Duration e Convexidade em Finanças

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Aula 04
BACEN (Analista - Área 2 - Economia e
Finanças) Finanças - 2024 (Pós-Edital)
Autor:
Paulo Portinho
09 de Fevereiro de 2024
 1 
Versão 01 - 09.02.2024 
Sumário 
INTRODUÇÃO .............................................................................................................................................. 3 
DURATION E CONVEXIDADE ...................................................................................................................... 4 
1 - DURATION E CONVEXIDADE .............................................................................................................. 4 
1.1 – Conceituação ................................................................................................................................ 4 
1.2 – Características da volatilidade do preço dos títulos de renda fixa ................................................. 5 
1.3 – Duração......................................................................................................................................... 9 
1.4 – Convexidade ............................................................................................................................... 17 
2 - IMUNIZAÇÃO E DURATION HEDGE ................................................................................................. 23 
2.1 – O problema do reinvestimento – Maturity Hedge ....................................................................... 23 
2.2 – Imunização e duration-hedge ..................................................................................................... 25 
3 - CUSTOS DE TRANSAÇÃO ................................................................................................................. 29 
3.1 – Custos de transação relacionados aos mercados ........................................................................ 29 
3.2 – Teoria econômica de custos de transação ................................................................................... 32 
Lista de Questões ....................................................................................................................................... 34 
Questões comentadas com gabarito .......................................................................................................... 45 
ANEXO A - APREÇAMENTO DE INSTRUMENTOS DE RENDA FIXA ...................................................... 65 
Tesouro prefixado (LTN) ..................................................................................................................... 65 
Tesouro prefixado com juros semestrais (NTN-F) ............................................................................... 67 
Tesouro SELIC Pós-fixado LFT ............................................................................................................ 69 
Tesouro IPCA+ com juros semestrais NTN-B ...................................................................................... 70 
Debêntures e títulos privados de dívida .............................................................................................. 73 
ANEXO B - CÁLCULOS E DEMONSTRAÇÕES........................................................................................ 74 
Duration de título perpétuo - demonstração. ...................................................................................... 74 
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Duration como derivada primeira da função de valor do título. .......................................................... 74 
Convexidade como derivada segunda da função de valor do título. .................................................... 75 
Relação entre convexidade e duração. ................................................................................................ 77 
 
 
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INTRODUÇÃO 
Sobre essa aula 04 de Finanças para o BACEN pós-edital, abordaremos: 
 6 Renda fixa. 
 6.1 Apreçamento de instrumentos de renda fixa. 
 6.2 Gestão de carteiras de renda fixa. 
 6.3 Duration e convexidade. . 
A estratégia adotada para essa aula será a seguinte: 
 Como o apreçamento de instrumentos de renda fixa já deve ter sido visto em outras aulas, 
replicaremos aqui, porém apenas nos ANEXOS, caso o aluno precise tirar alguma dúvida. O 
conhecimento sobre apreçamento de títulos de renda fixa é fundamental para o entendimento desta 
aula. 
 Construiremos curvas com os valores dos títulos plotados para cada YTM, para os diferentes 
instrumentos de renda fixa e para portfólios de renda fixa, para ver graficamente sua sensibilidade 
às taxas de juros. 
 Definiremos duration e convexidade, e mostraremos como ambos os conceitos se unem para 
calcularmos analiticamente a sensibilidade dos instrumentos de renda fixa às variações das taxas de 
juros. 
 Apresentaremos, também, os conceitos de imunização e duration hedge, que são próprios de 
concursos avançados e costumam cair quando se fala de gestão de carteira de renda fixa. 
 Os cálculos mais complexos, demonstrando as fórmulas da duration e da convexidade como 
derivadas primeira e segunda, foram deixados em Anexos para que o aluno posso ir diretamente aos 
formatos mais utilizados nas provas. 
Mãos à obra! 
. 
 
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DURATION E CONVEXIDADE 
1 - DURATION E CONVEXIDADE 
1.1 – Conceituação 
Falar de Duração e Convexidade é, essencialmente, falar da avaliação de risco de taxas de juros para um 
instrumento de renda fixa ou para um portfólio/carteira. 
Antes de tratar propriamente dessas medidas, é importante estimar como se comportariam alguns títulos 
e alguns portfolios em diferentes cenários de variação de taxas de juros (considerando mudanças pontuais, 
ou choques de juros, como se fala na literatura estrangeira, que impactam toda a curva de juros futuros). 
OBS! Para melhor entendimento, o aluno deve, desde já, buscar reproduzir todos os cálculos que serão 
feitos no Excel. Para quem não tem experiência com gestão de carteiras ou não trabalha no mercado, é 
muito difícil ter "sensibilidade" sobre como o valor dos títulos se movimenta a partir das oscilações das taxas 
de juros de mercado, por isso é importante calcular cada uma das variações. Vai ajudar muito no 
entendimento da duration. 
Exemplo base. 
Consideremos um título de valor de face R$ 1.000, com pagamento de cupom de 6% ao ano (pago 
anualmente) durante 20 anos. Imagine que, logo no lançamento, o título tenha sido vendido (normalmente 
em leilão ou processo de bookbuilding) a 5,88% ao ano (YTM). 
Antes de prosseguir, é relativamente evidente que, se a taxa obtida pelo leilão (desconsiderando custos) 
fosse de 6%, o Valor obtido com o título seria exatamente R$ 1.000. Essa é uma sensibilidade importante 
que o aluno precisa treinar no Excel. 
Para 5,88% o valor presente do título seria maior. O valor seria de R$ 1.013,90. 
É preciso ter essa intuição de que o título aumenta de valor. Os 5,88% seriam a rentabilidade que alguém 
teria se comprasse o título pelo seu valor presente calculado (R$ 1.013,90). Como os pagamentos de cupom 
e do principal permaneceriam os mesmos (são partes do contrato), é relativamente evidente que se você 
pagar MAIS que R$ 1.000 (que daria a taxa de 6% ao ano), receberá uma taxa interna menor do que 6%. 
Vejamos os preços do título para 3 cenários diferentes: 
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Título com cupom de 6%, valor de face R$ 1.000,00, 20 anos
YTM= 5,88%
Preço de mercado = 1.013,90R$ 
Cenário Variação Yield Novo YTM Novo Valor VariaçãoPreço
1 0,50% 6,38% 957,73R$ -5,54%
2 1,00% 6,88% 905,90R$ -10,65%
3 2,00% 7,88% 813,76R$ -19,74% 
Agora imagine um título com cupom de 4%, valor de par R$ 1.000, 5 anos para a maturidade, negociado 
inicialmente 4,94%. 
Nessas condições seu preço de mercado seria de R$ 959,24. Importante refazer esse cálculo no Excel. 
Os cenários ficariam como se segue: 
Título com cupom de 4%, valor de face R$ 1.000,00, 5 anos
YTM= 4,94%
Preço de mercado = 959,24R$ 
Cenário Variação Yield Novo YTM Novo Valor Variação Preço
1 0,50% 5,44% 938,41R$ -2,17%
2 1,00% 5,94% 918,15R$ -4,28%
3 2,00% 6,94% 879,26R$ -8,34% 
Para um portfólio com os dois títulos, teríamos (aqui não calcularemos o YTM do portfólio): 
Portfólio com os dois títulos
Preço de mercado = 1.973,14R$ 
Cenário Variação Yield Novo Valor Variação Preço
1 0,50% 1.896,13R$ -3,90%
2 1,00% 1.824,04R$ -7,56%
3 2,00% 1.693,02R$ -14,20% 
Já é possível perceber uma redução na variação da taxa de juros em relação ao título mais longo. 
O título mais longo tem uma variação de taxas muito mais alta do que o título de 5 anos, por exemplo. 
E o portfólio, com os 2 títulos, tem uma volatilidade (sensibilidade) maior do que a do título curto, porém 
menor do que a do título longo. 
1.2 – Características da volatilidade do preço dos títulos de renda fixa 
Para os objetivos desta aula, trataremos apenas de 2 características dos títulos: cupom e maturidade. 
Vejamos a tabela abaixo, com a variação do preço dos títulos de acordo com suas características. 
São 4 títulos todos com valor de R$ 1.000. 
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 Título sem cupom, maturidade 10 anos. 
 Título sem cupom, maturidade 20 anos 
 Título com cupom de 5%, maturidade 10 anos 
 Título com cupom de 5%, maturidade 20 anos 
Calculamos a seguir as variações dos títulos para cada valor de YTM (taxa efetiva recebida por quem 
comprasse o título e o mantivesse até o final). 
 
Para um número suficientemente grande de observações teríamos as seguintes curvas de preço dos títulos: 
 
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Poderíamos ajustar para que todos os títulos tenham o mesmo valor presente inicial (pelo valor comprado 
no portfólio), para ver a diferença das curvas. 
 
Agora vamos mostrar, em formato de planilha, qual a variação no preço dos títulos, considerando como 
ponto de partida o YTM de 7%. 
 
O gráfico abaixo dá uma sensibilidade da variação na rentabilidade a partir da variação de juros: 
R$ -
R$ 200,00 
R$ 400,00 
R$ 600,00 
R$ 800,00 
R$ 1.000,00 
R$ 1.200,00 
R$ 1.400,00 
R$ 1.600,00 
R$ 1.800,00 
R$ 2.000,00 
0,0% 10,0% 20,0% 30,0% 40,0% 50,0%
Sem cupom/10 anos Sem cupom/20 anos 5% cupom/10 anos 5% cupom/20 anos
Variação nos preços dos títulos
Preços de mercado YTM = 7%
508,35R$ 258,42R$ 859,53R$ 788,12R$ 
Tx Sem cupom/10 anos Sem cupom/20 anos 5% cupom/10 anos 5% cupom/20 anos
0,0% 96,72% 286,97% 74,51% 153,77%
1,0% 78,08% 217,14% 60,42% 118,47%
2,0% 61,37% 160,42% 47,69% 89,13%
3,0% 46,37% 114,26% 36,19% 64,64%
4,0% 32,89% 76,61% 25,78% 44,13%
5,0% 20,77% 45,84% 16,34% 26,88%
6,0% 9,84% 20,66% 7,78% 12,33%
7,0% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%
8,0% -8,88% -16,98% -7,08% -10,49%
9,0% -16,91% -30,95% -13,52% -19,45%
10,0% -24,16% -42,48% -19,40% -27,13%
11,0% -30,72% -52,00% -24,77% -33,74%
12,0% -36,66% -59,88% -29,67% -39,46%
13,0% -42,05% -66,42% -34,16% -44,42%
14,0% -46,94% -71,84% -38,27% -48,75%
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Pelo comportamento das curvas de juros e de retornos, é possível verificar algumas características dos 
títulos: 
1. Apesar de todos os títulos apresentarem variações opostas entre taxas de juros e valores de mercado 
(juros sobe, título cai), é claro que essas variações não são iguais. Em outras palavras, quando a taxa 
de juros cai, o título sobe MAIS percentualmente do que ele cai quando a taxa sobe. 
2. No caso de pequenas mudanças no retorno exigido, a variação percentual do preço para um 
determinado título é aproximadamente a mesma, para cima ou para baixo (ou seja, tanto faz se o 
retorno exigido aumenta ou diminui). 
3. No caso de grandes mudanças no retorno exigido, a variação do preço é bem maior, considerando a 
direção da variação (se o retorno cair ou subir). Sobe MAIS para uma variação negativa do que CAI 
numa mesma variação positiva (veremos exemplos adiante). 
4. Para uma determinada variação (grande) no retorno exigido, a variação positiva do preço é maior do 
que a variação negativa do preço. 
Vamos ver? 
Variação pequena. 
-100,00%
-50,00%
0,00%
50,00%
100,00%
150,00%
200,00%
250,00%
300,00%
350,00%
0,0% 2,0% 4,0% 6,0% 8,0% 10,0% 12,0% 14,0% 16,0%
Sem cupom/10 anos Sem cupom/20 anos
5% cupom/10 anos 5% cupom/20 anos
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Variação nos preços dos títulos
Tx 5% cupom/10 anos Variação de preço
3,99% 1.081,96R$ 0,07880%
4,00% 1.081,11R$ 0,00%
4,01% 1.080,26R$ -0,07872% 
Como se vê, a variação positiva do título é maior do que a variação negativa, considerando a mesma 
variação de taxa de juros. 
Vejamos também que a variação nos preços, para 0,01% nas taxas (para cima ou para baixo), é 
relativamente pequena (mudando o sinal é claro). Para valores bem pequenos, não seria equivocado 
assumir que o comportamento da variação das taxas seria linear. Mais adiante precisaremos dessa 
premissa. 
Variação grande. 
Variação nos preços dos títulos
Tx 5% cupom/10 anos Variação de preço
2,00% 1.269,48R$ 17,42365%
4,00% 1.081,11R$ 0,00%
6,00% 926,40R$ -14,31029% 
Esse quadro demonstra melhor a característica de número 4, que afirma que para uma mesma variação 
(positiva ou negativa), o preço sobe MAIS do que cai, em termos percentuais. 
Características dos títulos que afetam o risco de taxa de juros. 
Maturidade 
 Tudo o mais mantido constante, quanto mais longo é o título (maturidade maior), maior é sua 
sensibilidade à variação de taxas de juros. Os exemplos anteriores deixam isso claro, tanto para 
títulos com cupons, quanto para títulos sem cupons. 
A taxa do cupom 
 Quanto maior a taxa do cupom, menor é a sensibilidade às variações de taxas de juros. Isso fica 
claro se compararmos os títulos com cupom zero (seria o equivalente a ter um cupom de 0%) e os 
com cupom de 5% em nosso exemplo. As variações dos títulos com cupom são menores do que as 
que não os têm. 
1.3 – Duração 
O leitor deve estar achando confuso ter que comparar títulos tão diferentes. Alguns sem cupom, outros com 
cupom, cupons variados etc. Realmente, apenas com os dados vistos até agora, não há como “comparar” 
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títulos tão diferentes. A duração serve a esse propósito, criar um indicador que permita, rapidamente, 
comparar títulos de renda fixa. 
O significado da “duração” é melhor ilustrado pelo cálculo da Duration de Macaulay. Há outras abordagens, 
que são extremamente importantes para falarmos da convexidade. Serão tratadas adiante. 
Duração de Macaulay 
É uma média ponderada do tempo do recebimento dos fluxos de caixa pelos valores presentes desses 
mesmos fluxos de caixa. 
Antes de expor a fórmula, vejamos um exemplo em planilha: 
 Maturidade: 5 anos 
 Valor de face: 1.000 reais 
 Cupom: 6% ao período 
 Compramos 10 títulos 
Taxa dos títulos =10% Taxa dos títulos = 10%
A B C Ponderação A B C Ponderação
Período Fluxo 1 VP 1 A x C Período Fluxo 1 VP 1 A x C
Vlr Presente Σ 8.484 37.438 Vlr Presente Σ 8.484 42.421 
1 600 545 545 1 - - - 
2 600 496 992 2 - - - 
3 600 451 1.352 3 - - - 
4 600 410 1.639 4 - - - 
5 10.600 6.582 32.909 5 13.664 8.484 42.421 
Duração = 37.438 ÷ 8.484 = 4,41 Duração = 42.421 ÷ 8.484 = 5,00 
 Na coluna B à esquerda temos os fluxos NOMINAIS de caixa. São os cupons (x 10 títulos) e, no final, 
o pagamento do cupom mais a devolução do principal. 
 Na coluna C à esquerda temos o valor presente desses fluxos, à taxa de 10%. 
 Na coluna A x C temos a multiplicação do período (1, 2, 3, 4 e 5 anos) pelos valores presentes 
correspondentes. 
A duração de Macaulay será, tão somente a divisão do somatório desses valores ponderados (R$ 37.438) 
pelo valor presente do título (R$ 848,4 x 1o títulos = R$ 8.484). 
Fica fácil de entender que a duração do título é uma média ponderada entre seus períodos (1, 2, 3, 4 etc.) e 
seus valores presentes, dividida pelo valor presente TOTAL desse título. 
É uma medida de “tempo”, pois dá pesos proporcionais aos valores presentes dos fluxos de caixa, para os 
períodos em que eles ocorrem. 
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No caso, fica evidente que um título que só tem um pagamento no futuro tem duração idêntica ao período 
em que esse pagamento ocorre. Como se pode ver na planilha (à direita). 
A fórmula geral é: 
𝐷 =
∑
𝐹𝑡. 𝑡
(1 + 𝑖)𝑡
𝑛
𝑡=1
∑
𝐹𝑡
(1 + 𝑖)𝑡
𝑛
𝑡=1
 
 D = Duração 
 Ft = fluxo no período t 
 i = taxa de juros efetiva 
 n = número total de períodos 
 t = período 
Relação entre a taxa de juros e a duração 
O efeito da taxa de juros sobre a duração é inversamente proporcional, ou seja, quando a taxa sobe, a 
duração cai e vice-versa. 
Para mais detalhes sobre a duration como derivada primeira da função de valor do título, ver os ANEXOS. 
Desse ponto em diante, para calcularmos a duration de forma empírica, a partir de um ponto inicial da curva, 
podemos calcular pela fórmula abaixo. 
∆𝑉
𝑉
= −𝐷 × 
∆𝑖
(1 + 𝑖)
 
