v
Raul Júdice
Vetor
Representação Geométrica
1. Magnitude (ou intensidade ou, ainda, módulo);
2. Direção;
3. Sentido
Raul Júdice
Vetor
É utilizado em diversos ramos da Física e em computação gráfica, os 
vetores indicam posições de pontos. São frequentemente chamados de 
vetores posição.
Raul Júdice
Vetor
A NOTAÇÃO DE GRASSMANN PARA OS VETORES
Considere o vetor u na figura abaixo, sendo A a extremidade inicial e B a extremidade 
final do vetor.
Segundo Grassmann, o ponto B é obtido do ponto A, através de uma translação de 
vetor u. Assim, pode-se escrever:
B = A + u e, portanto, pode-se escrever também: u = B – A
Raul Júdice
Vetor
UM VETOR NO PLANO COMO UM PAR ORDENADO
Considere o vetor u, representado no plano cartesiano, conforme 
figura abaixo:
Se considerarmos que o ponto O é a origem do sistema 
de coordenadas cartesianas e, por conseguinte,
O(0, 0) e que as coordenadas de P sejam x (abcissa) e y 
(ordenada), teremos o ponto P(x, y).
u = (x, y)
Raul Júdice
Vetor
UM VETOR NO PLANO COMO UM PAR ORDENADO
Considere o vetor u, representado no plano cartesiano, conforme 
figura abaixo:
u = (x, y)
O módulo do vetor u é a distância do ponto P à 
origem O, será dado por:
𝒖 = 𝒖 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
Raul Júdice
Vetor
UM VETOR NO PLANO, EM FUNÇÃO DOS VERSORES DOS EIXOS 
COORDENADOS
O VETOR de módulo unitário é chamado de versor. Associa-se um versor a cada 
eixo, o versor i no eixo dos x e o versor j no eixo dos y.
Raul Júdice
Vetor
UM VETOR NO PLANO, EM FUNÇÃO DOS VERSORES DOS EIXOS 
COORDENADOS
O VETOR de módulo unitário é chamado de versor. Associa-se um versor a cada 
eixo, o versor i no eixo dos x e o versor j no eixo dos y.
O par ordenado de versores (i, j) constitui o que 
chamamos de BASE do plano R2.
Verifica-se que um vetor u = (x, y), pode ser escrito 
univocamente como:
u = x.i + y.j
Raul Júdice
Vetor
UM VETOR NO PLANO, EM FUNÇÃO DOS VERSORES DOS EIXOS 
COORDENADOS
Represente o vetor 𝑽 = (3,2) graficamente e calcule sua magnitude, ou seja, o 
comprimento de qualquer segmento orientado que o represente.𝑽 = x.i + y.j𝑽 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
Raul Júdice
Vetor
UM VETOR NO PLANO, EM FUNÇÃO DOS VERSORES DOS EIXOS 
COORDENADOS
Represente o vetor 𝑽 = (3,2) graficamente e calcule sua magnitude, ou seja, o 
comprimento de qualquer segmento orientado que o represente.𝑽 = x.i + y.j𝑽 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
1 2 3
2
1
Raul Júdice
Vetor
UM VETOR NO PLANO, EM FUNÇÃO DOS VERSORES DOS EIXOS 
COORDENADOS
Represente o vetor 𝑽 = (3,2) graficamente e calcule sua magnitude, ou seja, o 
comprimento de qualquer segmento orientado que o represente.𝑽 = x.i + y.j = 3i+2j𝑽 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
𝑽 = 𝟑𝟐 + 𝟐𝟐 = 3,6
1 2 3
2
1
Raul Júdice
Operações com vetores
Adição de vetores
Para somarmos os vetores 𝑨 e 𝑩 apresentados na figura abaixo, deve-se 
determinar um único vetor 𝑺 que propiciaria o mesmo efeito dos vetores 𝑨 e 𝑩 .
Regra do paralelogramo
Raul Júdice
Operações com vetores
Adição de vetores
Para somarmos os vetores A e B apresentados na figura abaixo, deve-se 
determinar um único vetor S que propiciaria o mesmo efeito dos vetores A 
e B.
Regra do paralelogramo
Raul Júdice
Operações com vetores
Adição de vetores
Exemplo 𝑺𝒆 𝑨 = (1,3) e 𝑩 = (4,3), qual será o vetor resultante 𝑺 ?
𝑨 = ( Ax , Ay ) e 𝑩 = ( Bx , By )
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Operações com vetores
Adição de vetores
Exemplo 𝑺𝒆 𝑨 = (1,3) e 𝑩 = (4,3), qual será o vetor resultante 𝑺 ?
𝑨 𝑩
Marcando os vetores 𝑨 = (1,3) e 𝑩 = (4,3) com a mesma origem𝑨 = ( Ax , Ay ) e 𝑩 = ( Bx , By )
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Operações com vetores
Adição de vetores
Exemplo 𝑺𝒆 𝑨 = (1,3) e 𝑩 = (4,3), qual será o vetor resultante 𝑺 ?
Traçar as paralelas: pela ponta do 𝑨 passa uma paralela a 𝑩 , e pela ponta do 𝑩 passa uma paralela a 𝑨
𝑨 𝑩
Raul Júdice
Operações com vetores
Adição de vetores
Exemplo 𝑺𝒆 𝑨 = (1,3) e 𝑩 = (4,3), qual será o vetor resultante 𝑺 ?
Traçar o vetor da resultante: 𝑺 deve partir da origem 
comum até o encontro das paralelas de 𝑨 e 𝑩
𝑨 𝑩𝑺
Raul Júdice
Operações com vetores
Adição de vetores
Exemplo 𝑺𝒆 𝑨 = (1,3) e 𝑩 = (4,3), qual será o vetor resultante 𝑺 ?
Traçar o vetor da resultante: 𝑺 deve partir da origem 
comum até o encontro das paralelas de 𝑨 e 𝑩
𝑨 𝑩𝑺
vetor da resultante: 𝑺 ( Ax+Bx, Ay+By )𝑨 = ( Ax , Ay ) e 𝑩 = ( Bx , By )
Raul Júdice
Operações com vetores
Adição de vetores
Exemplo 𝑺𝒆 𝑨 = (1,3) e 𝑩 = (4,3), qual será o vetor resultante 𝑺 ?
vetor da resultante: 𝑺 ( Ax+Bx, Ay+By )
𝑨 𝑩𝑺 6
5
Raul Júdice
Operações com vetores
Adição de vetores
Exemplo 𝑺𝒆 𝑨 = (1,3) e 𝑩 = (4,3), qual será o vetor resultante 𝑺 ?
vetor da resultante: 𝑺 ( 5, 6)
𝑨 𝑩𝑺 6
5
Raul Júdice
Produto por escalar
Operações com vetores
Mantem-se a direção e o sentido do resultado, deseja-se que a 
magnitude – intensidade, módulo do vetor resultado – seja um 
múltiplo da intensidade do vetor original. 𝑺 = 𝑲. 𝑨𝑺 = 𝑲. (𝑨𝒙, 𝑨𝒚)𝑺 = (𝑲. 𝑨𝒙,𝑲. 𝑨𝒚)
Raul Júdice
Produto por escalar
Operações com vetores
Exemplo: determine o vetor 𝑺 = 2. 𝑨
𝑨
𝑺 = 𝑲. (𝑨𝒙, 𝑨𝒚)𝑺 = (𝑲. 𝑨𝒙,𝑲. 𝑨𝒚)
Raul Júdice
Produto por escalar
Operações com vetores
Exemplo: determine o vetor 𝑺 = 2. 𝑨
𝑺 = 𝟐. 𝑨𝑺 = 𝟐. (𝟒, 𝟑)
𝑨
𝑺
Raul Júdice
Produto por escalar
Operações com vetores
Exemplo: determine o vetor 𝑺 = 2. 𝑨
𝑺 = 𝟐. 𝑨𝑺 = 𝟐. (𝟒, 𝟑)𝑺 = (𝟖, 𝟔)𝑺
Raul Júdice
Combinação linear
Operações entre vetores
Dados dois vetores não nulos e não paralelos 𝒖 = (x1,y1) e 𝒗 = (x2,y2), 
podemos escrever qualquer vetor do R2 como combinação linear 
desses dois vetores. Isso corresponde a dizer que qualquer que seja o 
vetor 𝑺 = (𝒙, 𝒚), existem os escalares a e b tais 𝑺 = a. 𝒖 + 𝒃. 𝒗 .
