Respostas de Matematica

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Respostas
Aritmética01
Combinatória02
Conversão de unidades e notação científica03
Estatística, gráficos e tabelas04
Funções, equações e inequações do 1° grau05
Funções, equações e inequações do 2° grau06
Funções, equações e inequações exponenciais
e logarítmicas07
Funções trigonométricas08
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Respostas
Geometria analítica09
Geometria espacial10
Geometria plana 11
Grandezas proporcionais12
Matemática Financeira13
Matrizes e determinantes14
Probabilidade15
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Respostas
Sequências16
Teoria dos conjuntos17
Trigonometria18
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Olá, tudo certo?
Caso você encontre algum erro, por favor envie um e-mail
para contato@fisicabase se possível com o assunto "Erro em
questões de matemática do ENEM" para que a gente possa
corrigir!
Bons estudos!
Obrigado!
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Aritmética
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ENEM - MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
ARITMÉTICA E ÁLGEBRA - SOLUÇÕES
Questão 1
A questão aborda sobre soma de frações. O exemplo dado mostra, por exemplo, que
1
2
=
1
4
+
1
4
(um
compasso de
1
2
composto por duas semı́nimas),
1
2
=
1
2
(um compasso de
1
2
composto por uma mı́nima) e
1
2
=
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
(um compasso de
1
2
composto por quatro colcheias).
Com oito compassos, cuja fórmula é
3
4
, tem-se uma duração de 8 · 3
4
=
24
4
= 6 tempos. Assim, consultando
a imagem, basta analisar qual das alternativas contém as combinações diferentes de notas que encaixam
perfeitamente neste intervalo. Fazendo isto:
(A) 24 fusas = 24 · 1
32
=
24
32
=
3
4
̸= 6
(B) 3 semı́nimas = 3 · 1
4
=
3
4
̸= 6
(C) 8 semı́nimas = 8 · 1
4
=
8
4
= 2 ̸= 6
(D) 24 colcheias e 12 semı́nimas = 24 · 1
8
+ 12 · 1
4
=
24
8
+
12
4
= 3 + 3 = 6
(E) 16 semı́nimas e 8 semicolcheias = 16 · 1
4
+ 8 · 1
16
=
16
4
+
8
16
= 4 +
1
2
=
9
2
̸= 6
Logo, a alternativa correta é o item D.
Questão 2
O enunciado da questão traz o procedimento utilizado para encontrar os d́ıgitos verificadores do número de
inscrição no CPF. Estes números são os dois últimos de uma sequência de 11 d́ıgitos.
De acordo com o que é exposto, o primeiro d́ıgito verificador d1 é calculado multiplicando os 9 primeiros
algarismos pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 e, em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos
resultados (digamos S1) das multiplicações por 11. Se o resto r for 0 ou 1, d1 é zero. Caso contrário, d1 =
(11 – r). Assim, para o CPF de João:
S1 = 10 · 1 + 9 · 2 + 8 · 3 + 7 · 4 + 6 · 5 + 5 · 6 + 4 · 7 + 3 · 8 + 2 · 9
S1 = 10 + 2(9 · 2) + 2(8 · 3) + 2(7 · 4) + 2(6 · 5)
S1 = 10 + 2(18) + 2(24) + 2(28) + 2(30)
S1 = 10 + 36 + 48 + 56 + 60
S1 = 210
Dividindo por 11, obtém-se resto 1, pois 210 = 19 · 11 + 1. Ou seja, S1 = 210 implica r = 1. Logo, d1 = 0.
Para o segundo d́ıgito verificador o procedimento é análogo. Seja, agora, S2 como a soma das multiplicações
contadas a partir do segundo algarismo. Assim,
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S2 = 10 · 2 + 9 · 3 + 8 · 4 + 7 · 5 + 6 · 6 + 5 · 7 + 4 · 8 + 3 · 9 + 2 · 0
S2 = 20 + 2(9 · 3) + 2(8 · 4) + 2(7 · 5) + (6 · 6)
S2 = 20 + 2(27) + 2(32) + 2(35) + 36
S2 = 20 + 54 + 64 + 70 + 36
S2 = 244
Dividindo por 11, obtém-se resto 2, pois 244 = 22 · 11 + 2. Ou seja, S2 = 244 implica s = 2. Logo,
d2 = (11− 2) = 9.
Finalmente, os d́ıgitos verificadores d1 e d2 são, respectivamente, 0 e 9.
A alternativa correta é o item A.
Questão 3
Com o valor fornecido da massa da menina de 64 kg e seu IMC igual a 25 kg/m2, pode-se calcular sua altura
a partir da fórmula que calcula o IMC:
25 =
64
altura2
⇒ altura2 =
64
25
⇒ altura =
√
64√
25
=
8
5
= 1, 6 m
Com a altura, calcula-se o RIP . Note, entretanto, que na fórmula do RIP a altura se encontra em cm.
Assim,
RIP =
160
3
√
64
=
160
4
= 40 cm/kg
1/3
Logo, a alternativa correta é o item E.
Questão 4
A questão pergunta sobre quantas Terras cabem dentro de Júpiter. De acordo com o enunciado, o planeta
Netuno comportaria 58 planetas Terra. Por sua vez, dentro de Júpiter cabem 23 Netunos. Logo, para cada
Netuno, há 58 planetas Terra. Assim, o número de planeta Terra que caberiam dentro do planeta Júpiter é
23 · 58 = 1334.
A alternativa correta é o item B.
Questão 5
Para postar 500 folhetos do segundo tipo serão necessários 500 selos de cada com preços de R$ 0,65, R$ 0,60
e R$ 0,20. Logo, o custo com selos para o envio de folhetos do segundo tipo é
500 · (0, 65 + 0, 60 + 0, 20) = 500 · (1, 45) = R$ 725, 00
Com isso, sobra para envio de folhetos do primeiro tipo R$ 1000,00 − R$ 725,00 = R$ 275,00. Se cada um
usa um selo de R$ 0,65, o número de folhetos máximos posśıveis do primeiro tipo é
275
0, 65
≈ 423.
Assim, foram comprados 500 + 423 = 923 selos de R$ 0,65 (Alternativa C).
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Questão 6
O pistão a comprar deve ser o de diâmetro mais próximo do pistão ideal que é de 68mm de diâmetro. Como
só estão dispońıveis os pistões de diâmetros 68,21 mm; 68,102 mm; 68,001 mm; 68,02 mm e 68,012 mm, pode
ser útil colocá-los em ordem crescente de tamanho colocando-os com mesmo número de casas decimais:
68, 000 < 68, 001 < 68, 012 < 68, 020 < 68, 102 < 68, 210
Logo, o dono da oficina terá de adquirir o pistão de diâmetro 68,001 mm (Alternativa E).
Questão 7
Primeiramente, é preciso calcular a altura da jovem em metros. Usando as informações dadas e a fórmula do
IMC apresentada, tem-se:
IMC =
massa
altura2
⇒ 20 =
60
altura2
⇒ altura2 =
60
20
= 3 ⇒ altura =
√
3 ≈ 1, 7 m
Com isso, o IAC pode ser calculado:
IAC =
circunferência
altura ·
√
altura
− 18 ⇒ IAC =
100
1, 7 ·
√
1, 7
− 18 =
100
1, 7 · 1, 3
− 18 ≈ 27, 25
Como a adiposidade normal entre as mulheres está entre 19% e 26%, essa jovem deve perder 27, 25− 26 =
1, 25 ≈ 1% para se adequar aos ńıveis de normalidade de gordura corporal (Alternativa A).
Questão 8
A densidade demográfica (d) de uma região é a razão entre o número de habitantes pela área dessa região.
Assim,
d =
20 · 106
800 000
=
200
8
= 25
Logo, a densidade demográfica da região coberta pela caatinga é de 25 habitantes por km2 (alternativa B).
Questão 9
A questão pode ser resolvida de diferentes maneiras. Uma delas é subtrair da área total inicial (Ai) a área do
forro que restou após o encolhimento (Ae). Façamos assim. Calcula-se primeiro a área inicial:
Ai = 5 · 3 = 15
Calcula-se, agora, a área após o encolhimento:
Ae = (5− x) · (3− y) = 15− 5y − 3x+ xy
Subtrai-se as áreas:
Ai −Ae = 15− (15− 5y − 3x+ xy) = 5y + 3x− 3y
Nestas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, pode ser expressa por 5y + 3x − xy
(Alternativa E).
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Questão 10
De acordo com o esquema apresentado, o cadeirante ficará confortável se os dispositivos (tomadas e
interruptores) estiverem a uma altura de 0,80m a 1,00m, porém aceitável a uma altura mı́nima de 0,40m a
1,35m.
Analisando as alternativas dispońıveis, vê-se que a única que atenderá ao cadeirante é a proposta que coloca
0,45m para as tomadas e 1,20m para os interruptores. Isso se dá, pois é a única alternativa que traz um
valor maior do que a altura mı́nima (0, 45 > 0, 40) para a tomada e um valor menor do que a altura máxima
(1, 20 < 1, 35) para o interruptor.
Logo, a alternativa correta é o item E.
Questão 11
O sistema de numeração que usamos é decimal e posicional. Isso significa que agrupamos de 10 em 10 ou, de
outra forma, usamos 10 śımbolos (algarismos) para representartodos os números e que a posição de um
algarismo na formação de um número o define. Por exemplo, são diferentes os números 13 e 31 que, mesmo
tendo os mesmo algarismos na sua formação, representam números distintos.
Os diferentes números formados são divididos em classes e ordens. A classe de números é composta por
unidade, dezena e centena e se constitui por até três algarismos (a última classe pode não ter três algarismos).
A ordem de números começa da direita para a esquerda e representa a posição do algarismo que compõe o
número.
Para o número de João, começando da direita para a esquerda, tem-se 3 classes: classe das unidades, classe
dos milhares e classe dos milhões.
Logo, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de centena de milhar
(Alternativa C).
Questão 12
Os três lados do terreno que devem ser cercados somam 81 + 190 + 81 = 352 metros. Como cada rolo
comprado de tela tem 48 metros, serão necessários 352/48 = 7, 3 rolos. Uma vez que não se pode comprar
uma quantidade não inteira de rolos, serão necessários 8 rolos (Alternativa C).
Questão 13
O número de divisores de um número qualquer pode ser calculado a partir da fatoração desse número. Se essa
fatoração tem a forma pe11 · pe22 · pe33 · . . . penn , com pi números primos (i ∈ {1, 2, . . . , n}) e ej seus expoentes
(j ∈ N), então o número de divisores pode ser calculado pelo produto (e1 +1) · (e2 +1) · (e3 +1) · . . . · (en +1).
Tal fato decorre diretamente do prinćıpio multiplicativo.
Se a forma fatorada de N é 2x · 5y · 7z, aplicando tem-se (x+ 1) · (y+ 1) · (z + 1) divisores. Como não quer-se
o próprio número N , exclui-se desta quantidade uma unidade. Logo,
(x+ 1) · (y + 1) · (z + 1)− 1
É importante observar que as restrições sobre N (múltiplo de 10 e múltiplo de 7) não invalidam a expressão e
ela continua valendo da mesma forma.
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Assim, a alternativa correta é o item E.
Questão 14
Seguindo as instruções e o exemplo dado, o número formado a partir do quipus tem quatro ordens. De cima
para baixo, são elas: unidade dos milhares, centenas, dezenas e unidades.
Como se apresenta, há três nós nas região da corda equivalente às unidades dos milhares, nenhum nó na
região das centenas, seis nós nas dezenas e quatro nós nas unidades. Logo, o número representado é 3064
(Alternativa C).
Questão 15
Se o executivo sai da cidade A às 15h e chega à cidade B às 18h em um avião que gasta 6 horas para fazer
o percurso, logo a cidade B tem seu horário adiantado em (15 + 6)− 18 = 3 horas em relação à cidade A.
Assim sendo, se x é o horário que ele deve sair da cidade B para não se atrasar com o compromisso na cidade
A, logo:
(x+ 6) + 3 = 13
x+ 9 = 13
x = 4
Assim, ele deve pegar um voo saindo da cidade B, em horário local de B, no máximo à(s) 4h (Alternativa D).
Questão 16
Para resolver essa questão, é necessário encontrar o maior divisor comum (MDC) entre os comprimentos das
tábuas de madeira (540 cm, 810 cm e 1080 cm) que seja menor do que 200 cm (2 m). Isso se justifica, pois o
carpinteiro precisa cortar as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que
as novas peças ficassem com o maior tamanho posśıvel, mas de comprimento menor que 2 m.
Para encontrar o MDC desses números, podemos fazer uma fatoração conjunta. A fatoração de 540 é 22 ·33 ·5,
de 810 é 2 · 34 · 5 e de 1080 é 23 · 33 · 5. Ao fazer a fatoração conjunta, percebemos que os números 2, 33 e
5 são comuns entre os três números, logo eles são os fatores que dividem esses números sem deixar resto.
Assim, o MDC é 2 · 33 · 5 = 270.
Acontece, no entanto, que o tamanho das peças deve ser menor do que 200 cm. Assim, dividimos 270 por 2 e
encontramos 135 (dois é o menor número pelo qual divide-se 270 e o resultado é menor do que 200).
Logo:
� 540/135 = 4 tábuas;
� 810/135 = 6 tábuas;
� 1080/135 = 8 tábuas;
Assim,
40 · 4 = 160 tábuas
30 · 6 = 180 tábuas
10 · 8 = 80 tábuas
Total de peças: 160 + 180 + 80 = 420 peças.
O carpinteiro deve produzir 420 peças (Alternativa E).
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Questão 17
Segundo os critérios estabelecidos, o número mı́nimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos
é encontrado a partir do máximo divisor comum (MDC) de 400 e 320, que dá o número de ingressos que
cada escola receberá.
Fazendo os cálculos,
MDC(400, 320) = 80
Como o número total de ingressos dispońıveis é 720, então 720/80 = 9 escolas serão escolhidas para receber
ingressos, cada uma recebendo 80 ingressos (Alternativa C).
Questão 18
A paciente precisa ingerir 1 copo de água (150 ml) a cada meia hora, ou seja, 20 copos (3000 ml) em 10 horas.
Isso se justifica, pois em 10 horas há 20 peŕıodos de meia hora.
Como ela deve escolher duas garrafas de mesmo tipo para consumir todo o ĺıquido antes do exame, a soma
do volume dessas garrafas deve ser igual a 3000 ml. Uma vez que ela vai comprar duas garrafas, a única
garrafa que atende a essa necessidade é a garrafa IV, onde cada uma tem volume de 1,5 litros, ou seja, 1500
ml. Portanto, o tipo de garrafa escolhido pela paciente é a garrafa IV (Alternativa D).
Questão 19
A famı́lia de 10 pessoas precisa construir um reservatório para armazenar a água captada das chuvas e
economizar nas contas mensais de água. O objetivo é ter capacidade suficiente para abastecer a famı́lia por
20 dias.
Considerando que cada pessoa consome diariamente 0,08 m3 de água, a capacidade mı́nima necessária do
reservatório será de:
� 10 pessoas x 0,08 m3/pessoa/dia = 0,8 m3/dia
� 0,8 m3/dia x 20 dias = 16 m3
Logo, a capacidade mı́nima do reservatório, em litros, será de 16 m3 · 1000 litros/m3 = 16 000 litros
(Alternativa E).
Questão 20
A escolha da espessura da lente será baseada na medida mais próxima de 3 mm, ou seja, naquele número
real cujo módulo da diferença com 3 mm é o menor.
O módulo de diferença entre dois números reais é o valor absoluto da diferença entre eles, ou seja, o módulo
da diferença entre 3 mm e cada uma das espessuras do estoque será calculado e comparado. A espessura cujo
módulo da diferença com 3 mm for o menor será a escolhida.
Calculando-se o módulo da diferença para cada uma das espessuras do estoque, obtemos:
� | 3,10 mm - 3 mm | = 0,10 mm
� | 3,021 mm - 3 mm | = 0,021 mm
� | 2,96 mm - 3 mm | = 0,04 mm
� | 2,099 mm - 3 mm | = 0,901 mm
� | 3,07 mm - 3 mm | = 0,07 mm
Nesse caso, temos que o módulo da diferença mais próximo de zero é o módulo da diferença entre 3,021 mm e
3 mm, ou seja, 0,021 mm. Portanto, a espessura escolhida deve ser de 3,021 mm (Alternativa C).
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Questão 21
Da maneira que está na figura, da direita para esquerda, tem-se:
� 1 unidade;
� 4 centenas de milhar;
� 7 dezenas;
� 0 milhar;
� 1 centena;
� 6 dezenas de milhar;
Logo, 1 + 400 000 + 70 + 0 + 100 + 60 000 = 460 171 (Alternativa D).
Questão 22
Após 100 doações de sangue com 450 mL cada, é posśıvel obter 100 ·
(
40
60 · 450 mL
)
= 100 ·300 mL = 30000 mL
de plasma. Armazenado em bolsas de 250 mL de capacidade, isso resulta em 30000 mL/250 mL = 120
bolsas de plasma. Com cada refrigerador tendo capacidade para armazenar 50 bolsas, o número mı́nimo de
refrigeradores necessários é
⌈
120
50
⌉
= 3.
Portanto, o banco precisou alugar pelo menos 3 refrigeradores para estocar todas as bolsas de plasma daquela
semana (Alternativa B).
Questão 23
A questão solicita a colocação em ordem crescente das medidas de tubos de água, que são expressas como
frações, 1
2 ,
3
8 e 5
4 polegadas. O objetivo é comparar essas frações para identificar a ordem crescente dos
diâmetros equivalentes de cada medida.
Para comparar as frações 1
2 ,
3
8 e 5
4 , é necessário encontrar frações equivalentes. Isso podeser feito através
da reescrita das frações, ou seja, encontrando um denominador comum para cada par. Por exemplo, para
comparar 1
2 e 3
8 , é necessário encontrar um denominador comum entre essas frações. Nesse caso, o denominador
comum pode ser 8. A fração 1
2 se torna 4
8 e a fração
3
8
não é necessário realizar nenhuma multiplicação.
Assim, temos que 4
8 é maior que
3
8
, e portanto, 1
2 é maior que
3
8
. A mesma lógica pode ser aplicada à
comparação das outras frações.
Assim, encontrando os valores numéricos equivalentes das frações, é posśıvel compará-las e colocá-las em
ordem crescente: 3
8 ,
1
2 e 5
4 . Ou seja, o menor diâmetro de tubo é o de 3
8 de polegada, o de meio é o de 1
2 de
polegada e o maior é o de 5
4 de polegada (Alternativa C).
Questão 24
A quantidade total de alimentos desperdiçada é de 150 · 2/3 = 100 milhões de toneladas. Já a quantidade de
alimentos desperdiçada ao longo da cadeia produtiva é de 64% desse total, ou seja, 100 · 0, 64 = 64 milhões de
toneladas.