A variação percentual no valor da carteira é proporcional à duração vezes a variação percentual da taxa de 
juro (com sinal invertido). Se o investidor espera baixa na taxa de juro (delta i negativo), a variação (delta V) 
POSITIVA da taxa de juro será tanto maior quanto maior for a duração. 
Vemos ver em nosso exemplo anterior. 
Taxa dos títulos = 10% Taxa dos títulos = 10%
A B C Ponderação A B C Ponderação
Período Fluxo 1 VP 1 A x C Período Fluxo 1 VP 1 A x C
Vlr Presente Σ 8.484 37.438 Vlr Presente Σ 8.484 42.421 
1 600 545 545 1 - - - 
2 600 496 992 2 - - - 
3 600 451 1.352 3 - - - 
4 600 410 1.639 4 - - - 
5 10.600 6.582 32.909 5 13.664 8.484 42.421 
Duração = 37.438 ÷ 8.484 = 4,41 Duração = 42.421 ÷ 8.484 = 5,00 
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Tínhamos uma carteira com 5 períodos, pagamentos de R$ 600 por período e R$ 600 mais R$ 10.000 e taxa 
de juros 10% (YTM). A Duração era de 4,41 períodos (ou anos, se for o caso). O valor presente do título, a 
10%, era de R$ 8.484 (ver na planilha reproduzida acima). 
Qual seria a variação no V, valor da carteira, para uma baixa de 0,1% na taxa de juros? 
∆𝑉
8.484
= −4,41 × 
−0,001
(1 + 0,10)
 
∆𝑉 = 34,0342 ∴ 𝑉𝑓 − 8.484 = 34,0342 ∴ 8.517,7195 (𝑠𝑒𝑚 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥. ) 
A fórmula simplificada previu que o novo valor da carteira, para uma diminuição de 0,1% nos juros, seria de 
R$ 8.517,7195. Qual seria o valor efetivo, calculado utilizando a fórmula do valor presente? 
Substituindo na nossa planilha seria de R$ 8.517,81. MUITO próximo. 
Mas isso faz sentido para mudanças muito pequenas. Para mudanças grandes, já fica distante. Vejamos. 
Qual seria a variação no V, valor da carteira, para uma alta de 2% na taxa de juros? 
∆𝑉
8.484
= −4,41 × 
0,02
(1 + 0,10)
 
∆𝑉 = −680,684 ∴ 𝑉𝑓 − 8.484 = −680,684 ∴ 7.803,0013 (𝑠𝑒𝑚 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥. ) 
A fórmula simplificada previu que o novo valor da carteira, para um aumento de 2% nos juros, seria de R$ 
7.803,0013. Qual seria o valor efetivo, calculado utilizando a fórmula do valor presente? 
Seria de R$ 7.837,13. Bem menos próximo. 
Em resumo, no gráfico, teríamos que, para determinada duração e determinada taxa de juros (ponto do 
gráfico) teríamos variações lineares, calculadas pela fórmula simplificada da derivada. 
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Antes de prosseguirmos com a convexidade, vejamos a duração explicada por outra abordagem e fórmula. 
Duração 
Duração, da forma como definiremos a seguir, é uma medida aproximada para a sensibilidade da variação 
do preço do título às variações das taxas de juros. 
Na fórmula que se segue, Duration significa a variação percentual aproximada no valor de um título, para 
uma oscilação de 1% (100 pontos base, ou basis points) na taxa de juros. Perceba que não é mais uma 
variação no valor do título. 
O cálculo aproximado da duração é dado pela fórmula: 
𝐷𝑢𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑀𝑜𝑑 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥 =
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑠𝑒 𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑐𝑎𝑖 ∆𝑖 − 𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑠𝑒 𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑒 ∆𝑖
2(𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑜𝑢 𝑏𝑎𝑠𝑒)(𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 ∆𝑖)
=
𝑉− − 𝑉+
2(𝑉0)(∆𝑖)
 
Matemáticos já viram que essa fórmula é parecida com a que derivamos na parte anterior da aula. 
A multiplicação por 2 se dá porque o delta i aparece duas vezes no numerador, tanto para cima quanto para 
baixo. 
No exemplo anterior, vamos supor que a taxa oscile 1% para baixo e 1% para cima. Teríamos: 
 V- = R$ 8.833,10 
R$ -
R$ 200,00 
R$ 400,00 
R$ 600,00 
R$ 800,00 
R$ 1.000,00 
R$ 1.200,00 
R$ 1.400,00 
R$ 1.600,00 
R$ 1.800,00 
R$ 2.000,00 
0,0% 10,0% 20,0% 30,0% 40,0% 50,0%
5% cupom/10 anos
5% cupom/10 anos
A tangente seria a representação 
gráfica da fórmula simplificada da 
derivada. A derivada é a própria 
tangente, mas só tem validade para 
aquele ponto do gráfico.
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 14 
 V+ = R$ 8.152,05 
 V0 = R$ 8.483,69 
 Δi = 0,01 
𝑉− − 𝑉+
2(𝑉0)(∆𝑖)
=
8.833,10 − 8,152,05
2(8,483,69)(0,01)
= 4,01390 
A duração calculada dessa forma é diferente da calculada diretamente, pois se aproxima da “Duração 
Modificada”, cuja fórmula veremos adiante. Quem fez cursos de CFA conhece essa fórmula como duration 
modificada aproximada. 
A interpretação dessa duração (4,01390), calculada segundo a fórmula acima, é que, para cada 1% de 
variação na taxa de juros, haverá 4,01% de variação (em sentido inverso) para o valor do título. 
Pode-se sugerir a fórmula seguinte: 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 % 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 = −𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 × ∆𝑖 × 100 
Essa fórmula tem o mesmo significado da derivada da fórmula de Macaulay. 
Vamos medir as diferenças entre os valores REAIS dos títulos e os valores previstos. Considerando como 
ponto de partida os 10% e os R$ 8.483,69 do título anterior do exemplo. 
Δi V real V calc Diferença
-5,00% 10.432,95 10.184,66 -2,3798%
-2,00% 9.201,46 9.164,08 -0,4063%
-1,50% 9.014,84 8.993,98 -0,2314%
-1,00% 8.833,10 8.823,88 -0,1044%
-0,50% 8.656,10 8.653,78 -0,0268%
-0,20% 8.552,11 8.551,72 -0,0045%
-0,10% 8.517,81 8.517,70-0,0012%
0,00% 8.483,69 8.483,69 0,0000%
0,10% 8.449,74 8.449,67 -0,0009%
0,20% 8.415,97 8.415,65 -0,0039%
0,50% 8.315,71 8.313,59 -0,0256%
1,00% 8.152,05 8.143,49 -0,1050%
1,50% 7.992,57 7.973,39 -0,2399%
2,00% 7.837,13 7.803,29 -0,4318%
5,00% 6.983,06 6.782,71 -2,8691% 
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No gráfico dá para ver que a curva REAL é convexa e a “curva” aproximada é uma reta, indicando a relação 
linear. 
Dá para ver também que a diferença entre o REAL e o APROXIMADO é sempre negativa, ou seja, a fórmula 
calcula sempre valores MENORES do que os reais. 
Porém, como se pode ver na tabela, a aproximação é bastante fiel. 
Duração Modificada 
A duração modificada, assim como a de Macaulay, é uma medida de sensibilidade do preço de um título às 
variações nas taxas de juros. Quanto maior a duração (modificada ou de Macaulay), maior a resposta (em 
sentido inverso) do preço do título às variações nas taxas de juros. 
𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝑀𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝐷𝑀 = 
𝐷 (𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑐𝑎𝑢𝑙𝑎𝑦)
(1 + 𝑖)
 
𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝑀𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝐷𝑀 = 
4,4129
(1 + 0,1)
= 4,0117 
Que é, basicamente, o mesmo valor encontrado pela duração aproximada calculada anteriormente. 
Interpretações da Duration 
A Duração é a “derivada-primeira” da função V(i) 
5.000,00 
6.000,00 
7.000,00 
8.000,00 
9.000,00 
10.000,00 
11.000,00 
12.000,00 
13.000,00 
1,00% 3,00% 5,00% 7,00% 9,00% 11,00% 13,00% 15,00% 17,00% 19,00%
V real V calc
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 Isso já sabemos pela derivação da fórmula, nos anexos dessa aula. Ficou ainda mais evidente com os 
gráficos e as planilhas apresentados anteriormente. 
A Duração é uma medida de tempo 
 Aqui cabe um pequeno reparo. A duração, apesar de ser calculada como uma medida de tempo, na 
verdade ela quer dizer que a sensibilidade daquele título com pagamentos de cupom às taxas de 
juros seria a mesma que a sensibilidade de um título SEM CUPOM, com a mesma duração (nesse 
caso, seria a maturidade do título, por não ter cupom). Esse significado é importante. 
Duração de um portfólio 
O cálculo da duração de um portfólio com vários títulos é bem simples. Basta ponderar cada duração, de 
cada título, por sua participação percentual no portfólio. 
Veja no exemplo. Fica bem claro: 
A B C D
Título Montante Peso Duração C x D
A 1.188.432 2,1% 3,8450 0,0796 
B 12.408.234 21,6% 4,8850 1,0553 
C 19.734.422 34,4% 5,7490 1,9753 
C 858.652 1,5% 3,0000 0,0448 
C 7.593.665 13,2% 4,4480 0,5881 
C 12.087.656 21,0% 7,9648 1,6762 
Total 57.436.357 100,0% Dur. Portf.= 5,4193 
𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑃𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜 (𝑛 𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠) = 𝑤1𝐷1 + 𝑤2𝐷2 + 𝑤3𝐷3 + ⋯ + 𝑤𝑛𝐷𝑛 
Onde wn significa o peso do ativo 1 no portfólio e D1 significa a duração desse ativo. 
Importante notar que essa duração só fará sentido se os juros de TODOS os títulos variarem na mesma 
proporção. 
Isso, normalmente, não ocorre, pois a fonte de mudança nas taxas de juros pode ser variada. Para um título 
privado, o risco de default da empresa pode estar (e normalmente está) descolado do risco de default de 
um título público. 
Duração de uma perpetuidade. 
Para mais detalhes sobre o cálculo, veja o ANEXO. 
A fórmula é bem simples 
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𝐷𝑃𝑃𝑇 =
1 + 𝑖
𝑖
= 1 +
1
𝑖
 
 
1.4 – Convexidade 
Como notamos, a variação das taxas de juros afeta o valor da carteira de forma NÃO linear, apesar de as 
fórmulas das durações aproximarem razoavelmente essas variações, para valores pequenos. 
O que sabemos sobre a tangente (duração) dessa curva convexa? 
Sabemos que, para variações infinitesimais (muito pequenas) de taxas de juros, a variação no valor da 
carteira, para cima ou para baixo é igual. 
Mas para valores maiores, isso não se verifica. Como vimos, as variações POSITIVAS no valor da carteira são 
MAIORES do que as variações negativas, para a mesma variação nas taxas de juros (para cima ou para 
baixo). 
A duração é uma primeira aproximação da sensibilidade às taxas de juros. É imprecisa, porém adequada 
para valores pequenos. A Convexidade é uma segunda aproximação, que nos ajudará a ter estimativas mais 
precisas dessa sensibilidade. 
Para que serve a “medida de convexidade”? 
Para medir a variação no preço que NÃO é explicada pela duração. 
Para mais detalhes sobre a convexidade como derivada segunda da função de valor do título, ver os 
ANEXOS. Desse ponto em diante, trabalharemos com as fórmulas que são apresentadas nos livros de renda 
fixa. 
Segue a fórmula analítica completa para a convexidade: 
𝐶(𝑖) =
1
(1 + 𝑖)2
× ∑ 𝑤𝑡 × (𝑡2 + 𝑡)
𝑛
𝑡=1
 
Em nosso exemplo da duração, a convexidade seria calculada como se segue: 
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 Na coluna B temos os fluxos NOMINAIS de caixa. São os cupons (x 10 títulos) e, no final, o pagamento 
do cupom mais a devolução do principal. 
 Na coluna C temos o valor presente desses fluxos, à taxa de 10%. 
 Na coluna A x C temos a multiplicação do período (1, 2, 3, 4 e 5 anos) pelos valores presentes 
correspondentes. 
 Na coluna D temos o cálculo do tempo ao quadrado mais o tempo (por exemplo, 22 + 2 = 6). 
 Na coluna E temos o peso dos valores presentes em cada período (em percentual). Por exemplo, no 
ano 1, temos 545 (VP do cupom) dividido por 8.484 (VP do título), significando que esse período tem 
um peso de 6,429% nos pagamentos que o investidor recebe. 
 Na coluna F temos a multiplicação da coluna D pela coluna E. 
Às vezes a fórmula que usamos vem com uma alteração, colocando o VP para fora, mas como o VP do título 
é uma constante, ao inserir dentro do somatório, acaba se tornando os pesos que colocamos acima. 
𝐶(𝑖) =
1
𝑉𝑃 × (1 + 𝑖)2
× ∑
𝐹𝑡
(1 + 𝑖)𝑡
𝑛
𝑡=1
× (𝑡2 + 𝑡) 
Imagino que o leitor se pergunte, a essa altura, como se usa esse valor da convexidade. 
O entendimento da duração é claro, pois é tão somente a média ponderada dos períodos, pelo peso dos 
valores presentes na carteira. 
Para entendermos o uso da convexidade, é preciso analisar sua relação com a duração. Por enquanto apenas 
sabemos que a convexidade é a segunda derivada do valor da carteira em função da taxa de juros, e a 
derivada da duração em função da taxa de juros. 
Opa ... Mas aqui temos um bom insight! 
A convexidade, matematicamente falando, vai indicar como a duração muda para cada taxa de juros. Antes, 
para avaliarmos o preço de um título utilizando a duração, considerávamos um valor único para D. Agora 
temos uma função que mostra COMO D varia, em função da taxa de juros. 
Taxa dos títulos = 10,00% Convexidade
A B C Ponderação D E F
Período Fluxo 1 VP 1 A x C (t
2
+t) w(peso) (t
2
+t).w(peso)
Vlr Presente Σ 8.483,69 37.438 Σ 25,36 
1 600 545 545 2 6,429% 0,12859 
2 600 496 992 6 5,845% 0,35070 
3 600 451 1.352 12 5,314% 0,63763 
4 600 410 1.639 20 4,831% 0,96611 
5 10.600 6.582 32.909 30 77,581% 23,27443 
Duração = 37.438 ÷ 8.484 = 4,4129 25,36÷ (1+0,1)
2
 = 20,9566 
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Para mais detalhes sobre a demonstração matemática da relação da duração com a taxa de juros, ver os 
anexos. Vamos direto às fórmulas. 
A fórmula aproximada, mais simples de usar, associando Preço do Título, Duração e Convexidade é a 
seguinte: 
∆𝑉
𝑉
= −𝐷
∆𝑖
(1 + 𝑖)
+
1
2
𝐶(∆𝑖)2 
Nesse caso a duração é a da Macaulay. Com a duração modificada seria: 
∆𝑉
𝑉
= −𝐷𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎∆𝑖 +
1
2
𝐶(∆𝑖)2 
Vejamos como ficaria a previsão do valor do título ajustando pela duração e pela convexidade. 
A maioria esmagadora de questões envolvendo convexidade para cursos de certificação profissional utiliza 
essa última fórmula da duração modificada. 
Recordando: 
Taxa dos títulos = 10,00% Convexidade
A B C Ponderação B C
Período Fluxo 1 VP 1 A x C (t2+t) (t2+t).w(peso)
Vlr Presente Σ 8.483,69 37.438 Σ 25,36 
1 600 545 545 2 0,12859 
2 600 496 992 6 0,35070 
3 600 451 1.352 12 0,63763 
4 600 410 1.639 20 0,96611 
5 10.600 6.582 32.909 30 23,27443 
Duração = 37.438 ÷ 8.484 = 4,4129 25,36÷ (1+0,1)2 = 20,9566 
Como ficaria o cálculo do Valor da Carteira usando a fórmula acima (comparando o cálculo REAL, com o 
aproximado pela duração e a convexidade): 
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Δi i V real V calc Diferença
-5,00% 5,00% 10.432,95 10.407,63 -0,242656%
-3,00% 7,00% 9.589,98 9.584,72 -0,054890%
-1,00% 9,00% 8.833,10 8.832,92 -0,002127%
-0,50% 9,50% 8.656,10 8.656,08 -0,000269%
-0,20% 9,80% 8.552,11 8.552,11 -0,000017%
-0,10% 9,90% 8.517,81 8.517,81 -0,000002%
0,00% 10,00% 8.483,69 8.483,69 0,000000%
0,10% 10,10% 8.449,74 8.449,74 0,000002%
0,20% 10,20% 8.415,97 8.415,97 0,000017%
0,50% 10,50% 8.315,71 8.315,74 0,000275%
1,00% 11,00% 8.152,05 8.152,23 0,002223%
3,00% 13,00% 7.537,94 7.542,66 0,062700%
5,00% 15,00% 6.983,06 7.004,21 0,302893% 
Como se vê, mesmo com a fórmula aproximada, é um cálculo muitíssimo mais preciso do que usando 
apenas a duration. 
Para uma variação bem grande como 5% (num título remunerando a 10%, é muito), a fórmula com a 
convexidade dá um erro entre -0,24% e + 0,30% em relação ao valor real calculado. Utilizando apenas a 
aproximação linear da duração, teríamos um erro de -2,4% e 2,9%. O erro com a convexidade é em torno 
de 10 vezes menor, no caso estudado. 
Convexidade, outra fórmula 
Alguns livros abordam convexidade de uma forma mais simples e direta. Não é possível saber qual das 
formas será cobrada nas provas, de modo que é importante tratarmos das duas. 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
𝑉− + 𝑉+ − 2(𝑉0)
2(𝑉0)(∆𝑖)2
 