Dizemos, então, que o conjunto de vetores 𝒖 e 𝒗 e constitui uma base
do R2.
Raul Júdice
Combinação linear
Operações entre vetores
Determine os escalares a e b tais que 𝑺 = (𝟑, 𝟓) seja combinação 
linear dos vetores não paralelos 𝒖 = (1,3) e 𝒗 = (0,-4).
Raul Júdice
Combinação linear
Operações entre vetores
Determine os escalares a e b tais que 𝑺 = (𝟑, 𝟓) seja combinação 
linear dos vetores não paralelos 𝒖 = (1,3) e 𝒗 = (0,-4).𝑺 = a. 𝒖 + 𝒃. 𝒗
Raul Júdice
Combinação linear
Operações entre vetores
Determine os escalares a e b tais que 𝑺 = (𝟑, 𝟓) seja combinação 
linear dos vetores não paralelos 𝒖 = (1,3) e 𝒗 = (0,-4).𝑺 = a. 𝒖 + 𝒃. 𝒗
(3, 5)= a. (𝟏, 𝟑) + 𝒃. (𝟎,−𝟒)
Raul Júdice
Combinação linear
Operações entre vetores
Determine os escalares a e b tais que 𝑺 = (𝟑, 𝟓) seja combinação 
linear dos vetores não paralelos 𝒖 = (1,3) e 𝒗 = (0,-4).𝑺 = a. 𝒖 + 𝒃. 𝒗
(3,5)= a. (𝟏, 𝟑) + 𝒃. (𝟎,−𝟒)
(3,5)= (𝟏𝐚, 𝟑𝐚) + (𝟎. 𝒃,−𝟒. 𝒃)
Raul Júdice
Combinação linear
Operações entre vetores
Determineos escalares a e b tais que 𝑺 = (𝟑, 𝟓) seja combinação 
linear dos vetores não paralelos 𝒖 = (1,3) e 𝒗 = (0,-4).𝑺 = a. 𝒖 + 𝒃. 𝒗
(3,5)= a. (𝟏, 𝟑) + 𝒃. (𝟎,−𝟒)
(3,5)= (𝟏𝐚, 𝟑𝐚) + (𝟎. 𝒃,−𝟒. 𝒃)
(3,5)= (𝟏𝐚, 𝟑𝐚 − 𝟒. 𝒃)
Raul Júdice
Combinação linear
Operações entre vetores
Determine os escalares a e b tais que 𝑺 = (𝟑, 𝟓) seja combinação 
linear dos vetores não paralelos 𝒖 = (1,3) e 𝒗 = (0,-4).𝑺 = a. 𝒖 + 𝒃. 𝒗
(3,5)= a. (𝟏, 𝟑) + 𝒃. (𝟎,−𝟒)
(3,5)= (𝟏𝐚, 𝟑𝐚) + (𝟎. 𝒃,−𝟒. 𝒃)
(3,5)= (𝟏𝐚, 𝟑𝐚 − 𝟒. 𝒃)
3= 𝐚 5= 𝟑𝐚 − 𝟒. 𝒃
Raul Júdice
Combinação linear
Operações entre vetores
Determine os escalares a e b tais que 𝑺 = (𝟑, 𝟓) seja combinação 
linear dos vetores não paralelos 𝒖 = (1,3) e 𝒗 = (0,-4).𝑺 = a. 𝒖 + 𝒃. 𝒗
(3,5)= a. (𝟏, 𝟑) + 𝒃. (𝟎,−𝟒)
(3,5)= (𝟏𝐚, 𝟑𝐚) + (𝟎. 𝒃,−𝟒. 𝒃)
(3,5)= (𝟏𝐚, 𝟑𝐚 − 𝟒. 𝒃)
3= 𝐚
5= 𝟑𝐚 − 𝟒. 𝒃
5= 𝟑. 𝟑 − 𝟒. 𝒃
Raul Júdice
Combinação linear
Operações entre vetores
Determine os escalares a e b tais que 𝑺 = (𝟑, 𝟓) seja combinação 
linear dos vetores não paralelos 𝒖 = (1,3) e 𝒗 = (0,-4).𝑺 = a. 𝒖 + 𝒃. 𝒗
(3,5)= a. (𝟏, 𝟑) + 𝒃. (𝟎,−𝟒)
(3,5)= (𝟏𝐚, 𝟑𝐚) + (𝟎. 𝒃,−𝟒. 𝒃)
(3,5)= (𝟏𝐚, 𝟑𝐚 − 𝟒. 𝒃)
3= 𝐚
5= 𝟑𝐚 − 𝟒. 𝒃
5= 𝟑. 𝟑 − 𝟒. 𝒃
5 - 𝟗 = −𝟒. 𝒃
Raul Júdice
Combinação linear
Operações entre vetores
Determine os escalares a e b tais que 𝑺 = (𝟑, 𝟓) seja combinação 
linear dos vetores não paralelos 𝒖 = (1,3) e 𝒗 = (0,-4).𝑺 = a. 𝒖 + 𝒃. 𝒗
(3,5)= a. (𝟏, 𝟑) + 𝒃. (𝟎,−𝟒)
(3,5)= (𝟏𝐚, 𝟑𝐚) + (𝟎. 𝒃,−𝟒. 𝒃)
(3,5)= (𝟏𝐚, 𝟑𝐚 − 𝟒. 𝒃)
3= 𝐚
5= 𝟑𝐚 − 𝟒. 𝒃
5= 𝟑. 𝟑 − 𝟒. 𝒃
5 - 𝟗 = −𝟒. 𝒃
- 𝟒 = −𝟒. 𝒃
1= 𝒃
Raul Júdice
Combinação linear
Operações entre vetores
Determine os escalares a e b tais que 𝑺 = (𝟑, 𝟓) seja combinação 
linear dos vetores não paralelos 𝒖 = (1,3) e 𝒗 = (0,-4).𝑺 = a. 𝒖 + 𝒃. 𝒗
(3,5)= a. (𝟏, 𝟑) + 𝒃. (𝟎,−𝟒)
(3,5)= (𝟏𝐚, 𝟑𝐚) + (𝟎. 𝒃,−𝟒. 𝒃)
(3,5)= (𝟏𝐚, 𝟑𝐚 − 𝟒. 𝒃)
3= 𝐚
5= 𝟑𝐚 − 𝟒. 𝒃
5= 𝟑. 𝟑 − 𝟒. 𝒃
5 - 𝟗 = −𝟒. 𝒃
- 𝟒 = −𝟒. 𝒃
1= 𝒃𝑺 = 3. 𝒖 + 𝒗
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Exercício
Considere que sobre um corpo, representado no gráfico, a seguir, pelo
ponto P, atuam duas forças que são representadas pelos vetores 𝑭𝟏 = (-2,3)
e 𝑭𝟐 = (4,1). Determine, algébrica e graficamente, a força resultante𝑭𝑹 equivalente a esse sistema de forças e sua magnitude.
𝑭𝟐𝑭𝟏
Raul Júdice
Exercício
Considere que sobre um corpo, representado no gráfico, a seguir, pelo
ponto P, atuam duas forças que são representadas pelos vetores 𝑭𝟏 = (-2,3)
e 𝑭𝟐 = (4,1). Determine, algébrica e graficamente, a força resultante𝑭𝑹 equivalente a esse sistema de forças e sua magnitude.
𝑭𝟐𝑭𝟏 𝑭𝑹
Raul Júdice
Exercício
Considere que sobre um corpo, representado no gráfico, a seguir, pelo
ponto P, atuam duas forças que são representadas pelos vetores 𝑭𝟏 = (-2,3)
e 𝑭𝟐 = (4,1). Determine, algébrica e graficamente, a força resultante𝑭𝑹 equivalente a esse sistema de forças e sua magnitude.
𝑭𝟐𝑭𝟏 𝑭𝑹
𝑭𝑹 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐𝑭𝑹 = −𝟐+ 𝟒, 𝟑 + 𝟏𝑭𝑹 = 𝟐, 𝟒
Raul Júdice
Exercício
Considere que sobre um corpo, representado no gráfico, a seguir, pelo
ponto P, atuam duas forças que são representadas pelos vetores 𝑭𝟏 = (-2,3)
e 𝑭𝟐 = (4,1). Determine, algébrica e graficamente, a força resultante𝑭𝑹 equivalente a esse sistema de forças e sua magnitude.
