DAIMARA COM CAPA

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UNIVERSIDADE LÚRIO
 UNILÚRIO BUSINESS SCHOOL
Nampula
Tema:
Distribuição Binomial 
 
Discente: 
Aristides Aurélio Aonaquina Choveque
Daimara Abel Vicente
Edmilson Pastola
Maryneiza de Sousa Ussene Alito
Docente: Alexandre Tocoloa, MA 
CFA, 1º Semestre, 2º ano
 
Nampula, Abril 2024
Introdução 
O presente trabalho de grupo submetido a cadeira de métodos quantitativos de negócio 1, que ira explanar sobre a distribuição binomial, esta que representa um tipo de distribuição de probabilidades discretas de número de sucessos e uma determinada sequência. 
Para a elaboração do presente trabalho foram tidas em conta diferentes métodos científicos, tendo em vista colher resultados mais favoráveis, o destaque vai para os diferentes autores conceituados da área que abordaram sobre o assunto nas suas obras bibliográficas, que serviram de suporte para a elaboração do trabalho.
O trabalho apresenta como ponto de partida, uma breve descrição dos conceitos básicos, sua classificação, importância e por fim a resolução dos exercícios para melhor a abordagem sobre o tema.
O trabalho tem como principal objectivo, elucidar sobre as probabilidades, mais concretamente no que concerne a distribuição binominal.
Definição 
Segundo Degroot (2012) “A distribuição binomial verifica as seguintes condições:1. A experiência tem um nº fixo de provas, n.2. As provas são independentes. (O resultado de uma prova não afecta probabilidade de ocorrência das restantes.) 3. Cada prova origina um de dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso.4. A probabilidade de sucesso, denotada por p, é constante em cada prova”.
Contudo, entende-se por distribuição binomial como sendo aquela em que os termos da expansão do binómio (ou multinómio) correspondem às probabilidades de todos os eventos possíveis do espaço amostral. O binómio (ou multinómio) é formado pelas probabilidades de cada acontecimento elevado ao número total de ocorrências
Características da distribuição binomial 
De acordo com Larson & Farber (2009) Um experimento binominal, é um experimento de probabilidade que preencha os seguintes critérios:
1. O experimento é repetido por um número fixo de tentativas, onde cada tentativa é independente das outras;
2. Há apenas dois resultados possíveis de interesse para cada tentativa. Os resultados podem ser classificados como sucesso (S) ou fracasso (F);
3. A probabilidade de um sucesso P (S) é a mesma para cada tentativa;
4. A variável aleatória X contabiliza o número de tentativas com sucesso. 
Há varias formas de encontrar a probabilidade de X sucessos em n tentativas de um experimento binominal, uma forma e usar um diagrama de árvore e a regra de multiplicação. Outra forma é usar a fórmula de probabilidade binomial.
Segundo Bluman (2007) uma experiencia binomial é uma experiencia de probabilidade que satisfaz os seguintes quatro requisitos:
1. Deve haver um número fixo de tentativas;
2. Cada tentativa pode ter apenas dois resultados, ou resultados que podem ser reduzidos a dois resultados. Esses resultados podem ser considerados como sucesso ou fracasso;
3. Os resultados de cada tentativa devem ser independentes um do outro;
4. A probabilidade de sucesso deve permanecer a mesma para cada tentativa.
Em experimento binomial os resultados dão origem a uma distribuição de probabilidade especial chamada de distribuição binomial. Os resultados do experimento binomial e as probabilidades correspondentes desses resultados são chamados de distribuição binomial.
Em experimentos binomiais, os resultados são geralmente classificados como sucessos ou fracassos, por exemplo: a resposta correcta a um item de múltipla escolha pode ser classificada como um sucesso, mas qualquer outra opção seria incursa e, portanto, classificada como uma falha. 
A probabilidade de sucesso em um experimento de binómio pode ser dada pela seguinte fórmula:
Fórmula de probabilidade binominal 
P (x) = 
Se a probabilidade de sucesso é p, qual a probabilidade de se ter X sucessos em uma prova.
Note que:
· q:1-p: é a probabilidade de falha
· n: número de repetições do experimento
· X (maiúsculo): variável aleatória
· x (minúsculo): valor da variável aleatória
Notação para a Distribuição Binomial
n denota o nº de provas (valor fixo à partida).
x denota um nº específico de sucessos em n provas, logo x pode ser qualquer nº entre 0 e n, inclusive.
p denota a probabilidade de sucesso em cada uma das n provas.
q denota a probabilidade de insucesso em cada uma das n provas.
P(x) denota a probabilidade de obter exactamente x sucessos em n provas (P(x)=P(X=x)).
Exemplo teórico e pratico no quotidiano 
Exemplo teórico: Lançamento de Moeda
Suponha que você esteja interessado em saber a probabilidade de obter exactamente 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda justa. Aqui, cada lançamento da moeda tem apenas dois resultados possíveis (cara ou coroa), e a probabilidade de obter cara é 0,5 (se a moeda é justa). Este é um exemplo clássico de distribuição binomial.
Para calcular a probabilidade exacta, você pode usar a fórmula da distribuição binomial:
Onde:
n é o número total de tentativas (número de lançamentos),
k é o numero de sucessos desejados (numero de caras),
p é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (probabilidade de obter cara em um único lançamento).
 é a probabilidade de falha em uma única tentativa (probabilidade de obter coroa em um único lançamento),
