Estatistica em soluções de TI

Prévia do material em texto

ESTATÍSTICA EM 
SOLUÇÕES DE TI
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Distinguir variáveis discretas e contínuas.
 > Definir distribuição binomial.
 > Resolver problemas envolvendo a distribuição binomial com auxílio de 
ferramentas computacionais.
Introdução
O cálculo de probabilidade é um modelo matemático utilizado para fazer previsões. 
Com um estudo probabilístico, podemos, por exemplo, fazer um modelo para a 
quantidade de clientes que deve entrar em uma loja e, assim, chegar a um deter-
minado número de vendas. Para fazer cálculos desse tipo, precisamos conhecer 
as variáveis aleatórias, aquelas que têm um resultado numérico associado a cada 
resultado experimental possível (MORETTIN, 2010).
Neste capítulo, você vai estudar o conceito de variáveis aleatórias, mais pre-
cisamente as discretas — que assumem um número finito de valores ou uma 
sequência infinita de valores — e as contínuas — que assumem qualquer valor 
em um intervalo (FREUND, 2006; LARSON; FARBER, 2016). Vai estudar, além disso, a 
distribuição de probabilidade binomial, cálculo utilizado para verificar, com uma 
sequência limitadas de tentativas, o quão provável um evento é de ocorrer. Por 
fim, vai ver como resolver problemas aplicando esse cálculo no Excel.
Distribuição 
binomial
Ricardo Noboru Igarashi
Variáveis aleatórias discretas e contínuas
Uma variável aleatória associa um valor numérico a cada resultado experimen-
tal possível (MORETTIN, 2010). Esse valor numérico vai depender do resultado 
do experimento. Por exemplo, quando lançamos um dado, ele pode ter um 
valor de 1 a 6 para a face voltada para cima e, quando jogamos uma moeda 
para cima, podemos verificar se a face está voltada para cima ou para baixo. 
Dependendo do valor numérico que a variável assumir, ela será chamada de 
discreta ou contínua.
Uma variável aleatória x é discreta quando pode assumir apenas valores 
isolados ao longo de uma escala, tanto um número finito de valores quanto uma 
sequência infinita de valores (LARSON; FARBER, 2016). Como exemplo, imagine 
uma seleção para contratar um professor universitário. Esse processo consiste 
em avaliação do currículo, aula-teste e entrevista. Nesse situação, podemos 
enumerar a etapa de avaliação do currículo como x = 0, a aula-teste como x = 1 
e a entrevista como x = 2. Trata-se, portanto, de uma variável aleatória discreta, 
que pode assumir um número finito de valores. Considere outro exemplo: a 
quantidade de clientes que chega no caixa eletrônico de um banco. A variável 
aleatória x é o número de clientes que chega no caixa eletrônico durante o dia. 
Veja que x pode assumir um dos valores dessa sequência infinita, pois x = 0, 1, 2, 
3, 4, 5, 6… . Confira no Quadro 1 mais exemplos de variáveis aleatórias discretas. 
Quadro 1. Variáveis aleatórias discretas
Experimento Variável aleatória (x) Valores possíveis para 
a variável aleatória
Contratar cinco 
programadores
Número de 
programadores 
contratados
0, 1, 2, 3, 4, 5
Venda de televisão em 
uma loja
Número de televisões 
vendidas
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…
Questionário aplicado 
em um restaurante
Qualidade do 
restaurante
Ruim: o
Médio: 1
Bom: 2
Ótimo: 3
Já uma variável aleatória contínua pode assumir qualquer valor numérico 
em um intervalo ou em uma coleção de intervalos (FREUND, 2006). Como 
exemplo, imagine que uma loja esteja investigando suas vendas diárias. 
A variável aleatória, nesse caso, será representada por x que representa 
Distribuição binomial2
as vendas em unidades monetárias. Note que essa variável pode assumir 
qualquer valor x ≥ 0, isto é, R$ 30,50, R$ 1.215,33, etc. Confira no Quadro 2 
alguns experimentos que apresentam variáveis aleatórias contínuas.