𝑭𝟐𝑭𝟏 𝑭𝑹
𝑭𝑹 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐𝑭𝑹 = −𝟐+ 𝟒, 𝟑 + 𝟏𝑭𝑹 = 𝟐, 𝟒
𝑭𝑹 = 𝑭𝟏𝟐 + 𝑭𝟐𝟐𝑭𝑹 = 𝟐𝟐 + 𝟒𝟐 = 4,47
Raul Júdice
Exercício
Dado o vetor 𝑭 = (-1,2), determine um vetor 𝑽 na mesma direção e
sentido oposto ao de 𝑭 com metade de sua magnitude.
Raul Júdice
Exercício
Dado o vetor 𝑭 = (-1,2), determine um vetor 𝑽 na mesma direção e
sentido oposto ao de 𝑭 com metade de sua magnitude.
𝑭
Raul Júdice
Exercício
Dado o vetor 𝑭 = (-1,2), determine um vetor 𝑽 na mesma direção e
sentido oposto ao de 𝑭 com metade de sua magnitude.
𝑭
𝑽 = 𝑲. 𝑭𝑽 = 𝑲. (𝑭𝒙, 𝑭𝒚)𝑽 = (𝑲. 𝑭𝒙,𝑲. 𝑭𝒚)
Raul Júdice
Exercício
Dado o vetor 𝑭 = (-1,2), determine um vetor 𝑽 na mesma direção e
sentido oposto ao de 𝑭 com metade de sua magnitude.𝑽 = 𝑲. 𝑭
𝑽 = (−𝟏𝟐). (−𝟏, 𝟐)𝑽 = (𝟏𝟐 , −𝟏)𝑭 𝑽
Raul Júdice
Vetores no plano
Para representar um ponto qualquer no plano, muitas vezes utilizamos 
o sistema de coordenadas cartesianas (ou retangulares), como fizemos 
com os vetores. Definimos o ponto genérico P=(a,b) em que a é a sua 
projeção no eixo horizontal x e b sua projeção no eixo vertical y, como 
representado na imagem.
Raul Júdice
Vetores no plano
O ponto no centro da circunferência de centro 
no ponto O=(0,0), que é a origem do sistema de 
eixos cartesianos, e raio de medida igual a 1.
O ciclo trigonométrico é onde se representa as 
funções trigonométricas.
O ponto P sobre a circunferência de raio = 1, no 
1º quadrante, define o segmento 𝑶𝑷 que forma 
um ângulo de medida θ com o semieixo 
positivo x.
Ciclo trigonométrico
Raul Júdice
Vetores no plano
A projeção do ponto P sobre o eixo x coincide com o cosseno do 
ângulo θ e a projeção sobre o eixo y. com o seno de θ.
Raul Júdice
Vetores no plano
Pode-se representar o ponto a partir da
medida do ângulo θ, já que sabemos que
sua distância em relação à origem é 1.
A representação, portanto, do ponto P
pode ser dada por:
P = (cos θ, sen θ)
Raul Júdice
Exemplo
Sobre um corpo atuam duas forças representadas pelos vetores 𝑭𝟏 = (x,4)
e 𝑭𝟐 = (−2,−3). Sabendo que a força resultante é dada por 𝑭𝑹 = 
2(cos30∘,sen30∘), qual é o valor de x?
Raul Júdice
Exemplo
Sobre um corpo atuam duas forças representadas pelos vetores 𝑭𝟏 = (x,4)
e 𝑭𝟐 = (−2,−3). Sabendo que a força resultante é dada por 𝑭𝑹 = 
2(cos30∘,sen30∘), qual é o valor de x?𝑭𝑹 = 2(cos30∘,sen30∘)
Raul Júdice
Exemplo
Sobre um corpo atuam duas forças representadas pelos vetores 𝑭𝟏 = (x,4)
e 𝑭𝟐 = (−2,−3). Sabendo que a força resultante é dada por 𝑭𝑹 = 
2(cos30∘,sen30∘), qual é o valor de x?𝑭𝑹 = 2(cos30∘,sen30∘)𝑭𝑹 = 2( 32 , 12)
Raul Júdice
Exemplo
Sobre um corpo atuam duas forças representadas pelos vetores 𝑭𝟏 = (x,4)
e 𝑭𝟐 = (−2,−3). Sabendo que a força resultante é dada por 𝑭𝑹 = 
2(cos30∘,sen30∘), qual é o valor de x?𝑭𝑹 = 2(cos30∘,sen30∘)𝑭𝑹 = 2( 32 , 12)𝑭𝑹 = (2 32 , 2.12 )𝑭𝑹 = ( 𝟑, 1)
Raul Júdice
Exemplo
Sobre um corpo atuam duas forças representadas pelos vetores 𝑭𝟏 = (x,4)
e 𝑭𝟐 = (−2,−3). Sabendo que a força resultante é dada por 𝑭𝑹 = 
2(cos30∘,sen30∘), qual é o valor de x?𝑭𝑹 = 2(cos30∘,sen30∘)𝑭𝑹 = 2( 32 , 12)𝑭𝑹 = (2 32 , 2.12 )𝑭𝑹 = ( 3, 1)
𝑭𝑹 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐
Raul Júdice
Exemplo
Sobre um corpo atuam duas forças representadas pelos vetores 𝑭𝟏 = (x,4)
e 𝑭𝟐 = (−2,−3). Sabendo que a força resultante é dada por 𝑭𝑹 = 
2(cos30∘,sen30∘), qual é o valor de x?𝑭𝑹 = 2(cos30∘,sen30∘)𝑭𝑹 = 2( 32 , 12)𝑭𝑹 = (2 32 , 2.12 )𝑭𝑹 = ( 3, 1)
𝑭𝑹 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐
( 3, 1) = (x,4) + (−2,−3)
Raul Júdice
Exemplo
Sobre um corpo atuam duas forças representadas pelos vetores 𝑭𝟏 = (x,4)
e 𝑭𝟐 = (−2,−3). Sabendo que a força resultante é dada por 𝑭𝑹 = 
2(cos30∘,sen30∘), qual é o valor de x?𝑭𝑹 = 2(cos30∘,sen30∘)𝑭𝑹 = 2( 32 , 12)𝑭𝑹 = (2 32 , 2.12 )𝑭𝑹 = ( 3, 1)
𝑭𝑹 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐
( 3, 1) = (x,4) + (−2,−3)
( 3, 1) = (x-2 , 4-3)
Raul Júdice
Exemplo
Sobre um corpo atuam duas forças representadas pelos vetores 𝑭𝟏 = (x,4)
e 𝑭𝟐 = (−2,−3). Sabendo que a força resultante é dada por 𝑭𝑹 = 
2(cos30∘,sen30∘), qual é o valor de x?𝑭𝑹 = 2(cos30∘,sen30∘)𝑭𝑹 = 2( 32 , 12)𝑭𝑹 = (2 32 , 2.12 )𝑭𝑹 = ( 3, 1)
𝑭𝑹 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐
( 3, 1) = (x,4) + (−2,−3)
( 3, 1) = (x-2 , 4-3)3 = x – 2
x = 𝟑 + 2
Raul Júdice
Matrizes
Matriz é uma tabela composta por números que são distribuídos em
linhas e colunas.
Raul Júdice
Matrizes
São aplicadas em diversos processos de cálculos
computacionais e para resolver sistemas lineares complexos.
Colunas
Linhas
Pixel = f(x,y)
x
y
Raul Júdice
Matrizes
Produto 1º Semestre 2º SemestreA 750 1250
B 1050 560
Uma empresa vende dois tipos de produtos A e B. Na tabela abaixo
encontra-se as quantidades vendidas de cada produto por semestre do
ano de 2022.
Nas linhas estão representadas o tipo de produto e nas coluna os
semestres do ano. Podemos representar por uma matriz 2 x 2
Raul Júdice
Matrizes
Produto 1º Semestre 2º Semestre
A 750 1250
B 1050 560
Uma empresa vende dois tipos de produtos A e B. Na tabela abaixo
encontra-se as quantidades vendidas de cada produto por semestre do
ano de 2022.
Nas linhas estão representadas o tipo de produto e nas coluna os
semestres do ano. Podemos representar por uma matriz 2 x 2
𝑨 = 𝟕𝟓𝟎 𝟏𝟐𝟓𝟎𝟏𝟎𝟓𝟎 𝟓𝟔𝟎𝒐𝒖
𝑨 = 𝟕𝟓𝟎 𝟏𝟐𝟓𝟎𝟏𝟎𝟓𝟎 𝟓𝟔𝟎
Raul Júdice
Tipos de Matrizes
Matriz linha Matriz de uma linha.