O significado dos termos é o mesmo aplicado para o cálculo da duração com fórmula semelhante. 
Aproveitando a planilha calculada acima, podemos calcular a convexidade. 
Tomemos uma variação de 1%, para mais e para menos, como fizemos para a duração. Teríamos: 
 V- = R$ 8.833,10 
 V+ = R$ 8.152,05 
 V0 = R$ 8.483,69 
 Δi = 0,01 
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𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
8.833,10 + 8,152,05 − 2 × 8.483,69
2(8,483,69)(0,01)2
= 10,482 
A medida da convexidade ainda não é a que fará o ajuste no valor dos títulos. 
O “ajuste de convexidade”, que significa a variação no título que não é captada ou explicada pela duração, 
é a seguinte: 
𝐴𝑗𝑢𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 × (∆𝑖)2 × 100 (%) 
𝐴𝑗𝑢𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 10,482 × (0,01)2 × 100 (%) = 0,1048% 
Ou seja, além da previsão sobre o valor da carteira, feita pela duração, teríamos que adicionar 0,1048% para 
ajustarmos pela convexidade. 
Substituindo o ajuste de convexidade o que teríamos (supondo uma alta de juros de 1%)? 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 % 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 = −𝐷𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 × ∆𝑖 + 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 × (∆𝑖)2 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 % 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 = −4,0139 × 0,01 + 10,482 × (0,01)2 = −4,0139% + 0,1048% 
Ou seja, além do ajuste da duração, teríamos um ajuste pela convexidade. O valor 0,1048% é o ajuste pela 
convexidade. 
Por esse método de ajuste, como ficaria a diferença entre o previsto e o real? 
Δi i V real V calc Diferença
-5,00% 5,00% 10.432,95 10.408,64 -0,233016%
-3,00% 7,00% 9.589,98 9.585,30 -0,048805%
-1,00% 9,00% 8.833,10 8.833,10 0,000000%
-0,50% 9,50% 8.656,10 8.656,17 0,000807%
-0,20% 9,80% 8.552,11 8.552,15 0,000416%
-0,10% 9,90% 8.517,81 8.517,83 0,000215%
0,00% 10,00% 8.483,69 8.483,69 0,000000%
0,10% 10,10% 8.449,74 8.449,72 -0,000216%
0,20% 10,20% 8.415,97 8.415,94 -0,000420%
0,50% 10,50% 8.315,71 8.315,65 -0,000825%
1,00% 11,00% 8.152,05 8.152,05 0,000000%
3,00% 13,00% 7.537,94 7.542,14 0,055749%
5,00% 15,00% 6.983,06 7.003,37 0,290863% 
Algo interessante com esse método é que, apesar das “pontas” apresentarem diferença bem próxima ao 
método anterior, os valores de carteira previstos para variação de juros 0%, 1% e -1%, são iguais aos valores 
calculados diretamente. No método anterior, só tínhamos precisão no ponto de partida (variação de juros 
0%), o que faz sentido, pois é um método baseado em derivadas. 
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Nesse método temos precisão em 3 pontos. Isso porque utilizamos um ajuste de convexidade que foi 
CALCULADO com base na variação de 1% (para cima e para baixo). Eis o motivo para a precisão nesses 
pontos. 
 
 
 
 
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 23 
2 - IMUNIZAÇÃO E DURATION HEDGE 
Imunização de um portfólio significa conseguir um “casamento” perfeito entre as durações dos títulos desse 
portfólio. É claro que estamos falando de casar direitos e obrigações, de forma a zerar (ou reduzir) o risco 
de fluxo de caixa da empresa ou do fundo. 
Para casar fluxos de obrigações e direitos, também é comum o uso do mercado a termo e futuro de juros, 
ou mesmo SWAP, mas isso é assunto para a parte de derivativos. 
A imunização de apenas um período, normalmente significa que temos apenas um objetivo no tempo. Por 
exemplo, obter 15% ao ano durante 5 anos ou sair de R$ 100.000 para R$ 200.000 em 5 anos. Você pode 
querer fazer isso por ter algum compromisso no futuro para quitar com esses valores. 
Imunização de múltiplos períodos significa ajustar múltiplas obrigações no futuro (como acontece nos 
fundos de pensão) com fluxos de caixa provenientes dos títulos comprados hoje. 
É razoável crer que um fundo de pensão, com estimativas precisas dos custos que terá nos próximos anos 
(muitos anos), queira sempre se posicionar em títulos que garantam honrar esses fluxos. 
Claro que na vida real nem sempre (fora do Brasil ao menos, onde os juros costumam ser mais baixos) é 
possível se utilizar apenas de instrumentos de renda fixa para gerir o portfólio de um fundo de longo prazo. 
A imunização, idealmente, quer tornar um portfólio “imune” às variações nas taxas de juros. 
A lógica é interessante. Se uma empresa com muitas obrigações e investimentos, com maturidades de 
fluxos diferentes, com taxas de juros diferentes, conseguir “casar”as durações de ambos os lados do 
balanço, estaria “livre” (na verdade livre não está, apenas mitiga o risco) do risco das variações nas taxas de 
juros. 
2.1 – O problema do reinvestimento – Maturity Hedge 
Em tese, se alguém tem um horizonte de 5 anos, por exemplo, e comprar um título que pague cupons de 
6% ao ano (como nossos títulos de inflação), pagando um valor presente descontado por uma taxa de 10%, 
por exemplo, estaria garantindo essa taxa de 10%, caso o levasse até a maturidade (de onde vem a 
expressão YTM - yield to maturity). 
Mas é isso mesmo? Não necessariamente, só seria verdade se os cupons pudessem ser reinvestidos à TIR 
ou à mesma YTM. 
Veja: 
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 24 
Taxa de desconto 10,00%
Valor de Face 1.000,00R$ 
Quantidade de títulos 10,00 
A B C VF ano 5 VF ano 5
Período Fluxo 1 VP VF Fluxo VF do VP
Vlr Presente Σ 8.483,69 13.663,06 8.483,69 
1 600 545 878 0 
2 600 496 799 0 
3 600 451 726 0 
4 600 410 660 0 
5 10.600,00 6.581,77 10.600,00 13.663,06 
Essa planilha explica uma das características da Taxa Interna de Retorno menos discutidas ou demonstradas 
em sala de aula. 
Todos os professores falam que a TIR pressupõe a capacidade de reinvestir os fluxos à mesma taxa inicial. 
Isso não é aprofundado nos cursos de valuation, mas para renda fixa é fundamental que o aluno entenda 
essa característica da TIR. 
É por isso que o maturity-hedge não funciona, ou seja, mesmo comprando os títulos com todos os valores 
contratados e levando-os à maturidade, NÃO dá para garantir que seu retorno seja de 10%. 
A planilha mostra o fluxo de 10 títulos que pagam 6% ao ano, com valor de face R$ 1.000. Para que 
REALMENTE os ganhos de quem recebe aqueles cupons de R$ 600 seja de 10% ao ano, ele precisa ser capaz 
de reinvestir os cupons a 10% ao ano. Fizemos isso na planilha, pegando o cupom e reinvestindo para ver 
qual seria seu valor futuro no ano 5. 
Se conseguir reinvestir a essa taxa, é óbvio que seu retorno será de 10%. A planilha demonstra isso, pois 
calcula o valor futuro dos juros de cada parcela e soma (R$ 13.663,06) e calcula que o valor presente desse 
título (R$ 8.483,69), investido a 10% ao ano daria EXATAMENTE o mesmo valor do somatório do valor 
futuro dos títulos. 
Mas e se, por hipótese, só conseguíssemos reinvestir os fluxos a taxas de 9% no primeiro ano, 8% no 
segundo, 6% no terceiro e 5% no quarto ano? No quinto ano não há reinvestimento, pois chegou a 
maturidade. 
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Período Fluxo 1 VP Taxas de reinv. VF Fluxo
Vlr Presente Σ 8.483,69 13.506,94 
1 600 545 9,0% 847 
2 600 496 8,0% 756 
3 600 451 6,0% 674 
4 600 410 5,0% 630 
5 10.600,00 6.581,77 10.600,00 
Você pagou = 8.483,69 
Teria em 5 anos = 13.506,94 
Sua taxa seria de = 9,7475% 
Fica bem claro que, na hipótese de não ser possível reinvestir os fluxos à taxa de 10%, seu retorno NÃO será 
de 10%. 
Só para reforçar. Se aplicássemos os R$ 8.483,69 a 10% ao ano, receberíamos R$ 13.663,06 ao final de 5 
anos. Porém, se investirmos o mesmo valor num título com cupons, só teremos o mesmo valor futuro SE os 
juros não mudarem. Se só for possível reinvestir a juros menores, teremos um valor futuro MENOR, 
portanto não receberemos os 10%, mesmo mantendo o título até o final. No exemplo, nossa taxa seria de 
9,75%. 
Por isso o hedge da maturidade não funciona adequadamente. 
2.2 – Imunização e duration-hedge 
Imagine, por hipótese, que você deve R$ 1 milhão, com vencimento em 4 anos e taxa de 14% ao ano. Isso 
significa que terá que pagar R$ 1.688.960 ao final desse período. Você quer comprar um título com 
pagamento de cupons para garantir o pagamento dessa obrigação no futuro. 
Para “garantir” uma imunização total ao título, será fundamental obter o seguinte: 
 Duraçãoativo = Duraçãopassivo 
 Valor Presenteativo >= Valor Presentepassivo 
 Dispersãoativo = Dispersãopassivo 
Vamos trabalhar com as duas primeiras condições para ver como funcionaria essa imunização. 
Nós veremos aqui que os fundos conseguirão “casar” taxas de juros a pagar e taxas de juros a receber. Isso 
é contraintuitivo para as pessoas físicas, pois, como sempre há um spread bancário, não faria sentido 
conseguir um empréstimo de 8% ao ano e uma aplicação de 12% ao ano. Você pegaria esse empréstimo, 
aplicaria, pagaria e teria um ganho livre de risco. 
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Mas lembre-se que fundos, como os de pensão, por exemplo, existem justamente para isso. Para obter 
rentabilidade investindo o dinheiro dos participantes e fazer pagamentos com base nessa rentabilidade. Por 
isso é absolutamente natural que as taxas obtidas com os ativos e as taxas a pagar dos passivos, sejam 
próximas para fundos. 
Em resumo, não estamos falando do sistema bancário, que capta a 14% ao ano e empresta a 400% (cartão 
de crédito), mas da indústria e fundos. 
Precisamos obter um ativo que tenha valor presente de R$ 1 milhão e duração de 4 anos. 
Olhando no mercado verificamos que há um título com duração de 4 anos. É um título com cupom de 12% 
ao ano, vencimento em 5 anos e valor de face R$ 1.000. À taxa de 14% ao ano, ele está cotado no mercado 
a R$ 931,34. 
Quantos títulos precisamos comprar para termos R$ 1 milhão investidos? 
𝑄𝑡𝑑 𝑡í𝑡𝑢𝑙𝑜𝑠 =
1.000.000
931,34
= 1.073,72 𝑡í𝑡𝑢𝑙𝑜𝑠 
Utilizaremos valores quebrados (0,72 título) para a conta ficar mais precisa. 
O valor presente do título (taxa 14%, cupom 12%) é calculado como se segue: 
Período Fluxo 1 título VP 1 título Vlr Total VP Total
Vlr Presente Σ 931,34 
1 120 105,3 128.846,83 113.023,54 
2 120 92,3 128.846,83 99.143,45 
3 120 81,0 128.846,83 86.967,94 
4 120 71,0 128.846,83 76.287,67 
5 1.120,00 581,7 1.202.570,43 624.577,40 
Duração 4,00 
Na penúltima coluna temos os valores dos fluxos futuros (sem desconto) multiplicados pela quantidade de 
títulos. O Valor presente desses fluxos está calculado na última coluna. 
O que acontece quando chegamos ao ano 1? 
Qual seria o valor de mercado do título imediatamente após o pagamento do cupom? 
É simples, basta trazer os 4 períodos seguintes (3 x R$ 120,00 + 1xR$ 1.120) a valor presente, pela taxa de 
14% (supondo que não mude). 
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O valor de mercado do título seria R$ 941,73, PORÉM não é esse o valor que o detentor do título disporá, 
pois houve pagamento de R$ 120,00 de cupom. Significa que seu patrimônio, parte em dinheiro recebido 
através do cupom, parte pelo valor presente (de mercado) do título seria R$ 1.061,73. 
No ano 2. 
No ano seguinte, o investidor terá reaplicado seus R$ 120,00 à taxa de 14% (supondo ser essa a taxa à época) 
e receberá mais R$ 120. A soma desses dois valores (cupom reaplicado e cupom do dia) seria R$ 256,80. 
Além disso, o investidor ainda tem o título, cujo valor presente (de mercado)seria R$ 953,57. O total à 
disposição seria R$ 1.210,37. 
Nos anos seguintes 3 e 4. 
No ano 4 (pulamos o ano 3), teríamos 3 cupons (1, 2 e 3) reinvestidos, mais R$ 120,00, mais R$ 982,46 (valor 
do título no ano 4, taxa de 14% ao ano). Seriam R$ 470,54, mais R$ 120,00, mais 982,46 totalizando R$ 
1.572,99 reais por título. 
Multiplicando esse resultado pelos 1.073,72 títulos, esse investidor teria R$ 1.688.960. 
Lembram da dívida que vencia em 4 anos? Pois ao comprar um título com duração 4, mesmo valor presente 
e mesma taxa de juros, em 4 anos seria possível pagar a dívida com o valor disponível do título. 
Veja na planilha: 
 
Ué, mas se a taxa de juros não mudou, qual foi a vantagem de casar as durações? 
Mas isso não é o grande benefício de se “casar” a duração dos ativos e passivos. A principal vantagem é a 
redução da exposição ao risco de variação das taxas de juros. Perto da “duração” o título não deveria oscilar 
muito. Oscilará um pouco, pois a duração se modifica, mas veja o que ocorre quando as taxas variam: 
A B Valor Mercado Valor Mercado Valor Mercado Coupon reinv
Período Fluxo 1 título VP 1 título Vlr Total VP Total de 1 título Acumul 1 título
Vlr Presente Σ 931,34 
1 120 105,3 128.846,83 113.023,54 941,73 120,00 
2 120 92,3 128.846,83 99.143,45 953,57 256,80 
3 120 81,0 128.846,83 86.967,94 967,07 412,75 
4 120 71,0 128.846,83 76.287,67 982,46 590,54 
5 1.120,00 581,7 1.202.570,43 624.577,40 1.000,00 793,21 
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Tx juros VP 4 ano Dívida Diferença R$ Diferença %
5% 1.700.651 1.688.960 11.691 0,69%
8% 1.694.089 1.688.960 5.129 0,30%
12% 1.689.525 1.688.960 565 0,03%
14% 1.688.960 1.688.960 - 0,00%
16% 1.689.501 1.688.960 540 0,03%
20% 1.693.792 1.688.960 4.832 0,29%
25% 1.704.939 1.688.960 15.979 0,95% 
Perceba que, ao casar ativos e passivos pela duração, garantindo que o ativo tenha valor presente maior ou 
igual ao do ativo, houve significativa redução dos riscos de a variação da taxa de juros “descasar” os 
pagamentos e recebimentos. 
Essas diferenças, mesmo para oscilações bruscas como de 14% para 5%, são pequenas, de menos de 1% do 
valor a ser pago. 
Aqui vale relembrar que títulos com a mesma duração deverão ter a mesma sensibilidade às variações das 
taxas de juros. Para valores infinitesimais esse match é perfeito, para valores maiores, não é perfeito (pois 
a duração varia), mas a oscilação é bastante reduzida. Veja no quadro abaixo: 
Tx juros VP Ano 3 VP Ano 5
5% 1.619.668 1.785.684 
8% 1.568.601 1.829.617 
12% 1.508.504 1.892.268 
14% 1.481.544 1.925.415 
16% 1.456.466 1.959.821 
20% 1.411.493 2.032.550 
25% 1.363.951 2.131.174 
Perceba que, se os juros tivessem subido para 25%, o Valor Presente do título (+ reinvestimentos) no ano 5 
seria de R$ 2.131.174. Muito mais alto do que os R$ 1.688.960 necessários. Isso por força do reinvestimento 
dos cupons a taxas bem mais altas. 
Importante colocar que estou usando Valor Presente no ano 4, para indicar qual seria o valor disponível 
(valor do título + cupom + cupons reinvestidos) no ano 4. 
Há inúmeras técnicas para gestão e imunização de portfólios complexos, mas, prioritariamente, são 
técnicas numéricas, com programação em softwares específicos, rebalanceamento etc. 
São técnicas muitas vezes específicas de cada fundo, às vezes até de propriedade desses fundos. Em relação 
à teoria de imunização há muitas formas de se abordar, mas entendo que a tratada até aqui atinge os 
objetivos de compreensão necessários para fazer a prova de concursos de alto nível. 
Serão suficientes para fazer os exercícios a seguir. 
 