Com isso, tem-se listados os seguintes volumes de desperd́ıcio:
� 20 milhões de toneladas com colheita;
� 8 milhões de toneladas com transporte e armazenamento,;
� 15 milhões com indústria de processamento;
� 1 milhão de tonelada no varejo;
� 64− (20 + 8 + 15 + 1) = 20 milhões de toneladas no processamento culinário e hábitos alimentares.
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Assim, a alternativa correta é o item A.
Questão 25
Se um funcionário público for condenado por fraudar um concurso público, a pena de reclusão prevista pela
Lei 12.550/11 é de 12 a 48 meses (1 a 4 anos). No entanto, segundo a mesma lei, se o crime for cometido por
um funcionário público, a pena sofrerá um aumento de 1/3. Calculando esse aumento:
12 + (1/3 · 12) = 12 + (4) = 16 (mı́nimo)
48 + (1/3 · 48) = 48 + (16) = 64 (máximo)
Portanto, a pena de reclusão para um funcionário público condenado por fraudar um concurso público seria
de 16 a 64 meses (Alternativa C).
Questão 26
A escala utilizada foi de 3 : 400, ou seja, para cada 1 metros do avião original, na maquete serão representados
3/400 cent́ımetros. Então, para a envergadura CD de 60 metros, na maquete será representado por:
60 · 3
400
=
180
400
= 0, 45 m = 45 cm
Portanto, a envergadura CD na maquete será de 45 cent́ımetros (Alternativa C).
Questão 27
As duas máquinas do clube juntas fazem 200 m2 por hora, então fazem 200 · 5 = 1000 m2 em 5 horas.
Como o campo tem 8000 m2, ainda faltam 8000− 1000 = 7000 m2 para serem podados.
Se o clube precisa podar 7000 m2 em 5 horas, então precisará de 7000/1000 = 7 vezes mais máquinas
dispońıveis, pois, como visto, as duas máquinas fazem 1000 m2 em 5 horas. Logo, serão necessárias mais
7 · 2 = 14 máquinas.
Portanto, o administrador precisará solicitar ao clube vizinho, no mı́nimo, 14 máquinas (Alternativa D).
Questão 28
Se já haviam sido usados 15% do volume da água existente na caixa às 13h de segunda-feira, então resta nesse
momento 100%− 15% = 85% da água que restava. Como o dispositivo eletrônico interrompe o funcionamento
quando o volume restante é de 5% do volume total, então ainda precisarão ser usados 85%− 5% = 80% da
água.
Observe, também, que levou 13− 7 = 6 horas para reduzir 15%. Assim, dado que a vasão é constante, a cada
6 horas o tanque reduz 15%. Logo, de forma equivalente, a cada 2 horas o tanque reduz 5%.
Calculando o tempo para reduzir 80%:
80
5
· 2 = 32 horas
Adicionando este tempo às 13h de segunda feira, o dispositivo interromperá o funcionamento às 13 + 32 =
13 + 24 + 8 horas = 1 dia + 21 horas. Assim, o dispositivo eletrônico interromperá o funcionamento às 21 h
de terça-feira (Alternativa E).
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Questão 29
Para resolver essa questão, precisamos usar a relação entre escalas e volumes. A escala 1:400 significa que a
peça comprada pelo turista é 400 vezes menor do que o monumento original. Seja Vo o volume do monumento
original em metros cúbicos, então temos:
Vp =
1
4003
Vo,
onde Vp é o volume da peça comprada pelo turista em metros cúbicos. Sabemos que o volume da peça é de
25 cm3, o que equivale a 25 · 10−6 = 0, 000025 m3. Substituindo na equação acima, temos:
0, 000025 =
1
4003
Vo.
Multiplicando ambos os lados por 4003, obtemos:
Vo = 0, 000025 · 4003 = 1600 m3.
Portanto, o volume do monumento original é de 1600 metros cúbicos (Alternativa C).
Questão 30
Para resolver esse problema, precisamos entender o que está acontecendo com o ńıvel de água na piscina ao
longo do tempo.
Vamos começar calculando a taxa de enchimento da piscina enquanto a chuva está caindo. Sabemos que a
chuva está caindo com intensidade constante, então a taxa de enchimento da piscina também é constante.
A piscina é um paraleleṕıpedo retângulo, então podemos calcular o volume de água que entra na piscina a
cada minuto multiplicando a área da base da piscina pela taxa de enchimento. A área da base da piscina é o
produto da largura pela profundidade. Como o ńıvel de água aumenta em 20 cm em 45 minutos, a taxa de
enchimento (Te) é de:
Te =
20 cm
45 min
=
4
9
cm/min
Agora, vamos calcular a taxa de escoamento (sáıda) da água da piscina depois que o registro é aberto.
Sabemos que a vazão é constante, então a taxa de escoamento é constante também. A taxa de escoamento
(Ts) é maior do que taxa de enchimento (Te) quando o ńıvel de água na piscina está diminuindo a uma taxa
constante. Isso ocorre porque, se a taxa de enchimento fosse maior do que a taxa de escoamento, o ńıvel de
água na piscina continuaria a aumentar em vez de diminuir. Entre 18h e 18h 40 min a altura da piscina
reduziu de 20 cm para 15 cm. Logo, a vazão conjunta (Te + Ts) é negativa com uma taxa de
(20− 15) cm
40 min
=
5
40
=
1
8
cm/min
Logo, podemos calcular a taxa de escoamento do registro:
Te + Ts = −1
8
4
9
+ Ts = −1
8
Ts = −1
8
− 4
9
Ts = −41
72
Isso quer dizer que a taxa de escoamento do registro é de
41
72
cm/min.
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As 18h 40 min restam 15 cm de altura de água na piscina sujeito somente a essa taxa de escoamento. Assim,
o tempo t necessário para que a piscina fique completamente vazia é:
t = 15 :
41
72
≈ 26, 34 min
Finalmente, o instante em que a água dessa piscina termina de escoar completamente é 18h 40 min + 26,34
min = 19h 04 min, ou seja, entre 19 h e 19h 10 min (Alternativa D).
Questão 31
A pérola a ser escolhida pelo joalheiro deve ter o diâmetro mais próximo posśıvel das outras pérolas da pulseira
original. Para isso, devemos calcular o módulo das diferenças entre os diâmetros das pérolas dispońıveis e o
diâmetro das pérolas originais, e escolher aquela que tiver o maior módulo.
Calculando o módulo das diferenças, temos:
� |4, 025− 4, 000| mm = 0,025 mm
� |4, 100− 4, 000| mm = 0,100 mm
� |3, 970− 4, 000| mm = 0,030 mm
� |4, 080− 4, 000| mm = 0,080 mm
� |3, 099− 4, 000| mm = 0,901 mm
A pérola que tem a menor diferença é aquela cujo diâmetro é 4,025 mm, com uma diferença de apenas 0,025
mm em relação às pérolas originais. Portanto, a resposta correta é a opção (C).
Questão 32
Devemos calcular a redução de pena para ambos os extremos, isto é, para a pena máxima e para a pena
mı́nima.
Portanto, a pena mı́nima para o crime previsto no artigo 33 da Lei de Drogas é de 5 anos, enquanto a pena
máxima é de 15 anos. Se o réu primário e com bons antecedentes criminais tiver sua pena reduzida, ela pode
variar da seguinte forma:
� Redução da pena mı́nima: um sexto de 5 anos é de 10 meses, enquanto dois terços de 5 anos é de 3 anos
e 4 meses. Portanto, a pena mı́nima após a redução será de 4 anos e 2 meses a 1 ano e 8 meses.
� Redução da pena máxima: um sexto de 15 anos é de 2 anos e 6 meses, enquanto dois terços de 15 anos
é de 10 anos. Portanto, a penamáxima após a redução será de 12 anos e 6 meses a 5 anos.
Assim, a resposta correta é a letra A: a pena poderá variar de 1 ano e 8 meses (melhor cenário) a 12
anos e 6 meses (pior cenário).
Questão 33
Podemos utilizar a fórmula que relaciona distância percorrida, velocidade média e tempo de percurso para
calcular as distâncias percorridas por cada equipe. Essa fórmula é:
d = v · t
Onde d é a distância percorrida, v é a velocidade média e t é o tempo de percurso. Usando essa fórmula,
temos:
� Equipe Alpha: dAlpha = 6, 0 · 1, 5 = 9 km
� Equipe Beta: dBeta = 5, 0 · 1, 5 = 7, 5 km
� Equipe Gama: dGama = 6, 5 · 1 = 6, 5 km
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Agora, podemos ordenar as distâncias percorridas pelas equipes:
dGama < dBeta < dAlpha
Portanto, a alternativa correta é a letra A.
Questão 34
Inicialmente, a taxa de LDL do paciente era de 280 mg/dL. Após o primeiro mês, houve uma redução de
25% nessa taxa, o que corresponde a uma nova taxa de LDL de:
280− 0, 25 · 280 = 210 mg/dL
Após o segundo mês, houve uma redução de mais 20% na taxa de LDL em relação ao resultado anterior, o
que corresponde a uma nova taxa de LDL de:
210− 0, 20 · 210 = 168 mg/dL
A nova taxa de LDL, portanto, é de 168 mg/dL. Segundo a classificação apresentada no enunciado, essa taxa
se enquadra na categoria “alta”, já que está entre 160 e 189 mg/dL.
Portanto, a resposta correta é a letra (d): alta.
Questão 35
Para comparar as intensidades das forças gravitacionais, precisamos comparar as expressões FA, FB , e FC ,
que são dadas por:
FA =
kmA
r2A
FB =
kmB
r2B
FC =
kmC
r2C
Observando o gráfico e as informações dadas, podemos notar que:
� O ponto C tem maior ordenada (raio) que o ponto A, o que significa que o raio da órbita de C é maior
que o raio da órbita de A.
� O ponto B tem maior abcissa (massa) que o ponto A, o que significa que a massa de B é maior que a
massa de A.
� O ponto C tem a mesma abcissa (massa) do ponto A.
Com essas informações, podemos comparar as intensidades das forças gravitacionais:
� Comparando FA e FC : Como mC = mA e rC > rA, temos que FC < FA. Portanto, as opções (C) e (D)
são eliminadas.
� Comparando FA e FB: Como mB > mA e rB = rA, temos que FB > FA. Portanto, a opção (A) é
eliminada.
� Comparando FB e FC : Como mB > mA = mC e rB = rA < rC , temos que FC < FB. Portanto, a
opção (B) é eliminada.
Resta apenas a opção (E), que afirma que FC < FA < FB. Essa opção é coerente com as informações do
gráfico e com as comparações realizadas.
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Questão 36
Para escrever o diâmetro interno do v́ırus influenza em notação cient́ıfica, primeiro precisamos escrevê-lo
como um número entre 1 e 10, multiplicado por uma potência de 10.
0,00011 pode ser reescrito como:
1, 1 · 10−4
Para chegar a esse resultado, movemos a v́ırgula quatro lugares para a direita e multiplicamos por uma
potência de 10 correspondente a esse deslocamento.
Portanto, a resposta correta é a alternativa (D).
Questão 37
Para resolver essa questão, precisamos converter as unidades de medida para que todas estejam na mesma
escala. Primeiro, vamos converter a capacidade do reservatório para litros.
45 cm3 = 0, 045 litros
Agora, precisamos descobrir quantos litros de água o reservatório tem atualmente, quando está cheio:
1 : 200 é a escala da maquete, o que significa que a maquete é 200 vezes menor que o condomı́nio real.
Portanto, a capacidade real do reservatório será o volume do reservatório da maquete multiplicado pelo cubo
dessa razão:
0, 045 litros · 2003 = 360000 litros
Sabendo que o consumo diário de água é de 30 000 litros, podemos calcular quantos dias o reservatório cheio
será suficiente para abastecer o condomı́nio:
360000 litros
30000 litros/dia
= 12 dias
Portanto, o reservatório cheio será suficiente para abastecer o condomı́nio por 12 dias (Alternativa C).
Questão 38
Três pés equivalem a 1 jarda que, por sua vez, equivale a 0,9144 metro. Então:
3 pés = 1 jarda = 0, 9144 metro = 91, 44 cent́ımetros
Assim, temos:
1 pé = 30, 48 cent́ımetros
Dado que cada polegada tem 2, 54 cent́ımetros:
1 pé =
30, 48 cm
2, 54 cm
= 12 polegadas
Logo, a resposta correta é a alternativa D.
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Questão 39
Para calcular a quantidade de medicamento que a criança deve receber diariamente, usamos a fórmula:
q = 500 ·m
onde q é a quantidade de medicamento em miligramas que a criança deve receber e m é a massa da criança
em quilogramas. Substituindo m = 20, temos:
q = 500 · 20 = 10000 mg
Agora, para calcular a quantidade total de medicamento que será necessária para o tratamento de 5 dias,
basta multiplicar essa quantidade diária por 5:
qtotal = 10000 · 5 = 50000 mg
Sabendo que 1 g desse medicamento ocupa 1 cm3, podemos converter a quantidade total de medicamento
para mililitros:
Vtotal = 50000 mg = 50 g = 50 cm3 = 50 mL
Portanto, os pais da criança devem comprar um frasco de 50 mL para a dosagem máxima do antibiótico
infantil pelo peŕıodo de 5 dias. A resposta correta é a letra B.
Questão 40
As passagens já vendidas pela empresa de ônibus estão representadas no desenho com os assentos mais
escuros. Contando-os na imagem, tem-se 16 assentos já ocupados, ou seja, 16 passagens já vendidas.
Uma vez que o número total de assentos dispońıveis no ônibus é 42, a razão entre o número de assentos já
vendidos e o total de assentos desse ônibus, no instante considerado na imagem, é
número de assentos vendidos
número total de assentos
=
16
42
Logo, a alternativa correta é o item A.
Questão 41
Primeiro, vamos calcular quantos litros de água já estão no balde:
50% de 18 litros = 9 litros
Portanto, o balde já contém 9 litros de água e, para enche-lo completamente, precisamos adicionar mais 9
litros.
Agora, vamos calcular quantas gotas são necessárias para encher 9 litros de água:
1 litro = 1000 mL
9 litros = 9000 mL
Se cada gota contém 5 · 10−2 mL de água, então, o número de gotas necessárias para encher o balde é:
9000
5 · 10−2
=
9 · 103
5 · 10−2
= 1, 8 · 105 gotas.
Se a cada segundo, caem 5 gotas da torneira, então o tempo necessário em segundos é:
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1.8 · 105
5
= 3, 6 · 104 segundos.
Convertendo para horas:
3, 6 · 104
3600
= 10 horas.
Portanto, a resposta correta é a letra (B): 1 · 101 horas.
Questão 42
A densidade superficial do papel A4 é de 75 g/m2, o que significa que uma folha de papel A4 tem uma massa
de:
75 g/m2 · 0.062 m2 = 4, 65 g/folha
Um pé de eucalipto rende, em média, 20 mil folhas de papel A4, então a massa total dessas folhas é:
20 000 · 4, 65 g/folha = 93 000 g = 93 kg
Portanto, a resposta correta é a letra (E) 93 kg.
Questão 43
Para realizar a viagem, o motociclista precisa percorrer 500 km na ida (trajeto AB), 200 km no seu destino e
mais 500 km na volta (trajeto BA). É importante também observar que o posto Estrela (ponto E) se encontra
entre o ponto de partida e seu destino, distando 80 km do seu destino.
Uma vez que sua moto consome 5 litros de gasolina para cada 100 km rodados, a moto faz 20 km por litro.
Dado que ela se encontra com o tanque cheio no ińıcio do percurso com 22 litros de gasolina, logo consegue
percorrer
22 · 20 = 440 km.
Ou seja, consegue alcançar o posto estrela na viagem de ida e ainda tem autonomia de 440− 420 = 20 km.
Ao se deslocar do posto Estrela ao destino, percorrer os 200 km nesse destino e voltar para o posto Estrela
novamente, precisará percorrer:
80 + 200 + 80 = 360 km
Logo, precisará abastecer, no mı́nimo, combust́ıvel suficiente para percorrer 360− 20 = 340 km.
Dado que a moto faz 20 km por litro,
340
20
= 17 litros
Portanto, a quantidade mı́nima de combust́ıvel que o motociclista deve reabastecer no posto Estrela na
viagem de ida é de 17 litros (AlternativaC).
Questão 44
Para resolver esse problema, vamos seguir os seguintes passos:
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� Calcular a área total que será dividida em terrenos. Como o fazendeiro irá utilizar 0,9 hectare para as
ruas e calçadas, ele utilizará 3− 0, 9 = 2, 1 hectares para os terrenos. Como 1 hectare equivale a 10.000
m2, então 2,1 hectares equivalem a 21.000 m2.
� Calcular quantos terrenos serão criados. Como cada terreno terá área de 300 m2, serão criados 21.000
m2 / 300 m2 = 70 terrenos.
� Calcular o valor arrecadado com a venda dos 20 primeiros terrenos. Cada terreno terá o valor de R$
20.000,00, portanto, os 20 primeiros terrenos terão um valor total de R$ 20.000,00 · 20 = R$ 400.000,00.
� Calcular o valor arrecadado com a venda dos demais terrenos. Como sobraram 50 terrenos para serem
vendidos, e cada um será vendido por R$ 30.000,00, o valor arrecadado será de R$ 30.000,00 · 50 =
R$1.500.000,00.
� Somar o valor arrecadado com a venda dos 20 primeiros terrenos com o valor arrecadado com a venda
dos demais terrenos para obter o valor total arrecadado pelo fazendeiro.
Portanto, temos:
Valor total arrecadado = R$ 400.000,00 + R$ 1.500.000,00 = R$ 1.900.000,00.
Assim, a alternativa correta é a (C) 1 900 000.
Questão 45
Para encontrar o ano de fundação da cidade, precisamos converter o número romano MCDLXIX em um
número decimal. Sabe-se que:
� M = 1000
� CD = 400
� LX = 60
� IX = 9
Somando esses valores, temos:
1000 + 400 + 60 + 9 = 1469
Portanto, a cidade foi fundada em 1469.
Para determinar quantos anos de fundação a cidade comemorará em 2050, precisamos calcular a diferença
entre 2050 e 1469:
2050− 1469 = 581
Portanto, a cidade comemorará 581 anos de fundação em 2050.
A resposta correta é a alternativa (D) 581.
Questão 46
Calcularemos o valor total de cada opção e escolher a mais econômica:
� Suplemento I:
mineral A:
800
50
= 16 envelopes;
mineral B:
1000
100
= 10 envelopes;
mineral C:
1200
200
= 6 envelopes.