Matriz coluna Matriz de uma coluna.
Matriz nula Matriz de elementos iguais a zero.
Matriz quadrada Matriz com igual número de linhas e colunas.
Raul Júdice
Tipos de Matrizes
Matriz identidade
Os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais 
elementos são iguais a zero.
Exemplo:
Matriz identidade 2 x 2
𝐴 = 1 00 1
Diagonal principal
Raul Júdice
Tipos de Matrizes
Matriz inversa
Uma matriz quadrada B é inversa da matriz quadrada A quando a 
multiplicação das duas matrizes resulta em uma matriz identidade.
Exemplo:𝐴 = 2 15 3 𝐵 = 3 −1−5 2
B é inversa da matriz quadrada A
Raul Júdice
Tipos de Matrizes
Matriz Transposta
É obtida com a troca ordenada das linhas e colunas de uma matriz 
conhecida.
Exemplo: 𝐵 = 1 35 28 1 𝐵𝑡 = 1 5 83 2 1
Bt é a matriz transposta de B.
3x2
2x3
Raul Júdice
Tipos de Matrizes
Matriz Oposta
É obtida com a troca de sinal dos elementos de uma matriz conhecida.
Exemplo:𝐴 = −1 35 28 −1
-A é a matriz oposta de A.
3x2
−𝐴 = −1 −35 −2−8 1
3x2
Raul Júdice
Operações com Matrizes
Adição ou Subtração de matrizes
Uma matriz é obtida pela soma dos elementos de matrizes do mesmo tipo.
Exemplo: 𝐴 = −1 35 28 −1
3x2 3x2
𝐵 = 4 92 −21 −3
C = A + B
Raul Júdice
Operações com Matrizes
Adição ou Subtração de matrizes
Uma matriz é obtida pela soma dos elementos de matrizes do mesmo tipo.
Exemplo: 𝐴 = −1 35 28 −1
3x2 3x2
𝐵 = 4 92 −21 −3
C = A + B𝐶 = −1 35 28 −1 + 4 92 −21 −3
Raul Júdice
Operações com Matrizes
Adição ou Subtração de matrizes
Uma matriz é obtida pela soma dos elementos de matrizes do mesmo tipo.
Exemplo: 𝐴 = −1 35 28 −1
3x2 3x2
𝐵 = 4 92 −21 −3
C = A + B𝐶 = −1 35 28 −1 + 4 92 −21 −3 = 1 + 4 3 + 9−5 + 2 2 − 28 + 1 −1 − 3
Raul Júdice
Operações com Matrizes
Adição ou Subtração de matrizes
Uma matriz é obtida pela soma dos elementos de matrizes do mesmo tipo.
Exemplo: 𝐴 = −1 35 28 −1
3x2 3x2
𝐵 = 4 92 −21 −3
C = A + B𝑪 = −1 35 28 −1 + 4 92 −21 −3 = 1 + 4 3 + 9−5 + 2 2 − 28 + 1 −1 − 3 = 𝟓 𝟏𝟐−𝟑 𝟎𝟗 −𝟒 3x2
Raul Júdice
Operações com Matrizes
Multiplicação de matrizes
A multiplicação de duas matrizes, A e B, só é possível se o número de 
colunas de A for igual ao número de linhas de B. 
Exemplo: 𝐴 = −1 35 28 −1
3x2
2x2
𝐵 = 2 51 3
C = A x B
3x2
Raul Júdice
Operações com Matrizes
Multiplicação de matrizes
A multiplicação de duas matrizes, A e B, só é possível se o número de 
colunas de A for igual ao número de linhas de B. 
Exemplo: 𝐴 = −1 35 28 −1
3x2
2x2
𝐵 = 2 51 3
C = A x B𝑪 = −1 35 28 −1 x 2 51 3 =
3x2
2x2
Raul Júdice
Operações com Matrizes
Multiplicação de matrizes
A multiplicação de duas matrizes, A e B, só é possível se o número de 
colunas de A for igual ao número de linhas de B. 
Exemplo: 𝐴 = −1 35 28 −1
3x2
2x2
𝐵 = 2 51 3
C = A x B𝑪 = −1 35 28 −1 x 2 51 3 =
3x2
2x2
Linha 1
Coluna 1 Multiplicando os elementos da linha 1 com 
os correspondentes da coluna 1 e somando 
os resultados, teremos o elemento a11 da 
matriz resultado.
Raul Júdice
Operações com Matrizes
Multiplicação de matrizes
A multiplicação de duas matrizes, A e B, só é possível se o número de 
colunas de A for igual ao número de linhas de B. 
Exemplo: 𝐴 = −1 35 28 −1
3x2
2x2
𝐵 = 2 51 3
C = A x B𝑪 = −1 35 28 −1 x 2 51 3 =
3x2
2x2
Linha 1
Coluna 2 Multiplicando os elementos da linha 1 com 
os correspondentes da coluna 2 e somando 
os resultados, teremos o elemento a12 da 
matriz resultado.
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Operações com Matrizes
Multiplicação de matrizes
A multiplicação de duas matrizes, A e B, só é possível se o número de 
colunas de A for igual ao número de linhas de B. 
Exemplo: 𝐴 = −1 35 28 −1
3x2
2x2
𝐵 = 2 51 3
C = A x B𝑪 = −1 35 28 −1 x 2 51 3 =
3x2
2x2
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟐 3x2
Raul Júdice
Operações com Matrizes
Multiplicação de matrizes
A multiplicação de duas matrizes, A e B, só é possível se o número de 
colunas de A for igual ao número de linhas de B. 
Exemplo:
3x2
2x2
C = A x B𝑪 = −1 35 28 −1 x 2 51 3 =
3x2
𝑪 = 𝟏. 𝟐 + 𝟑. 𝟏 𝟏. 𝟓 + 𝟑. 𝟑−𝟓. 𝟐 + 𝟐. 𝟏 −𝟓. 𝟓 + 𝟐. 𝟑𝟖. 𝟐 + −𝟏 . 𝟏 𝟖. 𝟓 + −𝟏 . 𝟑 =
Raul Júdice
Operações com Matrizes
Multiplicação de matrizes
A multiplicação de duas matrizes, A e B, só é possível se o número de 
colunas de A for igual ao número de linhas de B. 
Exemplo:
3x2
2x2
C = A x B𝑪 = −1 35 28 −1 x 2 51 3 =
3x2
𝑪 = 𝟏. 𝟐 + 𝟑. 𝟏 𝟏. 𝟓 + 𝟑. 𝟑−𝟓. 𝟐 + 𝟐. 𝟏 −𝟓. 𝟓 + 𝟐. 𝟑𝟖. 𝟐 + −𝟏 . 𝟏 𝟖. 𝟓 + −𝟏 . 𝟑 = 𝟓 𝟏𝟒−𝟖 −𝟏𝟗𝟏𝟓 𝟑𝟕
Raul Júdice
Relação Matrizes e Vetores
São aplicadas em diversos processos de cálculos e
computacionais e para resolver sistemas lineares complexos.
Raul Júdice
Relação Matrizes e Vetores
São aplicadas em diversos processos de cálculos e
computacionais e para resolver sistemas lineares complexos.
Um vetor 𝑽 do plano, que geralmente representamos
algebricamente pelo par ordenado (x,y), pode também ser
considerado uma matriz e, dessa forma, ser representado
tanto como matriz coluna ou matriz linha. Conforme o tipo de
cálculo em que será envolvido, ele poderá ser representado na
forma matricial como:𝑽 = 𝑥𝑦 𝑜𝑢 𝑽 = 𝑥 𝑦
Raul Júdice
Relação Matrizes e Vetores
Quando tratamos com vetores do plano, como o vetor 𝑽,
podemos multiplicá-lo por uma matriz 2x2 para obter outro
vetor. Nesse caso, dizemos que está ocorrendo uma
transformação em 𝑽. E a matriz utilizada é denominada uma
matriz de transformação.
𝑽 = 𝑥𝑦 𝑜𝑢 𝑽 = 𝑥 𝑦
Matriz de transformação
𝑽′ = 𝑇. 𝑽
Raul Júdice
Determinar o vetor transformado do vetor 𝑽 = 32 para a
matriz de transformação T=
−2 00 −2 .