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3 - CUSTOS DE TRANSAÇÃO 
 
3.1 – Custos de transação relacionados aos mercados 
De foram geral, os custos de transação são despesas incorridas na compra ou venda de um bem ou serviço. 
Eles representam o trabalho necessário para colocar um bem ou serviço no mercado, dando origem a 
indústrias inteiras dedicadas a facilitar essas trocas. No sentido financeiro, os custos de transação incluem 
comissões e spreads dos intermediários, que são as diferenças entre o preço que de venda de um ativo e o 
preço líquido que é recebido. 
Vimos em aulas anteriores que o Tesouro Direto cobra preços diferentes, mais altos se você for comprar, e 
mais baixos se você for vender para eles. Essa diferença, o spread, é o que banca as operações do 
intermediário. 
Outro exemplo são os custos de colocação de títulos num processo de distribuição. Normalmente o 
investidor paga, por exemplo, 10 reais na ação, mas o emissor recebe isso menos as comissões, por hipótese, 
R$ 9,95. 
De forma resumida, alguns pontos comuns entre os conteúdos sobre custos de transação: 
 Os custos de transação são os pagamentos que, bancos, bolsas, corretoras e intermediários de forma 
geral recebem de compradores e vendedores de ativos financeiros por suas funções de 
intermediação. 
 Os custos de transação costumam ser negligenciados pelos investidores e pela teoria, porém são um 
importante elemento para o cálculo do ganho líquido das operações. 
 Diferentes classes de ativos têm diferentes faixas de custos de transação, a regra indica que os 
investidores devem selecionar classes de ativos com custos que estejam no limite inferior da faixa 
para cada tipo. 
 Os custos de transação só são incorridos quando as compras ou vendas são feitas. Já taxas contínuas 
são encargos associados a um prazo (como taxas de administração de fundos). 
 Os traders e operadores podem minimizar as taxas de transação agregando negociações ou 
adotando uma estratégia de investimento menos ativa. 
Principais custos dos investimentos 
Os investimentos no mercado financeiro têm dois grandes custos principais: impostos e taxas. Os impostos 
são cobrados pelo governo e variam de investimento para investimento. Já no caso das taxas, elas são 
cobradas pelas instituições e intermediários como bancos, corretoras e distribuidoras, e variam de uma para 
a outra. 
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Sempre é importante avaliar os custos antes de entrar na operação, pois uma pequena diferença em um 
montante grande ou por prazo longo, pode aumentar ou reduzir demais os retornos. 
Principais impostos que incorrem em operações financeiras 
O Imposto Sobre Operação Financeira (IOF) e o Imposto de Renda (IR) são os principais impostos que 
incidem sobre os investimentos financeiros. Em ambos os casos, a cobrança do imposto se dá sempre 
sobre o rendimento e não sobre o capital investido. Ou seja, caso você não tenha rendimento na sua 
aplicação, não haverá cobrança nem de IR, nem de IOF. 
Detalhando o Imposto de renda (IR) 
A cobrança do IR varia conforme o investimento que você fizer. Vamos colocar a seguir a regra atual em 
fevereiro de 2024, porém é sempre bom conferir no site: 
https://www.gov.br/receitafederal/pt-br/assuntos/meu-imposto-de-renda/tabelas/2023 
Regras sobre rendimentos de capital. Contam a partir da data de investimento no fundo. 
 
Para operações diretasno mercado, aquele pequeno valor de imposto de 0,005% é quem "conta para a 
Receita Federal" as movimentações do investidor. Esse valor pode ser abatido do imposto a pagar, pois ele 
não tem função de imposto, apenas de controle. 
Na regra atual, a compra e venda de ações com ganho de capital gera um imposto de 15% sobre o ganho de 
capital, 20% se for day trade ou fundo de investimento imobiliário. 
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Os investidores pessoas físicas têm um limite de isenção para alienações de até 20.000 reais em um mês. 
Detalhando o Imposto sobre operação financeira (IOF): 
A cobrança do imposto segue a tabela regressiva de 96% a 3% (a cada dia), em caso de resgate em menos 
de 30 dias de aplicação. E a cobrança se dá dessa forma mesmo. Se sacar seu investimento no primeiro dia, 
paga 96% do rendimento de IOF; se sacar no segundo dia, 93%; no terceiro dia, 90%; e assim 
sucessivamente até o 29º dia, quando você paga 3% de IOF sobre o rendimento e depois disso não há mais 
a cobrança de IOF. 
Principais taxas do mercado financeiro 
Na hora de decidir qual instituição escolher, um fator decisivo pode ser o valor das taxas cobradas. Este é 
um ponto que você deve pesquisar com atenção, pois, ao longo do tempo, a economia em taxas pode fazer 
seu dinheiro render muito mais. Confira a seguir as principais taxas que podem ser cobradas pelas 
instituições financeiras: 
 Taxa de administração: cobrada pelo serviço de administração do seu investimento. Normalmente 
incide sobre o patrimônio líquido dos fundos que são administrados pelos prestadores de serviços 
essenciais. 
 Taxa de custódia: cobrada pelo serviço de guarda dos ativos. No passado era comum cobrar dos 
investidores pessoas físicas, mas há muitas corretoras que não cobram taxa de custódia. Mas dentro 
do sistema, há essa cobrança para bancar o prestador de serviços de custódia. 
 Taxa de corretagem: essa é cobrada diretamente na operação de compra ou venda. 
 Taxas da bolsa: ver a seguir. 
 Comissões: uma proporção do seu rendimento, cobrada pelo serviço de gestão do seu investimento. 
Pode ser uma taxas de administração. 
 Taxa de carregamento: cobrada sobre o valor de cada depósito realizado no investimento. 
Apesar de o investidor, muitas vezes, não enxergar os custos diretos de custódia e até de corretagem, o 
prestador de serviços não faz nada de graça, obviamente, então há custos que a B3 cobra dos 
intermediários. 
Alguns exemplos: 
Para manutenção da conta de custódia, é isento para investidor residente e custa (fev/2024) R$ 152,85 por 
mês. 
E também há cobrança de taxa sobre o valor em custódia. Por exemplo, para quem tem entre R$ 24.164,73 
e R$ 100.000, há uma taxa de 0,05% ao ano. 
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Nas operações comuns, ainda que a corretora isente o custo de corretagem, o investidor paga taxa de 
emolumentos e taxas de negociação e liquidação. 
Mais detalhes nesse link AQUI. 
Custos contínuos versus custos pontuais de transação 
Como já dito, taxas contínuas são taxas cobradas periodicamente ao longo da vida do produto ou serviço. 
Estas taxas estão normalmente associadas a produtos ou serviços que requerem manutenção ou gestão 
contínua, como a gestão e administração de um fundo de investimento. 
Os custos de transação são taxas cobradas cada vez que ocorre uma transação específica, como nas 
corretagens e custos da B3. 
Normalmente as taxas contínuas são medidas em percentuais por ano, e os custos de transação podem ser 
por valor fixo (R$ 10,00 por transação) ou percentual, como no caso das taxas da B3. 
O investidor precisa ficar atento a informações dos fundos em que investe, para verificar se os custos de 
transação não estão implicando em perda desproporcional de rentabilidade. Há custos de administração, 
mas também há custos de corretagem nas operações realizadas pelo fundo, e estes precisam ser 
monitorados. 
3.2 – Teoria econômica de custos de transação 
O conceito de custos de transação foi formalmente introduzido por Ronald Coase em 1937 para explicar a 
existência de empresas (elas existiriam para reduzir esses custos). Ele teorizou que as transações através de 
mecanismos de mercado incorrem em custos, particularmente os custos de procura das contrapartes na 
troca e custos de celebração e execução de contratos. 
Em resumo, para realizar uma transação de mercado é necessário descobrir com quem se deseja negociar, 
conduzir negociações que conduzam o negócio que lhe interessa (barganha), redigir o contrato, realizar a 
inspeção necessária para garantir que os termos do contrato estão sendo observados e assim por diante. 
Os custos, segundo Coase, são: 
 custos de pesquisa e informação - envolvidos em encontrar o produto/serviço de interesse. Por isso 
que as "firmas existem", para reduzir esse custo, criando sistemas logísticos, de propaganda, lojas 
de rua etc. 
 custos de negociação e decisão - representa o envolvimento do interessado com a negociação, o 
esforço e trabalho que existe para tomar a decisão de qual produto ou serviço comprar. 
 custos de policiamento e fiscalização - associados com o enforcement do cumprimento dos 
contratos, envolve custos judiciais, de policiamento etc. 
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Como se nota, não são necessariamente custos de mercado ou diretos da operação. 
 
 
 
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LISTA DE QUESTÕES 
 
As questões aqui colocadas não estão associadas diretamente à banca dos concursos, foram escolhidas para 
cobrirem os principais modelos e as principais formas de trabalhar os temas. Foi feita uma varredura nos 
bancos de dados até janeiro de 2024, e praticamente todas as questões disponíveis (exceto algumas 
repetidas) estão na lista a seguir. 
Seguem os enunciados sem resolução. No capítulo seguinte os resultados com os comentários. 
 
 
01. Ano: 2023 Banca: Quadrix Órgão: IPREV-DF Prova: Quadrix - 2023 - IPREV-DF - Analista 
Previdenciário - Especialista em Investimentos 
De acordo com os instrumentos de renda fixa, julgue o item. 
Um título de 5 anos que é zero cupom tem duration menor do que um título de 5 anos que paga cupom 
semestralmente. 
• Certo 
• Errado 
 
02. Ano: 2023 Banca: CESGRANRIO Órgão: AGERIO Prova: CESGRANRIO - 2023 - AGERIO - Analista de 
Desenvolvimento / Crédito, Risco e Finanças 
Uma pessoa investe R$ 1.000,00 comprando uma debênture emitida pela empresa X, a qual vai usar este 
recurso para construir um galpão que ficará pronto 6 meses após a captação dos recursos. A empresa X 
pagará de volta, à pessoa investidora, duas parcelas de R$ 600,00: a primeira será 1 ano após, e a segunda, 
2 anos após a captação do recurso. 
A duration dessa debênture é 
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A) 6 meses 
B) 1 ano 
C) 1,5 anos 
D) entre 1 e 2 anos 
E) mais do que 2 anos 
 
03. Ano: 2018 Banca: FCC Órgão: ALESE Prova: FCC - 2018 - ALESE - Analista Legislativo - Economia 
Um título perpétuo que garante uma taxa de juros de 5% a.a. apresenta uma duration de 
A) 21. 
B) 19. 
C) 19,5. 
D) 20. 
E) 20,5. 
𝐷 =
1 + 𝑖
𝑖
= 1 +
1
𝑖
= 1 =
1
0,05
= 21 
 
04. Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: Petrobras Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - 
Petrobras - Economia 
Considerando-se que a formação do preço dos títulos no mercado relaciona-se com o comportamento da 
taxa de juros, julgue o item subsequente. 
Quanto maior for a taxa de cupom de um título prefixado,menor será a duration e, portanto, menor será a 
variação do título em resposta à oscilação da taxa de juros de mercado. 
 Certo 
 Errado 
 
05. Ano: 2023 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: SEFIN de Fortaleza - CE Prova: CESPE / CEBRASPE - 
2023 - SEFIN de Fortaleza - CE - Analista Fazendário Municipal - Área de Conhecimento: Ciências 
Econômicas/Finanças 
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No que se refere à relação entre risco e retorno em finanças e à maneira como essa dinâmica afeta o 
apreçamento de ativos, julgue o item a seguir. 
A duration é definida como a média ponderada dos prazos de um fluxo de pagamentos e, quanto maior for 
essa média, menor será o efeito de variações da taxa de mercado no preço de um título de renda fixa. 
 Certo 
 Errado 
 
06. Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: Telebras Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - Telebras 
- Especialista em Gestão de Telecomunicações – Finanças 
Considerando que um título padrão de mercado tem pagamento anual de cupom e taxa de juros de 10% ao 
ano, julgue o item a seguir. 
Se a taxa anual de cupom for de 8%, a duration do título será: 
 
 Certo 
 Errado 
 
07. Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: Petrobras Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - 
Petrobras - Economia 
Considerando-se que a formação do preço dos títulos no mercado relaciona-se com o comportamento da 
taxa de juros, julgue o item subsequente. 
Há relação inversa entre a duration de um título e a taxa de juros de mercado. 
 Certo 
 Errado 
 
08. Ano: 2013 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: BACEN Prova: CESPE - 2013 - BACEN - Analista - 
Política Econômica e Monetária 
Julgue o item a seguir, relativo à precificação de títulos e ativos. 
A duration modificada de uma letra financeira do Tesouro (LFT), com prazo de maturidade superior a uma 
letra do Tesouro Nacional (LTN), será, necessariamente, maior que a da LTN. 
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 Certo 
 Errado 
 
09. Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: Petrobras Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - 
Petrobras - Economia 
Considerando-se que a formação do preço dos títulos no mercado relaciona-se com o comportamento da 
taxa de juros, julgue o item subsequente. 
Um título pós-fixado com prazo de maturidade superior ao de um título prefixado terá uma duration 
modificada menor. 
 Certo 
 Errado 
 
10. Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: Telebras Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - Telebras 
- Especialista em Gestão de Telecomunicações – Finanças 
Considerando que um título padrão de mercado tem pagamento anual de cupom e taxa de juros de 10% ao 
ano, julgue o item a seguir. 
Se esse título for transformado para um título sem cupom, a duration modificada será, ceteris paribus, 
elevada. 
 Certo 
 Errado 
 
11. Ano: 2013 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: BACEN Prova: CESPE - 2013 - BACEN - Analista - 
Política Econômica e Monetária 
Julgue o item a seguir, relativo à precificação de títulos e ativos. 
Se a taxa de juros de mercado for igual a 25% ao ano, então um título sem cupom e com prazo de 
vencimento de 4 anos possuirá duration modificada igual a 3,2. 
 Certo 
 Errado 
 
12. Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: SECONT-ES Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - 
SECONT-ES - Auditor do Estado - Ciências Econômicas 
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Tendo em vista os principais modelos de análise de investimento e os instrumentos utilizados pelos agentes 
de mercado, julgue o item seguinte. 
Um título público brasileiro com taxa de juros de 10%, sem cupom e com prazo de vencimento de cinco 
anos, possui duration modificada menor que 5. 
 Certo 
 Errado 
 
13. Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: Telebras Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - Telebras 
- Especialista em Gestão de Telecomunicações – Finanças 
Em relação à precificação de títulos e ativos, julgue o item seguinte. 
Um título sem cupom, com prazo de vencimento de 6 anos, valor de face padrão de mercado, possui 
duration modificada de 5,0, considerando-se que a taxa de juros de mercado é de 20% ao ano. 
 Certo 
 Errado 
 
14. Ano: 2015 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: Telebras Prova: CESPE - 2015 - Telebras - Analista 
Superior - Finanças 
Uma carteira é formada por dois títulos de renda fixa A e B, ambos adquiridos na emissão pelo seu valor de 
face de R$ 1.000,00. O título A, com vencimento em 4 anos, oferece rendimentos de 10% ao ano, pagos 
anualmente, sendo amortizado em parcelas iguais a cada ano. O título B, com vencimento em 2 anos, 
oferece o mesmo rendimento, embora com pagamentos semestrais, sendo amortizado em parcela única 
no vencimento. 
Assuma ainda que (1,10)-1 = 0,9; (1,10)-2 = 0,8; (1,10)-3 = 0,8; (1,10)-4 = 0,7; (1,05)-1 = 1; (1,05)-2 = 0,9; (1,05)-3 = 
0,9 e (1,05)-4 = 0,8. 
Com base nessas informações, julgue o item a seguir. 
A duration de Macaulay da carteira é superior a 2,2 anos. 
 Certo 
 Errado 
 
15. Ano: 2011 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: PREVIC Prova: CESPE - 2011 - PREVIC - Especialista 
em Previdência Complementar - Finanças e Contábil 
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Outros conceitos utilizados na gestão dos riscos financeiros são a convexidade e a duration, sendo a 
convexidade o efeito de segunda ordem que descreve como a duration sofre alteração em mudanças na 
taxa de retorno e a duration o efeito de primeira ordem utilizado na mensuração da sensibilidade do preço 
de um ativo às variações nas taxas de retornos. 
 Certo 
 Errado 
 
16. CESPE - Especialista em Previdência Complementar (PREVIC)/Finanças e Contábil/2011/ 
Acerca de finanças, julgue o item. 
Na construção da curva a termo, os modelos de não arbitragem indicam que as taxas a termo podem ser 
utilizadas para se travar a taxa de juros futura sem a preocupação de validade da hipótese de expectativas. 
Outros conceitos utilizados na gestão dos riscos financeiros são a convexidade e a duration, sendo a 
convexidade o efeito de segunda ordem que descreve como a duration sofre alteração em mudanças na 
taxa de retorno e a duration o efeito de primeira ordem utilizado na mensuração da sensibilidade do preço 
de um ativo às variações nas taxas de retorno. 
 Certo 
 Errado 
 
17. CESGRANRIO - Analista do Banco Central do Brasil/Área 3/2009 
Um poupador compra um título federal que promete um pagamento fixo de R$ 100,00, no prazo de um mês. 
No dia seguinte à compra, as taxas de juros na economia diminuem substancialmente. 
 Nesse caso, o(s) 
a) poupador terá um grande prejuízo. 
b) título pagará menos que R$ 100,00 no vencimento. 
c) preço do título no mercado aumentará. 
d) preços das ações na bolsa diminuirão, devido aos juros mais baixos. 
e) preços dos imóveis diminuirão, devido aos juros mais baixos. 
 
