Unidade 03 - Linha Elástica e Flechas Alunos_R1

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LINHA ELÁSTICA – FLECHAS EM 
VIGAS
Teoria das Estruturas
Arquitetura e Urbanismo
MULTIVIX Vila Velha
UNIDADE 03
▪ Denomina-se flecha, ou deslocamento vertical da viga (v), o deslocamento perpendicular a
seu eixo, provocado pela aplicação de uma carga.
▪ A curva na qual se transforma o eixo da viga, inicialmente reto, recebe o nome de linha
elástica.
▪ As especificações para o dimensionamento das vigas impõem limites para as flechas, tal como
ocorre com as tensões. As vigas nas edificações devem respeitar flechas máximas.
DEFLEXÕES NAS VIGAS
▪ A flecha varia com o tipo de carregamento e as condições de apoio.
DEFLEXÕES NAS VIGAS
▪ A flecha máxima e a sua posição para as vigas mais comuns é mostrada a seguir:
DEFLEXÕES NAS VIGAS
▪ Seja a viga biapoiada com comprimento L, seção com momento de inércia I e material com
módulo de Elasticidade E, submetida a um carregamento uniformemente distribuído (q).
VIGA BIAPOIADA COM CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO
q (kN/m)
𝑉𝑚𝑎𝑥 = 
𝑞 .𝐿
2
𝑀𝑚𝑎𝑥 = 
𝑞 .𝐿²
8
𝜈𝑚𝑎𝑥 = 
5.𝑞.𝐿4
384.𝐸.𝐼
Esforço Cortante Máximo 
Momento Máximo
Flecha Máxima 
q: carregamento
L: comprimento da viga
E: Módulo de Elasticidade
I: Momento de Inércia
▪ Seja a viga engastada com comprimento L, seção com momento de inércia I e material com
módulo de Elasticidade E, submetida a um carregamento uniformemente distribuído (q).
VIGA BIAPOIADA COM CARREGAMENTO UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDO
q (kN/m)
𝑉𝑚𝑎𝑥 = 𝑞. 𝐿
𝑀𝑚𝑎𝑥 = 
𝑞.𝐿²
2
𝜈𝑚𝑎𝑥 = 
𝑞.𝐿4
8.𝐸.𝐼
Esforço Cortante Máximo 
Momento Máximo
Flecha Máxima 
q: carregamento
L: comprimento da viga
E: Módulo de Elasticidade
I: Momento de Inércia
FLECHAS LIMITES EM ESTRUTURAS DE CONCRETO – NBR 6118
• Para vigas em balanço, o limite será a metade (para vigas em piso, L/700, por exemplo)
FLECHAS LIMITES EM ESTRUTURAS DE AÇO – NBR 8800 
▪ 01) Obter o deslocamento no ponto A e desenhar a linha elástica
EXERCÍCIOS
Dados: 
L = 5 m
q = 50 kN
E = 205 GPa = 20500 kN/cm²
I = 77000 cm4
50 kN
B
5m
Viga engastada com carga 
pontual
?
𝜈𝑚𝑎𝑥 = 
𝑞𝐿3
3𝐸𝐼
▪ 01) Obter o deslocamento no ponto A e desenhar a linha elástica
EXERCÍCIOS
Dados: 
L = 5 m = 500 cm
q = 50 kN
E = 205 GPa = 205000 MPa = 20500 kN/cm²
I = 77000 cm4
50 kN
B
5m
?
𝜈𝑚𝑎𝑥 = 
𝑞𝐿3
3𝐸𝐼
=
50 ∗500³
3∗20500∗77000
= 1,32 𝑐𝑚
02) Seja a viga apresentada abaixo, de seção transversal I e módulo de elasticidade E = 205 GPa.
Pede-se:
▪ a) Flecha máxima e desenho da linha elástica.
EXERCÍCIOS
Dados:
Provar que Ix = 26927,08 𝑐𝑚4
6 m
20KN
25cm
1
5
cm 5cm
5
5
Seção transversal 𝜈𝑚𝑎𝑥 = 
𝑞𝐿3
48𝐸𝐼
02) Seja a viga apresentada abaixo, de seção transversal I e módulo de elasticidade E = 205 GPa.
Pede-se:
▪ a) Flecha máxima e desenho da linha elástica.
EXERCÍCIOS
Dados:
Ix = 26927,08 𝑐𝑚4
6 m
20 kN
𝜈𝑚𝑎𝑥 = 
𝑞𝐿3
48𝐸𝐼
=
20 ∗ 6003
48 ∗ 20500 ∗ 26927,08
= 0,16 𝑐𝑚 = 1,60 𝑚𝑚
03) Uma viga em balanço de seção retangular de (10 x 40) cm e suporta uma carga pontual de 15
kN de acordo com o esquema abaixo. E = 205 Gpa (20500 kN/cm²):
EXERCÍCIOS
a) Determinar as Tensões Normais máximas.
b) Determinar a Tensão Cisalhante máxima
c) Determine o deslocamento máximo da linha elástica.
15 kN
A B
5m 
?
Seção transversal
10 cm
4
0
 c
m
04) Uma viga com seção transversal I e carga distribuída de acordo com o esquema abaixo:
EXERCÍCIOS
a) Determinar as Tensões Normais máximas.
b) Determinar a Tensão Cisalhante máxima.
c) Determine o deslocamento da linha elástica.
4m
25 kN/m 25cm
1
5
cm 5cm
5
5
Seção transversal
Ix = 26927,08 𝑐𝑚4
E = 205 Gpa (20500 kN/cm²):
𝑉𝑚𝑎𝑥 = 
𝑞 .𝐿
2
= 25 ∗
4
2
= 50 kN
𝑀𝑚𝑎𝑥 = 
𝑞 .𝐿²
8
= 25 ∗
42
8
= 50 𝑘𝑁.𝑚 = 5000 𝑘𝑁. 𝑐𝑚
𝜈𝑚𝑎𝑥 = 
5.𝑞.𝐿4
384.𝐸.𝐼
=
5∗0,25
kN
cm
∗ 400 𝑐𝑚 4
384∗20500
𝑘𝑁
𝑐𝑚2∗26907,08 𝑐𝑚
4
= 0,15 𝑐𝑚
Aqui a diferença é que o 
metro está no denominador
50 𝑘𝑁.𝑚 ∗
100𝑐𝑚
1𝑚
= 5000 𝑘𝑁. 𝑐𝑚
Tática de conversão pois 1 m tem 100 cm
25
𝑘𝑁
𝑚
∗
1𝑚
100𝑐𝑚
= 0,25 𝑘𝑁/𝑐𝑚
𝜎 = 
𝑀 ∗ 𝑦
𝐼𝑥
= 
5000 𝑘𝑁.𝑐𝑚 ∗ 12,5 𝑐𝑚
26907,08 𝑐𝑚4 = 2,32 𝑘𝑁/𝑐𝑚²
𝜏𝑚á𝑥= 
𝑉
𝐴𝑎𝑙𝑚𝑎
=
50 𝑘𝑁
5𝑐𝑚∗25𝑐𝑚
= 0,4 𝑘𝑁/𝑐𝑚²