Logo, serão necessários, no mı́nimo, 16 envelopes e, sendo assim, R$ 2,00 · 16 = R$ 32, 00
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� Suplemento II:
mineral A:
800
800
= 1 envelopes;
mineral B:
1000
250
= 4 envelopes;
mineral C:
1200
200
= 6 envelopes.
Logo, serão necessários, no mı́nimo, 6 envelopes e, sendo assim, R$ 3,00 · 6 = R$ 18, 00
� Suplemento III:
mineral A:
800
250
= 3, 2 envelopes;
mineral B:
1000
1000
= 1 envelopes;
mineral C:
1200
300
= 4 envelopes.
Logo, serão necessários, no mı́nimo, 4 envelopes e, sendo assim, R$ 5,00 · 4 = R$ 20, 00
� Suplemento IV:
mineral A:
800
600
= 1, 33 envelopes;
mineral B:
1000
500
= 2 envelopes;
mineral C:
1200
1000
= 1, 2 envelopes.
Logo, serão necessários, no mı́nimo, 2 envelopes e, sendo assim, R$ 6,00 · 2 = R$ 12, 00
� Suplemento V:
mineral A:
800
400
= 2 envelopes;
mineral B:
1000
800
= 1, 25 envelopes;
mineral C:
1200
1200
= 1 envelopes.
Logo, serão necessários, no mı́nimo, 2 envelopes e, sendo assim, R$ 8,00 · 2 = R$ 16, 00
Portanto, a opção mais econômica é comprar 2 sachês do Suplemento IV, que custa R$ 12,00 e fornece todas
as quantidades de minerais necessárias. A resposta correta é a alternativa D.
Questão 47
Para encontrar a escala utilizada para fazer a réplica do castelo, podemos comparar as medidas da réplica
com as medidas do castelo original. Vamos calcular a escala da largura da ponte:
Escala = medida da réplica
medida do original =
7
168
Como todas as medidas estão em cent́ımetros, não precisamos de uma unidade de medida.
Simplificando a fração 7
168 por 7, obtemos a escala igual a 1
24 .
Portanto, a escala utilizada para fazer a réplica do castelo é 1 : 24. A resposta correta é a letra (C).
Questão 48
Dado que o automóvel apresenta um desempenho médio de 16 km/L, podemos calcular qual o volume
necessário para fazer 20 km.
Aplicando uma regra de três simples:
16 → 1L
20 → xL
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multiplicando cruzado:
16x = 20
x =
20
16
x = 1, 25L
Logo, o automóvel tem um desempenho médio de 20 km a cada 1,25 L com o motor original.
Como o novo motor economiza, em relação ao motor anterior, 0,1 L de combust́ıvel a cada 20 km percorridos,
tem-se agora um desempenho de 20 km a cada 1, 25− 0, 1 = 1, 15 L.
Querendo saber quanto equivale a cada litro:
20 → 1, 15L
x → 1L
multiplicando:
1, 15x = 20
x =
20
1, 15
x ≈ 17, 4
Portanto, o valor do desempenho médio do automóvel com o novo motor expresso com uma casa decimal, é
de 17,4 km/L (Alternativa D).
Questão 49
Dado que a perda média de massa por hora de atividade f́ısica é de 1,5 kg, podemos representar isso como:
Perda de massa = 1, 5 kg/h
O médico recomendou que a pessoa ingerisse uma quantidade total de água correspondente a 40% a mais do
que a massa perdida na atividade f́ısica. Portanto, a quantidade de água recomendada é 1,4 vezes a massa
perdida:
Quantidade de água recomendada = 1, 4 · Perda de massa
Sabemos que a pessoa ingeriu um total de 1,7 L de água após terminar seus exerćıcios f́ısicos. Podemos
converter isso para kg, considerando que a massa de 1 L de água é de 1 kg:
1, 7L = 1, 7 kg
Substituindo na equação, temos:
1, 7 kg = 1, 4 · Perda de massa
Agora, podemos resolver para encontrar a Perda de massa:
Perda de massa =
1, 7 kg
1, 4
≈ 1, 21 kg
Agora que temos a Perda de massa, podemos encontrar o tempo necessário para perdê-la. Sabendo que a
perda média de massa por hora é de 1,5 kg, podemos usar uma regra de três:
1, 5 kg
1 h
=
1, 21 kg
xh
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Multiplicando cruzado, temos:
1, 5x = 1, 21
x ≈ 0, 81 h
Convertendo o tempo para minutos, temos:
0, 81 h · 60min/h ≈ 48, 6min
Olhando as opções fornecidas, podemos concluir que a resposta correta é: mais de 45 e menos de 55 minutos
(Alternativa C).
Questão 50
De acordo com os dados fornecidos, em janeiro de 2013 foram criadas 28.900 vagas de emprego. Isso representa
uma queda de 75% em comparação com o mesmo peŕıodo de 2012.
Podemos representar o número de vagas criadas em janeiro de 2012 como x. A queda de 75% pode ser
calculada multiplicando x por 0, 25 (ou 25%):
x · 0, 25 = 28.900
Agora, podemos resolver essa equação para encontrar o valor de x:
x =
28.900
0, 25
= 115.600
Portanto, o número de vagas criadas em janeiro de 2012 foi de 115.600 (Alternativa C).
Questão 51
Segundo as informações dadas, na planta da nova cozinha desenhada na escala de 1 : 50, o espaço destinado
ao refrigerador tinha 3,8 cm de altura e 1,6 cm de largura.
Sabe-se, também, que os fabricantes de refrigeradores indicam que é necessário deixar uma distância mı́nima
de 10 cm de outros móveis ou paredes tanto na parte superior quanto nas laterais do refrigerador.
Para determinar as medidas máximas do refrigerador em metros, podemos usar a seguinte relação:
Medida no desenho · Escala = Medida real
Vamos aplicar essa relação para determinar a altura máxima do refrigerador:
3, 8 cm · 50 = 190 cm = 1, 90m
A altura máxima do refrigerador na planta de medida real é de 1,90 m.
Agora, vamos aplicar a mesma relação para determinar a largura máxima do refrigerador:
1, 6 cm · 50 = 80 cm = 0, 80m
A largura máxima do refrigerador na planta de medida real é de 0,80 m.
Descontando, agora, 10 cm da parte superior e das laterais:
1, 90− 0, 10 = 1, 80 m
0, 80− 2 · 0, 10 = 0, 60 m
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Portanto, o refrigerador tem altura máxima de 1,80 m e largura máxima de 0,60 m (Alternativa A).
Questão 52
De acordo com as informações fornecidas, o d́ıgito verificador N5 de uma agência bancária é determinado da
seguinte forma:
S = 5 ·N1 + 4 ·N2 + 3 ·N3 + 2 ·N4
onde N1, N2, N3 e N4 são os quatro primeiros d́ıgitos do número da agência.
No caso da agência bancária com os quatro primeiros d́ıgitos 0100, temos:
S = 5 · 0+ 4 · 1 + 3 · 0 + 2 · 0 = 0 + 4 + 0 + 0 = 4
A seguir, encontramos o resto da divisão de S por 11, denotado por R. Dividindo 4 por 11, o quociente é zero
e o resto R é 4.
Por fim, o d́ıgito verificador N5 é a diferença entre 11 e R:
N5 = 11−R = 11− 4 = 7
Portanto, o d́ıgito verificador N5 da agência bancária é 7 (Alternativa C).
Questão 53
Sabemos que o recipiente do borrifador contém 360 mL de inseticida, que duram 60 dias se o borrifador for
acionado a cada 48 minutos e permanecer ligado ininterruptamente.
Primeiro, vamos calcular a quantidade de inseticida liberada por dia. Dividimos o volume total de inseticida
(360 mL) pelo número de dias (60):
360mL
60 dias
= 6mL/dia
Agora, vamos calcular a quantidade de inseticida liberada a cada acionamento do borrifador. Como o
borrifador é acionado a cada 48 minutos, podemos calcular quantos acionamentos ocorrem em um dia.
Dividimos o número de minutos em um dia (60 · 24 = 1440 minutos) pelo intervalo de tempo entre cada
acionamento:
1440min
48min/acionamento
= 30 acionamentos/dia
Em seguida, dividimos a quantidade de inseticida liberada por dia pelo número de acionamentos por dia:
6mL/dia
30 acionamentos/dia
= 0, 2mL/acionamento
Portanto, a quantidade de inseticida liberada a cada acionamento do borrifador é de 0,2 = 0,200 mL
(Alternativa B).
Questão 54
Vamos calcular a duração do ano no planeta Z, em relação aos seus dias.
Sabemos que 2 anos no planeta Z correspondem a 1 ano terrestre, que tem 365 dias. Assim sendo, 1 ano no
planeta Z corresponde a meio ano terrestre.
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Portanto, para encontrar quantos dos dias do planeta Z corresponde um dos seus anos, basta dividir a duração
do ano nesse planeta em dias terrestres pelo tempo de duração de um dia nesse planeta também em dias
terrestres:
0, 5 · 365
73
=
365
2 · 73
=
365
146
= 2, 5
Portanto, o ano no planeta Z corresponderia a 2,5 de seus dias (Alternativa A).
Questão 55
Bilhão é uma escala numérica que representa um número seguido de nove zeros (1 000 000 000). Portanto,
para representar R$ 1,35 bilhão, precisamos multiplicar 1,35 por 1 000 000 000 (ou 109). Assim,
1, 35 · 109 = 1 350 000 000, 00
Portanto, o número correto que representa R$1, 35 bilhão é 1 350 000 000, 00 (Alternativa E).
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COMBINATÓRIA
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ENEM - MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
COMBINATÓRIA
Questão 1
A primeira escolha realizada foi o sorteio de 4 times estre os 12 inscritos para compor o Grupo A. Como tal
agrupamento desejado não diferencia de outro pela ordem dos seus elementos, mas pela natureza deles, então
o número de agrupamentos distintos de 4 times entre os 12 inscritos pode ser calculado por meio de uma
combinação simples.
Para a escolha dos 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, observa-se que a ordem dos times
dentro do mesmo grupo implica em um novo grupo. Se um time x, por exemplo, abrirá o torneio contra um
time y, é diferente ter x contra y ou y contra x, dado que um seria o time da casa e o outro visitante. Assim,
para o caso, os agrupamentos diferenciam-se pela ordem dos seus elementos e também pela sua natureza.
Logo, tem-se que usar um arranjo de 2 times entre os 4 inscritos.
Enfim, a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de uma
combinação e um arranjo, respectivamente (Alternativa A).
Questão 2
O número de sequências posśıveis que determinam qual trajeto João poderá fazer corresponde ao número de
anagramas da “palavra” BCDEF excluindo-se os anagramas simétricos. Isso se justifica, pois a letra A deve
começar a sequência e também terminar. Deste modo, não é preciso incluir esta letra na palavra. Como para
cada sequência diferente, tem-se um simétrico correspondente, logo basta dividir o número de anagramas
posśıveis por dois.
N◦ de anagramas: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
Dividindo por dois, tem-se 120/2 = 60 sequências posśıveis.
Como ele gasta 1min30s para analisar cada sequência,
60 · 1min30s = 90min
Logo, a alternativa correta é o item B.
Questão 3
Cada candidato receberá por sorteio um número composto por 5 algarismos distintos ı́mpares. O menor
número posśıvel é 13 579, por exemplo, e o maior, 97 531. Ao ordenar todos em ordem crescente, cada
número terá uma posição. Tal posição é a ordem de chamada do candidato para a entrevista.
É posśıvel calcular o número de números posśıveis neste formato usando permutação simples. Como tem-se 5
posições a preencher (algarismos do número) e 5 algarismos posśıveis, tem-se:
5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
Logo, cada um dos candidatos receberá um número diferente entre os 120 posśıveis.
Tendo 5 números ı́mpares posśıveis, dos 120 números, a quinta parte começará com 1, outra quinta parte
com 3, outra quinta parte com 5, e assim por diante. Logo,
� 24 números começarão com 1;
� 24 números começarão com 3;
� 24 números começarão com 5;
� 24 números começarão com 7;
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� 24 números começarão com 9.
Assim, o número 75 913 que se deseja saber a posição encontra-se entre o 24 + 24 + 24 + 1 = 73◦ colocado
e o 24 + 24 + 24 + 24 = 96◦ colocado. O número de posição 73◦, por exemplo, é 71 359 que é o menor
número começado com 7.
Aplicando a mesma ideia, dos 24 números que começam com 7, a quarta parte começa com 1, a quarta parte
começa com 3, etc. Assim, como o número 75 913 tem 5 na casa da unidade de milhar, a posição deste
número encontra-se entre 72 + 6 + 6 = 84◦ e 72 + 6 + 6 + 6 = 90◦. Logo, pode-se encontrar a posição de
cada um:
� 75 139 tem a posição 85◦;
� 75 193 tem a posição 86◦;
� 75 319 tem a posição 87◦;
� 75 391 tem a posição 88◦;
� 75 913 tem a posição 89◦;
� 75 931 tem a posição 90◦.
Logo, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é 89 (Alternativa E).
Questão 4
Cada escolha de um objeto (Oi) por um dos personagens (Pi) para esconder em um dos cômodos (C1)
pode ser visto como um trio (Oi, Pi, Ci) onde i é um ı́ndice que identifica o objeto. O trio (O1, P2, C3), por
exemplo, reprentaria o objeto 1 sendo escondido pelo personagem 2 no cômodo 3.
O número total de trios dispońıveis pode ser calculado através do Prinćıpio Fundamental da Contagem. Em
resumo, o prinćıpio diz que se alguma escolha pode ser feita de m maneiras diferentes e alguma escolha
subsequente pode ser feita de n maneiras diferentes, há m · n diferentes maneiras pelas quais essas escolhas
podem ser feitas sucessivamente. Esse prinćıpio pode, claro, ser estendido quando forem realizadas várias
escolhas sucessivas.
Assim, o número de trios diferentes é 5 · 6 · 9 = 270.
Como há 280 alunos, as respostas dadas no jogo devem ser sempre distintas das anteriores e um mesmo
aluno não pode ser sorteado mais de uma vez, certamente algum aluno acertará o trio e ganhará o jogo. Isso
acontece, pois há 280− 270 = 10 alunos a mais do que posśıveis respostas (Alternativa A).
Questão 5
Segundo o texto, há śımbolos distintos que identificam as cores azul, amarelo e vermelho além das cores preto
e branco. Ainda, a justaposição de dois desses śımbolos permite identificar cores secundárias. As posśıveis
justaposições entre cores primárias seriam:
� azul - amarelo
� azul - vermelho
� amarelo - vermelho
Logo, há 3 śımbolos envolvendo duas cores primárias.
Há a possibilidade de ter o verde (amarelo combinado com o azul), por exemplo, na tonalidade claro ou
escuro. Há também as mesmas opções para as outras cores formadas pelas justaposições. Assim, tem-se
mais 2 śımbolos posśıveis para cada dupla formada com as cores primárias. Como são 3 posśıveis duplas, há
3 · 2 = 6 posśıveis opções para claro ou escuro.
Pode-se, também, para cada cor primária ter a opçãode claro ou escuro. Logo, com 3 cores primárias, há
3 · 2 = 6 posśıveis opções para claro ou escuro. Assim, há 3 + 6 + 3 + 6 = 18 opções envolvendo as cores
primárias e suas tonalidades.
Tem-se, ainda, as opções branco e preto acrescentando mais 2 opções. Logo, o sistema proposto pode
representar 20 cores distintas (Alternativa C).
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Questão 6
Pode-se, primeiramente, calcular o número de senhas posśıveis usando apenas os algarismos de 0 a 9. Dado
que são 6 d́ıgitos de um total de 10 e que pode-se repetir o d́ıgito, o número de senhas pode ser calculado por
meio de uma aplicação direta do prinćıpio multiplicativo:
10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 106
Com a possibilidade de criação da senha utilizando também letras maiúsculas e minúsculas, agora o número
de caracteres dispońıveis passa a ser 10 + 26 + 26 = 62. Logo, qualquer um dos 6 d́ıgitos posśıveis para
compor a senha deve ser escolhido entre os 62 dispońıveis. Assim,
62 · 62 · 62 · 62 · 62 · 62 = 626
Fazendo a razão para encontrar o coeficiente de melhora,
coeficente de melhora =
626
106
Portanto, a alternativa correta é o item A.
Questão 7
Imagine o artesão na execução da tarefa de produzir uma joia no formato descrito começando a escolha da
cor pelo vértice A. Como tem-se 3 cores dispońıveis, ele dispõe de 3 escolhas para tal.
Em seguida, ele quer escolher a cor do vértice C. Tal escolha é oportuna. Independente de qual cor usou no
vértice A, agora ele tem 3 escolhas para tal vértice.
Em seguida, ele escolhe a cor do vértice B. Tal escolha depende, obviamente, da escolha C. Se a cor para o
vértice é igual a cor do vértice A (Caso I), logo tem-se 2 escolhas para o vértice B e, consequentemente, 1
para D, considerando as simetrias.
Por outro lado, se a cor para o vértice C for diferente do vértice A (Caso II), tem-se definida a cor dos
vértices B e D que, necessariamente, são iguais.
Usando o prinćıpio multiplicativo para cada caso:
Caso I:
3 · 1 · 2 · 1 = 6
Caso II:
3 · 2 · 1 · 1 = 6
Logo, tem-se 6 + 6 = 12 opções (Alternativa B).
Questão 8
Se um lado do triângulo deve ter o lado com exatamente 6 palitos considerando 17 palitos no total, logo a
soma dos outros dois lados é 11. Outro fato para levar em conta é a desigualdade triangular: a soma de dois
lados quaisquer do triângulo deve ser maior que o terceiro lado para que ele exista.
Assim, tem-se as seguintes possibilidades:
� 6 + (1 + 10) −→ não existe.
� 6 + (2 + 9) −→ não existe.
� 6 + (3 + 8)
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� 6 + (4 + 7)
� 6 + (5 + 6)
Os demais seriam congruentes dois a dois a um já descrito.
Logo, são 3 triângulos (Alternativa A).
Questão 9
Inicialmente o cliente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Logo, pode escolher o filme de
ação entre os 8 filmes dispońıveis e o de comédia entre os 5. Assim sendo, usando o prinćıpio multiplicativo,
tem 8 · 5 maneiras para a escolha dos primeiros dois filmes.
Quando ele devolve os filmes, deve escolher um de ação entre os 7 restantes e um de comédia entre os 4.
Logo, com o mesmo racioćınio anterior, tem 7 · 4 maneiras para a escolha dos dois filmes seguintes.