18. ESAF - Analista de Finanças e Controle (STN)/Economico-Financeira/2005 
O risco de mercado de um título de renda fixa é 
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a) sempre igual a zero, porque o preço de um título de renda fixa não depende do comportamento do 
mercado de ações. 
b) sempre igual a zero, caso não tenha risco de crédito. 
c) decorrente da sensibilidade do preço do título à variação da taxa de juros de mercado. 
d) igual à duração do título. 
e) sempre maior do que o risco de mercado de uma ação. 
 
19. ESAF - Auditor Fiscal da Previdência Social/Auditoria nas Entidades Fechadas de Previdência 
Complementar/2002 
A duração de uma carteira de títulos de renda fixa certamente aumenta, quando: 
a) as autoridadesmonetárias decidem elevar a taxa básica de juros, provocando aumentos generalizados 
das taxas de juros de mercado. 
b) a carteira é recomposta com a substituição de títulos de prazo mais longo por títulos de prazo mais curto. 
c) aumentam as expectativas de inflação, resultando aumentos das taxas de juros de mercado. 
d) o administrador da carteira aumenta as aplicações em títulos com prazos mais curtos de vencimento. 
e) algumas notícias fazem com que caiam os prêmios de risco de crédito exigidos dos emitentes de alguns 
dos títulos contidos na carteira. 
 
20. CESGRANRIO - Profissional Básico (BNDES)/Economia/2011 
Um investidor aplica R$ 1.000,00 em uma debênture que vai remunerá-lo em quatro parcelas consecutivas 
de R$ 300,00, espaçadas de 1 ano, a primeira sendo devida 12 meses após a data do investimento. 
A duration de tal aplicação é 
a) de 4 anos 
b) de 3 anos 
c) de 2,5 anos 
d) maior que 1 ano e menor que 2,5 anos 
e) maior que 6 meses e menor que 1 ano 
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21. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 3 - Política Econômica e Monetária/2013/ 
Julgue o item a seguir, relativo à precificação de títulos e ativos. 
Se a taxa de juros de mercado for igual a 25% ao ano, então um título sem cupom e com prazo de 
vencimento de 4 anos possuirá duration modificada igual a 3,2. 
 Certo 
 Errado 
 
22. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 3 - Política Econômica e Monetária/2013/ 
Julgue o item a seguir, relativo à precificação de títulos e ativos. 
A duration modificada de uma letra financeira do Tesouro (LFT), com prazo de maturidade superior a uma 
letra do Tesouro Nacional (LTN), será, necessariamente, maior que a da LTN. 
 Certo 
 Errado 
 
23. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4 - Contabilidade e Finanças/2013/ 
No que se refere à precificação de títulos públicos e privados, julgue o item subsecutivo. 
O aumento da taxa de juros de mercado reduz o preço dos títulos pré-fixados, sendo essa variação maior 
quanto menor for a taxa de cupom. 
 Certo 
 Errado 
 
24. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4 - Contabilidade e Finanças/2013/ 
No que se refere à precificação de títulos públicos e privados, julgue o item subsecutivo. 
Se forem dada a maturidade e a rentabilidade inicial de um título pré-fixado, então, quanto menor for a taxa 
de cupom, menor será a variação percentual no preço do título decorrente de oscilações na taxa de juros de 
mercado. 
 Certo 
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 Errado 
 
25. FCC - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4/2006 
Dois títulos de renda fixa, A e B, apresentam a mesma duração e o mesmo retorno. O bônus B é mais 
convexo que o bônus A. Isto implica que, caso o retorno do mercado se altere, 
a) o bônus B apresentará sempre um preço mais elevado. 
b) o bônus A apresentará sempre um preço mais elevado. 
c) o bônus A deve ser escolhido em caso de alta nas taxas de mercado. 
d) o bônus B apresentará maior perda de capital em caso de alta nas taxas de mercado. 
e) o bônus A deve ser escolhido em caso de queda nas taxas de mercado. 
 
26. ESAF - Analista do Banco Central do Brasil/Supervisão/2002 
Um título de renda fixa vence daqui a três anos. Seu valor de face é igual a R$1000,00. O título será 
amortizado em duas parcelas de R$500,00, a primeira daqui a dois anos e a segunda na data de vencimento 
do título. O título paga juros de 6% a cada semestre. Sabendo-se que a estrutura a termo de taxas de juros 
para o mesmo nível de risco de crédito do título é a que se vê apresentada na tabela a seguir, então a duração 
do título, em semestres, é igual a: 
 
a)4,74 
b)4,65 
c)4,27 
d)4,43 
e)4,54 
 
27. ESAF - Analista do Banco Central do Brasil/Geral/2001 
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Um título de renda fixa vence daqui a quatro anos. Durante esse prazo, promete pagamentos anuais de juros 
de 15% sobre um valor de face de R$1.000,00. A amortização do principal ocorre integralmente no final do 
prazo do título. 
Sabendo-se que o título está sendo negociado à taxa de mercado de 17% ao ano, então a duração do título 
é 
a) 3,15 anos 
b) 3,26 anos 
c) 4,00 anos 
d) 3,82 anos 
e) 2,91 anos 
 
28. ESAF - Analista de Finanças e Controle (STN)/Economico-Financeira/2008 
Outros fatores mantidos constantes, a duração de um título de renda fixa é tanto mais alta quanto 
a) mais alto o preço corrente de mercado do título. 
b) mais curto o prazo de vencimento do título. 
c) mais elevada a taxa contratada de juros do título. 
d) mais altas são as taxas de juros de mercado para títulos com o mesmo nível de risco. 
e) menos sensível é o preço de mercado do título a uma variação das taxas de juros de mercado. 
 
29. ESAF - Analista de Finanças e Controle (STN)/Economico-Financeira/2002 
A duração de uma carteira de títulos de renda fixa não é uma medida apropriada da sensibilidade do valor 
da carteira ao risco de variação de taxas de juros de mercado porque: 
a) Não há relação entre a sensibilidade do valor da carteira e a duração da carteira. 
b) A relação entre o valor da carteira e a taxa de mercado não é linear. 
c) A sensibilidade do valor da carteira é crescente com o nível da taxa de juros, e não depende da duração 
da carteira. 
d) A duração não leva em conta os valores de mercado dos títulos componentes da carteira. 
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e) A duração da carteira não é afetada pela variação das taxas de juros de mercado. 
 
30. ESAF - Analista de Finanças e Controle (STN)/Economico-Financeira/2013/ 
Conforme indicado pela duração de um título de renda fixa com cupom, mas no qual não há opções 
implícitas, a exposição do preço unitário do título a um deslocamento paralelo da curva de taxas de juros de 
mercado é tanto maior quanto, supondo outros fatores constantes: 
a) menor o peso do título na carteira do investidor. 
b) mais curto o prazo de vencimento do título. 
c) mais elevado o nível original geral das taxas de juros. 
d) mais alta a taxa passada de inflação. 
e) menor a taxa de cupom do título. 
 
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QUESTÕES COMENTADAS COM GABARITO 
 
As respostas estão associadas ao número das questões do capítulo anterior, com comentários logo a seguir. 
 
01. Ano: 2023 Banca: Quadrix Órgão: IPREV-DF Prova: Quadrix - 2023 - IPREV-DF - Analista 
Previdenciário - Especialista em Investimentos 
De acordo com os instrumentos de renda fixa, julgue o item. 
Um título de 5 anos que é zero cupom tem duration menor do que um título de 5 anos que paga cupom 
semestralmente. 
• Certo 
• Errado 
Gabarito errado. Como sabemos, um título de 5 anos sem cupom, tem duração igual à maturidade, 5 anos. E 
qualquer título que tiver pagamentos entre o ano zero e ano 5, terá uma duração MENOR do que a do título zero 
cupom. 
 
02. Ano: 2023 Banca: CESGRANRIO Órgão: AGERIO Prova: CESGRANRIO - 2023 - AGERIO - Analista de 
Desenvolvimento / Crédito, Risco e Finanças 
Uma pessoa investe R$ 1.000,00 comprando uma debênture emitida pela empresa X, a qual vai usar este 
recurso para construir um galpão que ficará pronto 6 meses após a captação dos recursos. A empresa X 
pagará de volta, à pessoa investidora, duas parcelas de R$ 600,00: a primeira será 1 ano após, e a segunda, 
2 anos após a captação do recurso. 
A duration dessa debênture é 
A) 6 meses 
B) 1 ano 
C) 1,5 anos 
D) entre 1 e 2 anos 
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E) mais do que 2 anos 
Gabarito D 
Temos 2 recebimentos, 600 no ano 1 e 600 no ano 2, para fazer frente à dívida de 1.000 reais. 
Sabemos que a duração não pode ser 2, pois temos cupons entre ZERO e 2. Sabemos também que não pode ser 
menor do que um, pois só temos um pagamento de 600 até o ano 1, portanto, não cobriria o valor presente do 
título (1000 reais). 
Sabemos que será entre 1 e 2, mas não sabemos quanto, pois não temos a taxa de desconto. 
 
03. Ano: 2018 Banca: FCC Órgão: ALESE Prova: FCC - 2018 - ALESE - Analista Legislativo - Economia 
Um título perpétuo que garante uma taxa de juros de 5% a.a. apresenta uma duration de 
A) 21. 
B) 19. 
C) 19,5. 
D) 20. 
E) 20,5. 
Gabarito A 
𝐷 =
1 + 𝑖
𝑖
= 1 +
1
𝑖
= 1 =
1
0,05
= 21 
 
04. Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: Petrobras Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - 
Petrobras - Economia 
Considerando-se que a formação do preço dos títulos no mercado relaciona-se com o comportamento da 
taxa de juros, julgue o item subsequente. 
Quanto maior for a taxa de cupom de um título prefixado, menor será a duration e, portanto, menor será a 
variação do título em resposta à oscilação da taxa de juros de mercado. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito – Certo 
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Via de regra, quanto maior o “peso” dos pagamentos que ocorrem mais cedo, como os cupons, menor será a 
duração. E quanto menor a duração, menor a sensibilidade à taxa de juros. 
Um exemplo com título de 5 anos, com cupons diversos, e taxa de desconto de 10%. 
 
 
 
05. Ano: 2023 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: SEFIN de Fortaleza - CE Prova: CESPE / CEBRASPE - 
2023 - SEFIN de Fortaleza - CE - Analista Fazendário Municipal - Área de Conhecimento: Ciências 
Econômicas/Finanças 
No que se refere à relação entre risco e retorno em finanças e à maneira como essa dinâmica afeta o 
apreçamento de ativos, julgue o item a seguir. 
Cupom Duration
0% 5,0000 
1% 4,8740 
5% 4,4879 
10% 4,1699 
15% 3,9532 
20% 3,7961 
100% 3,1183 
-100,00%
-50,00%
0,00%
50,00%
100,00%
150,00%
200,00%
250,00%
300,00%
350,00%
0,0% 2,0% 4,0% 6,0% 8,0% 10,0% 12,0% 14,0% 16,0%
Sem cupom/10 anos Sem cupom/20 anos
5% cupom/10 anos 5% cupom/20 anos
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A duration é definida como a média ponderada dos prazos de um fluxo de pagamentos e, quanto maior for 
essa média, menor será o efeito de variações da taxa de mercado no preço de um título de renda fixa. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito – Errado 
Sobre a primeira afirmação: 
𝐷 =
∑
𝐹𝑡. 𝑡
(1 + 𝑖)𝑡
𝑛
𝑡=1
∑
𝐹𝑡
(1 + 𝑖)𝑡
𝑛
𝑡=1
 
Está correta, porém, quanto maior a duration, MAIOR a sensibilidade às taxas de juros e não menor. 
 
06. Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: Telebras Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - Telebras 
- Especialista em Gestão de Telecomunicações – Finanças 
Considerando que um título padrão de mercado tem pagamento anual de cupom e taxa de juros de 10% ao 
ano, julgue o item a seguir. 
Se a taxa anual de cupom for de 8%, a duration do título será: 
 
 Certo 
 Errado 
Gabarito – Errado 
𝐷 =
∑
𝐹𝑡. 𝑡
(1 + 𝑖)𝑡
𝑛
𝑡=1
∑
𝐹𝑡
(1 + 𝑖)𝑡
𝑛
𝑡=1
 
 
07. Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: Petrobras Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - 
Petrobras - Economia 
Considerando-se que a formação do preço dos títulos no mercado relaciona-se com o comportamento da 
taxa de juros, julgue o item subsequente. 
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Há relação inversa entre a duration de um título e a taxa de juros de mercado. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito – Certo 
 
Sabemos que, quando aumenta o juro de mercado, a tendência é cair o valor do título, o que faz sua taxa 
aumentar. E esse aumento da taxa de desconto do título também faz cair a duração. 
No exemplo acima, título de 5 anos, principal de 1.000 e taxa de cupom de 10%. 
 
08. Ano: 2013 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: BACEN Prova: CESPE - 2013 - BACEN - Analista - 
Política Econômica e Monetária 
Julgue o item a seguir, relativo à precificação de títulos e ativos. 
A duration modificada de uma letra financeira do Tesouro (LFT), com prazo de maturidade superior a uma 
letra do Tesouro Nacional (LTN), será, necessariamente, maior que a da LTN. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito – Errado 
LTN é título zero-coupon: 
𝑉𝑃 = 
1.000
(1 + 𝑌𝑇𝑀)𝑛
 
LFT é título pós-fixado, portanto acrescenta os juros ao principal a cada período de um dia e tem uma data de 
maturidade. 
Em títulos pós-fixados, não faz sentido falar em duration, pois o preço do título é desconhecido no futuro, e é 
calculado diariamente. 
Taxa Desconto Duration
0% 4,3333 
1% 4,3177 
5% 4,2535 
10% 4,1699 
15% 4,0829 
20% 3,9933 
100% 2,6098 
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Duration significa a variação percentual aproximada no valor de um título, para uma oscilação de 1% (100 
pontos base, ou basis points) na taxa de juros. 
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑠𝑒 𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑐𝑎𝑖 ∆𝑖 − 𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑠𝑒 𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑒 ∆𝑖
2(𝑃𝑟𝑒ç𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑜𝑢 𝑏𝑎𝑠𝑒)(𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 ∆𝑖)
=
𝑉− − 𝑉+
2(𝑉0)(∆𝑖)
 
Em princípio o preço do título não vai depender da taxa de juros, apenas dos ajustes diários. Pode-se entender 
que a duration é zero (não há alteração no título) ou que ela corresponde ao período em que o título rendeu (um 
dia útil). De qualquer forma, será MENOR que o da LTN. 
 
09. Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: Petrobras Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - 
Petrobras - Economia 
Considerando-se que a formação do preço dos títulos no mercado relaciona-se com o comportamento da 
taxa de juros, julgue o item subsequente. 
Um título pós-fixado com prazo de maturidade superior ao de um título prefixado terá uma duration 
modificada menor. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito – Certo 
𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝑀𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝐷𝑀 = 
𝐷 (𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑐𝑎𝑢𝑙𝑎𝑦)
(1 + 𝑖)
 
A duração modificada indica a alteração no VALOR do título para cada oscilação de 1% na taxa de juros. 
Da mesma forma, não faz sentido calcular isso para títulos pós-fixados que vão ajustar as taxas de juros 
diariamente. Se subir a SELIC, eles também vão acompanhar. Por isso são pós-fixados. 
Dessa forma, considerando uma duração ZERO, pois não haverá alteração no título derivada das taxas de juros 
(não há desconto, apenas capitalização), ela será menor que a de um prefixado. 
 
10. Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: Telebras Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - Telebras 
- Especialista em Gestão de Telecomunicações – Finanças 
Considerando que um título padrão de mercado tem pagamento anual de cupom e taxa de juros de 10% ao 
ano, julgue o item a seguir. 
Se esse título for transformado para um título sem cupom, a duration modificada será, ceteris paribus, 
elevada. 
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 Certo 
 Errado 
Gabarito – Certo 
𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝑀𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝐷𝑀 = 
𝐷 (𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑐𝑎𝑢𝑙𝑎𝑦)
(1 + 𝑖)
 
Questão complexa e com pouco fundamento. Entendo que essa alteração seja transformar um título que vale 
X, com pagamentos de cupons, em outro título que vale X, porém só com pagamento ao final. Nesse caso, 
teríamos a duração de Macaulay máxima, que é na maturidade. Considerando que a taxa de juros não vai 
mudar, a duração modificada também será elevada.11. Ano: 2013 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: BACEN Prova: CESPE - 2013 - BACEN - Analista - 
Política Econômica e Monetária 
Julgue o item a seguir, relativo à precificação de títulos e ativos. 
Se a taxa de juros de mercado for igual a 25% ao ano, então um título sem cupom e com prazo de 
vencimento de 4 anos possuirá duration modificada igual a 3,2. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito – Certo 
𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝑀𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝐷𝑀 = 
𝐷 (𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑐𝑎𝑢𝑙𝑎𝑦)
(1 + 𝑖)
=
4
1 + 0,25
= 3,2 
 
12. Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: SECONT-ES Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - 
SECONT-ES - Auditor do Estado - Ciências Econômicas 
Tendo em vista os principais modelos de análise de investimento e os instrumentos utilizados pelos agentes 
de mercado, julgue o item seguinte. 
Um título público brasileiro com taxa de juros de 10%, sem cupom e com prazo de vencimento de cinco 
anos, possui duration modificada menor que 5. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito – Certo 
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𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝑀𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝐷𝑀 = 
𝐷 (𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑐𝑎𝑢𝑙𝑎𝑦)
(1 + 𝑖)
 
 
13. Ano: 2022 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: Telebras Prova: CESPE / CEBRASPE - 2022 - Telebras 
- Especialista em Gestão de Telecomunicações – Finanças 
Em relação à precificação de títulos e ativos, julgue o item seguinte. 
Um título sem cupom, com prazo de vencimento de 6 anos, valor de face padrão de mercado, possui 
duration modificada de 5,0, considerando-se que a taxa de juros de mercado é de 20% ao ano. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito – Certo 
𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝑀𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝐷𝑀 = 
𝐷 (𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑐𝑎𝑢𝑙𝑎𝑦)
(1 + 𝑖)
=
6
1 + 0,2
= 5 
 
14. Ano: 2015 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: Telebras Prova: CESPE - 2015 - Telebras - Analista 
Superior - Finanças 
Uma carteira é formada por dois títulos de renda fixa A e B, ambos adquiridos na emissão pelo seu valor de 
face de R$ 1.000,00. O título A, com vencimento em 4 anos, oferece rendimentos de 10% ao ano, pagos 
anualmente, sendo amortizado em parcelas iguais a cada ano. O título B, com vencimento em 2 anos, 
oferece o mesmo rendimento, embora com pagamentos semestrais, sendo amortizado em parcela única 
no vencimento. 
Assuma ainda que (1,10)-1 = 0,9; (1,10)-2 = 0,8; (1,10)-3 = 0,8; (1,10)-4 = 0,7; (1,05)-1 = 1; (1,05)-2 = 0,9; (1,05)-3 = 
0,9 e (1,05)-4 = 0,8. 
Com base nessas informações, julgue o item a seguir. 
A duration de Macaulay da carteira é superior a 2,2 anos. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito – Certo - Duvidoso 
Vamos supor que o valor presente de ambos os títulos seja 1.000. 
𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝐴 𝑥 1.000 =
(100 + 250).1
1,10
+
(75 + 250).2
1,102
+
(50 + 250).3
1,103
+
(25 + 250).4
1,104
 
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 53 
𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝐴 𝑥 1.000 = 350.0,9 + 650.0,8 + 900.0,8 + 1.100.0,7 = 2.325 
𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝐴 = 2,325 
𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝐵 𝑥 1.000 =
(50).0,5
1,05
+
(50).1
1,052
+
(50).1,5
1,053
+
(50 + 1.000).2
1,054
 
𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝐵 𝑥 1.000 = 25.1 + 50.0,9 + 75.0,9 + 2.100.0,8 = 1.817,5 
𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝐵 = 1,8175 
Como o portfólio tem dois ativos, com o mesmo peso, a duração será (2,325+1,8175)/2=2,07125 
O que eu acho que eles fizeram. Colocaram a amortização, mas esqueceram que os juros só incidem sobre o 
saldo devedor, portanto, após amortizar 250, só há incidência de juros sobre 750 e não mais sobre mil. Se 
fizeram assim: 
𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝐴 𝑥 1.000 =
(100 + 250).1
1,10
+
(100 + 250).2
1,102
+
(100 + 250).3
1,103
+
(100 + 250).4
1,104
 
𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝐴 𝑥 1.000 = 350.0,9 + 700.0,8 + 1.050.0,8 + 1.400.0,7 = 2.695 
𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝑃𝑜𝑟𝑡𝑓ó𝑙𝑖𝑜 =
2,695 + 1,8175
2
= 2,25 
 
15. Ano: 2011 Banca: CESPE / CEBRASPE Órgão: PREVIC Prova: CESPE - 2011 - PREVIC - Especialista 
em Previdência Complementar - Finanças e Contábil 
Outros conceitos utilizados na gestão dos riscos financeiros são a convexidade e a duration, sendo a 
convexidade o efeito de segunda ordem que descreve como a duration sofre alteração em mudanças na 
taxa de retorno e a duration o efeito de primeira ordem utilizado na mensuração da sensibilidade do preço 
de um ativo às variações nas taxas de retornos. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito – Certo 
A duration mede a sensibilidade do preço à alteração nas taxas de retornos, e a convexidade mede a 
sensibilidade da duration com as mudanças na taxa de retorno. É a derivada primeira e segunda. 
 
16. CESPE - Especialista em Previdência Complementar (PREVIC)/Finanças e Contábil/2011/ 
Acerca de finanças, julgue o item. 
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 54 
Na construção da curva a termo, os modelos de não arbitragem indicam que as taxas a termo podem ser 
utilizadas para se travar a taxa de juros futura sem a preocupação de validade da hipótese de expectativas. 
Outros conceitos utilizados na gestão dos riscos financeiros são a convexidade e a duration, sendo a 
convexidade o efeito de segunda ordem que descreve como a duration sofre alteração em mudanças na 
taxa de retorno e a duration o efeito de primeira ordem utilizado na mensuração da sensibilidade do preço 
de um ativo às variações nas taxas de retorno. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito Certo 
Especificamente sobre nossos temas, duração e convexidade, a definição apresentada na questão é 
precisamente a definição que apresentamos no texto. A convexidade seria a derivada-segunda do valor 
presente valor presente do título em função da taxa de juros e a duração seria a derivada primeira. Ela mede a 
sensibilidade do preço do ativo às variações das taxas de juros. 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 % 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 = −𝐷𝑢𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 × ∆𝑖 × 100 
 
17. CESGRANRIO - Analista do Banco Central do Brasil/Área 3/2009 
Um poupador compra um título federal que promete um pagamento fixo de R$ 100,00, no prazo de um mês. 
No dia seguinte à compra, as taxas de juros na economia diminuem substancialmente. 
 Nesse caso, o(s) 
a) poupador terá um grande prejuízo. 
b) título pagará menos que R$ 100,00 no vencimento. 
c) preço do título no mercado aumentará. 
d) preços das ações na bolsa diminuirão, devido aos juros mais baixos. 
e) preços dos imóveis diminuirão, devido aos juros mais baixos. 
Gabarito C 
Aplicação direta das técnicas de valor presente. Se as taxas aumentam, o valor do título diminuirá, se as taxas 
caem, o título sobe de valor (supondo pagamento fixo ao final). 
 
18. ESAF - Analista de Finanças e Controle (STN)/Economico-Financeira/2005 
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O risco de mercado de um título de renda fixa é 
a) sempre igual a zero, porque o preço de um título de renda fixa não depende do comportamento do 
mercado de ações. 
b) sempre igual a zero, caso não tenha risco de crédito. 
c) decorrente da sensibilidade do preço do título à variação da taxa de juros de mercado. 
d) igual à duração do título. 
e) sempre maior do que o risco de mercado de uma ação. 
Gabarito C 
a) Não faz qualquer sentido a resposta. Não se falou em mercado de ações. Há mercado de títulos de renda fixa. 
b) Risco de crédito decorre da capacidade de pagamento dos devedores, risco de mercado decorre de variações 
nas taxas de juros. 
c) O risco está relacionado com a sensibilidade do preço às taxas (duração). Quanto maior a duração, mas 
volátil. Essa resposta faz sentido, pois o risco (quantidade) estaria diretamente relacionado à sensibilidade. 
d) O risco de mercado não é uma propriedade do título, portanto não pode ser sua duração. Ele é externo, vem 
de fora, não está nas condições contratuais do título. E a duração muda muito pouco com a variação das taxasno mercado. 
e) Resposta sem sentido, não estamos falando de ações. 
 
19. ESAF - Auditor Fiscal da Previdência Social/Auditoria nas Entidades Fechadas de Previdência 
Complementar/2002 
A duração de uma carteira de títulos de renda fixa certamente aumenta, quando: 
a) as autoridades monetárias decidem elevar a taxa básica de juros, provocando aumentos generalizados 
das taxas de juros de mercado. 
b) a carteira é recomposta com a substituição de títulos de prazo mais longo por títulos de prazo mais curto. 
c) aumentam as expectativas de inflação, resultando aumentos das taxas de juros de mercado. 
d) o administrador da carteira aumenta as aplicações em títulos com prazos mais curtos de vencimento. 
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 56 
e) algumas notícias fazem com que caiam os prêmios de risco de crédito exigidos dos emitentes de alguns 
dos títulos contidos na carteira. 
Gabarito E 
a) Quando todas as taxas aumentam, a duração diminui, via de regra. 
b) O título de prazo mais curto deveria reduzir a duração e não aumentar. 
c) Mesma lógica da letra a), a elevação das taxas faria a duração cair. 
d) Mesma lógica da letra b), títulos mais curtos deveriam reduzir a duração. 
e) Nesse caso falamos de redução nas taxas de juros de alguns títulos, o que faria a duração desses títulos 
aumentar, e na ponderação da carteira, tenderia a fazer a fazer a duração de toda a carteira aumentar. 
 
20. CESGRANRIO - Profissional Básico (BNDES)/Economia/2011 
Um investidor aplica R$ 1.000,00 em uma debênture que vai remunerá-lo em quatro parcelas consecutivas 
de R$ 300,00, espaçadas de 1 ano, a primeira sendo devida 12 meses após a data do investimento. 
A duration de tal aplicação é 
a) de 4 anos 
b) de 3 anos 
c) de 2,5 anos 
d) maior que 1 ano e menor que 2,5 anos 
e) maior que 6 meses e menor que 1 ano 
Gabarito D 
É uma questão capciosa, pois não temos a taxa de juros e, mesmo que tivéssemos, não conseguiríamos calcular 
sem ajuda de uma calculadora eletrônica. Dessa forma a questão, certamente, deve ser respondida por 
exclusão. 
A duration é uma média ponderada dos fluxos de caixa. Já é evidente que não poderia ser 4 (pois há pagamentos 
de cupons em 1, 2, 3 e 4) e não poderia ser 1 ou inferior a 1. 
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Nós também sabemos que a taxa NÃO é zero, pois se fosse, o valor presente do título não seria 1.000, mas sim 
1.200 (somatório dos fluxos descontados à taxa zero). 
Se a taxa fosse zero (o VP seria 1.200), o valor da duration seria: 
𝐷 =
300 ∗ (1 + 2 + 3 + 4)
1200
= 2,5 
Olhe como a questão é maliciosa. Se você utilizasse 1.000 em vez de 1.200, acharia 3, que é uma das opções de 
respostas. Usando 1.200 achou 2,5, que também é uma das opções. 
Mas o 2,5 que achamos é apenas um balizador máximo, ou seja, NÃO é 2,5, pois a taxa não é zero, é maior do 
que zero, portanto a Duration é MENOR do que 2,5. 
Resposta D) 
 
21. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 3 - Política Econômica e Monetária/2013/ 
Julgue o item a seguir, relativo à precificação de títulos e ativos. 
Se a taxa de juros de mercado for igual a 25% ao ano, então um título sem cupom e com prazo de 
vencimento de 4 anos possuirá duration modificada igual a 3,2. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito certo 
A duration do título é, obviamente, 4, pois não há cupom, de forma que o prazo médio tem que ser o prazo de 
maturidade. 
Para achar a duration modificada, divide-se 4 por (1+i), 4 divididos por 1,25 = 3,2. 
 
22. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 3 - Política Econômica e Monetária/2013/ 
Julgue o item a seguir, relativo à precificação de títulos e ativos. 
A duration modificada de uma letra financeira do Tesouro (LFT), com prazo de maturidade superior a uma 
letra do Tesouro Nacional (LTN), será, necessariamente, maior que a da LTN. 
 Certo 
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 Errado 
Gabarito Errado. 
A LFT é um título pós fixado, que segue a SELIC meta. Esse título não tem qualquer sensibilidade à curva de 
juros prefixados, de forma que, sua duração (que é a sensibilidade às variações nas taxas de juros), seria ZERO. 
Dessa forma, pode-se dizer que a questão está ERRADA, pois a duração modificada da LTN sempre será maior 
do que zero. 
 
23. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4 - Contabilidade e Finanças/2013/ 
No que se refere à precificação de títulos públicos e privados, julgue o item subsecutivo. 
O aumento da taxa de juros de mercado reduz o preço dos títulos pré-fixados, sendo essa variação maior 
quanto menor for a taxa de cupom. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito certo. 
Sim, sabemos que o aumento nas taxas reduz o valor de mercado dos títulos prefixados. Sabemos também que, 
quanto maior a taxa do cupom, menor a duração (pesos maiores em períodos mais curtos) e quanto menor a 
taxa do cupom, maior a duração. Quanto maior a duração, maior a sensibilidade à variação da taxa de juros. 
Portanto, questão correta. 
 
24. CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4 - Contabilidade e Finanças/2013/ 
No que se refere à precificação de títulos públicos e privados, julgue o item subsecutivo. 
Se forem dada a maturidade e a rentabilidade inicial de um título pré-fixado, então, quanto menor for a taxa 
de cupom, menor será a variação percentual no preço do título decorrente de oscilações na taxa de juros de 
mercado. 
 Certo 
 Errado 
Gabarito Errado. 
A questão está errada pelo mesmo motivo que a questão anterior está correta. 
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25. FCC - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4/2006 
Dois títulos de renda fixa, A e B, apresentam a mesma duração e o mesmo retorno. O bônus B é mais 
convexo que o bônus A. Isto implica que, caso o retorno do mercado se altere, 
a) o bônus B apresentará sempre um preço mais elevado. 
b) o bônus A apresentará sempre um preço mais elevado. 
c) o bônus A deve ser escolhido em caso de alta nas taxas de mercado. 
d) o bônus B apresentará maior perda de capital em caso de alta nas taxas de mercado. 
e) o bônus A deve ser escolhido em caso de queda nas taxas de mercado. 
Gabarito A 
Vejamos a seguir a fórmula simplificada da variação do preço do título, ajustada pela convexidade e pela 
duração. 
Se os títulos tem o mesmo retorno (taxa), a mesma duração (como a taxa é igual, a duração modificada também 
é) e o B tem convexidade maior, a leitura da fórmula indica que a variação nos preços do título B serão sempre 
maiores (quando se tratar de baixa nos juros) e menores (quando se tratar de alta nos juros). Dessa forma, 
supondo que partam do mesmo valor, o título B terá sempre valor maior do que o título A. 
Aqui convêm falar do item d), pois ele diz que a maior perda de capital seria no bônus B, mas a convexidade 
maior justamente o livre dessa queda maior, pois a convexidade é sempre multiplicada por um número positivo 
(taxa ao quadrado), de forma que entra na fórmula reduzindo a queda calculada pela parcela da duration 
(negativa para alta nas taxas). 
Em resumo, se a taxa cai, ambas as parcelas são positivas, mas o delta V do título B é maior, pela convexidade 
maior. 
Se a taxa sobe, a primeira parcela é negativa (duration), mas o título B cai menos, pois a parcela “explicada” 
pela convexidade é maior e reduz a perda. 
∆𝑉
𝑉
= −𝐷𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎∆𝑖 +
1
2
𝐶(∆𝑖)2 
 
26. ESAF - Analista do Banco Central do Brasil/Supervisão/2002 
Um título de renda fixa vence daqui a três anos. Seu valor de face é igual a R$1000,00. O título será 
amortizado em duas parcelas de R$500,00, a primeiradaqui a dois anos e a segunda na data de vencimento 
do título. O título paga juros de 6% a cada semestre. Sabendo-se que a estrutura a termo de taxas de juros 
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para o mesmo nível de risco de crédito do título é a que se vê apresentada na tabela a seguir, então a duração 
do título, em semestres, é igual a: 
 
a)4,74 
b)4,65 
c)4,27 
d)4,43 
e)4,54 
Gabarito D 
𝑉𝑃𝐹𝐶1 = 
60
(1 + 5,5%)1
= 56,87 ∴ 𝑉𝑃𝐹𝐶1 × 𝑡 = 56,87 × 1 = 56,87 
𝑉𝑃𝐹𝐶2 = 
60
(1 + 5,8%)2
= 53,60 ∴ 𝑉𝑃𝐹𝐶2 × 𝑡 = 53,60 × 2 = 107,20 
𝑉𝑃𝐹𝐶3 = 
60
(1 + 5,9%)3
= 50,52 ∴ 𝑉𝑃𝐹𝐶3 × 𝑡 = 50,52 × 3 = 151,56 
𝑉𝑃𝐹𝐶4 = 
560
(1 + 6,0%)4
= 443,57 ∴ 𝑉𝑃𝐹𝐶4 × 𝑡 = 443,57 × 4 = 1.774,29 
𝑉𝑃𝐹𝐶5 = 
30
(1 + 6,1%)5
= 22,31 ∴ 𝑉𝑃𝐹𝐶5 × 𝑡 = 22,31 × 5 = 111,56 
𝑉𝑃𝐹𝐶6 = 
530
(1 + 6,2%)6
= 369,43 ∴ 𝑉𝑃𝐹𝐶6 × 𝑡 = 369,43 × 6 = 2.216,56 
Somando o VPFC temos o valor presente do título, que é 996,38 
Somando o VPFCxt temos 4.418,05 
Dividindo 4.418,05 por 996,38 temos 4,43, que é a duração do título. 
Aqui vale fazer um comentário sobre a estrutura a termo das taxas de juros. Alguns alunos poderiam achar que 
deveriam descontar cada parcela de cada período pela multiplicação das taxas, tipo ((1 + 5,5%)*(1+5,8%) em 
vez de 1,058 ao quadrado, para o ano 2. 
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Não faria sentido, pois essas taxas são adequadas para títulos de 1, 2, 3, 4, 5 e 6 períodos. Pela teoria das 
expectativas, para manter um título por período mais longo (e esse título com cupons, pode ser entendido como 
6 títulos sem cupons) exige-se uma taxa maior (prêmio pela espera). 
 