 é coeficiente binomial, que calcula o numero de maneiras de escolher k sucessos em n tentativas.
De forma mais concreta, poderemos ter o exemplo. Uma fábrica produz lotes de 100 peças, com uma probabilidade de 5% de uma peça ser defeituosa. Neste caso, desejamos calcular a probabilidade de exactamente 2 peças defeituosas em um lote. Aplicando os valores na fórmula binomial, obtemos: 
Exemplo Pratico: Controle de qualidade em produção
Uma fábrica de produção de peças plásticas quer garantir que apenas 5% das peças produzidas sejam defeituosas. Para testar a eficácia de seu processo de produção, a fábrica selecciona aleatoriamente 20 peças e inspecciona se elas são defeituosas ou não. Se considerarmos que a probabilidade de uma peça ser defeituosa é de 5%, podemos modelar esse problema com uma distribuição binomial.
Cada peça inspeccionada pode ser considerada uma tentativa independente, onde o sucesso é a peça não ser defeituosa e o fracasso é a peça ser defeituosa. O número de peças defeituosas em 20 peças inspeccionadas segue uma distribuição binomial.
A fábrica pode usar essa distribuição para calcular a probabilidade de obter um determinado número de peças defeituosas em uma amostra de 20 peças. Isso permite que eles avaliem se o processo de produção está atendendo aos padrões de qualidade desejados.
Fórmulas da Probabilidade na Distribuição Binomial
Onde:
n = nº de provas
x = nº de sucessos nas n provas
p = probabilidade de sucesso em cada prova
q = probabilidade de insucesso em cada prova (q = 1 – p)
Média μ = n p
Variância n p (1-p)
Desvio Padrão 
Onde:
n = nº de provas
p = probabilidade de sucesso em cada uma das n provas
q = probabilidade de insucesso em cada uma das n prova
Pontos fortes e fracos da distribuição binomial 
De acordo com Nunes & Afonso (2019, pág. 345) “A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade discreta que modela o número de sucessos em um certo número de tentativas independentes, onde cada tentativa tem apenas duas possibilidades de resultado (sucesso ou fracasso) e a probabilidade de sucesso é constante em todas as tentativas.” Aqui estão alguns pontos fortes e fracos dessa distribuição:
Pontos fortes: 
1. Simplicidade: a distribuição binomial é relativamente simples de entender e calcula, o que a torna amplamente aplicável em uma variedade de situações do mundo real.
2. Modelagem de sucessos/fracassos: é especialmente útil para modelar experimentos nos quais estamos interessados no número de sucessos em um número fixo de tentativas, como lançamentos de moedas, testes de qualidade, entre outros.
3. Aplicabilidade generalizada: pode ser aplicadaem muitos campos, desde estudos científicos e experimentos em laboratórios até problemas de negócios e finanças.
4. Teoria Estatística bem desenvolvida: a distribuição binomial possui uma teoria estatística bem desenvolvida o que significa que existem muitos métodos disponíveis para calcular probabilidades, intervalos de confiança e realizar testes de hipóteses.
Pontos fracos
1. Assunções Limitadas: a distribuição binomial assume que as tentativas são independentes uma das outras e que a probabilidade de sucesso é constante em todas as tentativas. Essas suposições podem não ser realistas em algumas situações do mundo real.
2. Restrição de dois resultados: a distribuição binomial é adequada apenas para experimentos com dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso). Situações com mais de dois resultados possíveis podem exigir o uso de outras distribuições.
3. Limitação a modelagem de processos contínuos: a distribuição binomial é discreta, o que significa que não é adequada para modelar processos contínuos. Para esses casos, outras distribuições, como a distribuição normal, podem ser mais apropriadas.
Conclusão 
Chegando ao término do trabalho, podemos concluir que o uso da distribuição binominal é de mera importância uma vez que possibilita identificar em caso de experimentos repetidos dois possíveis resultados, sucesso ou fracasso. 
Os pontos fortes da distribuição binomial incluem sua simplicidade, sua aplicabilidade generalizada em uma variedade de campos, sua teoria estatística bem desenvolvida e sua capacidade de calcular probabilidades exactas.
No entanto, a distribuição binomial também possui algumas limitações. Ela faz suposições importantes, como a independência das tentativas e a constância da probabilidade de sucesso, que podem não ser realistas em todas as situações.
Apesar de suas limitações, a distribuição binomial continua a ser uma ferramenta fundamental na modelagem e análise de dados em uma ampla gama de contextos. Ao entender seus pontos fortes e fracos, os praticantes podem fazer uso eficaz dessa distribuição para tomar decisões informadas e realizar inferências precisas sobre os fenómenos que estão estudando.
Referências bibliográficas 
Larson. & Farber, B. (2009). Estatística aplicada (4.ed) São Paulo: Atlanta 
Degroot, M.H & Schervish. M.J (20012). Probability end statistics (4.ed), Estados Unidos de America : person education 
Bluman, A.G (2007) elementary statistics (1, e.d) Bostom: Higher education 
Meyer. P.L (1983),probabilidade, Aplicação a estatística (2,ed) Rio de Janeiro: livros técnicos e científicos auditores.
Nunes, C., Afonso, A. (2019). Probabilidades e estatísticas: aplicações e soluções em SPSS. (1ª ed.). Portugal.
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