Ele prossegue com as escolhas até que tenha assistido todos os filmes de comédia. Nesse instante, o número
de maneiras de escolhas diferentes até então é:
(8 · 5) · (7 · 4) · (6 · 3) · (5 · 2) · (4 · 1)
Em seguida, ele alugará um filme de ação e um de drama. Nesse momento, tem 3 filmes de ação inéditos
dispońıveis e 3 de drama. Assim, tem (3 · 3) escolhas para os primeiros dois filmes, (2 · 2) escolhas a seguir e
(1 · 1) para finalizar todos os filmes. Assim,
(8 · 5) · (7 · 4) · (6 · 3) · (5 · 2) · (4 · 1) · (3 · 3) · (2 · 2) · (1 · 1)
Agrupando de modo conveniente,
8! · 5! · 3!
Logo, a alternativa correta é o item B.
Questão 10
Como a escola II tem 66 pontos contra 68 pontos da escola IV, precisa receber uma nota no quesito Bateria
pelo jurado B duas unidades maior do que a nota da escola IV. O empate entre as escolas II e IV garante a
vitória para a escola II, uma vez que ela tem maior soma de notas no quesito Enredo e Harmonia (20 > 19).
As demais escolas (com exceção da IV) podem receber qualquer nota que não ultrapassariam a escola II.
Tais notas para as escolas II e IV, respectivamente, dão a vitória para a escola II:
� 8 e 6;
� 9 e 6;
� 10 e 6;
� 9 e 7;
� 10 e 7;
� 10 e 8;
Para cada uma dessas 6 opções listadas, há 5 · 5 · 5 = 125 maneiras para escolher as notas das escolas I, III
e V. Logo, o número de configurações distintas a serem atribúıdas pelo jurado B pode ser calculado pelo
prinćıpio multiplicativo:
125 · 6 = 750
Portanto, a alternativa correta é o item C.
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Questão 11
Das 9 poltronas livres dispońıveis, 7 serão ocupadas pelos integrantes da famı́lia. Uma vez que a ordem de
ocupação importa (tem-se uma nova configuração a cada ordem), é preciso primeiramente calcular o número
de maneiras de escolher 7 poltronas em 9 dispońıveis e, em seguida, permutá-los entre esses lugares.
Para escolher 7 poltronas entre as 9 dispońıveis:(
9
7
)
=
9!
(9− 7)!7!
=
9!
2!7!
Para permutá-los: 7!
Assim, o número de formas distintas de se acomodar a famı́lia nesse voo é calculado por
9!
2!7!
· 7! = 9!
2!
(Alternativa A)
Questão 12
Usaremos para alcançar a solução o cálculo da probabilidade complementar. Ou seja, ao invés de contar
quantas são as partidas de exibição entre dois desses jogadores não sendo ambos canhotos, contaremos
quantas são as posśıveis partidas nessa configuração e diminuiremos do total.
Vamos calcular, primeiro, quantas são as posśıveis duplas sem restrição. Usaremos, para tal, a fórmula de
combinação simples, uma vez que a ordem da dupla na partida não importa.(
10
2
)
=
10!
(10− 2)! · 2!
=
10!
8! · 2!
Calculamos, agora, quantas são as partidas entre canhotos:(
4
2
)
=
4!
(4− 2)! · 2!
=
4!
2! · 2!
Por fim, subtráımos do total de partidas o número de partidas entre canhotos:
10!
8! · 2!
− 4!
2! · 2!
Logo, a alternativa correta é o item A.
Questão 13
Para escolher a senha, a pessoa deve selecionar duas letras entre as 26 do alfabeto, e depois escolher dois
algarismos entre os 10 dispońıveis. Contudo, uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha. Assim,
pode-se imaginar que há 26 + 26 = 52 letras posśıveis para escolha (śımbolos diferentes) e 10 algarismos.
Também é importante observar que tanto as letras quanto os números podem ser repetidos.
Há 52 possibilidades para cada letra (26 letras maiúsculas e 26 letras minúsculas). Portanto, há 522 maneiras
de escolher as duas letras.
Para os algarismos, há 10 possibilidades para o primeiro, e 10 possibilidades para o segundo. Portanto, há
102 maneiras de escolher os dois algarismos.
Assim, o número total de senhas ordenadas posśıveis (dois números e duas letras, nessa ordem) é dado pelo
produto das duas possibilidades: 102 · 522.
Precisamos também considerar que a permutação das letras e números na senha nos dá uma nova senha. Logo,
se temos 4 śımbolos, com dois pares, possivelmente, repetidos, calculamos também o número de permutações
com repetição:
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P 2,2
4 =
4!
2! · 2!
Assim, o número total de senhas posśıveis para o cadastramento nesse site é dado por 102 · 522 · 4!
2! · 2!
(Alternativa E).
Questão 14
A questão é resolvida a partir do prinćıpio multiplicativo. Imagine que a filha comece do ćırculo A e, para
isso, dispõe inicialmente de três cores distintas. Logo, há 3 maneiras de se pintar esse ćırculo A.
O próximo passo seria pintar o ćırculo B. Como não pode usar a mesma cor que utilizou no ćırculo A, teria,
agora, 2 cores dispońıveis. Assim, há 2 maneiras de se pintar esse ćırculo B.
Seguindo,o próximo ćırculo é o C. Não é posśıvel pintá-lo com a cor usada em B, contudo, pode-se usar a
cor pintada em A. Logo, há 2 maneiras de se pintar esse ćırculo C.
Para o último ćırculo dispońıvel (ćırculo D), o número de cores dispońıveis vai depender da cor usada no
ćırculo C:
� se for diferente da cor usada em A, só resta uma opção (a mesma usada em B);
� se for igual a cor usada em A, tem-se duas cores dispońıveis.
Logo, precisamos dividir em casos.
▷ A cor em C é diferente da cor usada em A: Assim, usando o prinćıpio multiplicativo, tem-se que o número
de configurações distintas é:
3 · 2 · 1 · 1 = 6
▷ A cor em C é igual a cor usada em A: Nesse caso, o número de configurações distintas é:
3 · 2 · 1 · 2 = 12
Assim, a criança pode pintar de 6 + 12 = 18 maneiras diferentes (Alternativa C).
Questão 15
Para calcular o número de partidas que serão realizadas em um torneio com n jogadores, podemos utilizar a
fórmula n(n−1)
2 , que representa a combinação de pares posśıveis entre os jogadores. Cada par jogará uma
partida, e como cada jogador joga uma única vez com cada um dos outros jogadores, teremos exatamente
n(n−1)
2 partidas no torneio.
Aplicando a fórmula para n = 8, temos:
8(8− 1)
2
=
8 · 7
2
= 28
Portanto, se a quantidade de jogadores for 8, serão realizadas 28 partidas no torneio (Alternativa E).
Questão 16
O problema exige que haja pelo menos um carrinho de cada cor, o que implica que teremos uma restrição na
pintura.
Podemos pensar na restrição de que devemos ter pelo menos um carrinho de cada cor como sendo que
já temos quatro carrinhos definidos, cada um com uma das quatro cores dispońıveis. Então, restam seis
carrinhos para serem pintados, sem a restrição de que cada cor deve aparecer pelo menos uma vez.
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Sejam x, y, z e w o número de carrinhos entre os 6 dispońıveis que serão pintados de amarelo, branco, laranja
e/ou verde, respectivamente. Logo,
x+ y + z + w = 6
Nosso problema agora é encontrar o número de soluções distintas para valores inteiros positivos para essa
equação. Observe que x, y, z e w somente podem assumir somente valores inteiros entre 0 e 6.
São exemplos de soluções:
� x = 1, y = 1, z = 2 e w = 2;
� x = 0, y = 2, z = 2 e w = 2;
� x = 3, y = 1, z = 2 e w = 0;
� x = 1, y = 4, z = 1 e w = 0.
Uma abordagem interessante para esse problema é encará-lo de outra maneira procurando saber o número
distinto de sequências de “◦” e sinais de “+”, por exemplo. Uma vez que temos que somar 6 com 4 parcelas,
tem-se 6 bolinhas e 3 sinais de +. Por exemplo,
� x = 1, y = 1, z = 2 e w = 2 equivale a sequência ◦+ ◦+ ◦ ◦+ ◦ ◦;
� x = 0, y = 2, z = 2 e w = 2 equivale a sequência + ◦ ◦+ ◦ ◦+ ◦ ◦;
� x = 3, y = 1, z = 2 e w = 0 equivale a sequência ◦ ◦ ◦+ ◦+ ◦ ◦+;
� x = 1, y = 4, z = 1 e w = 0 equivale a sequência ◦+ ◦ ◦ ◦ ◦+ ◦+.
Logo, o problema agora é o de determinar o número de anagramas desses 9 śımbolos onde 6 deles são iguais
entre si e outros 3 iguais entre si. Logo,
9!
6!3!
= C9,6 = C9,3
Assim, a alternativa correta é o item B.
Questão 17
Para calcular o número de senhas distintas posśıveis em cada opção de formato, podemos usar a seguinte
fórmula:
Número de senhas distintas = (número de possibilidades para o primeiro caractere) · (número de possibilidades
para o segundo caractere) · ... · (número de possibilidades para o último caractere)
Assim, temos:
� Opção 1: LDDDDD Número de possibilidades para a primeira letra: 26 Número de possibilidades para
cada d́ıgito: 10 Número de senhas distintas posśıveis: 26 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 26 · 105 = 2,6 milhões
� Opção 2: DDDDDD Número de possibilidades para cada d́ıgito: 10 Número de senhas distintas posśıveis:
10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 106 = 1 milhão
� Opção 3: LLDDDD Número de possibilidades para cada letra: 26 Número de possibilidades para cada
d́ıgito: 10 Número de senhas distintas posśıveis: 26 · 26 · 10 · 10 · 10 · 10 = 676 · 104 = 6,76 milhões
� Opção 4: DDDDD Número de possibilidades para cada d́ıgito: 10 Número de senhas distintas posśıveis:
10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 105 = 0,1 milhão
� Opção 5: LLLDD Número de possibilidades para cada letra: 26 Número de possibilidades para cada
d́ıgito: 10 Número de senhas distintas posśıveis: 26 · 26 · 26 · 10 · 10 = 17 576 · 102 = 1,7576 milhões
A opção que mais se adequa aos critérios da empresa é aquela que tem o número de senhas distintas posśıveis
maior ou igual a 1 milhão e menor ou igual a 2 milhões. Das opções apresentadas, a única que atende a esses
critérios é a opção 5, LLLDD, com 1,7576 milhões de senhas distintas posśıveis (Alternativa E).
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Questão 18
Para resolver esta questão, podemos utilizar o prinćıpio multiplicativo, começando pela região que tem mais
adjacências.
� Como são quatro cores dispońıveis (verde, amarelo, azul e branco), existem 4 possibilidades para a
escolha da cor para a região I;
� A região II não pode ter a mesma cor da região I. Logo, há 3 possibilidades de escolha;
� A região III não pode ter a mesma cor da região II. Contudo, pode ter a mesma cor da região I. Logo,
há também 3 possibilidades de escolha;
� A região IV não pode ter a mesma cor da região III. Contudo, pode ter a mesma cor da região I ou II.
Logo, há também 3 possibilidades de escolha;
� A região V não pode ter a mesma cor da região I. Logo, há também 3 possibilidades de escolha;;
� A região VI não pode ter a mesma cor da região I. Logo, há 3 possibilidades de escolha.
Multiplicando,
4 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 972
Assim, a alternativa correta é o item E.
Questão 19
Para compor os dois estandes, precisamos escolher dois carros compactos dentre os quatro dispońıveis e duas
caminhonetes dentre as seis dispońıveis.
Podemos escolher os dois carros compactos de C2
4 = 6 maneiras diferentes. Em seguida, escolhemos as duas
caminhonetes de C2
6 = 15 maneiras diferentes. Como a ordem em que escolhemos os carros compactos e as
caminhonetes não importa, devemos multiplicar esses resultados pelo número de maneiras de arranjar dois
objetos em dois espaços diferentes, o que é 2 · 2 = 4.
Portanto, o número de maneiras diferentes de compor os estandes é C2
4 · C2
6 · 2 · 2 = 6 · 15 · 4 = 360.
Assim, a alternativa correta é o item C.
Questão 20
O torneio é disputado em sistema de eliminatória simples, ou seja, cada partida resulta na eliminação de um
dos competidores e a promoção do outro para a fase seguinte. Na primeira fase, temos 128 competidores,
ou seja, 64 partidas são disputadas, eliminando 64 competidores e promovendo 64 para a próxima fase. Na
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segunda fase, temos 64 competidores, ou seja, 32 partidas são disputadas, eliminando 32 competidores e
promovendo 32 para a próxima fase.
Esse processo continua até a final, que é disputada por dois competidores. Na fase anterior à final, teremos
apenas 2 competidores. Portanto, o número total de partidas necessárias para definir o campeão do torneio é
dado por:
64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 127
Assim, a alternativa correta é o item E.
Questão 21
Ignorando a restrição do enunciado, o número de configurações posśıveis para formar 4 duplas entre os 8
jogadores é: (
8
2
)
·
(
6
2
)
·
(
4
2
)
·
(
2
2
)
4!
=
2520
24
= 105
A divisão por 4! se justifica, pois, como não há ordem entre as duplas (primeira dupla, segunda dupla, etc.),
deve-se dividir pelo número de maneiras de permutá-las.
No entanto, deve-se excluir desse total o número de configurações onde os dois canhotos formam uma dupla.
Para tal, exclúımos os dois canhotos da contagem e calculamos o número de maneiras de formar 3 duplas
com os 6 jogadores restantes. Usando o mesmo racioćınio:(
6
2
)
·
(
4
2
)
·
(
2
2
)
3!
=
90
6
= 15
Logo,o número de maneiras de escolher as quatro duplas com a restrição do enunciado é calculado por:
105− 15 = 90 (Alternativa C)
Questão 22
O problema pode ser resolvido utilizando a fórmula de combinação. Primeiramente, escolhemos 4 vagões
dentre os 12 vagões dispońıveis para serem pintados de vermelho, depois 3 vagões dentre os 8 vagões restantes
para serem pintados de azul, 3 vagões dentre os 5 vagões restantes para serem pintados de verde e 2 vagões
dentre os 2 vagões restantes para serem pintados de amarelo.
Como a ordem em que os vagões são escolhidos não importa, utilizamos a fórmula de combinação para cada
grupo de vagões:
C4
12 · C3
8 · C3
5 · C2
2 (Alternativa E)
Questão 23
A tarefa da questão é contar quantos são os algarismos 2 que aparecem nos números de 100 a 399. O número
102, por exemplo, contém um algarismo 2, enquanto que o número 232 contém dois algarismos dois.
Contaremos separadamente as aparições nas unidades, dezenas e centenas.
� centenas:
Nas centenas, o algarismo 2 aparecerá nos números de 200 a 299. Assim, aparecerá 299− 200 + 1 = 100
vezes.
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� dezenas:
Nas dezenas, o algarismo 2 aparecerá nos números de 120 a 129, 220 a 229 e 320 a 329. Assim, aparecerá
3 · (129− 120 + 1) = 30 vezes.
� unidades:
Nas unidades, o algarismo 2 aparecerá uma vez a cada dez unidades. De 100 a 109 tem o 102, de 110 a
119 tem o 112, e assim por diante. Uma vez que de 100 a 399 tem-se (399− 100 + 1) = 300 números,
teremos 300/10 = 30 dezenas. Logo, o algarismo 2 aparece nas unidades 30 vezes.
Assim, a quantidade mı́nima de peças, simbolizando o algarismo 2, necessárias para identificar o número de
todos os quartos é
100 + 30 + 30 = 160
Portanto, a alternativa correta é o item A.
Questão 24
Vamos dividir a solução em três passos:
1. calculamos o número de maneiras distintas de sair da casa de André (A) e chegar a casa de Bernardo
(B) sem a restrição de não passar pela casa de Carlos (C);
2. calculamos o número de maneiras distintas de sair da casa de André (A) e chegar a casa de Bernardo
(B) passando pela casa de Carlos (C);
3. subtráımos as duas quantidades.
Passo 1:
Para sair de A e chegar a B, necessariamente, temos que fazer 4 deslocamentos para a direita e 3 para
cima. Assim sendo, o que difere um caminho de outro é a ordem desses deslocamentos. Vejamos alguns
deslocamentos posśıveis:
→→→→↑↑↑
→↑→→→↑↑
↑→→→↑→↑
Observe, então, que o número de diferentes caminhos para sair de A e chegar a B equivale ao número de
maneiras diferentes de permutarmos essas setas.
Uma vez que queremos determinar o lugar das 3 setas para cima (ou das 4 para frente) entre os 7 śımbolos
dispońıveis, tem-se: (
7
3
)
=
(
7
4
)
=
7!
4!3!
= 35
Logo, há 35 maneiras distintas de sair do ponto A e alcançar o ponto B sem a restrição de não passar pelo
ponto C.
Passo 2:
Para atingir o ponto B, a partir do ponto A, passando pelo ponto C, podemos dividir esse trajeto em duas
partes. Calcular o número de maneiras de atingir o ponto C a partir do ponto A e depois calcular o número
de maneiras de atingir o ponto B, a partir do ponto C.
� Trajeto AC:
Para sair de A e chegar a C temos que fazer 2 deslocamentos para direita e 2 para cima. Assim sendo,(
4
2
)
=
4!
2!2!
= 6
Logo, há 6 maneiras distintas de sair do ponto A e alcançar o ponto C.
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� Trajeto CB:
Para sair de C e chegar a B temos que fazer 2 deslocamentos para direita e 1 para cima. Assim sendo,(
3
1
)
=
(
3
2
)
=
3!
2!1!
= 3
Logo, há 3 maneiras distintas de sair do ponto C e alcançar o ponto B.
Portando, o número de maneiras de atingir o ponto B, a partir do ponto A, passando pelo ponto C, é dado
pelo produto
6 · 3 = 18
Passo 3:
Subtráımos o número de maneiras de atingir o ponto B, a partir do ponto A, passando pelo ponto C, do
número de maneiras distintas de sair da casa de André (A) e chegar a casa de Bernardo (B) sem a restrição
de não passar pela casa de Carlos (C).
35− 18 = 17
Finalmente, a alternativa correta é o item C.
Questão 25
A frase “I AM POTTER” tem 9 letras, das quais 4 são vogais e 5 são consoantes. Observe que contamos
aqui os dois T’s como letras diferentes.
Para que as vogais e consoantes apareçam sempre intercaladas é necessário que o anagrama resultante comece
com uma consoante e termine também com uma consoante. Ou seja, entre as 5 consoantes da frase, os 4
espaços entre elas serão preenchidas com vogais.
consoante, vogal, consoante, vogal, consoante, vogal, consoante, vogal, consoante
Assim sendo, as consoantes podem ser escolhidas de 5! maneiras distintas e as vogais de 4! maneiras. Pelo
prinćıpio multiplicativo, fazemos o produto essas duas quantidades obtendo 5! · 4!.