27. ESAF - Analista do Banco Central do Brasil/Geral/2001 
Um título de renda fixa vence daqui a quatro anos. Durante esse prazo, promete pagamentos anuais de juros 
de 15% sobre um valor de face de R$1.000,00. A amortização do principal ocorre integralmente no final do 
prazo do título. 
Sabendo-se que o título está sendo negociado à taxa de mercado de 17% ao ano, então a duração do título 
é 
a) 3,15 anos 
b) 3,26 anos 
c) 4,00 anos 
d) 3,82 anos 
e) 2,91 anos 
Gabarito D 
𝑉𝑃𝐹𝐶1 = 
150
(1 + 17%)1
= 128,21 ∴ 𝑉𝑃𝐹𝐶1 × 𝑡 = 128,21 × 1 = 128,21 
𝑉𝑃𝐹𝐶2 = 
150
(1 + 17%)2
= 109,58 ∴ 𝑉𝑃𝐹𝐶2 × 𝑡 = 109,58 × 2 = 219,16 
𝑉𝑃𝐹𝐶3 = 
150
(1 + 17%)3
= 93,66 ∴ 𝑉𝑃𝐹𝐶3 × 𝑡 = 93,66 × 3 = 280,97 
𝑉𝑃𝐹𝐶4 = 
1150
(1 + 17%)4
= 613,70 ∴ 𝑉𝑃𝐹𝐶4 × 𝑡 = 613,70 × 4 = 2454,79 
Somando o VPFC temos o valor presente do título, que é 941,21 
Somando o VPFCxt temos 3.083,12 
Dividindo 3.083,12 por 945,21 temos 3,26, que é a duração do título. 
 
28. ESAF - Analista de Finanças e Controle (STN)/Economico-Financeira/2008 
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Outros fatores mantidos constantes, a duração de um título de renda fixa é tanto mais alta quanto 
a) mais alto o preço corrente de mercado do título. 
b) mais curto o prazo de vencimento do título. 
c) mais elevada a taxa contratada de juros do título. 
d) mais altas são as taxas de juros de mercado para títulos com o mesmo nível de risco. 
e) menos sensível é o preço de mercado do título a uma variação das taxas de juros de mercado. 
Gabarito A 
a) Tudo o mais constante, se o preço sobe, significa que a taxa caiu. Se a taxa caiu, a duração sobe. Resposta 
correta. 
b) se o prazo encurta, a duração encurta. 
c) A taxa contratada não muda. Não tem relação. 
d) Taxas de juros mais altas, duration menor. 
e) menos sensível, duration menor. 
Não é uma questão muito precisa no português. Sorte que as outras opções não fazem sentido. 
 
29. ESAF - Analista de Finanças e Controle (STN)/Economico-Financeira/2002 
A duração de uma carteira de títulos de renda fixa não é uma medida apropriada da sensibilidade do valor 
da carteira ao risco de variação de taxas de juros de mercado porque: 
a) Não há relação entre a sensibilidade do valor da carteira e a duração da carteira. 
b) A relação entre o valor da carteira e a taxa de mercado não é linear. 
c) A sensibilidade do valor da carteira é crescente com o nível da taxa de juros, e não depende da duração 
da carteira. 
d) A duração não leva em conta os valores de mercado dos títulos componentes da carteira. 
e) A duração da carteira não é afetada pela variação das taxas de juros de mercado. 
Gabarito B 
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a) Essa resposta nega a definição de duração. Diz que não há relação entre a duração e a sensibilidade da 
carteira. Sabemos que, se as taxas mudaram uniformemente para todos os títulos, a duração será precisamente 
a sensibilidade às taxas de juros dessa carteira. Há relação, portanto. 
b) Essa resposta faz sentido, pois sabemos que a relação linear é imperfeita até para títulos únicos. Em carteiras 
isso é um pouco mais sério, pois os títulos deveriam sofrer, ao mesmo tempo, mas mesmas variações de juros. 
E se temos, por exemplo, uma debênture da CSN e uma LFT, evidentemente são títulos que não estarão sujeitos 
às mesmas pressões nas taxas. Então, para carteiras, essa relação entre a duração e a sensibilidade pode ficar 
bastante imperfeita (mas não significa que não exista, como na resposta a). 
c) A sensibilidade e a duração tem relação. A sensibilidade, em tese, deveria CAIR com a alta nas taxas de juros 
e não subir. 
d) É claro que está errado. Se não levar em conta o preço de mercado, não há como calcular a duração. 
e) A duração sempre é afetada pela variação nas taxas de juros. Já vimos que a derivada segunda, convexidade, 
nos mostra como as durações mudam com as taxas. 
 
30. ESAF - Analista de Finanças e Controle (STN)/Economico-Financeira/2013/ 
Conforme indicado pela duração de um título de renda fixa com cupom, mas no qual não há opções 
implícitas, a exposição do preço unitário do título a um deslocamento paralelo da curva de taxas de juros de 
mercado é tanto maior quanto, supondo outros fatores constantes: 
a) menor o peso do título na carteira do investidor. 
b) mais curto o prazo de vencimento do título. 
c) mais elevado o nível original geral das taxas de juros. 
d) mais alta a taxa passada de inflação. 
e) menor a taxa de cupom do título. 
Gabarito E 
O deslocamento paralelo das taxas de juros significa que a estrutura, em si, não muda, ou seja, a forma da curva 
ETTJ não muda, apenas sobe ou desce, respondendo a um “choque de juros” que modificou todas as 
maturidades por igual. 
a) Não faz sentido a resposta, pois não estamos falando de uma carteira de ações, mas da movimentação da 
ETTJ para determinado título. 
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b) Menos prazo é menos duração, portanto menos sensibilidade às taxas de juros. Quanto MENOS 
sensibilidade, menor será o deslocamento da ETTJ (os preços se movimento menos). 
c) Maiores juros, menor a duração. Mesma justificativa. 
d) Mais alta a taxa da inflação passada. Em tese não há como relacionar essa inflação passada com a inflação 
futura, sem mais dados. Pode indicar tanto uma alta de juros (se a tendência for de alta), como uma baixa (se 
a tendência for de baixa). 
e) Taxas de cupom menores, maiores as durações, pois teremos menos peso nos períodos mais baixos. Maior a 
duração, maior a sensibilidade, maior o deslocamento da ETTJ, para esse título. Resposta correta. 
 
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ANEXO A - APREÇAMENTO DE INSTRUMENTOS DE RENDA FIXA 
Em outrasaulas, tratamos os instrumentos de renda fixa de forma genérica, apenas indicando como 
resolver casos teóricos, que não traziam a complexidade do mercado. 
Nesta aula, vamos trabalhar dados reais e estruturas reais de retorno para calcular o preço dos títulos. 
Faremos com títulos públicos, pois eles representam, praticamente, todas as estruturas de títulos de renda 
fixa que temos no mercado brasileiro (pós-fixado, prefixado e híbrido). 
Tesouro prefixado (LTN) 
É o típico zero-coupon bond, ou seja, paga um valor fixo prometido no futuro (R$ 1.000 no caso da LTN, 
chamado de valor nominal VN). Seu valor para compra hoje, seria o Valor Nominal (VN), descontado à taxa 
de juros exigida. 
OBS! As datas dos títulos são antigas, mas não há mudança alguma nas fórmulas de cálculo. E as 
nomenclaturas serão atualizadas, quando necessário. 
Considere o seguinte: 
 A LTN com vencimento em 01/01/2019 valia R$ 711,38 em 11/04/2016. 
É importante notar que, no mercado brasileiro, e para esse tipo de título, costumamos usar o ano com dias 
úteis (252). 
Um site que ajuda bastante é o: http://www.dias-uteis.com/, porém é improvável que seja cobrado na prova 
um cálculo perfeito de dias úteis para períodos longos. 
Utilizando o site (e sem fazer ajustes específicos) , vemos que seriam 689 dias úteis até o vencimento, onde 
receberíamos R$ 1.000. Qual seria a taxa de juros desse título? 
Por 689 dias receberíamos: 
(1 + 𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) = 
1.000
711,38
= 1,405718 
A rentabilidade esperada de quem mantiver o título pelos 689 dias úteis é de 40,57%. 
O retorno equivalente em anos seria: 
(1 + 𝑖𝑎𝑛𝑜) = (1,405718)
252
689 = 1,132644 
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O resultado anual seria de 13,26%. 
OBS. perceba que para essa aula não estamos mais "revisando" matemática financeira, estamos indo direto 
aos cálculos. Já consideramos que o aluno treinou bastante nas aulas sobre precificação de fluxos de caixa. 
Essa taxa é a YTM (yield to maturity), aquela que o investidor receberá se mantiver o título até o vencimento 
(maturidade) em anos. 
E se o investidor quiser vender antes? Qual o retorno? 
Imagine que o investidor comprou esse título pois estava prevendo (apostando) uma queda na taxa de juros 
significativa nos próximos meses. Essa queda faria os preços subirem e o investidor ganhar com a 
especulação. 
Em 11/04/2016 o título foi comprado pelo investidor por R$ 711,38, referente a uma YTM de 13,26%. 
Agora imagine que em 11/05/2016, por hipótese, o YTM do título (sempre desconsiderando custos de 
transação nos exemplos) esteja em 12,54%, forte queda em relação aos 13,26% de um mês antes. 
Qual deveria ser o novo preço do título? 
Seriam 668 dias úteis até o vencimento (terá um mês a menos até o vencimento). 
𝑉𝑃 = 
1.000
(1 + 0,1254)
668
252
= 𝑅$ 731,13 
O investidor teria recebido R$ 19,75 (R$ 731,13 – R$ 711,38) em 21 dias úteis (689 – 668 dias úteis). 
Qual o ganho percentual anual do investidor? 
(1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) = (1 +
19,75
711,38
)
252
21
= 1,3890 
Perceba que uma mudança de 0,72% na taxa anual, em prazo tão curto, fez o retorno anual do título sair dos 
esperados 13,26%, para 38,90%. É claro que o retorno é para esse horizonte de tempo curto (21 dias úteis). 
E se o investidor ERRASSE sua previsão e a taxa subisse, por hipótese, para 13,88%? 
𝑉𝑃 = 
1.000
(1 + 0,1388)
668
252
= 𝑅$ 708,55 
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(1 + 𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙) = (1 −
2,83
711,38
)
252
21
= 0,9533 
O retorno seria de -4,67% ao ano. 
Veja que trabalhar com renda fixa não é nada simples e, mesmo que se tenha a garantia dos juros e do 
principal, qualquer mudança nos prazos de resgate ou nas curvas de taxas de juros pode levar a grandes 
lucros ou grandes prejuízos. 
Tesouro prefixado com juros semestrais (NTN-F) 
É um título que paga os mesmos R$ 1.000 no vencimento, porém tem cupons semestrais, à taxa de 10% ao 
ano, até o vencimento. Normalmente paga no dia 01/01 e no dia 01/07 de cada ano. 
Aqui cabe um parêntese importante. Esse tipo de título nos EUA, com definição de taxa de juros anual e 
pagamento em períodos menores (semestre, trimestre, mês, etc.) tem seu cupom calculado a base de juros 
simples. No caso dos 10% ao ano, pagos semestralmente, seria tão somente 5% ao ano. 
Mas a regra da NTN-F não é de juros simples (se fosse daria um fluxo maior), é por juros compostos, ou 
seja, a taxa ao semestre seria: 
𝑖 = (1 + 10%)
1
2⁄ − 1 = 4,8809% 
Esse título é melhor entendido a partir de uma planilha dos seus retornos. Sempre é recomendado que o 
aluno refaça todos os cálculos que estamos mostrando aqui. 
Vamos trabalhar com uma NTN-F com vencimento em 01/01/2027. 
A fórmula de seu valor, já vista em aulas anteriores, é a seguinte (valor presente de obrigações com cupons 
constantes): 
 
𝑉𝑃 = 
𝐶𝑢𝑝𝑜𝑚
(1 + 𝑖)1
+ 
𝐶𝑢𝑝𝑜𝑚
(1 + 𝑖)2
+ … + 
𝐶𝑢𝑝𝑜𝑚
(1 + 𝑖)𝑡
+ 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐹𝑎𝑐𝑒
(1 + 𝑖)𝑡
 
 
Os juros (YTM) desse título no dia 11/04/2016 eram de 13,63%. 
Qual o valor do título? 
Não tem jeito, temos que calcular o fluxo de caixa e trazê-lo a valor presente. 
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Data Fluxo Dias úteis VP (13,63%)
11/4/2016 VP = ? 828,84 
1/7/2016 48,81 54 47,49 
1/1/2017 48,81 183 44,48 
1/7/2017 48,81 309 41,73 
1/1/2018 48,81 435 39,15 
1/7/2018 48,81 562 36,71 
1/1/2019 48,81 689 34,42 
1/7/2019 48,81 815 32,29 
1/1/2020 48,81 942 30,27 
1/7/2020 48,81 1069 28,39 
1/1/2021 48,81 1198 26,59 
1/7/2021 48,81 1322 24,97 
1/1/2022 48,81 1451 23,39 
1/7/2022 48,81 1577 21,94 
1/1/2023 48,81 1705 20,56 
1/7/2023 48,81 1830 19,30 
1/1/2024 48,81 1958 18,09 
1/7/2024 48,81 2085 16,96 
1/1/2025 48,81 2211 15,91 
1/7/2025 48,81 2337 14,92 
1/1/2026 48,81 2466 13,98 
1/7/2026 48,81 2591 13,12 
1/1/2027 1.048,81 2719 264,21 
Obs. Os dias úteis são estimados por fórmulas do excel, talvez haja diferenças pequenas com os feriados 
reais previstos até 2027, mas isso não interfere no que estamos estudando. 
O valor presente dos fluxos futuros seria de R$ 828,48. Perceba que, mesmo o título sendo bem mais longo 
que a LTN do exemplo anterior, vencendo apenas em 2027, ele custa mais caro, pois paga cupons regulares 
a cada semestre. 
Imaginemos agora que os juros tivessem caído os mesmos 0,72% da LTN 2019. Iríamos para 12,91%. O valor 
do título (substituindo a taxa na planilha de excel) seria de R$ 862,60. 
Perceba que o ganho é maior do que os R$ 19,75 da LTN, mas não podemos comparar os títulos, pois o fluxo 
é bem maior do que os R$ 1.000,00 da LTN. Isso é visto com mais atenção em aulas de duration e 
convexidade para comparar esses títulos. 
Para calcular os ganhos de curto prazo, são os mesmos cálculos da LTN, pois o que importa, de fato, é por 
quanto compramos e por quanto vendemos, e o prazo em que auferimos esse lucro ou prejuízo. 
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TesouroSELIC Pós-fixado LFT 
É um título que deve apresentar menos oscilação, pois o valor futuro NÃO está fixado. Você paga pelo 
título hoje e deve levar a variação da taxa SELIC até o vencimento, ou até a venda do título. 
É, portanto, difícil antecipar o valor futuro e a rentabilidade do título, pois dependerá da política de juros do 
COPOM/BACEN. 
Para termos base de preço, o Tesouro Nacional estabeleceu que uma unidade do Tesouro Selic (LFT), 
equivalia a R$ 1.000,00 em 1° de julho de 2000, (chamada de data‐base), e deverá ser atualizada pela 
variação da taxa SELIC diária até o dia em que a precificação do título é feita. 
Ao valor encontrado na tabela, definido como Valor Nominal Atualizado (VNA), existe a possibilidade de 
haver ágio ou deságio de acordo com condições de mercado. 
Sobre o ágio e deságio na LFT / Tesouro SELIC 
O Tesouro Selic possui dois componentes que afetam a sua rentabilidade. O primeiro é a taxa de juros Selic, 
que diariamente incrementa o valor do título. Já o segundo é uma taxa fixa, chamada no mercado de ágio ou 
deságio, que é acrescentada à taxa de juros Selic. Por exemplo, se a taxa fixa é +0,02, a rentabilidade do 
investidor será a Taxa Selic + 0,02 ao ano, se o investidor carregar o título até o vencimento. 
As alterações nessa taxa fixa causam variações nos preços do Tesouro Selic, influenciando sua rentabilidade 
total em caso de resgate antecipado. Ou seja, o Tesouro Selic está sujeito à marcação a mercado, a 
atualização do valor pelo seu preço de mercado dada às forças de oferta e demanda pelo título. 
Vale relembrar que, na marcação a mercado, o preço e a taxa do título possuem relação inversa, ou seja, 
quando a taxa fixa aumenta o preço de mercado do título cai. 
Assim, quando essa taxa é positiva, o Tesouro Selic está sendo negociado com deságio em relação ao preço 
quando a taxa fixa é zero. Em outras palavras, o preço de mercado do título para venda antecipada está 
inferior ao valor do título quando consideramos que este é remunerado apenas pela taxa Selic. 
Já se a taxa é negativa, tem-se um título que está sendo negociado com ágio, portanto, a taxa negativa 
valoriza os papéis. 
Esse ágio e deságio existe, pois as taxas dos títulos são definidas com base nas taxas transacionadas no 
mercado secundário de títulos públicos, onde as instituições financeiras compram e vendem títulos todos os 
dias. Em alguns momentos a volatilidade deste mercado, altera a taxa fixa do Tesouro Selic e dos demais 
títulos do Programa Tesouro Direto. 
Para exemplificar, peguemos a SELIC diária para o dia 11/04/2016, que era de 0,052531% 
(https://www.bcb.gov.br/htms/SELIC/SELICdiarios.asp?frame=1), o VNA desse mesmo dia, em R$ 7.673,84, e 
um ágio de -0,2%. 
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O cálculo do VNA do dia seguinte será a aplicação da SELIC prevista de 1 dia, ajustado pelo ágio ou deságio. 
Qual a taxa? 
(1 + 𝑖𝑟𝑒𝑎𝑙) = (1 + 0,00052531)
1
1 = 1,00052531 
O Valor Nominal Projetado seria: 
𝑉𝑁𝑃𝑟𝑜𝑗𝑒𝑡𝑎𝑑𝑜 = 7.673,84 × 1,00052531 = 7.677,8711 
Para o cálculo do ágio é necessário calcular um multiplicador para aplicar ao VN Projetado. Como se segue: 
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑡𝑎çã𝑜) = 
100
(1 + 𝑇𝐴𝑋𝐴)
𝐷𝑖𝑎𝑠 ú𝑡𝑒𝑖𝑠 𝑎𝑡é 𝑜 𝑣𝑒𝑛𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑖𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑣𝑒)
252
 