Quadro 2. Variáveis aleatórias contínuas
Experimento Variável aleatória (x) Valores possíveis para 
a variável aleatória
Construção de um 
prédio
Porcentagem 
de conclusão da 
construção
Banco Tempo de espera dos 
clientes na fila do banco
x ≥ 0
Questionário 
socioeconômico
Idade x ≥ 0
Analisando o conceito de variável discreta, podemos dizer que ela é o 
resultado de uma contagem e pode assumir apenas valores inteiros. Já uma 
variável contínua pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo real. 
Para visualizar como essas variáveis aparecem na prática, vamos analisar duas 
situações. Primeiramente, como mencionado antes, considere o experimento 
de jogar um dado.
a) Quais são os resultados experimentais?
b) A variável aleatória é discreta ou contínua?
Os resultados possíveis desse experimento são 1, 2, 3, 4, 5 e 6, que são as 
possibilidades das faces voltadas para cima. A variável aleatória é discreta, 
dada por x = 1, 2, 3, 4, 5 e 6, podendo assumir esse conjunto finito de valores.
Agora, considere como experimento analisar o tempo de espera de pa-
cientes em uma fila de hospital.
a) Qual é a variável aleatória que representa o tempo necessário em 
minutos para o paciente na fila do hospital?
b) A variável aleatória é discreta ou contínua?
A variável aleatória pode ser definida como x ≥ 0, onde x é dado em minu-
tos. Além disso, ela é contínua, pois pode assumir qualquer valor para x ≥ 0.
Distribuição binomial 3
Distribuição de probabilidade binomial
A distribuição de probabilidade binomial é uma distribuição discreta que con-
siste em um experimento de várias etapas. Esse experimento deve satisfazer 
as quatro propriedades a seguir (DEVORE, 2006; FREUND, 2006).
a) O experimento consiste em uma sequência de n ensaios idênticos.
b) Dois resultados são possíveis em cada ensaio. Rotulamos um resultado 
como sucesso, e o outro, como fracasso.
c) A probabilidade de sucesso será denotada por p, que não será modifi-
cada nos diferentes ensaios. A probabilidade de fracasso será denotada 
por 1 – p, que também não será modificada de ensaio para ensaio. 
d) Os ensaios são independentes. 
Quando as propriedades (b) e (d) estão presentes, temos um processo 
de Bernoulli (LARSON; FARBER, 2016). Quando a propriedade (a) for obede-
cida, temos o experimento binomial. Por exemplo, imagine que você tenha 
lançado uma moeda para cima oito vezes. Nesse caso, vamos analisar as 
propriedades citadas considerando que, se a moeda cair com a face cara 
para cima, isso representa sucesso e, se a moeda cair com a face coroa para 
cima, representa fracasso.
a) O experimento consiste em oito lançamentos idênticos, isto é, são 
oito ensaios idênticos.
b) Dois resultados são possíveis em cada ensaio, cara ou coroa, que 
podemos designar como sucesso e fracasso.
c) A probabilidade de cara é = 0,5, e a probabilidade de coroa é = 
1 – 0,5 = 0,5.
d) Os ensaios são independentes, pois um arremesso não depende do 
outro. 
Note que as propriedades de experimento binomial são obedecidas. 
O sucesso é o número de faces cara voltadas para cima nos oito ensaios, 
designado por x. Nessa situação, xpode assumir valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8.
Vamos analisar outra situação. O gerente de um banco está tentando 
vender um produto financeiro para seus clientes. Ele escolhe 20 clientes de 
forma aleatória e liga para cada um deles. Nesse caso, o sucesso será a venda 
do produto, e o fracasso, não vender. A probabilidade de o gerente vender 
Distribuição binomial4
esse produto é de 20% (0,20). Confira a seguir a análise da situação usando 
as propriedades do experimento binomial.
a) Cada ensaio é uma ligação para cada cliente, ou seja, teremos 20 
ensaios idênticos.
b) Temos dois resultados possíveis para cada ensaio: venda do produto 
financeiro (sucesso) e não venda do produto financeiro (fracasso).
c) A probabilidade de sucesso é 0,20, e a probabilidade de fracasso é 
1 – 0,2 = 0,8.
d) Os ensaios são independentes, pois os clientes são escolhidos de 
forma aleatória.
Como as propriedades são obedecidas, temos um experimento binomial. 