No entanto, como temos duas letras iguais não teremos um novo anagrama trocando-as de lugar dentro de
cada anagrama. Assim, dividimos por 2:
5! · 4!
2
Logo, a alternativa correta é o item E.
Questão 26
Podemos resolver essa questão utilizando o prinćıpio multiplicativo da contagem. Para produzir uma fantasia,
é necessário escolher um tipo de tecido e um conjunto de pedras ornamentais. Como existem 6 tecidos
diferentes e 15 pedras ornamentais distintas, temos:
�
(
6
2
)
escolhas para os tipos de tecido;
�
(
15
5
)
escolhas para as pedras ornamentais (já que precisamos escolher 5 pedras dentre as 15 dispońıveis).
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Para cada uma dessas combinações, podemos escolher outro tipo de tecido e conjunto de pedras ornamentais
para produzir outra fantasia. Portanto, o número total de fantasias que podem ser produzidas é dado por:(
6
2
)
·
(
15
5
)
Podemos simplificar essa expressão utilizando a identidade
(
n
k
)
= n!
k!(n−k)! :
6!
4!2!
· 15!
5!10!
Portanto, a alternativa correta é a letra (A).
Questão 27
Segundo o enunciado,
Assim, somando 1001 e 1100 na base binária:
1 0 0 1
+ 1 1 0 0
1 0 1 0 1
Logo, o resultado da adição 9 + 12 nessa base é 10101 (Alternativa D).
Questão 28
A primeira linha só deve conter times gaúchos (Internacional, Grêmio e Juventude). Logo, como a soma dos
t́ıtulos desses clubes durante esses 30 anos é igual a 7, devemos escolher 5 dos 7 anos que esses clubes foram
campeões para serem representados na primeira linha. Portanto, há
(
7
5
)
maneiras de isso ser feito. Dado que
os clubes são escolhidos, há 5! maneiras para cada escolha para permutá-los na linha.
A segunda linha só deve conter times cariocas (Flamengo, Vasco e Fluminense). Como a soma dos t́ıtulos
desses clubes é igual a 5, devemos escolher 5 dos 5 anos que esses clubes foram campeões para serem
representados na segunda linha. Assim, há
(
5
5
)
maneiras de isso ser feito e, do mesmo modo, há 5! maneiras
para cada escolha para permutá-los na linha.
Seguindo a mesma ideia,
� para a terceira linha há
(
7
5
)
· 5! maneiras;
� para a quarta linha há
(
9
5
)
· 5! maneiras.
As outras 10 posições da quinta e sexta linha podem ter clubes alocados de qualquer maneira. Logo, há 10!
maneiras de fazer essa alocação.
Aplicando o prinćıpio multiplicativo e simplificando:(
7
5
)
· 5! ·
(
5
5
)
· 5! ·
(
7
5
)
· 5! ·
(
9
5
)
· 5! · 10! = 7!
2!
· 5! · 7!
2!
· 9!
4!
· 10!
Logo, não há alternativa correta dentre as apresentadas. Essa questão foi anulada.
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Questão 29
Em cada um dos 9 andares, a escolha pode ser feita da seguinte forma:
� Escolha 1: escolher os dois apartamentos de final 1 e 2 (Por exemplo, Apt 11 e 12, 21 e 22, etc). Como
nesses ambos os quartos recebem sol apenas na parte da manhã, a condição desejada é atendida;
� Escolha 2: escolher um apartamento de final 1 ou 2 e o outro entre aqueles que finalizam com 3, 4, 5 ou
6. Como nesses últimos apenas um dos quartos recebe sol na parte da manhã, a condição desejadade
pelo menos um também é atendida;
� Escolha 3: escolher os dois apartamentos entre aqueles que finalizam com 3, 4, 5 ou 6.
Vamos contar, agora, o número de maneiras para cada escolha dentro de um mesmo andar X:
� Escolha 1: X1 e X2: 1 opção.
� Escolha 2: X1 e X3, X1 e X4, X1 e X5, X1 e X6, X2 e X3, X2 e X4, X2 e X5, X2 e X6. Logo, 2 · 4 = 8
opções
� Escolha 3: X3 e X4, X3 e X5, X3 e X6, X4 e X5, X4 e X6, X5 e X6. 6 opções
Assim, os apartamentos podem ser comprados de 9 · (1 + 8 + 6) = 9 · 15 = 9 ·
(
6
2
)
= 9 · 6!
(6− 2)!2!
maneiras
(Alternativa B).
De outra forma, podemos observar que inicialmente podeŕıamos ter considerado quantas combinações de
duplas podeŕıamos formar com os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6, onde a ordem não importa. Cada uma dessas
duplas representaria os dois posśıveis apartamentos para compra, aplicando esse racioćınio a cada andar.
Assim,
9 ·
(
6
2
)
= 9 · 6!
(6− 2)!2!
Questão 30
Existem 7 modelos de carros, 2 tipos de motores (1.0 e 1.6) e 3 opcionais posśıveis (central multimı́dia, rodas
de liga leve e bancos de couro). Os opcionais podem ser escolhidos de forma independente para cada modelo.
Em relação aos modelos de carros e aos tipos de motores, tem-se 7 · 2 = 14 opções dispońıveis.
Em relação aos opcionais, tem-se 23 = 8 opções dispońıveis:
� sem opcional;
� somente central multimı́dia;
� somente rodas de liga leve;
� somente bancos de couro;
� central multimı́dia e rodas de liga leve;
� central multimı́dia e bancos de couro;
� rodas de liga leve e bancos de couro;
� central multimı́dia, rodas de liga leve e bancos de couro.
Seja n o número de cores dispońıveis. Pelo prinćıpio multiplicativo:
14 · 8 · n ≥ 1000
ou
112n ≥ 1000
Assim, para ser fiel à divulgação feita, a quantidade mı́nima de cores que a montadora deverá disponibilizar a
seus clientes é n ≥ 1000
112
≈ 8, 92, ou seja, 9 cores (Alternativa B).
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Conversão de unidades e
notação científica
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ENEM - MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
CONVERSÃO DE UNIDADES E NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Questão 1
Deve-se recordar, primeiramente, que 1 dm3 = 1 litro ou que 1 m3 = 1000 litros. É preciso também lembrar
como converter unidades de volume para os múltiplos e submúltiplos do m3. Basicamente, ao subir um
degrau na unidade, divide-se por 103. Se descermos um degrau, multiplica-se por 103. Veja o esquema:
Fazendo a conversão, 1 km3 equivale a (103)3 = 109 m3. Desta forma, pode-se fazer a comparação trazendo
as medidas para a mesma unidade. Para o aqúıfero,
30.000 km3 = 109 · 30.000 m3 = 109 · (3 · 104) m3 = 3 · 1013 m3.
Para o novo reservatório da SABESP,
20 milhões de litros = 20 · 106 litros = 20 · 106 dm3.
Convertendo para m3,
20 · 106 dm3 =
20 · 106
103
m3 = 20 · 103 m3 = 2 · 104 m3.
Fazendo a razão entre as capacidades do aqúıfero Guarani e desse novo reservatório da SABESP,
3 · 1013
2 · 104
= 1, 5 · 109
Logo, a capacidade do aqúıfero Guarani é 1, 5× 109 vezes a capacidade do reservatório novo (Alternativa E).
Questão 2
Um metro tem 100 cm e cada cm, 10 mm. Logo, 1 m = 1000 mm. Assim,
a = 2300 mm =
2300
1000
m = 2, 3 m
Para b:
b = 160 cm =
160
100
m = 1, 6 m
Logo, ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente, 2,3 e 1,6 (Alternativa B).
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Questão 3
Vide enunciado, cada metro equivale a 3,3 pés. Assim, 6 000 m = 6000 · 3, 3 pés = 19 800 pés.
Fazendo a diferença,
31 000− 19 800 = 11 200 pés
Logo, a diferença entre as altitudes liberadas na Finlândia e no restante do continente europeu cinco dias
após o ińıcio do caos foi de 11 200 pés (alternativa C).
Questão 4
Segundo a figura, a proximidade do asteróide em relação à Terra é de 325 mil km, ou seja, (325× 1000) km.
Expressando em notação cient́ıfica, 325× 1000 = 3, 25× 102 × 103 = 3, 25× 105 km.
Logo, a alternativa correta é o item D.
Questão 5
Segundo o enunciado, uma onça fluida equivale a 2,95 centilitros (cL) que, por sua vez, vale 10 mL. Assim,
uma lata de refrigerante de 355 mL tem 355/10 = 35, 5 cL e 35, 5/2, 95 ≈ 12, 03 onças fluida (fl oz).
Logo, a alternativa correta é o item C.
Questão 6
Um hectare equivale a 1 hectômetro quadrado. Logo, 8 hectares correspondem a 8 hectômetros quadrados.
Por outro lado, 1 hectômetro quadrado equivale a 1 · 102 · 102 = 104 metros quadrado. O esquema ajudará a
convencer dessa conversão.
Assim, 8 hectômetros quadrados têm 8 · 102 · 102 = 8 · 104 = 80 000 m2 (Alternativa E).
Questão 7
Uma tonelada corresponde a 1000 kg. Assim sendo, 4, 129 milhões de toneladas equivalem a 4, 129 · 1000
milhões de toneladas ou 4, 129 · 103 · 106 = 4, 129 · 109 de toneladas. Observe que foi usado aqui que 1 milhão
equivale a 106.
Logo, a quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo Brasil no mês de julho de 2012 foi de 4, 129 · 109
(Alternativa C).
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Questão 8
Sabemos que a miniatura do carro de Fórmula 1 tem 100 micrômetros de comprimento, ou seja, 100
milionésimos de metro.
Podemos representar isso em notação cient́ıfica da seguinte forma:
100 micrômetros = 100 · 10−6 metros
Agora, basta simplificar essa expressão e escrevê-la em notação cient́ıfica:
100 · 10−6 metros = 102 · 10−6 metros = 10−4 = 1, 0 · 10−4 metros
Portanto, a alternativa correta é a letra C.
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Estatísticas, gráficos e
tabelas
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ENEM - MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
ESTATÍSTICA, GRÁFICOS E TABELAS
Questão 1
O gráfico traz a razão entre o número total de passageiros transportados por dia e o tamanho da frota de
véıculos. É posśıvel observar, por exemplo, em abril de 2001, que 400 passageiros foram transportados para
cada véıculo neste peŕıodo.
O texto também apresenta que em abril de 2001 o total de passageiros era de 321,9 milhões. Logo, se a frota
nesse ano tinha n véıculos, tem-se que
321, 9 milhões
n
= 400
ou
321, 9 milhões
400
= n (1)
Por outro lado, para o peŕıodo de outubro de 2008 a informação é que a frota tinha o mesmo tamanho.
Ainda, do gráfico tem-se que a razão entre o número de passageiros e o tamanho da frota é de 441. Logo:
n° de passageiros transportados em outubro de 2008
441
= n (2)
Igualando as equações (1) e (2) e chamando o n° de passageiros transportados em outubro de 2008 de x:
x
441
=
321, 9 milhões
400
=⇒ x =
441 · 321, 9 milhões
400
= 1, 1025 · 321, 9 milhões ≈ 355 milhões
Logo, a alternativa correta é o item A.
Questão 2
Do gráfico, é clara a relação entre o número de cigarros consumidos diariamente e o número de casos de
câncer de pulmão. Isso pode ser conclúıdo observando que o aumento do número de cigarros consumidos
implica em um aumento do número de casos de câncer de pulmão.
Por outro lado, não há proporcionalidade. Se fosse o caso, para cada número x de cigarros consumidos
diariamente haveria um número y de casos de câncer pulmonar de modo que y = kx, onde k é um número
real, chamado constante de proporcionalidade. Pode-se observar que esta relação não se verifica, pois para o
mesmo x (por exemplo x = 2, 3, 4, . . . , 10), temos o mesmo y em vários trechos do gráfico.
Ainda, não há como inferir que uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer
de pulmão a partir do gráfico. Assim sendo, a única informação correta a tirar do gráfico é que o consumo
diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem
proporcionalidade (Alternativa E).
Questão 3
Em 05/09 (maio de 2009), o gráfico mostra que a população economicamente ativa era de 23.020 · 103 pessoas.
Considerando a taxa de crescimento de 4%, deve-se calcular um acréscimo de 4% sobre estapopulação. Isto
pode ser realizado de modo simples multiplicando 23.020 · 103 por 1,04:
1, 04 · 23.020 · 103 = 23.940, 8 · 103 = 23.940.800
Logo, a alternativa correta é o item D.
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Questão 4
De acordo com o texto, o preço que um casal pagaria pela diária fora da promoção é de R$ 150,00. Assim
sendo, para 7 dias pagaria R$ 150, 00 · 7 = R$ 1.050,00.
Contudo, com o pacote promocional de 8 dias apresentado o valor a ser pago seria menor. Analisando o
gráfico e levando em conta a taxa média de variação negativa de R$ 20,00 do terceiro ao sexto dia, o valor
deste pacote seria:
3 · R$ 150, 00 + R$ 130, 00 + R$ 110, 00 + 3 · R$ 90, 00 = R$ 960, 00
Logo, R$ 1.050,00 - R$ 960,00 = R$ 90,00 (Alternativa A)
Questão 5
A taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono e a produção (em toneladas) é a razão
entre a diferença do maior e menor valor de emissão de dióxido de carbono para o peŕıodo considerado e a
diferença entre o maior e menor valor de produção. Esta taxa representa a variação média da emissão de
dióxido de carbono para o peŕıodo a cada 1 unidade de produção. Calculando:
Taxa média =
4, 00− 2, 14
2, 0− 1, 1
=
1, 86
0, 9
≈ 2, 06
Logo, a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas)
é superior a 1,50 e inferior a 2,80 (Alternativa D).
Questão 6
O valor médio dos investimentos dos dois páıses pode ser calculado através da média simples dos investimentos
para os anos apresentados.
Brasil na França:
Investimento médio =
367 + 357 + 354 + 539 + 280
5
=
1897
5
= 379, 4
França no Brasil:
Investimento médio =
825 + 485 + 1458 + 744 + 1214
5
=
4726
5
= 945, 2
Calculando a diferença entre os investimentos,
945, 2− 379, 4 = 565, 8
Logo, os valores médios dos investimentos da França no Brasil foram maiores que os investimentos do
Brasil na França em um valor superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 milhões de dólares.
(Alternativa D).
Questão 7
Em Estat́ıstica, a mediana é uma medida de centralidade que divide o conjunto de dados ao meio (proporção
50% - 50%). De outra forma, é o valor central que separa as duas metades do conjunto. Quando tem-se um
número par de dados para o cálculo da mediana, ela é obtida pela média simples dos valores centrais destes
dados dispostos em ordem crescente (ou decrescente).
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Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, ele poderia obter uma nota diferente de zero e,
com isso, a nota final da sua equipe (que é a mediana das notas obtidas pelos membros desta equipe) seria,
também, possivelmente, diferente. Vamos analisar cada alternativa.
(A) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0.
Se ele obtivesse nota 0, as notas da sua equipe em ordem crescente seriam 0; 6; 6,5; 6,5; 7; 7; 8; 8; 10; 10.
Com isso, a mediana seria a média simples entre 7 e 7 que resulta em
(7 + 7)
2
= 7. Logo, a alternativa é
incorreta.
(B) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10.
Se ele obtivesse nota 10, as notas da sua equipe em ordem crescente seriam 6; 6,5; 6,5; 7; 7; 8; 8; 10; 10;
10. Assim, a mediana seria
(7 + 8)
2
= 7, 5. Como 7, 5 < 7, 6 < 7, 8, a equipe continuaria em terceiro lugar
(Alternativa incorreta).
(C) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.
Se ele obtivesse nota 8, as notas da sua equipe em ordem crescente seriam 6; 6,5; 6,5; 7; 7; 8; 8; 8; 10; 10.
Assim, a mediana seria
(7 + 7)
2
= 7. Como 7 < 7, 6 < 7, 8, a equipe continuaria em terceiro lugar (Alternativa
incorreta).
(D) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno.
Da justificativa para o item B, viu-se que mesmo tirando nota máxima sua equipe não conseguiria alcançar
a segunda posição. Logo, independentemente da nota obtida pelo aluno, a equipe Gama permaneceria na
terceira posição. (Alternativa correta).
(E) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9.
(Alternativa incorreta). As justificativas anteriores já foram suficientes para julgar esta alternativa como
incorreta.
Questão 8
A mediana é o valor central que separa as metades relativas aos maiores e menores valores obtidos pelos
dados de um conjunto. De outra forma, divide o conjunto de dados ao meio. O primeiro passo para o cálculo
da mediana é ordenar os dados em ordem crescente (ou decrescente):
R$ 73, 10;R$ 81, 60;R$ 82, 00;R$ 83, 00;R$ 84, 00;R$ 84, 60;R$ 85, 30
Como o conjunto de dados tem um número ı́mpar de dados, tem-se o valor central. Este valor da mediana é
R$ 83, 00 (Alternativa D).
Questão 9
A questão aborda sobre uma previsão para os recursos despendidos com as importações e os recursos gerados
com as exportações em 2009, uma vez que a tabela traz somente informações dos primeiros cinco meses do
ano. Como descrito, deve-se considerar que as importações e exportações de petróleo de junho a dezembro de
2009 sejam iguais a
7
5
das importações e exportações, respectivamente, ocorridas de janeiro a maio de 2009.
Com isso,
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� gastos com importação em 2009:
2,84 bilhões +
7
5
de 9 milhões · R$ 340,00 = 2, 84 · 109 +
7 · 9 · 340
5
· 106 = 2, 84 · 109 + 4284 · 106 =
2, 84 · 109 + 4, 284 · 109 = 7, 124 bilhões.
� gastos com exportação em 2009:
2,24 bilhões +
7
5
de 11 milhões · R$ 230,00 = 2, 24 · 109 +
7 · 11 · 230
5
· 106 = 2, 24 · 109 + 3542 · 106 =
2, 24 · 109 + 3, 542 · 109 = 5, 782 bilhões.
Calculando a diferença entre os recursos despendidos com as importações e os recursos gerados com as
exportações em 2009,
7, 124 bilhões− 5, 782 bilhões. ≈ 1, 34 bilhão
Logo, a alternativa correta é o item C.