Matriz de transformação
Exemplo
𝑽′ = 𝑇. 𝑽
Raul Júdice
Determinar o vetor transformado do vetor 𝑽 = 32 para a
matriz de transformação T=
2 51 3 .
Matriz de transformação
Exemplo
𝑽′ = 𝑇. 𝑽
𝑽′ = −2 00 −2 . 32
Raul Júdice
Determinar o vetor transformado do vetor 𝑽 = 32 para a
matriz de transformação T=
−2 00 −2 .
Matriz de transformação
Exemplo
𝑽′ = 𝑇. 𝑽
𝑽′ = −2 00 −2 . 32 = −2.3 + 0.20.3 + (−2). 2
Raul Júdice
Determinar o vetor transformado do vetor 𝑽 = 32 para a
matriz de transformação T=
−2 00 −2 .
Matriz de transformação
Exemplo
𝑽′ = 𝑇. 𝑽
𝑽′ = −2 00 −2 . 32 = −2.3 + 0.20.3 + (−2). 2 = −6−4
Raul Júdice
Determinar o vetor transformado do vetor 𝑽 = 32 para a
matriz de transformação T=
−2 00 −2 .
Matriz de transformação
Exemplo
𝑽′ = 𝑇. 𝑽
𝑽′ = −2 00 −2 . 32 = −2.3 + 0.20.3 + (−2). 2 = −6−4
Nesse caso, o vetor transformado tem mesma direção, sentido oposto e o 
dobro do módulo do vetor original.
Raul Júdice
Determinar o vetor transformado do vetor 𝑽 = 32 para a
matriz de transformação T=
−2 00 −2 .
Matriz de transformação
Exemplo
𝑽′ = 𝑇. 𝑽
𝑽′ = −6−4
Nesse caso, o vetor transformado 
tem mesma direção, sentido oposto e 
o dobro do módulo do vetor original.
𝑽
𝑽′
Raul Júdice
Raul Júdice
Se f(x) se aproxima de um número real L à medida que x se
aproxima de um número real a de ambos os lados, então L é o
limite de f(x) quando x se aproxima de a . Esse comportamento
é representado por:
Limite de Funções
lim f(x) = L
x → a
Raul Júdice
Em muitos casos o cálculo de limite trata-se apenas de uma
substituição da variávelpelo valor de a, obtendo assim de
forma direta o resultado.
Limite de Funções
lim f(x=a) = L
x → a
Raul Júdice
Exemplo:
Limite de Funções
lim (2x2 - 3x +4) =?
x→3
Raul Júdice
Exemplo:
Limite de Funções
lim f(x=a) = L
x → a
lim (2x2 - 3x +4) =?
x→3
Raul Júdice
Exemplo:
Limite de Funções
lim f(x=a) = L
x → a
lim (2x2 - 3x + 4) =?
x→3
lim (2(3)2 – 3.3 + 4) =
x→3
Raul Júdice
Exemplo:
Limite de Funções
lim f(x=a) = L
x → a
lim (2x2 - 3x + 4) =?
x→3
lim (2(3)2 – 3.3 + 4) = 13
x→3
Raul Júdice
Exemplo:
Limite de Funções
lim f(x=a) = L
x → a
lim (2x2 - 3x + 4) =?
x→3
lim (2(3)2 – 3.3 + 4) = 13
x→3
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟑𝟐𝒙 + 𝟏 =
Raul Júdice
Exemplo:
Limite de Funções
lim f(x=a) = L
x → a
lim (2x2 - 3x + 4) =?
x→3
lim (2(3)2 – 3.3 + 4) = 13
x→3
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟑𝟐𝒙 + 𝟏 =
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑. 𝟏𝟐 + 𝟓. 𝟏 − 𝟑𝟐. 𝟏 + 𝟏 =𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑. 𝟏𝟐 + 𝟓.𝟏 − 𝟑𝟐. 𝟏 + 𝟏 = 𝟓/𝟑
Raul Júdice
Há funções cujo limite nem sempre pode ser encontrado por
substituição direta.
Limites de funções com indeterminação do tipo
𝟎𝟎 , podemos
utilizar a fatoração das expressões algébricas com a finalidade
de cancelar a indeterminação e em seguida realizar a
substituição direta.
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 =
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝟑. 𝟏 − 𝟑𝟏𝟐 − 𝟏 = 𝟎𝟎
Se substitui x = 1 tanto o numerador como o denominador será zero
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 utilizar a fatoração das expressões algébricas 
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 utilizar a fatoração das expressões algébricas 
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑. (𝒙 − 𝟏)𝒙𝟐 − 𝟏 EvidênciaProdutos notáveis
Raul Júdice
Produtos notáveis
Raul Júdice
Produtos notáveis
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 utilizar a fatoração das expressões algébricas 
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑. (𝒙 − 𝟏)𝒙𝟐 − 𝟏
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 utilizar a fatoração das expressões algébricas 
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑. (𝒙 − 𝟏)𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝒙𝟐 − 𝟏𝟐
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 utilizar a fatoração das expressões algébricas 
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑. (𝒙 − 𝟏)𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝒙𝟐 − 𝟏𝟐(𝒙 + 𝟏). (𝒙 − 𝟏) = 𝒙𝟐 − 𝟏𝟐
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 utilizar a fatoração das expressões algébricas 
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑. (𝒙 − 𝟏)𝒙𝟐 − 𝟏 (𝒙 + 𝟏). (𝒙 − 𝟏) = 𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑. (𝒙 − 𝟏)𝒙 + 𝟏 . (𝒙 − 𝟏)
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏 utilizar a fatoração das expressões algébricas 
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑. (𝒙 − 𝟏)𝒙𝟐 − 𝟏𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑. (𝒙 − 𝟏)𝒙 + 𝟏 . (𝒙 − 𝟏)
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑. (𝒙 − 𝟏)𝒙𝟐 − 𝟏𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑. (𝒙 − 𝟏)𝒙 + 𝟏 . (𝒙 − 𝟏) 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑𝒙 + 𝟏
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑. (𝒙 − 𝟏)𝒙𝟐 − 𝟏𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑. (𝒙 − 𝟏)𝒙 + 𝟏 . (𝒙 − 𝟏) 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑𝒙 + 𝟏 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝟑𝟏 + 𝟏 = 𝟑𝟐
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑 𝒙𝟐 − 𝟗𝒙𝟐 − 𝟑𝒙
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑 𝒙𝟐 − 𝟗𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 Produtos notáveisEvidência
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑 𝒙𝟐 − 𝟗𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 𝒙 + 𝟑 . 𝒙 − 𝟑 = 𝒙𝟐 − 𝟗 = 𝒙𝟐 − 𝟑𝟐
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑 𝒙𝟐 − 𝟗𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑 𝒙 + 𝟑 . 𝒙 − 𝟑𝒙. (𝒙 − 𝟑)
𝒙 + 𝟑 . 𝒙 − 𝟑 = 𝒙𝟐 − 𝟗 = 𝒙𝟐 − 𝟑𝟐
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑 𝒙𝟐 − 𝟗𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑 𝒙 + 𝟑 . 𝒙 − 𝟑𝒙. (𝒙 − 𝟑)𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑 𝒙 + 𝟑 . 𝒙 − 𝟑𝒙. (𝒙 − 𝟑)
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑 𝒙𝟐 − 𝟗𝒙𝟐 − 𝟑𝒙
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑 𝒙 + 𝟑𝒙
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑 𝒙 + 𝟑 . 𝒙 − 𝟑𝒙. (𝒙 − 𝟑)𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑 𝒙 + 𝟑 . 𝒙 − 𝟑𝒙. (𝒙 − 𝟑)
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑 𝒙𝟐 − 𝟗𝒙𝟐 − 𝟑𝒙
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑 𝒙 + 𝟑𝒙 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑 𝟑 + 𝟑𝟑 = 𝟔𝟑 = 𝟐
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑 𝒙 + 𝟑 . 𝒙 − 𝟑𝒙. (𝒙 − 𝟑)𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟑 𝒙 + 𝟑 . 𝒙 − 𝟑𝒙. (𝒙 − 𝟑)
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔𝒙 − 𝟐
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔𝒙 − 𝟐 Divisão de polinômios 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 𝒙 − 𝟐