O título analisado vence em 01/03/2021, de forma que faltariam 1.237 dias úteis para seu vencimento (a 
partir do dia seguinte, 12/04/2016). Perceba que esse ágio/deságio afeta o valor presente do título, mas 
desconta até o momento do vencimento. 
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑡𝑎çã𝑜) = 
100
(1 − 0,002)
1.237
252
= 100,9876% 
O valor (Preço) efetivamente negociado deverá ser: 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 = 7.677,8711 × 100,9876% = 7.753,70 
Tesouro IPCA+ com juros semestrais NTN-B 
É um título de cálculo bem complicado. Tem juros prefixados, tem taxa interna de retorno, tem fator de 
correção (cotação) etc. 
A estrutura de pagamento se dá como no diagrama abaixo, encontrado no site do Tesouro Nacional. 
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Perceba que há pagamento de cupom (6% ao ano), porém não é sobre R$ 1.000, mas sobre um valor 
atualizado pelo IPCA. 
Para cálculo do VNA (Valor Nominal Atualizado) utiliza o valor de R$ 1.000 na data-base 15/07/2000. Seu 
ajuste, porém, não é diário como o da SELIC (o que facilita bastante o cálculo), mas é mensal, atualizado 
pela variação mensal do IPCA 15, divulgada entre os dias 10 e 15 de cada mês. 
Dessa forma, como nem sempre se compra o título exatamente no dia da correção, haverá um VNA 
projetado, para incorporar a correção pela inflação dos dias que se passaram deste a última correção. 
Imagine um título que seria comprado no dia 25/02/2016 (passado). 
O cálculo do VNA, segundo modelo divulgado pelo TN, seria: 
𝑉𝑁𝐴 = 1.000 ×
𝑁ú𝑚. Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝐼𝑃𝐶𝐴 15 𝑑𝑒 𝑓𝑒𝑣. 2016
𝑁ú𝑚. Í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝐼𝑃𝐶𝐴 15 𝑑𝑒 𝑗𝑢𝑙. 2000
 
Estes valores nós retiramos dos sites de mercado (ANBIMA) ou do IBGE (se algo for pedido na prova, 
provavelmente os dados serão fornecidos). 
Temos: 
 Núm.Índice IPCA 15 de fev.2016 = 4.591,18 
 Núm.Índice IPCA 15 de jul.2000 = 1.614,62 
𝑉𝑁𝐴 = 1.000 ×
4.591,18
1.614,62
= 2.843,50 
Há, porém, 10 dias corridos entre o IPCA calculado para o dia 15 de fevereiro e a compra do título. 
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O cálculo do VNA ajustado leva em consideração a projeção disponível (prévias) do IPCA de março de 2016. 
Consideremos, por hipótese, que seja de 0,88%. 
Temos: 
𝑉𝑁𝐴𝑝𝑟𝑜𝑗. = 𝑉𝑁𝐴 × (1 + 𝐼𝑃𝐶𝐴𝑝𝑟𝑜𝑗.)
# 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑜𝑐𝑖𝑎çã𝑜 𝑒 𝑜 𝑑𝑖𝑎 15 𝑑𝑜 𝑚ê𝑠 𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙
# 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜 𝑑𝑖𝑎 15 𝑑𝑜 𝑚ê𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑒 𝑜 𝑑𝑖𝑎 15 𝑑𝑜 𝑚ê𝑠 𝑎𝑡𝑢𝑎𝑙 
Entre o dia 25/02/2016 e o dia 15/02/2016 temos 10 dias corridos e 29 dias corridos entre 15/03/2016 e 
15/02/2016. 
Teríamos: 
𝑉𝑁𝐴𝑝𝑟𝑜𝑗. = 2.843,50 × (1 + 0,88%)
10
29 = 𝑅$ 2.852,11 
Não havia, quando fizemos esse exercício, precificação disponível nos sites para títulos curtos de IPCA com 
cupom, mas, para facilitar os cálculos, vamos considerar que esse título para o qual calculamos o VNA vença 
em 15/05/2019. 
É claro que esse não será o valor do título, pois há considerações sobre as taxas efetivas de juros pagas por 
esse título no mercado. 
Do site da receita temos a fórmula para cálculo da “cotação” ou do fator de correção pela taxa de juros do 
título: 
 
Onde a taxa anual do cupom é 6% e a TIR é a taxa efetiva prometida ao título (acima da inflação), caso 
levado ao vencimento. 
Imagine que essa taxa estivesse em 7,5% (essa é aquela taxa a mais do que o IPCA, por exemplo, IPCA + 
7,5%, não é o YTM do título). 
Vejamos o cálculo: 
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Data (1+cupom)0,5 -1 Dias úteis VP (7,5%)
25/02/16 VP = ? 0,97460 
15/05/16 0,029563 53 0,02912 
15/11/16 0,029563 182 0,02806 
15/05/17 0,029563 308 0,02706 
15/11/17 0,029563 435 0,02609 
15/05/18 0,029563 561 0,02517 
15/11/18 0,029563 689 0,02426 
15/05/19 1,029563 815 0,81484 
Esses 2,9563% nada mais são do que a taxa equivalente semestral de 6% ao ano (em juros compostos). 
O fator de correção estaria em 0,97460, levando o preço do título a: 
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 = 2.852,11 × 0,97460 = 2.779,66 
Caso a taxa de juros estivesse em 4,5% (expectativa de queda dos jurosno futuro), teríamos: 
Data (1+cupom)0,5 -1 Dias úteis VP (4,5%)
25/02/16 VP = ? 1,05931 
15/05/16 0,029563 53 0,02929 
15/11/16 0,029563 182 0,02864 
15/05/17 0,029563 308 0,02801 
15/11/17 0,029563 435 0,02740 
15/05/18 0,029563 561 0,02680 
15/11/18 0,029563 689 0,02621 
15/05/19 1,029563 815 0,89295 
𝑃𝑟𝑒ç𝑜 = 2.852,11 × 1,05931 = 3.021,27 
Perceba que, sempre trabalhamos com a mesma estrutura de pagamento de cupons. Isso é como se 
estivéssemos calculando o VP para um título de R$ 1,00. 
Debêntures e títulos privados de dívida 
O formato mais comum de debêntures distribuídas no exterior é do tipo renda fixa típica, com promessa de 
pagamento de juros contratuais fixos e devolução do principal após a maturidade. 
Aqui no Brasil é mais comum, dadas as variações de curva de juros, variações nos índices de inflação que as 
empresas captem com títulos de dívida atrelados ao CDI, Selic ou IPCA. 
A fórmula de cálculo, quando não é idêntica, é muito semelhante ao que encontramos para títulos públicos, 
de forma que não será necessário apresentá-las. 
 
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ANEXO B - CÁLCULOS E DEMONSTRAÇÕES 
 
Para fins didáticos, decidimos retirar as demonstrações complexas do corpo do texto, pois a chance de 
serem pedidas nas provas é mínima, e podem confundir os alunos com menos experiência em Cálculo 
Diferencial. 
Duration de título perpétuo - demonstração. 
𝐷 =
∑
𝐹𝑡. 𝑡
(1 + 𝑖)𝑡
∞
𝑡=1
∑
𝐹𝑡
(1 + 𝑖)𝑡
∞
𝑡=1
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑚𝑎 𝑃𝑃𝑇 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐷 =
𝐹𝑡
𝐹𝑡
×
∑
𝑡
(1 + 𝑖)𝑡
∞
𝑡=1
∑
1
(1 + 𝑖)𝑡
∞
𝑡=1
=
∑
𝑡
(1 + 𝑖)𝑡
∞
𝑡=1
1
𝑖
 
𝐷
𝑖
= ∑
𝑡
(1 + 𝑖)𝑡
∞
𝑡=1
 
∑
𝑡
(1 + 𝑖)𝑡
∞
𝑡=1
=
1
(1 + 𝑖)1
+
2
(1 + 𝑖)2
+
3
(1 + 𝑖)3
… = 𝑆 
∑
𝑡
(1 + 𝑖)𝑡
∞
𝑡=1
× (1 + 𝑖) = 1 +
2
(1 + 𝑖)1
+
3
(1 + 𝑖)2
+
4
(1 + 𝑖)3
… = 𝑆 × (1 + 𝑖) 
Se fizermos S (1+i) MENOS S teremos: 
𝑆 × (1 + 𝑖) − 𝑆 = 1 −
1
(1 + 𝑖)1
+
2
(1 + 𝑖)1
−
2
(1 + 𝑖)2
+
3
(1 + 𝑖)2
… 
𝑆 × (1 + 𝑖) − 𝑆 = 1 +
1
(1 + 𝑖)1
+
1
(1 + 𝑖)2
+
1
(1 + 𝑖)2
… = 1 +
1
𝑖
 
𝑆 × 𝑖 = 1 +
1
𝑖
 ∴ 𝑆 =
𝑖 + 1
𝑖2
 
𝐷
𝑖
= ∑
𝑡
(1 + 𝑖)𝑡
∞
𝑡=1
=
𝑖 + 1
𝑖2
 ∴ 𝐷 = 𝑖 ×
1 + 𝑖
𝑖2
=
1 + 𝑖
𝑖
 
 
Duration como derivada primeira da função de valor do título. 
Qual a derivada da função abaixo? 
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𝑓(𝑖) =
1
(1 + 𝑖)𝑡
 
É: 
𝑓′(𝑖) = −𝑡 ×
1
(1 + 𝑖)𝑡+1
 
A fórmula do Valor Atual da Carteira (V), em função de i, é: 
𝑉(𝑖) = ∑
𝐹𝑡
(1 + 𝑖)𝑡
𝑛
𝑡=1
 
Sua derivada seria: 
𝑑𝑉(𝑖)
𝑑𝑖
= −
1
(1 + 𝑖)
∑
𝐹𝑡 × 𝑡
(1 + 𝑖)𝑡
𝑛
𝑡=1
 
Dividindo ambos os lados por V: 
𝑑𝑉(𝑖)
𝑉𝑑𝑖
= −
1
(1 + 𝑖)𝑉
∑
𝐹𝑡 × 𝑡
(1 + 𝑖)𝑡
𝑛
𝑡=1
= 
−𝐷
(1 + 𝑖)
 
𝑑𝑉(𝑖)
𝑉
= −𝐷 × 
𝑑𝑖
(1 + 𝑖)
 
Deixando o formalismo um pouco de lado, para podermos trabalhar com valores maiores teríamos: 
∆𝑉
𝑉
= −𝐷 × 
∆𝑖
(1 + 𝑖)
 
A variação percentual no valor da carteira é proporcional à duração vezes a variação percentual da taxa de 
juro (com sinal invertido). Se o investidor espera baixa na taxa de juro (delta i negativo), a variação (delta V) 
POSITIVA da taxa de juro será tanto maior quanto maior for a duração. 
Convexidade como derivada segunda da função de valor do título. 
Voltemos à derivada calculada anteriormente: 
𝑑𝑉(𝑖)
𝑑𝑖
= −
1
(1 + 𝑖)
∑
𝐹𝑡 × 𝑡
(1 + 𝑖)𝑡
𝑛
𝑡=1
= − ∑
𝐹𝑡 × 𝑡
(1 + 𝑖)𝑡+1
𝑛
𝑡=1
 
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Qua seria a segunda derivada (derivada da derivada) dessa expressão, a qual utilizamos para calcular a 
duração (simplificaremos as notações para V’’)? 
Qual a derivada da função abaixo? 
𝑓′(𝑖) = −𝑡 ×
1
(1 + 𝑖)𝑡+1
 
Seria: 
𝑓′′(𝑖) =
𝑡2 + 𝑡
(1 + 𝑖)𝑡+2
=
1
(1 + 𝑖)2
×
𝑡2 + 𝑡
(1 + 𝑖)𝑡
 
De onde se conclui que V’’, a segunda derivada da função do valor de mercado do título (V) com a variável 
taxa de juros (i), seria: 
𝑉′′ =
1
(1 + 𝑖)2
∑
𝐹𝑡 × (𝑡2 + 𝑡)
(1 + 𝑖)𝑡
𝑛
𝑡=1
 
A definição matemática da convexidade, como função da variável taxa de juros (i) é: 
𝐶(𝑖) =
𝑉′′
𝑉
 
Então: 
𝐶(𝑖) =
1
(1 + 𝑖)2
×
∑
𝐹𝑡 × (𝑡2 + 𝑡)
(1 + 𝑖)𝑡
𝑛
𝑡=1
𝑉
=
1
(1 + 𝑖)2
×
∑
𝐹𝑡
(1 + 𝑖)𝑡 × (𝑡2 + 𝑡)𝑛
𝑡=1
𝑉
 
Perceba que: 
∑
𝐹𝑡
(1 + 𝑖)𝑡 × (𝑡2 + 𝑡)𝑛
𝑡=1
𝑉
= ∑ 𝑤1 × (𝑡2 + 𝑡)
𝑛
𝑡=1
 
A primeira parte do somatório é o valor presente do fluxo futuro. Isso dividido pelo valor presente do título 
é exatamente o peso de cada período, conforme utilizamos na duration. 
Dessa forma temos a fórmula completa para a convexidade: 
𝐶(𝑖) =
1
(1 + 𝑖)2
× ∑ 𝑤1 × (𝑡2 + 𝑡)
𝑛
𝑡=1
 
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Relação entre convexidade e duração. 
Vamos ver como D se relaciona com C: 
𝐶(𝑖) =
𝑉′′
𝑉
=
1
𝑉
× 𝑉′(𝑉′) 
Pois a derivada segunda é a derivada da derivada primeira. Aos não matemáticos, fiquem tranquilos. 
Deduziremos uma fórmula simples dessas contas todas. 
Calculamos anteriormente o seguinte: 
𝑑𝑉(𝑖)
𝑉𝑑𝑖
= −
1
(1 + 𝑖)𝑉
∑
𝐹𝑡 × 𝑡
(1 + 𝑖)𝑡
𝑛
𝑡=1
= 
−𝐷
(1 + 𝑖)
 
O que pode ser reescrito como: 
𝑉′ =
−𝐷𝑉
(1 + 𝑖)
= −𝐷𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎𝑉 
Temos então: 
𝐶(𝑖)𝑉 = 𝑉′(−𝐷𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎𝑉) 
Pela regra da derivação de produtos temos: 
(𝑓𝑔)′ = 𝑓′𝑔 + 𝑓𝑔′ 
𝐶𝑉 = −𝐷𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 × 𝑉′ − 𝑉 ×
 𝑑(𝐷𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎)
𝑑𝑖
 
𝐶𝑉 = −𝐷𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 × (−𝐷𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎𝑉) − 𝑉 ×
 𝑑(𝐷𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎)
𝑑𝑖
 
𝐶𝑉 = 𝐷𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
2 × 𝑉 − 𝑉 ×
 𝑑(𝐷𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎)
𝑑𝑖
 
𝐶 = 𝐷𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
2 −
 𝑑(𝐷𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎)
𝑑𝑖
 
A fórmula aproximada, mais simples de usar, associando Preço do Título, Duração e Convexidade é a 
seguinte: 
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∆𝑉
𝑉
= −𝐷
∆𝑖
(1 + 𝑖)
+
1
2
𝐶(∆𝑖)2 
Nesse caso a duração é a da Macaulay. Com a duração modificada seria: 
∆𝑉
𝑉
= −𝐷𝑚𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎∆𝑖 +
1
2
𝐶(∆𝑖)2 
 
 
 
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