Questão 10
O indicador do CadÚnico (ICadÚnico) é a média aritmética entre a taxa de cobertura qualificada de cadastros
(TC ) e a taxa de atualização de cadastros (TA). Logo,
ICadÚnico =
TC + TA
2
Como, para o munićıpio espećıfico, este ı́ndice é 0,6, tem-se:
0, 6 =
TC + TA
2
⇒ TC + TA = 1, 2
Como TC =
NV
NF
e TA =
NA
NV
,
NV
NF
+
NA
NV
= 1, 2 (3)
Dobrando NF , o IcadÚnico cairá para 0, 5. Logo:
NV
2NF
+
NA
NV
2
= 0, 5
NV
2NF
+
NA
NV
= 1 (4)
Isolando
NA
NF
nas equações (3) e (4) e igualando as equações:
1, 2− NV
NF
= 1− NV
2NF
−NV
NF
+
NV
2NF
= 1− 1, 2
− NV
2NF
= −0, 2
NV
NF
= 0, 4
TC = 0, 4
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Mas, se TC = 0, 4, da equação (3) tem-se TA = 0, 8. Assim,
0, 8 =
NA
NV
ou NA = 0, 8NV
Substituindo na expressão NA+NV = 3.600,
0, 8NV +NV = 3.600 ⇒ 1, 8NV = 3.600 ⇒ NV = 2000
Enfim, como
NV
NF
= 0, 4,
2000
NF
= 0, 4 ⇒ NF =
2000
0, 4
⇒ NF = 5000.
Logo, a alternativa correta é o item C.
Questão 11
Com mais 4 medalhas de ouro, 4 de prata e 10 de bronze, o Brasil passaria a ter
� 5 + 4 = 9 medalhas de ouro,
� 2 + 4 = 6 medalhas de prata,
� 3 + 10 = 13 medalhas de ouro.
Assim sendo, empataria com Grã-Bretanha, Cuba e Ucrânia no total de medalhas de ouro. Tendo como
critérios de desempate o número de medalhas de prata seguido do número de medalhas de bronze conquistados,
o Brasil ficaria na frente da Ucrânia, pois possuiria 6 medalhas de prata contra 5 conquistadas pela seleção
asiática. Logo, assumiria sua posição e ficaria em 12◦ (Alternativa B).
Questão 12
O gráfico apresentado mostra a porcentagem de estudantes que possuiam telefone celular com idade de 10
anos ou mais. De acordo com este, no Sudeste, 56% possúıam telefone móvel.
Supondo que, no Sudeste, 14 900 estudantes foram entrevistados nessa pesquisa, basta calcular a porcentagem:
56% de 14900 =
56
100
· 14900 =
56
��100
·���14900 = 56 · 149 = 8344
Logo, a alternativa correta é o item D.
Questão 13
O desmatamento médio por estado em 2009 é a média simples das áreas desmatadas para todos os estados
apresentadosno gráfico após o acréscimo de 10,5%.
Antes de calcular o crescimento percentual, é preciso primeiro calcular a soma das áreas desmatadas,
4 + 136 + 326 + 549 + 766 + 797 + 3463 + 7293 + 10416 = 23750 km2
Calculando, agora, o acréscimo,
10, 5% de 23750 =
10, 5
100
· 23750 = 10, 5 · 237, 5 = 2493, 75
Assim, o desmatamento em 2009 foi de 23750 + 2493, 75 = 26243, 75 km2
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Calculando a média para os nove estados,
26243, 75
9
≈ 2915, 97 km2
Logo, o desmatamento médio por estado em 2009 está entre 2800 km2 e 3200 km2 (Alternativa C).
Questão 14
O gráfico apresentado traz a taxa de desemprego nas regiões metropolitanas em março/2010. Segundo o
gráfico, em Porto alegre, 9,8% estavam desempregados nesse peŕıodo.
Supondo que o total de pessoas pesquisadas na região metropolitana de Porto Alegre equivale a 250 000,
para encontrar o número de desempregados no mês desejado, nessa região, basta calcular a porcentagem:
9, 8% de 250000 =
9, 8
100
· 250000 =
9, 8
��100
·����250000 = 9, 8 · 2500 = 24500
Logo, a alternativa correta é o item A.
Questão 15
O gráfico apresenta o gasto militar dos Estados Unidos, no peŕıodo de 1988 a 2006. Segundo este, em 2003, o
gasto militar do ińıcio da guerra no Iraque foi de 417,4 bilhões de dólares. Logo,
417, 4 bilhões = 417, 4 · 109 = 417 400 000 000.
Assim, o gasto militar foi de U$ 417.400.000.000,00. Alternativa E.
Questão 16
Cada coordenada (x; y) representa uma informação de longitude e altitude, nessa ordem. Um deslocamento
do helicóptero para leste ou para oeste altera a coordenada x (somando ou diminuindo) e, um deslocamento
para norte ou sul, altera, de igual forma, a coordenada y.
Partindo do ponto X = (20; 60), em cada trecho do percurso ele atingiu os pontos:
� 0,8° L: (20,8; 60)
� 0,5° N: (20,8; 60,5)
� 0,2° O: (20,6; 60,5)
� 0,1° S: (20,6; 60,4)
� 0,4° N: (20,6; 60,8)
� 0,3° L: (20,9; 60,8)
Assim, (20,9; 60,8) é a coordenada final do helicóptero após o percurso equivalente a uma altitude de 100m.
Logo, o helicóptero pousou em um local cuja altitude é menor ou igual a 200m (Alternativa A).
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Questão 17
A mediana de um conjunto de dados é o valor central deste conjunto quando colocamos os dados em ordem
crescente (ou decrescente). Se o número de dados é ı́mpar, tem-se exatamente um valor central. Se o número
de dados é par, faz-se a média simples entre os dois valores centrais para obter a mediana.
Analisando o gráfico mostrado na questão, pode-se extrair a quantidade de gols marcados pelos artilheiros
em cada ano. É importante observar, no entanto, que não há informações para os anos de 1942 e 1946. As
edições de 1942 e 1946 foram canceladas pela Fifa por conta da Segunda Guerra Mundial. Assim, tem-se 18
valores:
Ano 1930 1934 1938 1950 1954 1958 1962 1966 1970
Qtd. de gols 8 5 7 9 11 13 4 9 10
Ano 1974 1978 1982 1986 1990 1994 1998 2002 2006
Qtd. de gols 7 6 6 6 6 6 6 8 5
Colocando-os em ordem crescente,
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 13
A mediana é obtida com a média simples entre os dois valores centrais,
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6,7 , 7, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 13
Logo, mediana =
6 + 7
2
= 6, 5 gols (Alternativa B).
Questão 18
Os candidatos Marcos e Paulo foram classificados no concurso obtendo igual média de notas. Como o critério
de desempate na média leva em conta a pontuação mais regular, o candidato mais bem classificado deve
ser o de menor desvio padrão. Isso mostra que os desvios de suas notas em torno da média foram menores.
Assim sendo, o candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é Marco,
pois obteve menor desvio padrão (0, 32 < 4, 97) (Alternativa B).
Questão 19
Na Estat́ıstica, a média, mediana e moda são medidas de centralidade. Enquanto que a média é a razão
entre a soma de todos os valores dados pela quantidade de valores, a mediana é o valor central do conjunto
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colocando todos em ordem crescente (ou decrescente) e a moda é o valor que mais aparece. Todas estas
medidas fornecem informações estat́ısticas relevantes a respeito de um conjunto.
Considerando o número de gols a cada partida em ordem crescente, tem-se os seguintes dados:
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7
Logo, são 20 valores.
Calculando cada medida,
� média:X =
0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7
20
=
45
20
= 2, 25;
� mediana:
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2 , 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7
Y =
2 + 2
2
= 2;
� moda: Z = 0.
Logo, Z < Y < X (Alternativa E).
Questão 20
O biênio que apresentou maior produção acumulada refere-se ao biênio cuja soma da produção nestes anos
seja a maior entre todas as outras somas. Calculando a produção acumulada para cada biênio apresentado
no gráfico,
� 2005-2006: 94 + 90 = 184 milhões;
� 2006-2007: 99 + 94 = 193 milhões;
� 2007-2008: 107 + 99 = 206 milhões;
� 2008-2009: 113 + 107 = 220 milhões;
Logo, o biênio que apresentou maior produção acumulada foi 2008-2009 (Alternativa E).
Questão 21
A resposta certa da questão depende da interpretação correta da figura e de algumas informações importantes
do enunciado. São elas:
� os sentidos de rotação (de cada relógio) estão indicados conforme a figura;
� o número obtido na leitura é composto por 4 algarismos;
� cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro.
Assim sendo,
� o relógio da unidade marca 4;
� o relógio da dezena marca 1;
� o relógio da centena marca 6;
� o relógio da unidade de milhar marca 2.
Portanto, o número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é 2 614 (Alternativa A).
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Questão 22
A média, mediana e moda são medidas de centralidade. A média é a razão entre a soma de todos os valores
dados pela quantidade de valores, a mediana é o valor central do conjunto colocando todos em ordem crescente
(ou decrescente) e a moda é o valor que mais aparece.
Dispondo os valores de temperatura em ordem crescente, tem-se:
13, 5; 13, 5; 13, 5; 13, 5; 14; 15, 5; 16; 18; 18; 18, 5; 19, 5; 20; 20; 20; 21, 5
Logo, são 15 valores.
Calculando cada medida,
� média: x =
13, 5 + 13, 5 + 13, 5 + 13, 5 + 14 + 15, 5 + 16 + 18 + 18 + 18, 5 + 19, 5 + 20 + 20 + 20 + 21, 5
15
=
255
15
= 17;
� mediana:
13,5 ; 13,5 ; 13,5 ; 13,5 ; 14 ; 15,5 ; 16 ; 18 ; 18 ; 18,5 ; 19,5 ; 20 ; 20 ; 20 ; 21,5
� moda: x∗ = 13, 5.
Logo, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a 17 ◦C, 18 ◦C e 13,5 ◦C.
(Alternativa B).
Questão 23
O percentual médio de medalhistas de ouro de uma região para os anos de interesse é obtido fazendo a média
simples entre os percentuais ao decorrer desses anos. Para a região Nordeste,
média =
18 + 19 + 21 + 15 + 19
5
=
92
5
= 18, 4%
Assim, a alternativa correta é o item C.
Questão 24
Segundo a tabela, após a redução, o consumidor residencial que gastou 185 kWh paga R$ 85,86 e o consumidor
de baixa renda que gastou 100 kWh paga R$ 16,73. Logo, é posśıvel calcular o valor unitário do kWh pago
por cada consumidor dividindo o preço pela quantidade.
preço unitário kWh residencial =
85, 86
185
≈ R$ 0, 46
preço unitário kWh baixa renda =
16, 73
100
≈ R$ 0, 17
Portanto, a diferença entre o gasto desses consumidores é de R$ 0,46 - R$ 0,17 = R$ 0,29 (Alternativa B).
Questão 25
A fórmula apresentada permite o cálculo do IMC para ambos os atletas. Calculando esse ı́ndice para cada
um deles a partir das suas informações de peso e altura:
IMC Dúılio =
96, 4
1, 882
≈ 27, 3 kg/m
2
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IMC Sandra =
84
1, 72
≈ 29, 1 kg/m
2
Ao consultar a tabela com as escalas de Índice de Massa Corporal e as respectivas categorias,Dúılio está na
categoria sobrepeso (25 < 27, 3 < 29, 9), assim como Sandra (25 < 29 < 29, 9). Logo, Dúılio tem o IMC 27,3
e Sandra tem o IMC 29,1, estando ambos na categoria de sobrepeso (Alternativa B).
Questão 26
A imagem apresentada traz o esquema de sáıdas de ar dadas pelos vértices do grafo apresentado cujas arestas
representam suas tubulações. Uma vez que o técnico precisa revisar todos os pontos de sáıda de ar, o caminho
procurado deve conter a sequência de letras que ele deve percorrer passando exatamente uma vez por todos
os caminhos segundo as arestas que conectam cada vértice.
Partindo de K, segue-se o caminho L, G, I, J, H e F. Qualquer outra alternativa apresentada não satisfaz
as condições do enunciado (percorrer todos os vértices e/ou passar exatamente uma vez por cada aresta).
Portanto, o caminho será passando pelos pontos K, L, G, I, J, H e F (Alternativa C).
Questão 27
O gráfico apresentado traz informações sobre a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro de
1998 a 2008. Como está disposto, há regiões crescentes (1998 a 2003 e 2006 a 2008) e decrescente (2003 a
2006) que, naturalmente, depende de vários fatores.
O peŕıodo de queda mencionado refere-se à região decrescente do gráfico. Logo, esse peŕıodo ocorreu entre os
anos de 2003 e 2006 (Alternativa C).
Questão 28
A partir do gráfico observa-se que 25% responderam “NÃO” a enquete. Como o total de entrevistados é 279,
deve-se calcular tal porcentagem desse inteiro,
25% de 279 =
25
100
· 279 ≈ 70 pessoas
Assim, responderam “NÃO” à enquete mais de 50 pessoas e menos de 75 (Alternativa C).
Questão 29
As informações de luminosidade, massa e raio apresentadas na tabela trazem o Sol como unidade (referência).
Logo, como para a classe espectral G2 a luminosidade, massa e raio é igual a um, pode-se inferir que o Sol
pertence a essa classe espectral e que sua temperatura é de 5 770 K.
Uma estrela que tenha temperatura 5 vezes maior que a temperatura do Sol terá a temperatura de cerca de
5 · 5 770 = 28 850 K, sendo classificada como classe espectral B0. Assim, sua luminosidade será de 2 ·104
vezes a luz do Sol, ou seja 20 000 vezes a sua luminosidade (Alternativa A).
Questão 30
Os quatro primeiros algarismos do mostrador fornece o consumo em m3. Assim, o hidrômetro marca 3 534
m3 de água, o que equivale a 3 534 ·1000 = 3 534 000 litros de água.
Os dois últimos algarismos do marcador representam, respectivamente, as centenas e dezenas de litros de
água consumidos. Logo, consumiu-se 8 centenas e 5 dezenas de litros, totalizando 850 litros.
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O relógio de ponteiro da direita marca 9 litros. O relógio da esquerda marca 3,5 décimos de litro ou 0,35
litros.
Somando,
3 534 000 + 850 + 9 + 0, 35 = 3 534 859, 35 litros
Logo, a alternativa correta é o item D.
Questão 31
O gráfico mostra a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento em função dos meses do
ano de 2011. Como se apresenta, a maior venda aconteceu em junho (ponto com maior ordenada) e a menor
aconteceu em agosto (menor ordenada). Logo, a maior e a menor venda absolutas ocorreram nos meses de
junho e agosto, respectivamente (Alternativa E).
Questão 32
O gráfico traz a variação da extensão média de gelo maŕıtimo, em milhões de quilômetros quadrados,
comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Como se exibe, traz a extensão de gelo maŕıtimo
cada vez menor à medida que os anos se passam. De fato, 1995 é o ano com maior extensão média de gelo
maŕıtimo e, 2007, a menor.
Visto que a área de extensão de gelo é um efeito direto da temperatura do planeta que acentua-se ao longo
dos anos, é posśıvel inferir que houve maior aquecimento global em 2007 (Alternativa E).
Questão 33
Segundo a tabela, um jovem entre 12 e 18 anos gasta 5 horas por dia durante a semana (segunda a sexta)
com atividades escolares. Assim sendo, gasta 5 · 5 = 25 horas com a atividade durante a semana.
No fim se semana, gasta-se 1 hora por dia com atividades escolares. Como são dois dias (sábado e domingo),
2 horas são gastas no final de semana com atividades escolares.
Logo, 25 + 2 = 27 horas são gastas com atividades escolares durante toda a semana (Alternativa E).
Questão 34
O valor da ação oscila durante o dia com mesmo valor para compra e venda em determinado horário. Às 10h
da manhã, por exemplo, a ação custa R$ 150,00, ao meio dia custa R$ 200,00 e, às 16h, R$ 100,00.
Para saber qual investidor fez melhor negócio, temos que calcular a diferença entre o valor da ação comprada
e vendida de acordo com o horário dessas operações. Veja:
� Investidor 1: Comprou por R$ 150,00 e vendeu por R$ 460,00. Logo, lucrou R$ 460,00 − R$ 150,00 =
R$ 310,00;
� Investidor 2: Comprou por R$ 150,00 e vendeu por R$ 200,00. Logo, lucrou R$ 200,00 − R$ 150,00 =
R$ 50,00;
� Investidor 3: Comprou por R$ 380,00 e vendeu por R$ 460,00. Logo, lucrou R$ 460,00 − R$ 380,00 =
R$ 80,00;
� Investidor 4: Comprou por R$ 480,00 e vendeu por R$ 100,00. Logo, tomo um prejúızo de R$ 460,00 −
R$ 100,00 = R$ 360,00;
� Investidor 5: Comprou por R$ 100,00 e vendeu por R$ 200,00. Logo, lucrou R$ 200,00 − R$ 100,00 =
R$ 100,00.
Logo, o investidor fez o melhor negócio foi o investidor 1 (Alternativa A).
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Questão 35
O gráfico de linha tracejada informa o número de reclamações recebidas no dia e o de linha cont́ınua é o
número de reclamações resolvidas no dia. Como se apresenta, o gráfico de linha cont́ınua supera o de linha
cont́ınua apenas na terça e quarta-feira. Em todos os outros dias ele apresenta um valor menor ou igual ao
valor exibido no gráfico de linha cont́ınua.
Logo, baseado no conceito de eficiência utilizado na empresa e nas informações do gráfico, o ńıvel de eficiência
foi muito bom na terça e na quarta-feira (Alternativa B).
Questão 36
A média simples de um conjunto de dados é a soma desses dados dividido pela quantidade. Assim, a média
da receita bruta anual dos últimos três anos deve ser calculada:
� Alfinetes V: média =
200 + 220 + 240
3
=
660
3
= 220;
� Balas W: média =
200 + 230 + 200
3
=
630
3
= 210;
� Chocolates X: média =
250 + 210 + 215
3
=
675
3
= 225;
� Pizzaria Y: média =
230 + 230 + 230
3
=
690
3
= 230;
� Tecelagem Z: média =
160 + 210 + 245
3
=
615
3
= 205.
Como o investidor vai escolher entre as duas empresas de maior média anual, ele deve escolher as empresas
Pizzaria Y e Chocolates X (Alternativa D).
Questão 37
A primeira redução de 30% equivale a 90 mg/dL. De fato, calculando 30% de 300 mg/dL obtém-se
30% de 300 =
30
100
· 300 =
9000
100
= 90.
Com isso, após o primeiro tratamento o paciente alcançou a taxa de glicose de 300− 90 = 210 mg/dL.
A segunda redução de 10% é calculada em cima da taxa restante. Assim,
10% de 210 =
10
100
· 210 =
2100
100
= 21
Logo, após o segundo tratamento o paciente alcançou a taxa de glicose de 210− 21 = 189 mg/dL. Observando
a tabela e as classificações, o paciente agora se encontra na categoria Diabetes Melito (125 < 189 < 250)
(Alternativa D).