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔𝒙 − 𝟐 Divisão de polinômios 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 𝒙 − 𝟐𝒙
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔𝒙 − 𝟐 Divisão de polinômios 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 𝒙
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔𝒙 − 𝟐 Divisão de polinômios 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 𝒙-
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔𝒙 − 𝟐 Divisão de polinômios 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 𝒙𝟎 − 𝟑𝒙-
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔𝒙 − 𝟐 Divisão de polinômios 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 𝒙𝟎 − 𝟑𝒙 + 𝟔-
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔𝒙 − 𝟐 Divisão de polinômios 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 𝒙 − 𝟑𝟎 − 𝟑𝒙 + 𝟔-
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔𝒙 − 𝟐 Divisão de polinômios 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 𝒙 − 𝟑𝟎 − 𝟑𝒙 + 𝟔−𝟑𝒙 + 𝟔
-
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔𝒙 − 𝟐 Divisão de polinômios 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 𝒙 − 𝟑𝟎 − 𝟑𝒙 + 𝟔−𝟑𝒙 + 𝟔
-
-
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔𝒙 − 𝟐 Divisão de polinômios 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 𝒙 − 𝟑𝟎 − 𝟑𝒙 + 𝟔−𝟑𝒙 + 𝟔𝟎
-
-
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔𝒙 − 𝟐 Divisão de polinômios 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 𝒙 − 𝟑𝟎 − 𝟑𝒙 + 𝟔−𝟑𝒙 + 𝟔𝟎
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐(𝒙 − 𝟑) --
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔𝒙 − 𝟐 Divisão depolinômios 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 𝒙 − 𝟑𝟎 − 𝟑𝒙 + 𝟔−𝟑𝒙 + 𝟔𝟎
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐 𝒙 − 𝟑 = −𝟏 --
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏/𝟐𝟐𝒙𝟑 −𝒙𝟐 −𝟔𝒙 + 𝟑𝟐𝒙 − 𝟏 Divisão de polinômios
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏/𝟐𝟐𝒙𝟑 −𝒙𝟐 −𝟔𝒙 + 𝟑𝟐𝒙 − 𝟏 Divisão de polinômios 𝟐𝒙𝟑 −𝒙𝟐 −𝟔𝒙 + 𝟑 𝟐𝒙 − 𝟏
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏/𝟐𝟐𝒙𝟑 −𝒙𝟐 −𝟔𝒙 + 𝟑𝟐𝒙 − 𝟏 Divisão de polinômios 𝟐𝒙𝟑 −𝒙𝟐 −𝟔𝒙 + 𝟑 𝟐𝒙 − 𝟏𝒙𝟐
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏/𝟐𝟐𝒙𝟑 −𝒙𝟐 −𝟔𝒙 + 𝟑𝟐𝒙 − 𝟏 Divisão de polinômios 𝟐𝒙𝟑 −𝒙𝟐 −𝟔𝒙 + 𝟑 𝟐𝒙 − 𝟏𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 𝒙𝟐
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏/𝟐𝟐𝒙𝟑 −𝒙𝟐 −𝟔𝒙 + 𝟑𝟐𝒙 − 𝟏 Divisão de polinômios 𝟐𝒙𝟑 −𝒙𝟐 −𝟔𝒙 + 𝟑 𝟐𝒙 − 𝟏𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 𝒙𝟐𝟎 + 𝟎-
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏/𝟐𝟐𝒙𝟑 −𝒙𝟐 −𝟔𝒙 + 𝟑𝟐𝒙 − 𝟏 Divisão de polinômios 𝟐𝒙𝟑 −𝒙𝟐 −𝟔𝒙 + 𝟑 𝟐𝒙 − 𝟏𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 𝒙𝟐𝟎 + 𝟎 − 𝟔𝒙 + 𝟑-
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏/𝟐𝟐𝒙𝟑 −𝒙𝟐 −𝟔𝒙 + 𝟑𝟐𝒙 − 𝟏 Divisão de polinômios 𝟐𝒙𝟑 −𝒙𝟐 −𝟔𝒙 + 𝟑 𝟐𝒙 − 𝟏𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 𝒙𝟐− 𝟑𝟎 + 𝟎 − 𝟔𝒙 + 𝟑-
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏/𝟐𝟐𝒙𝟑 −𝒙𝟐 −𝟔𝒙 + 𝟑𝟐𝒙 − 𝟏 Divisão de polinômios 𝟐𝒙𝟑 −𝒙𝟐 −𝟔𝒙 + 𝟑 𝟐𝒙 − 𝟏𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 𝒙𝟐− 𝟑𝟎 + 𝟎 − 𝟔𝒙 + 𝟑−𝟔𝒙 + 𝟑
-
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏/𝟐𝟐𝒙𝟑 −𝒙𝟐 −𝟔𝒙 + 𝟑𝟐𝒙 − 𝟏 Divisão de polinômios 𝟐𝒙𝟑 −𝒙𝟐 −𝟔𝒙 + 𝟑 𝟐𝒙 − 𝟏𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 𝒙𝟐− 𝟑𝟎 + 𝟎 − 𝟔𝒙 + 𝟑−𝟔𝒙 + 𝟑𝟎 + 𝟎
-
-
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏/𝟐𝟐𝒙𝟑 −𝒙𝟐 −𝟔𝒙 + 𝟑𝟐𝒙 − 𝟏 Divisão de polinômios 𝟐𝒙𝟑 −𝒙𝟐 −𝟔𝒙 + 𝟑 𝟐𝒙 − 𝟏𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 𝒙𝟐− 𝟑𝟎 + 𝟎 − 𝟔𝒙 + 𝟑−𝟔𝒙 + 𝟑𝟎 + 𝟎
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏/𝟐 𝒙𝟐 − 𝟑 = -
-
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏/𝟐𝟐𝒙𝟑 −𝒙𝟐 −𝟔𝒙 + 𝟑𝟐𝒙 − 𝟏 Divisão de polinômios 𝟐𝒙𝟑 −𝒙𝟐 −𝟔𝒙 + 𝟑 𝟐𝒙 − 𝟏𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 𝒙𝟐− 𝟑𝟎 + 𝟎 − 𝟔𝒙 + 𝟑−𝟔𝒙 + 𝟑𝟎 + 𝟎
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏/𝟐 𝒙𝟐 − 𝟑 = −𝟏𝟏/𝟒 -
-
Raul Júdice
Exemplo indeterminação do tipo
𝟎𝟎
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏
Raul Júdice
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
Racionalizando
Esta método é utilizado quando no numerador ou denominador contém uma 
raiz. A estratégia é racionalizar o termo que contém a raiz.
.
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏
Raul Júdice
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
Racionalizando
Esta método é utilizado quando no numerador ou denominador contém uma 
raiz. A estratégia é racionalizar o termo que contém a raiz.
.
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏
Assim, deve-se multiplicar tanto o numerador quanto o 
denominador pelo termo que contem a raiz, porém com 
sinal contrário:
𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏 =?
Raul Júdice
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
Racionalizando
Esta método é utilizado quando no numerador ou denominador contém uma 
raiz. A estratégia é racionalizar o termo que contém a raiz.
.
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏
Assim, deve-se multiplicar tanto o numerador quanto o 
denominador pelo termo que contem a raiz, porém com 
sinal contrário:
𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏 = 𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏 . 𝒙 + 𝟏𝒙 + 𝟏
Raul Júdice
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
Racionalizando
Esta método é utilizado quando no numerador ou denominador contém uma 
raiz. A estratégia é racionalizar o termo que contém a raiz.
.
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏
Assim, deve-se multiplicar tanto o numerador quanto o 
denominador pelo termo que contem a raiz, porém com 
sinal contrário:
𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏 = 𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏 . 𝒙 + 𝟏𝒙 + 𝟏𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏 = (𝒙 − 𝟏). 𝒙 + 𝟏𝒙. 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 𝒙 − 𝟏. 𝟏
Raul Júdice
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
Racionalizando
Esta método é utilizado quando no numerador ou denominador contém uma 
raiz. A estratégia é racionalizar o termo que contém a raiz.
.
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏
Assim, deve-se multiplicar tanto o numerador quanto o 
denominador pelo termo que contem a raiz, porém com 
sinal contrário:
𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏 = (𝒙 − 𝟏). 𝒙 + 𝟏𝒙. 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 𝒙 − 𝟏. 𝟏𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏 = (𝒙 − 𝟏). 𝒙 + 𝟏𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 𝒙 − 𝟏
Raul Júdice
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
Racionalizando
Esta método é utilizado quando no numerador ou denominador contém uma 
raiz. A estratégia é racionalizar o termo que contém a raiz.