A variável aleatória é a quantidade de produtos financeiros que o gerente 
vender ao entrar em contato com os 20 clientes. Portanto, x pode assumir 
os valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,19 e 20. Agora, 
temos que modelar matematicamente essas situações. Queremos saber o 
número de resultados experimentais resultando exatamente em x sucessos 
em n ensaios. Para isso, usamos a Equação 1.
(1)
onde 
lembrando que 0! = 1.
Para ilustrar a Equação 1, considere um grupo de cinco pessoas: Marcos, 
Antônio, Luís, Maria e Valéria. Dessas cinco pessoas, quantas combinações 
são possíveis escolhendo duas pessoas? Para responder, usaremos x = 2 e 
n = 5 na Equação 1 para encontrar:
Temos, portanto, 10 combinações possíveis.
Agora, considere o arremesso de três moedas. Definiremos cara como C, 
e coroa como K. Confira os resultados possíveis na Figura 1. 
Distribuição binomial 5
Figura 1. Possíveis resultados para o arremesso de três moedas.
Esse experimento pode ser visto como uma experiência binomial? Para 
responder a essa pergunta, vamos usar as quatro propriedades a seguir.
a) O experimento pode ser descrito como uma sequência de três ensaios 
idênticos, sendo um ensaio para cada uma das três moedas.
b) Para cada um dos ensaios, temos dois resultados possíveis: cara (C) 
ou coroa (K).
c) A probabilidade de cara é = 0,50, e a de coroa é = 1 – 0,50 = 0,50. 
d) Cada um dos arremessos é independente dos outros ensaios.
Como podemos notar, as propriedades de um experimento binomial 
estão presentes. Vamos supor que estamos interessados em resultados 
que forneçam duas moedas com a face cara voltada para cima. Considere a 
variável aleatória x = número de vezes que a face cara aparece no resultado, 
isto é, se x = 3 temos três caras, se x = 2, duas caras, se x = 1, uma cara e se 
x = 0, nenhuma cara. Usando a Equação 1, temos o número de resultados 
que podem fornecer exatamente x = 2 em três ensaios:
Distribuição binomial6
Na Figura 2, podemos observar estes resultados: (C, C, K); (C, K, C) e (K, C, C). 
Agora, devemos calcular a probabilidade associada a cada um dos resultados. 
Como os ensaios de um experimento binomial são independentes, podemos 
multiplicar as probabilidades associadas a cada resultado experimental para 
encontrar a probabilidade de uma sequência de sucessos e fracassos em 
particular. Por exemplo, na situação de (C, C, K):
Substituindo os valores na equação citada, temos:
Os outros resultados podem ser descritos como:
Note que todos os resultados são iguais. Essas regras são mantidas para 
experimentos binomiais. De forma genérica, a probabilidade binomial de 
resultados de ensaio que produzem x sucessos em n ensaios: 
(2)
Combinando as Equações 1 e 2, temos a Equação 3 para obter a função de 
probabilidade binomial:
(3)
onde:
� x = número de sucessos;
� p = probabilidade de um sucesso em um ensaio;
� n = número de ensaios;
� f (x) = probabilidade de x sucessos em n ensaios.
Distribuição binomial 7
Usando a Equação 3 para o caso de duas caras e uma coroa, temos:
Também podemos considerar casos como o arremesso de 10 moedas 
(n = 10) com quatro resultados como cara (x = 4). Usando a Equação 3, temos:
Para calcular o valor esperado (E(x)) (valor médio) de uma variável aleatória, 
usamos a Equação 4:
(4)
onde x é a variável aleatória, e f (x) a função de probabilidade. Sabemos a 
quantidade total de ensaios (n) e a probabilidade (p) de sucessos. Assim, a 
Equação 4 pode ser reescrita como: 
(5)
A variância ( ), usada para sintetizar a variabilidade nos valores da 
variável aleatória, é escrita como:
(6)
No contexto da distribuição binomial, temos:
(7)
Para exemplificar, considerando a situação do arremesso das três moedas, 
vamos calcular o valor esperado de resultados que fornecerão como resul-
tado uma cara. Temos n = 3 ensaios com dois sucessos, e a probabilidade de 
obtermos cara é 0,5. Usando a Equação 5:
Distribuição binomial8
Agora, suponhamos que jogamos 10 mil moedas. Qual é o número esperado 
de resultados que fornecerão pelo menos um resultado de cara (C)? Usando 
a Equação 5, temos:
Para calcular a variância e o desvio padrão, considere novamente a situação 
das três moedas. A variância é dada pela Equação 7:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Distribuição binomial com o Microsoft Excel
O Microsoft Excel possibilita fazer inúmeras aplicações na área de negócios e 
tecnologia. A Figura 2 mostra uma planilha eletrônica em que podemos colocar 
dados ou valores em forma de tabela e aproveitar a grande capacidade de cálculo 
e armazenamento do computador. Os cálculos são feitos de forma automática, 
o que faz com que sejam mais confi áveis do que se fossem feitos manualmente. 