Questão 38
Como o desvio padrão foi de 90 kg/talhão, tem-se:
90 kg/talhão = 90 kg a cada 30 000 m2 = 30 kg a cada 10 000 m2 = 30 kg/hectare.
Como o produtor deve apresentar as informações sobre a produção e a variância dessas produções em sacas
de 60 kg por hectare e dado que a variância é o quadrado do desvio padrão,
variância = (30 kg/hectare)2 = (0, 5 saca/hectare)2 = 0, 25 (saca/hectare)
2
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Logo, a opção correta é o item E.
Questão 39
A mediana é uma medida de centralidade de um conjunto de dados que divide os dados na proporção de 50%
e 50%. Assim sendo, também é conhecida como o segundo quartil. Para encontrar a mediana deve-se colocar
os dados em ordem crescente (ou decrescente) e obtero dado central da distribuição. Se o número de dados é
par, faz-se a média entre os valores medianos.
Segundo a tabela, tem-se os dados ordenados:
181 419; 181 796; 204 804; 209 425; 212 952; 246 875; 266 415; 298 041; 299 415; 305 068
Logo, 10 valores.
Fazendo a média entre os termos centrais (5° e 6° valor):
181 419; 181 796; 204 804; 209 425; 212 952 ; 246 875 ; 266 415; 298 041; 299 415; 305 068
Mediana =
212 952 + 246 875
2
=
459 827
2
= 22 991, 35
Portanto, a parte inteira da mediana é 229 913 (Alternativa B).
Questão 40
A média obtida com o primeiro critério é:
média1 =
18 + 16 + 17 + 13 + 14 + 1 + 19 + 14 + 16 + 12
10
=
140
10
= 14
Descartando a maior nota 19 e a menor nota 1, a nota obtida com o novo critério é:
média2 =
18 + 16 + 17 + 13 + 14 + 14 + 16 + 12
8
=
120
8
= 15
Logo, a nova média, em relação à média anterior, é 1,00 ponto maior (Alternativa B).
Questão 41
Segundo o enunciado, o ı́ndice de eficiência é dado pelo produto do tempo de lactação pela produção média
diária de leite, dividido pelo intervalo entre partos. Assim, para cada vaca:
� Malhada:
360 · 12
15
= 288, 0 kg/mês
� Mamona:
310 · 11
12
= 284, 16 kg/mês
� Maravilha:
260 · 14
12
= 303, 3 kg/mês
� Mateira:
310 · 13
13
= 310, 0 kg/mês
� Mimosa:
270 · 12
11
= 294, 54 kg/mês
Como 310, 0 > 303, 3 > 294, 54 > 288, 0 > 284, 16, a vaca mais eficiente é a vaca Mateira (Alternativa D).
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Questão 42
De acordo com o gráfico, Guarulhos é a economia que mais cresce com indústrias com 60,52%. Por outro
lado, São Paulo é a menor com 3,57%. Fazendo a diferença entre os percentuais:
60, 52− 3, 57 = 56, 95%
Logo, a alternativa correta é o item C.
Questão 43
O lucro médio anual de cada empresa é calculado dividindo o lucro (em milhões de reais) pelo tempo (em
anos). Logo,
� Empresa F:
24
3
= 8 milhões por ano
� Empresa G:
24
2
= 12 milhões por ano
� Empresa H:
25
2, 5
= 10 milhões por ano
� Empresa M:
15
1, 5
= 10 milhões por ano
� Empresa P:
9
1, 5
= 6 milhões por ano
Como 12 > 10 > 10 > 8 > 6, o empresário decidiu pela compra da empresa G (Alternativa B).
Questão 44
O gráfico traz informações sobre o custo para enviar cartas não comerciais pelos Correios. Como se apresenta,
esse custo depende do “peso” da carta. Enviar uma carta de mais de 50 a 100 gramas, por exemplo, tem um
custo de R$ 1,70.
É importante observar no gráfico os limites de cada intervalo. A bolinha branca exclui o limite do intervalo
enquanto a bolinha preta inclui. Como apresentado, o limite inferior é sempre aberto e o limite superior
fechado. Com isso,
� cada carta de 100 g enviada tem um custo de R$ 1,70. Duas cartas: R$ 3,40;
� cada carta de 200 g enviada tem um custo de R$ 2,65. Três cartas: R$ 7,95;
� cada carta de 350 g enviada tem um custo de R$ 4,00.
Assim, o custo total é de R$ 3,40 + R$ 7,95 + R$ 4,00 = R$ 15,35 (Alternativa D).
Questão 45
Calcula-se, inicialmente, a quantidade de hotéis que praticam os preços fornecidos pelo enunciado:
� A = R$ 200,00: 25% de 200 =
25
100
· 200 = 50 hotéis
� B = R$ 300,00: 25% de 200 =
25
100
· 200 = 50 hotéis
� C = R$ 400,00: 40% de 200 =
40
100
· 200 = 80 hotéis
� D = R$ 600,00: 10% de 200 =
10
100
· 200 = 20 hotéis
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Para calcular o valor mediano, deve-se colocar todos os 200 valores de preços em ordem crescente e verificar
o valor central. Contudo, esse procedimento é desnecessário. Se 50 hotéis praticam o preço de R$ 200,00 e 50
hotéis praticam o preço de R$ 300,00, logo o 100◦ valor é R$ 300,00 e o 101◦ valor é R$ 400,00. Fazendo a
média entre esses:
valor mediano =
300 + 400
2
=
700
2
= 350
Portanto, o valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nessa cidade, é R$ 350,00
(Alternativa C).
Questão 46
Os páıses com notas abaixo da média estão no 3◦ e 4◦ quadrante do sistema de eixos perpendiculares que
representam as horas de estudo (horizontal) e notas no PISA (Vertical). São eles: Rússia, Portugal, México,
Itália e Israel.
Desses listados, o páıs com maior quantidade de horas de estudo está mais à direita, sentido positivo do eixo
que representa as horas de estudo. Logo, esse páıs é Israel (Alternativa C).
Questão 47
A taxa de desemprego oculto no gráfico, como informado na legenda, corresponde a parte branca de cada
coluna. Se a taxa de desemprego oculto do mês de dezembro de 2012 foi a metade da mesma taxa em junho
de 2012 (que é de 2,2%), logo em dezembro de 2012 essa taxa foi de 2, 2/2 = 1, 1.
A taxa de desemprego total é a soma das taxas de desemprego aberto e oculto. Assim, se a taxa de desemprego
total em dezembro de 2012 foi igual a essa taxa em dezembro de 2011 (que é de 9,0%), logo a taxa de
desemprego aberto nesse mesmo mês foi de 9, 0− 1, 1 = 7, 9.
Portanto, a alternativa correta é o item E.
Questão 48
A tabela apresenta, além no número de doadores e de habitantes de cada região, o número de doadores e o
número de habitantes do páıs inteiro. Este dado está na última linha da tabela. Assim, basta comparar os
estados que têm a porcentagem de doadores/habitantes menor ou igual ao de todo o pais.
Assim,
� Nordeste: 1, 5 < 1, 9;
� Norte: 1, 5 < 1, 9;
� Sudeste: 1, 9 = 1, 9;
� Centro-Oeste: 2, 6 > 1, 9;
� Sul: 2, 5 > 1, 9,
Logo, as regiões brasileiras onde foram intensificadas as campanhas na época são Norte, Nordeste e Sudeste
(Alternativa B).
Questão 49
A mediana é o valor central que separa as metades relativas aos maiores e menores valores obtidos pelos
dados de um conjunto. Assim sendo, divide o conjunto de dados ao meio. O passo inicial para o cálculo da
mediana é ordenar os dados em ordem crescente (ou decrescente). Fazendo isso para cada candidato:
� K: 33, 33, 33, 34
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� L: 32, 33, 34, 39
� M: 34, 35, 35, 36
� N: 24, 35, 37, 40
� P: 16, 26, 36, 41
Como o conjunto de dados tem um número par de dados, o valor central (que é a mediana) não está expĺıcito.
É preciso, então, calcular a média simples entre os valores centrais do conjunto. Portanto,
� K: 33, 33, 33 , 34 −→ mediana =
33 + 33
2
= 33
� L: 32, 33, 34 , 39 −→ mediana =
33 + 34
2
= 33, 5
� M: 34, 35, 35 , 36 −→ mediana =
35 + 35
2
= 35
� N: 24, 35, 37 , 40 −→ mediana =
35 + 37
2
= 36
� P: 16, 26, 36 , 41 −→ mediana =
26 + 36
2
= 31
Logo, o candidato aprovado com maior mediana é o candidato N (Alternativa D).
Questão 50
Calculamos, primeiramente, o valor recebido por cada um dos funcionários no ano de 2013. Como os gráficos
de setor e coluna trazem,
� 12,5% da folha salarial de R$ 400 000,00 foi gasta com os 50 funcionários com grau de instrução de
ensino fundamental;
� 75% da folha salarial de R$ 400 000,00 foi gasta com os 150 funcionários com grau de instrução de
ensino médio;
� 12,5% da folha salarial de R$ 400 000,00 foi gasta com os 10 funcionários com grau de instrução de
ensino superior.
Logo,
� R$ 50 000,00 foram gastos com os 50 funcionários com grau de instrução de ensino fundamental. Assim,
cada um recebeu R$ 1 000,00;
� R$ 300 000,00 foram gastos com os 150 funcionários com grau de instrução de ensino médio. Assim,
cada um recebeu R$ 2 000,00;
� R$ 50 000,00 foram gastos com os 10 funcionários com grau de instrução de ensino superior. Assim,
cada um recebeu R$ 5 000,00.
Com o aumento do quadro de funcionários em 2014, a empresa passará a ter 70 funcionários com ensino
fundamental, 180 com ensino médio e 20 com ensino superior. Logo, a nova folha salarial será de:
70 · R$ 1 000, 00 + 180 · R$ 2 000, 00 + 20 · R$ 5 000, 00 = R$ 530 000, 00
Como a empresa quer ter o mesmo lucro mensal em 2014 do que o de 2013, precisará arrecadar a diferença
entre a folha salarial nesses dois anos. Assim,
R$ 530 000, 00− R$ 400 000, 00 = R$ 130 000, 00
Logo, a alternativa correta é o itemB.
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Questão 51
A média ponderada dos candidatos I e III pode ser calculada:
Candidato I:
20 · 4 + 23 · 6
6 + 4
=
218
10
= 21, 8
Candidato III:
21 · 4 + 18 · 6
6 + 4
=
192
10
= 19, 2
Calculando também para o candidato II em função de X:
X · 4 + 25 · 6
6 + 4
=
4X + 150
10
= 0, 4X + 15
Como quer-se saber a menor nota que o candidato II deve obter na prova de qúımica para vencer a competição,
sua média ponderada deve ser maior do que a do candidato I que é o melhor colocado. Logo,
0, 4X + 15 > 21, 8
0, 4X > 21, 8− 15
0, 4X > 6, 8
X >
6, 8
0, 4
X > 17
Dado que as notas são sempre números inteiros, o candidato II vence a competição tirando, no mı́nimo, a
nota 18 (Alternativa A).
Questão 52
Se a média da distribuição dos zeros e uns que representam a cor branca e preta, respectivamente, é 0,45,
então a maioria dos sapatos defeituosos é da cor branca. Isso se dá, pois 0 < 0, 45 < 0, 5 < 1. Se todos os
sapatos fossem brancos essa média seria 0 e, se todos fossem pretos, a média seria 1. A média de 0,5, por
outro lado, implicaria em igual quantidade das duas cores.
Em relação à numeração dos sapatos, o enunciado diz que não serão mais vendidos os com maior número de
reclamações. Logo, tal informação refere-se a moda da distribuição que é o valor que mais aparece.
Assim, não serão mais encomendados os sapatos de cor branca e os de número 38 (Alternativa A).
Questão 53
Precisamos calcular a média de resultados de cada reagente. De igual forma, calcular a média entre cada
coluna da tabela.
� Reagente 1: média =
1 + 6 + 6 + 6 + 11
5
=
30
5
= 6
� Reagente 2: média =
0 + 6 + 7 + 6 + 5
5
=
24
5
= 4, 8
� Reagente 3: média =
2 + 3 + 8 + 10 + 11
5
=
34
5
= 6, 8
� Reagente 4: média =
2 + 4 + 7 + 8 + 12
5
=
33
5
= 6, 6
� Reagente 5: média =
1 + 2 + 9 + 10 + 11
5
=
33
5
= 6, 6
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Como o pesquisador está interessado naquele reagente que apresentar a maior quantidade dos resultados de
seus experimentos acima da média encontrada para aquele reagente, basta contar quantos resultados são
acima da média para cada reagente.
� Reagente 1: Apenas 1 resultado.
� Reagente 2: 4 resultados.
� Reagente 3: 3 resultados.
� Reagente 4: 3 resultados.
� Reagente 5: 3 resultados.
Assim, o reagente que atende às expectativas do pesquisador é o 2 (Alternativa B).
Questão 54
A quantidade total de bactérias em cada dia da semana pode ser calculada somando os números correspondentes
em cada coluna do gráfico. Dessa forma,
� Seg. : 1250 + 350 = 1600
� Ter. : 800 + 1100 = 1900
� Qua. : 300 + 1450 = 1750
� Qui. : 650 + 850 = 1500
� Sex. : 300 + 1400 = 1700
� Sab. : 290 + 1000 = 1290
� Dom. : 0 + 1350 = 1350
Logo, como 1900 é o maior número entre todos, a quantidade total de bactérias nesse ambiente de cultura foi
máxima na terça-feira (Alternativa A).
Questão 55
A mediana é uma medida de tendência central que divide uma distribuição em duas partes iguais, sendo o
valor do meio da série de dados, ou seja, é o número na posição do meio se ordenados do menor para o maior,
ou vice-versa. Se a quantidade de dados for ı́mpar, a mediana é o número no centro. Se for par, é a média
dos dois valores centrais. A mediana representa um ponto que divide uma amostra de dados de forma que
metade da amostra tenha valores maiores e metade tenha valores menores.
Para calcular a mediana dos números 20,90 ; 20,90 ; 20,50 ; 20,80 ; 20,60 ; 20,60 ; 20,90 e 20,96, é necessário,
então, ordená-los em uma lista crescente ou decrescente. A lista ordenada de forma crescente é:
20, 50; 20, 60; 20, 60; 20, 80; 20, 90; 20, 90; 20, 90; 20, 96
Como o número de itens da lista é par, a mediana é dada pela média dos dois valores centrais. Neste caso, a
mediana é igual a (20, 80 + 20, 90)/2 = 20, 85. Portanto, a mediana dos números é 20,85 (Alternativa D).
Questão 56
A média simples é uma medida de tendência central obtida pela soma dos valores de um conjunto de dados
dividida pelo número total deles. Ela encontra o valor médio ou central de uma série de números e é útil
para avaliar tendências e identificar padrões em dados quantitativos.
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Sejam Sa, Sb, Sc, Sd e Se as somas das 4 primeiras notas dos candidatos A, B, C, D e E, respectivamente.
Logo:
Sa
4
= 90 ⇒ Sa = 360;
Sb
4
= 85 ⇒ Sb = 340;
Sc
4
= 80 ⇒ Sc = 320;
Sd
4
= 60 ⇒ Sd = 240;
Se
4
= 60 ⇒ Se = 240.
Calculando agora a média com a quinta nota,
Ā =
Sa + 60
5
=
360 + 60
5
=
420
5
= 84,
B̄ =
Sb + 85
5
=
340 + 85
5
=
425
5
= 85,
C̄ =
Sc + 95
5
=
320 + 95
5
=
415
5
= 83,
D̄ =
Sd + 90
5
=
240 + 90
5
=
330
5
= 66,
Ē =
Se + 100
5
=
240 + 100
5
=
340
5
= 68,
onde Ā, B̄, C̄, D̄ e Ē são as médias das notas nas 5 etapas dos candidatos A, B, C, D e E, respectivamente.
Colocando em ordem crescente: B̄ > Ā > C̄ > Ē > D̄. Assim, a ordem de classificação final desse concurso é
B, A, C, E, D (Alternativa B).
Questão 57
O gráfico mostra a comparação de custo da diária de carros entre as locadoras P e Q. A distância percorrida
está representada no eixo horizontal em quilômetros, enquanto o preço da diária está representado no eixo
vertical.
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Observando o gráfico, a curva que representa a locadora Q apresenta valores menores que a reta da locadora
P em dois intervalos: de 0 a 20 km e de 100 a 160 km. Entretanto, entre 20 e 100 km, a locadora Q tem
preços mais elevados que a locadora P. Em 20 ou 100 km, ambas as locadoras têm o mesmo valor de diária.
Assim, conclui-se que o valor pago na locadora Q é menor ou igual ao da locadora P para distâncias entre 0 a
20 km e de 100 a 160 km. (Alternativa D).
Questão 58
O desvio padrão é uma medida de dispersão ou variação em torno da média de um conjunto de dados. Em
outras palavras, é uma medida de quão dispersos os valores de um conjunto de dados estão em relação à
média do conjunto. Quanto maior o desvio padrão, maior é a variação dos valores em relação à média; e
quanto menor o desvio padrão, menor é a variação.
O atleta mais regular é aquele que apresenta menor desvio padrão em relação as suas diferentes pesagens.
Por outro lado, o atleta menos regular é aquele que apresenta maior desvio padrão. Assim, pelo regulamento
do torneio, a primeira luta deverá ocorrer entre o atleta III (menor desvio padrão) e o atleta II (maior desvio
padrão), já que 4, 08 < 4, 90 < 7, 87 < 8, 49 (Alternativa C).
Questão 59
A média dos lucros mensais da empresa nos 7 meses é:
média dos 7 meses =
37 + 33 + 35 + 22 + 30 + 35 + 25
7
=
217
7
= 31
Como o conselho diretor da empresa decidiu comprar a mesma quantidade de matéria-prima comprada no
mês em que o lucro mais se aproximou da média, calculamos o desvio médio absoluto de cada mês:
� mês I: | 37− 31 |= 6
� mês II: | 33− 31 |= 2
� mês III: | 35− 31 |= 4
� mês IV: | 22− 31 |= 9
� mês V: | 30− 31 |= 1
� mês VI: | 35− 31 |= 4
� mês VII: | 25− 31 |= 6
Dado que o mês V é o mês com menor desvio absoluto da média, essa empresa deverá comprar a mesma
quantidade de matéria-prima comprada no mês V (Alternativa D).
Questão 60
A média do número de casos em cada região deve ser calculada:
média do número de casos =
237 + 262 + 158 + 159 + 160 + 278 + 300 + 278
8
=
1832
8
= 229
Listamos agora quais regiões tem o número de casos maior do que a média. São elas: Oeste, Centro, Leste,
Centro-Oeste e Centro-Sul. Logo, 5 regiões.