.
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏
Assim, deve-se multiplicar tanto o numerador quanto o 
denominador pelo termo que contem a raiz, porém com 
sinal contrário:
𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏 = (𝒙 − 𝟏). 𝒙 + 𝟏𝒙. 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 𝒙 − 𝟏. 𝟏𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏 = (𝒙 − 𝟏). 𝒙 + 𝟏𝒙 − 𝟏
Raul Júdice
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
Racionalizando
Esta método é utilizado quando no numerador ou denominador contém uma 
raiz. A estratégia é racionalizar o termo que contém a raiz.
.
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏
Assim, deve-se multiplicar tanto o numerador quanto o 
denominador pelo termo que contem a raiz, porém com 
sinal contrário:
𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏 = (𝒙 − 𝟏). 𝒙 + 𝟏𝒙. 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 𝒙 − 𝟏. 𝟏𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏 = (𝒙 − 𝟏). 𝒙 + 𝟏𝒙 − 𝟏
Raul Júdice
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
Racionalizando
Esta método é utilizado quando no numerador ou denominador contém uma 
raiz. A estratégia é racionalizar o termo que contém a raiz.
.
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏
Assim, deve-se multiplicar tanto o numerador quanto o 
denominador pelo termo que contem a raiz, porém com 
sinal contrário:
𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏 = (𝒙 − 𝟏). 𝒙 + 𝟏𝒙. 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 𝒙 − 𝟏. 𝟏𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏 = (𝒙 − 𝟏). 𝒙 + 𝟏𝒙 − 𝟏 = 𝒙 + 𝟏 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝒙 + 𝟏
Raul Júdice
Limite de Funções algébricas
com indeterminações
Racionalizando
Esta método é utilizado quando no numerador ou denominador contém uma 
raiz. A estratégia é racionalizar o termo que contém a raiz.
.
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏
Assim, deve-se multiplicar tanto o numerador quanto o 
denominador pelo termo que contem a raiz, porém com 
sinal contrário:
𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏 = (𝒙 − 𝟏). 𝒙 + 𝟏𝒙. 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏 𝒙 − 𝟏. 𝟏𝒙 − 𝟏𝒙 − 𝟏 = (𝒙 − 𝟏). 𝒙 + 𝟏𝒙 − 𝟏 = 𝒙 + 𝟏 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟏 𝒙 + 𝟏 = 𝟐
Raul Júdice
Analisa-se a existência do limite a partir dos resultados dos
limites laterais.
Limite de Laterais
lim f(x) = L
x → a+
lim f(x) = L
x → a-
Limite de lateral à esquerda Limite de lateral à direita
Raul Júdice
Analisa-se a existência do limite a partir dos resultados dos
limites laterais.
Limite de Laterais
lim f(x) = L
x → a+
lim f(x) = L
x → a-
Limite de lateral à esquerda Limite de lateral à direita
Escrevemos assim o limite de uma função f(x), 
quando x se aproxima de a pela esquerda, é L. 
Escrevemos assim o limite de uma função f(x), 
quando x se aproxima de a pela direita, é L. 
x < a x > a 
Raul Júdice
Analisa-se a existência do limite a partir dos resultados dos
limites laterais.
Limite de Laterais
lim f(x) = L
x → a+
lim f(x) = L
x → a-
Limite de lateral à esquerda Limite de lateral à direita
Escrevemos assim o limite de uma função f(x), 
quando x se aproxima de a pela esquerda, é L. 
Escrevemos assim o limite de uma função f(x), 
quando x se aproxima de a pela direita, é L. 
x < a x > a 
Se o limite de uma função f(x), quando x se aproximade a pela esquerda 
e direita, é L dizemos que o limite da função existe e é igual a L
Raul Júdice
Continuidade
Raul Júdice
Continuidade
(1,1)
Raul Júdice
Continuidade
(1,1) A função x3 é contínua no ponto, x = 1.
Raul Júdice
Continuidade
Raul Júdice
Continuidade
A função f(x) é descontínua no ponto, x = 1.
Raul Júdice
Continuidade
Raul Júdice
Continuidade
A função f(x) é descontínua no ponto, x = -2.
Raul Júdice
Raul Júdice
Uma função f(x) é contínua em determinado ponto, x = a , do
domínio se as seguintes condições são satisfeitas:
Continuidade
Raul Júdice
Uma função f(x) é contínua em determinado ponto, x = a , do
domínio se as seguintes condições são satisfeitas:
 A função é definida no ponto x = a ou seja, f(a) existe;
Continuidade
Raul Júdice
Uma função f(x) é contínua em determinado ponto, x = a , do
domínio se as seguintes condições são satisfeitas:
 A função é definida no ponto x = a ou seja, f(a) existe;
 lim f(x) existe;
x→a
Continuidade
Raul Júdice
Uma função f(x) é contínua em determinado ponto, x = a , do
domínio se as seguintes condições são satisfeitas:
 A função é definida no ponto x = a ou seja, f(a) existe;
 lim f(x) existe;
x→a
 lim f(x) = f(a).
x→a
Continuidade
Raul Júdice
Continuidade
(1,1)
Raul Júdice
Continuidade
(1,1)
A função é definida no ponto
x = a ou seja, f(a) existe;
Raul Júdice
Continuidade
(1,1)
A função é definida no ponto
x = a ou seja, f(a) existe;
F(x=1) = 1
Raul Júdice
Continuidade
(1,1)
A função é definida no ponto
x = a ou seja, f(a) existe;
F(x=1) = 1
lim f(x) existe;
x→a
Raul Júdice
Continuidade
(1,1) A função é definida no ponto
x = a ou seja, f(a) existe;
F(x=1) = 1
lim f(x) existe;
x→a
x→1
Se x tender a 1 pelo lado esquerdo
Raul Júdice
Continuidade
(1,1) A função é definida no ponto
x = a ou seja, f(a) existe;
F(x=1) = 1
lim f(x) existe;
x→a
x→1
Se x tender a 1 pelo lado esquerdo a função se aproxima de 1.
Raul Júdice
Continuidade
(1,1) A função é definida no ponto
x = a ou seja, f(a) existe;
F(x=1) = 1
lim f(x) existe;
x→a
x→1
Se x tender a 1 pelo lado direito.
Raul Júdice
Continuidade
(1,1) A função é definida no ponto
x = a ou seja, f(a) existe;
F(x=1) = 1
lim f(x) existe;
x→a
x→1
Se x tender a 1 pelo lado direito a função se aproxima de 1.
Raul Júdice
Continuidade
(1,1)
A função é definida no ponto
x = a ou seja, f(a) existe;
F(x=1) = 1
lim f(x) existe;
x→a
lim f(x=1)=1
x→1
Raul Júdice
Continuidade
(1,1)
A função é definida no ponto
x = a ou seja, f(a) existe;
F(x=1) = 1
lim f(x) existe;
x→a
lim f(x=1)=1
x→1
lim f(x) = f(a).
x→a
Raul Júdice
Continuidade
(1,1)
A função é definida no ponto
x = a ou seja, f(a) existe;
F(x=1) = 1
lim f(x) existe;
x→a
lim f(x=1)=1
x→1
lim f(x) = f(a).