A cada encontro de uma linha com uma coluna, há uma célula em que podemos 
armazenar um texto, um valor, funções ou fórmulas para os cálculos. 
Figura 2. Planilha do Microsoft Excel.
Distribuição binomial 9
A célula C2, por exemplo, indica o encontro da coluna C com a segunda 
linha da planilha, como mostra a Figura 2. Além de digitar as fórmulas, po-
demos usar algumas funções que já estão inseridas no Excel, como funções 
de matemática financeira, trigonometria, engenharia, estatística, etc. Uma 
dessas funções é usada para calcular probabilidades para as distribuições 
binomiais: DISTR.BINOM (FREUND, 2006). Nessa função, precisamos completar 
com os seguintes argumentos:
 � num_s = número de sucessos;
 � tentativas = número de n ensaios;
 � probabilidades = p de sucesso;
 � cumulativo = FALSO se quisermos a probabilidade de x sucessos;
 � cumulativo = VERDADEIRO se quisermos a probabilidade cumulativa 
de x sucessos ou menos.
Vamos aplicar essa ideia para o caso da jogada dos três dados. Confira 
os resultados na Figura 3. 
Figura 3. Planilha Excel
Distribuição binomial10
Confira a seguir os passos para chegar nesses resultados.
1. Na célula B1, digitar a quantidade de ensaios (3), ou seja, a quantidade 
de arremessos.
2. Na célula B2, digitar a probabilidade de sucesso (obter cara) que é 
igual a 0,5.
3. Nas células B5, B6, B7 e B8, digitar a quantidade de sucessos: 0, 1, 2 e 3.
4. Na célula C5, digitar . 
O cifrão nas células B1 e B2 serve para mantê-las fixas ao colarmos 
a fórmula nas células C6, C7 e C8.
Fazendo esse procedimento, chegamos nos seguintes resultados:
� f (0)=0,125;
� f (1)=0,375;
� f (2)=0,375;
� f (3)=0,125.
Note que o resultado obtido para x = 2 é o mesmo que foi obtido 
analiticamente na seção anterior. 
Como vimos neste capítulo, a distribuição binomial é um cálculo estatístico 
que ajuda a prever a probabilidade de certo evento ocorrer. Nesse cálculo 
estão envolvidas variáveis aleatórias, aquelas que têm um resultado numérico 
associado a cada resultado experimental possível, sejam elas discretas ou 
contínuas. As discretas podem assumir um número finito de valores ou uma 
sequência infinita de valores, e as contínuas podem assumir qualquer valor 
em um intervalo. Vimos, também, que algumas ferramentas, como o Excel, 
automatizam esses cálculos, facilitando a previsão de resultados.
Distribuição binomial 11
Referências 
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística: para engenharia e ciências. São Paulo: Cengage 
Learning, 2006.
FREUND, J. E. Estatística aplicada: economia, administração e contabilidade. 11. ed. 
Porto Alegre: Bookman, 2006.
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2016.
MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade e inferência: volume único. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2010.
Leituras recomendadas
NAVIDI, W. Probabilidade e estatística para ciências exatas. Porto Alegre: AMGH, 2012.
SHARPE, N. R.; DE VEAUX, R. D.; VELLEMAN, P. F. Estatística aplicada: administração, 
economia e negócios. Porto Alegre: Bookman, 2011.
WALPOLE, R. E. et al. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2009.
Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos 
testados, e seu funcionamento foi comprovado no momento da 
publicação do material. No entanto, a rede é extremamente dinâmica; suas 
páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo. Assim, os editoresdeclaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade, precisão ou 
integralidade das informações referidas em tais links.
Distribuição binomial12