x→a
lim f(x=1)= F(x=1) =1
x→1
Raul Júdice
Exemplo: 𝑓 𝑥 = ቊ 3𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 > 2−2𝑥 + 4 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 2
Continuidade
Raul Júdice
Exemplo: 𝑓 𝑥 = ቊ 3𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 > 2−2𝑥 + 4 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 2
Continuidade
Verificar se a função é definida em x = a
Raul Júdice
Exemplo: 𝑓 𝑥 = ቊ 3𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 > 2−2𝑥 + 4 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 2
Continuidade
Verificar se a função é definida em x = a𝒇 𝒙 = −𝟐𝒙 + 𝟒
Raul Júdice
Exemplo: 𝑓 𝑥 = ቊ 3𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 > 2−2𝑥 + 4 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 2
Continuidade
Verificar se a função é definida em x = a𝒇 𝒙 = −𝟐𝒙 + 𝟒𝒇 𝒙 = 𝟐 = −𝟐. 𝟐 + 𝟒 = 0
A função é definida em x = a
Raul Júdice
Exemplo: 𝑓 𝑥 = ቊ 3𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 > 2−2𝑥 + 4 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 2
Continuidade
Verificar se o limite da função existe
Raul Júdice
Exemplo: 𝑓 𝑥 = ቊ 3𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 > 2−2𝑥 + 4 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 2
Continuidade
Verificar se o limite da função existe
lim f(x) = L
x → a+
lim f(x) = L
x → a-
Limite de lateral à esquerda Limite de lateral à direita
Raul Júdice
Exemplo: 𝑓 𝑥 = ቊ 3𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 > 2−2𝑥 + 4 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 2
Continuidade
Verificar se o limite da função existe
lim (3x + 1) = 
x → 2+
lim (-2x + 4) = 
x → 2-
Limite de lateral à esquerda Limite de lateral à direita
Raul Júdice
Exemplo: 𝑓 𝑥 = ቊ 3𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 > 2−2𝑥 + 4 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 2
Continuidade
Verificar se o limite da função existe
lim (3.2 + 1) = 7
x → 2+
lim (-2.2 + 4) = 0 
x → 2-
Limite de lateral à esquerda Limite de lateral à direita
Raul Júdice
Exemplo: 𝑓 𝑥 = ቊ 3𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 > 2−2𝑥 + 4 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 2
Continuidade
Verificar se o limite da função existe
lim (3.2 + 1) = 7
x → 2+
lim (-2.2 + 4) = 0 
x → 2-
Limite de lateral à esquerda Limite de lateral à direita
Como os limites laterais da função são 
diferentes o limite da função não existe.
Raul Júdice
Exemplo: 𝑓 𝑥 = ቊ 3𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 > 2−2𝑥 + 4 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 2
Continuidade
Verificar se o limite da função existe
lim (3.2 + 1) = 7
x → 2+
lim (-2.2 + 4) = 0 
x → 2-
Limite de lateral à esquerda Limite de lateral à direita
Como os limites laterais da função são 
diferentes o limite da função não existe.
A função não é contínua em x = 2
Raul Júdice
Continuidade
Verifique se a função é contínua em x = 1. 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟏 , 𝒔𝒆 𝒙 > 𝟏𝒙 + 𝟐, 𝒔𝒆 𝒙 ≤ 𝟏
Raul Júdice
Continuidade
Verifique se a função é contínua em x = 1. 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟏 , 𝒔𝒆 𝒙 > 𝟏𝒙 + 𝟐, 𝒔𝒆 𝒙 ≤ 𝟏
Verificar se a função é definida em x = a
Raul Júdice
Continuidade
Verifique se a função é contínua em x = 1. 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟏 , 𝒔𝒆 𝒙 > 𝟏𝒙 + 𝟐, 𝒔𝒆 𝒙 ≤ 𝟏
Verificar se a função é definida em x = a𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟐𝒇 𝒙 = 𝟏 = 𝟏 + 𝟐 = 𝟑
Raul Júdice
Continuidade
Verifique se a função é contínua em x = 1. 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟏 , 𝒔𝒆 𝒙 > 𝟏𝒙 + 𝟐, 𝒔𝒆 𝒙 ≤ 𝟏
Verificar se o limite da função existe
lim (
𝒙𝟐+𝒙−𝟐𝒙−𝟏 ) = 
x → a+
lim (𝒙 + 𝟐) = 
x → a-
Limite de lateral à esquerda Limite de lateral à direita
Raul Júdice
Continuidade
Verifique se a função é contínua em x = 1. 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟏 , 𝒔𝒆 𝒙 > 𝟏𝒙 + 𝟐, 𝒔𝒆 𝒙 ≤ 𝟏
Verificar se o limite da função existe
lim (
𝒙𝟐+𝒙−𝟐𝒙−𝟏 ) = 𝟎𝟎
x → 1+
lim (1 + 2) = 3 
x → 1-
Limite de lateral à esquerda Limite de lateral à direita
Raul Júdice
Continuidade
Verifique se a função é contínua em x = 1. 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟏 , 𝒔𝒆 𝒙 > 𝟏𝒙 + 𝟐, 𝒔𝒆 𝒙 ≤ 𝟏
Verificar se o limite da função existe
lim (
𝒙+𝟐 .(𝒙−𝟏)𝒙−𝟏 ) =
x → 1+
lim (1 + 2) = 3 
x → 1-
Limite de lateral à esquerda Limite de lateral à direita
Raul Júdice
Continuidade
Verifique se a função é contínua em x = 1. 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟏 , 𝒔𝒆 𝒙 > 𝟏𝒙 + 𝟐, 𝒔𝒆 𝒙 ≤ 𝟏
Verificar se o limite da função existe
lim (
𝒙+𝟐 .(𝒙−𝟏)𝒙−𝟏 ) =3
x → 1+
lim (1 + 2) = 3 
x → 1-
Limite de lateral à esquerda Limite de lateral à direita
Raul Júdice
Continuidade
Verifique se a função é contínua em x = 1. 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟏 , 𝒔𝒆 𝒙 > 𝟏𝒙 + 𝟐, 𝒔𝒆 𝒙 ≤ 𝟏
Verificar se o limite da função existe
lim (
𝒙+𝟐 .(𝒙−𝟏)𝒙−𝟏 ) =3
x → 1+
lim (1 + 2) = 3 
x → 1-
Limite de lateral à esquerda Limite de lateral à direita
Como os limites laterais da função são iguais o limite da função existe.
Raul Júdice
Continuidade
Verifique se a função é contínua em x = 1. 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟏 , 𝒔𝒆 𝒙 > 𝟏𝒙 + 𝟐, 𝒔𝒆 𝒙 ≤ 𝟏
Verificar se lim f(x) = f(a).
x→a
Raul Júdice
Continuidade
Verifique se a função é contínua em x = 1. 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟏 , 𝒔𝒆 𝒙 > 𝟏𝒙 + 𝟐, 𝒔𝒆 𝒙 ≤ 𝟏
Verificar se lim f(x) = f(a).
x→a
A função é contínua em x = 1lim f(x) = f(a) = 3.
x→a
Raul Júdice
Exemplo:𝐥𝐢𝐦𝒙→0+𝒇 𝒙 =?
Raul Júdice
Exemplo:𝐥𝐢𝐦𝒙→0+𝒇 𝒙 =?
x > 0 
x→0
Se x tender a 0 pelo lado direito
Raul Júdice
Exemplo:𝐥𝐢𝐦𝒙→0+𝒇 𝒙 = 𝟕
x > 0 
x→0
Se x tender a 0 pelo lado direito o 
valor da função se aproxima de 7.
Raul Júdice
Exemplo:𝐥𝐢𝐦𝒙→4𝒇 𝒙 =?
Raul Júdice
Exemplo:𝐥𝐢𝐦𝒙→4𝒇 𝒙 =?
x < 4 
x > 4 lim f(x) = L
x → a+
lim f(x) = L
x → a-
Limite de lateral à esquerda
Limite de lateral à direita
Raul Júdice
Exemplo:𝐥𝐢𝐦𝒙→4𝒇 𝒙 =?
x < 4 lim f(x) = L
x → a-
Limite de lateral à esquerda
𝐥𝐢𝐦𝒙→4−𝒇 𝒙 =?Raul Júdice
Exemplo:𝐥𝐢𝐦𝒙→4𝒇 𝒙 =?
x < 4 lim f(x) = L
x → a-
Limite de lateral à esquerda
𝐥𝐢𝐦𝒙→4−𝒇 𝒙 = −∞
Raul Júdice
Exemplo:𝐥𝐢𝐦𝒙→4𝒇 𝒙 =?
x > 4 lim f(x) = L
x → a+
Limite de lateral à direita
𝐥𝐢𝐦𝒙→4+𝒇 𝒙 =?
Raul Júdice
Exemplo:𝐥𝐢𝐦𝒙→4𝒇 𝒙 =?
x > 4 lim f(x) = L
x → a+
Limite de lateral à direita
𝐥𝐢𝐦𝒙→4+𝒇 𝒙 = +∞
Raul Júdice
Exemplo:𝐥𝐢𝐦𝒙→4𝒇 𝒙 =?
𝐥𝐢𝐦𝒙→4−𝒇 𝒙 = −∞
𝐥𝐢𝐦𝒙→4+𝒇 𝒙 = +∞
Divergentes
Raul Júdice
Exemplo:𝐥𝐢𝐦𝒙→4𝒇 𝒙 = ∄
𝐥𝐢𝐦𝒙→4−𝒇 𝒙 = −∞
𝐥𝐢𝐦𝒙→4+𝒇 𝒙 = +∞
Divergentes