Listamos também quais regiões tem o número de casos menor ou igual à média. São elas: Norte, Sul e
Noroeste. Assim, 3 regiões.
Seguindo a distribuição dos funcionários a serem contratados:
� 5 · 10 = 50;
� 3 · 7 = 21.
Logo, a prefeitura deverá contratar 50 + 21 = 71 funcionários (AlternativaD).
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Questão 61
Seja x o lucro mı́nimo da empresa no mês de junho, em milhares de reais, para o gerente continuar no cargo.
Dado que a média do lucro mensal do semestre deve ser maior ou igual a 30 mil reais, tem-se:
média semestre =
21 + 35 + 21 + 30 + 38 + x
6
≥ 30
Resolvendo a inequação,
21 + 35 + 21 + 30 + 38 + x
6
≥ 30
145 + x ≥ 180
x ≥ 180− 145
x ≥ 35
Logo, o lucro mı́nimo deve ser de 35 mil reais (Alternativa E).
Questão 62
Calcula-se, primeiramente, a média das quantidades mensais dessas vacinas aplicadas nos últimos cinco meses.
média de 5 meses =
21 + 22 + 25 + 31 + 21
5
= 24
Como relata a questão, a quantidade inicial em estoque para os próximos meses deve ser igual a 12 vezes a
média das quantidades mensais dessas vacinas aplicadas nos últimos cinco meses. Assim, a quantidade inicial
em estoque para os próximos meses é 24 · 12 = 288.
Deve-se, agora, calcular quantas vacinas ficaram dispońıveis após a aplicação nos 6 meses:
228− (21 + 22 + 25 + 31 + 21) = 228− 120 = 108.
Logo, a quantidade de vacinas contra febre amarela que o posto de saúde deve adquirir no ińıcio do sexto
mês é 288− 108 = 180 vacinas (Alternativa B).
Questão 63
A solução dessa questão é simplificada ao considerar analisar apenas os meses contidos nas alternativas, ao
invés de todos os meses presentes no gráfico. Ao começar por janeiro,
� janeiro:
Se o plantio for feito em janeiro, deve-se avaliar as variações no clima da região para o mês subsequente
que é fevereiro. Do gráfico, observa-se:
⇒ janeiro tem cerca de 150 mm de pluviosidade enquanto fevereiro tem cerca de 130 mm. Assim
sendo, não há uma variação superior a 50 mm (primeira peculiaridade atendida).
⇒ a temperatura mı́nima é cerca de 20◦ e a de fevereiro é por volta de 21◦ (segunda peculiaridade
atendida).
⇒ a temperatura máxima é cerca de 27◦ e a de fevereiro é por volta de 28◦ (terceira peculiaridade
atendida).
Como há somente uma solução correta, a alternativa correta é o item A.
Questão 64
A vazão constante de enchimento ocorre quando há uma vazão constante de entrada de água pela torneira no
reservatório no mesmo tempo em que há uma vazão constante de sáıda pelo ralo. No gráfico, procuramos o
trecho em que ambos os gráficos apresentam uma reta horizontal paralela ao eixo x para o mesmo intervalo
de tempo. Observe:
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Colocando um gráfico sobre o outro, observamos essa região em destaque nos dois gráficos. No intervalo de 5
a 10 minutos a partir do instante inicial, a vazão de entrada da torneira é constante de 20 L/min e a vazão
de sáıda do ralo é também constante de 5 L/min. Logo, nesse trecho o reservatório tem uma vazão constante
de enchimento de 20− 5 = 15 L/min.
A alternativa correta é o item B.
Questão 65
O elevador sai do térreo com 4 pessoas.
� No 1◦ andar, entram 4 pessoas e saem 3. Logo, 5 pessoas se encontram no elevador para a subida para
o segundo andar.
� No 2◦ andar, entra 1 pessoa e sai 1. Logo, 5 pessoas se encontram no elevador para a subida para o
terceiro andar.
� No 3◦ andar, entram 2 pessoas e saem 2. Logo, 5 pessoas ainda se encontram no elevador para a subida
para o quarto andar.
� No 4◦ andar, entram 2 pessoas e nenhuma sai. Logo, 7 pessoas se encontram no elevador para a subida
para o quinto andar.
� No 5◦ andar, entram 2 pessoas e 6 saem. Logo, 3 pessoas permanecem no elevador.
Assim sendo, o número de pessoas no elevador em cada andar é 5, 5, 5, 7 e 3. Como a moda é a medida
de tendência central que representa o valor que mais se repete em um conjunto de dados, logo a moda do
número de pessoas no elevador é 5 (Alternativa D).
Questão 66
Os ńıveis das sustâncias A e B presentes na corrente sangúınea dessa pessoa serão iguais quando as duas
curvas que representam esses ńıveis no gráfico se interceptam. Por outro lado, o valor do parâmetro deve
contar o número de vezes que essas interseções ocorrem, contudo, em ńıveis maiores que o ńıvel mı́nimo da
substância A durante o peŕıodo de duração da dieta (acima da linha tracejada).
Em uma semana tem-se 4 interseções. Entretanto, apenas 2 delas se encontram acima da linha pontilhada.
Observe:
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Dado que o padrão apresentado no resultado do exame, no peŕıodo analisado, vai se repetir para os dias
subsequentes, basta multiplicar por 7 (uma semana):
2 · 7 = 14 (Alternativa E)
Questão 67
A figura a seguir mostra o local do trabalho da mãe (ponto M), o consultório do pai (ponto P ) e as escolas
das crianças (ponto E).
Ligando os segmentos PM , PE e MP , vê-se que a rua 4 é a mediatriz do segmento PM . Logo, qualquer
ponto sobre essa mediatriz é equidistante aos ponto P e M e, com isso, conclui-se que o imóvel deve estar na
rua 4.
Como é posśıvel andar somente pelas ruas representadas pelos segmentos, a distância mı́nima entre o ponto
P e o ponto E (ou entre o ponto M e o ponto E) é de 6 quadras. Com isso, a média distância entre qualquer
um desses pares é de 3 quadras e, como o ponto procurado (digamos C) está na rua 4, logo, está na interseção
da rua 4 com a rua D (Alternativa C).
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Questão 68
O gráfico apresenta as notas médias dada por um grupo de consumidores que experimentaram o novo produto
(coluna com a cor preta) e dois outros similares concorrentes (A e B).
A caracteŕıstica que dá a maior vantagem relativa ao produto proposto e que pode ser usada, pela diretoria,
para incentivar a sua produção deve ser a que mais se destaca dos produtos similares concorrentes. Assim,
deve-se procurar no gráfico a caracteŕıstica onde a coluna da nota dada ao novo produto é maior do que a
nota dada aos outros dois similares. Observe que isso ocorre com o sabor e o odor.
Ao comparar as duas caracteŕısticas, no entanto, vê-se que a diferença entre as notas obtidas para cada
caracteŕıstica é maior com o sabor. Isso indica que o sabor é uma caracteŕıstica que diferencia o produto
novo e deve ser explorada (Alternativa D).
Questão 69
O lucro mensal é obtido pela subtração entre o total de vendas e despesas, nesta ordem. Observando o gráfico
e calculando o lucro para cada mês:
� Jan: 2− 6 = −4
� Fev: 4− 5 = −1
� Mar: 3− 2 = 1
� Mai: 5− 7 = −2
� Jun: 2− 4 = −2
� Jul: 6− 4 = 2
� Ago: 4− 5 = −1
� Set: 7− 3 = 4
� Out: 5− 4 = 1
� Nov: 8− 7 = 1
� Dez: 5− 2 = 3
Valores negativos indicam prejúızos. Como 4, 3 e 2 são os maiores números, os maiores lucros aconteceram
nos meses setembro, dezembro e julho (ou julho, setembro e dezembro) (Alternativa A).
Questão 70
A mediana é uma medida de tendência central que divide um conjunto de dados em dois grupos iguais. É
calculada ordenando os dados de um conjunto e identificando o valor central. Se o número de dados for
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ı́mpar, a mediana é o valor central único. Se o número de dados for par, a mediana é a média dos dois valores
centrais.
Ordenando o número de erros em ordem crescente:
0, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6
Logo, 8 valores.
Fazendo a média entre os termos centrais (4° e 5° valor):
0, 2, 2, 2,3 , 4, 5, 6
Mediana =
2 + 3
2
=
5
2
= 2, 5
Portanto, a mediana do número de erros cometidos é 2,5 (Alternativa B).
Questão 71
Segundo o comando da questão, a média de produção diária de petróleo no Brasil, em 2012, seria de 10%
superior à média dos três últimos anos apresentados no gráfico (2008, 2009 e 2010). Calculando a média dos
três últimos anos:
média =
1, 85 + 1, 97 + 2, 00
3
=
5, 82
3
= 1, 94
Acrescentando 10%,
1, 94 + 10% de 1, 94 = 1, 94 +
1
10
· 1, 94 = 1, 94 +
1, 94
10
= 1, 94 + 0, 194 = 2, 134
Logo, a alternativa correta é o item B.
Questão 72
Sejam x1, x2, . . . , x12 a quantidade de assinaturas vendidas por esse vendedorem cada mês com xi referente
a cada mês i do ano (i ∈ {1, 2, . . . , 12}). Como descrito no enunciado,
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7
7
= 84 ⇒ S7 = 588
onde S7 é a soma das quantidades de assinaturas vendidas nos 7 primeiros meses.
Devido a reestruturação da empresa, todos os vendedores devem ter, ao final do ano, uma média mensal de
99 assinaturas vendidas. Logo:
S7 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12
12
= 99
588 + x8 + x9 + x10 + x11 + x12 = 1188
x8 + x9 + x10 + x11 + x12 = 600
Assim, a soma da quantidade de vendas de planos que ele deve vender nos próximos meses é 600. Calculando
a média para esses 5 meses:
x8 + x9 + x10 + x11 + x12
5
=
600
5
= 120
A média mensal de vendas do vendedor, nos próximos 5 meses, para que ele possa cumprir a exigência da sua
empresa é de 120 vendas (Alternativa E).
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Questão 73
Os valores padrão para as condições f́ısicas e composição do sêmen humano estão na primeira coluna da
tabela. Como se destaca,
� o volume deve ser de 2,0 a 5,0 mL;
� o tempo de liquefação deve ser de até 60 min;
� o pH deve estar entre 7,2 e 7,8;
� o espermatozoide deve ser de acima de 20 000 000 de unidades/mL;
� o leucócito de até 1 000 unidades/mL;
� a hemácia de até 1 000 unidades/mL.
Deve-se observar os resultados em cada data (outras colunas da tabela) e avaliar qual delas contém todos os
resultados obtidos dentro do padrão necessário.
Fazendo a análise,
� em relação ao volume, todas as amostras estão dentro dos conformes;
� em relação ao tempo de liquefação, exclui-se a amostra do dia 06/03/2012;
� em relação ao pH, exclui-se a amostra do dia 09/08/2011;
� em relação ao espermatozoide, exclui-se a amostra do dia 30/11/2009;
� em relação aos leucócitos, as duas amostras restantes estão dentro dos conformes;
� em relação às hemácias, exclui-se a amostra do dia 23/03/2010.
Assim, a única amostra que atende todos os requisitos padrões é a do dia 23/08/2011 (Alterntiva D).
Questão 74
O sistema de resfriamento é ligado todas as vezes que o gráfico da temperatura·tempo intercepta a linha
horizontal pontilhada de altura TC na “subida” e, por outro lado, é desligado todas as vezes que o gráfico
intercepta a linha horizontal pontilhada de altura Tm na “descida”. Observe:
Assim, o sensor de temperatura acionou o sistema 3 + 2 = 5 vezes (Alternativa D).
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Questão 75
A descrição do comando da questão guia para a alternativa correta. Comece observando que o eixo horizontal
traz o número de horas a partir do ińıcio do tratamento e o eixo vertical a eficácia do medicamento (em
porcentagem). Observe ainda que o crescimento(ou decrescimento) da eficácia do medicamento é representada
por uma reta não paralela aos eixos crescente(ou decrescente) no gráfico. Quando é citado que a eficácia
do remédio permanece em máxima eficácia (100 %), tem-se uma reta horizontal no gráfico paralela ao eixo
vertical. Por último, atente-se aos peŕıodos de tempo descritos em cada trecho.
Fazendo a associação correta, a alternativa certa é o item C.
Questão 76
Calculamos, primeiramente, o IMC da criança:
IMC =
30, 92
1, 22
=
30, 92
1, 44
= 21, 472 (Risco de excesso de peso)
Do gráfico apresentado de IMC por idade para meninos, a faixa considerada normal tem IMC entre 14 e 18.
Calculamos, para a mesma altura, quais são as massas (pesos) que uma garoto nessa faixa etária deveria ter
para possuir os seguintes IMCs.
14 =
m14
1, 22
⇒ m14 = 14 · 1, 44 = 20, 16
18 =
m18
1, 22
⇒ m18 = 18 · 1, 44 = 25, 92
Aqui, m14 é a massa necessária para que um garoto de 10 anos tenha IMC = 14 e m18 a massa necessária
para que um garoto de 10 anos tenha IMC = 18. Uma vez que o garoto tem 30,92 kg,
� deve perder, no mı́nimo, 30, 92− 25, 92 = 5 kg para entrar na faixa normal;
� deve perder, no máximo, 30, 92− 20, 16 = 10, 76 kg para continuar na faixa normal.
Logo, os valores mı́nimo e máximo que esse menino precisa emagrecer, em quilograma, devem ser, respectivamente,
5, 00 e 10, 76 (Alternativa D).
Questão 77
Cada ponto A, B, C, D e E plotado no gráfico tem duas coordenadas (x, y), onde x é a massa da porção de
biscoito e y a respectiva quantidade de sódio dessa massa, em mg. O ponto A, por exemplo, tem coordenadas
(25,100). Logo, uma porção de 25 gramas do biscoito da marca A contém 100 mg.
Para os demais pontos, tem-se:
� uma porção de 25 gramas do biscoito da marca A contém 100 mg;
� uma porção de 40 gramas do biscoito da marca B contém cerca de 80 mg;
� uma porção de 50 gramas do biscoito da marca C contém 250 mg;
� uma porção de 80 gramas do biscoito da marca D contém 100 mg;
� uma porção de 100 gramas do biscoito da marca E contém 200 mg.
Fazendo a razão entre a quantidade de sódio de cada marca e sua respectiva massa,
� cada grama do biscoito da marca A contém 100/25 = 4 mg de sódio;
� cada grama do biscoito da marca B contém 80/40 = 2 mg de sódio;
� cada grama do biscoito da marca C contém 250/50 = 5 mg de sódio;
� cada grama do biscoito da marca D contém 100/80 = 1, 25 mg de sódio;
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� cada grama do biscoito da marca E contém 200/100 = 2 mg de sódio;
Assim, a marca D contém a menor quantidade de sódio por grama do produto (Alternativa D).
Questão 78
Ao juntar o número de medalhas de ouro, prata e bronze de Brasil e Argentina, teŕıamos:
� 2 + 3 = 5 medalhas de ouro;
� 5 + 2 = 7 medalhas de prata;
� 3 + 2 = 5 medalhas de bronze.
Logo, esse páıs hipotético teria 5 medalhas de ouro, 7 medalhas de prata e 5 medalhas de bronze. Como o
EUA também tem 5 medalhas de ouro e 7 medalhas de prata, o desempate ocorreria com as medalhas de
bronze, onde o páıs hipotético estaria em vantagem ocupando o segundo lugar (Alternativa B).
Questão 79
Observando a tabela podemos encontrar a razão entre o preço de cada embalagem e o número de pontos
adquiridos:
� Embalagem de 50g: Preço/pontos =
2, 00
2
= R$ 1,00.
� Embalagem de 100g: Preço/pontos =
3, 60
4
= R$ 0,90.
� Embalagem de 200g: Preço/pontos =
6, 40
6
≈ R$ 1,06.
Isso mostra, por exemplo, que ao adquirir a embalagem de 100g, cada ponto sai por R$ 0,90.
Dado que se deseja descobrir a menor quantia a ser gasta por essa menina que a possibilite levar o bichinho
de pelúcia nessa promoção, ela conseguirá fazer isso adquirindo 3 embalagens de 100g. Logo, terá exatamente
3 · 4 = 12 pontos e gastará:
3 · R$ 3, 60 + R$ 10, 00 = R$ 20, 80
Assim, a alternativa correta é o item C.
Questão 80
As razões entre as alturas das colunas B e A nos dois gráficos são:
� Gráfico I:
30− 0
70− 0
=
3
7
� Gráfico II:
30− 20
70− 20
=
10
50
=
1
5
Logo, a diferença entre as razões é
3
7
− 1
5
=
15
35
− 7
35
=
8
35
Assim, a alternativa correta é o item E.
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Questão 81
A mediana é uma medida estat́ıstica de centralidade que indica o valor que está no meio de um conjunto de
dados ordenados. Em outras palavras, se os dados forem organizados em ordem crescente ou decrescente, a
mediana será o valor que está exatamente no meio. É uma medida útil quando há valores extremos (outliers)
que podem afetar significativamente a média, mas não afetam tanto a mediana.
Primeiro, é necessário organizar os dados em ordem crescente ou decrescente:
6, 8; 7, 5; 7, 6; 7.6; 7, 7; 7, 9; 7, 9; 8, 1; 8, 2; 8, 5; 8, 5; 8, 9; 9, 0
A mediana é o valor que está exatamente no meio dessa lista ordenada. Como a lista tem 14 elementos, a
mediana será a média dos valores do 7º e do 8º elemento:
mediana = (7, 9 + 8, 1)/2
mediana = 8, 0
Portanto, a mediana desse conjunto de dados é 8,0 (Alternativa B).
Questão 82
Para verificar se os alunos foram aprovados ou reprovados, precisamos calcular a média aritmética das notas
de cada um.
� Para o aluno X, a média é:(5 + 5 + 5 + 10 + 6)
5
= 6, 2
Logo, o aluno X foi aprovado.
� Para o aluno Y, a média é:
(4 + 9 + 3 + 9 + 5)
5
= 6
Logo, o aluno Y foi aprovado.
� Para o aluno Z, a média é:
(5 + 5 + 8 + 5 + 6)
5
= 5, 8
Logo, o aluno Z foi reprovado.
Portanto, apenas o aluno Z ficou reprovado (Alternativa B).
Questão 83
Para atingir a avaliação “Bom” ou “Excelente” o aluno precisa alcançar nota maior ou igual a 7 e menor ou
igual a 10.
Seja x a nota mı́nima que ele deve conseguir na disciplina I para alcançar a avaliação “Bom”. Assim, a média
ponderada entre suas notas deve ser 7.
12 · x+ 4 · 8, 00 + 8 · 6, 00 + 8 · 5, 00 + 10 · 7, 50
12 + 4 + 8 + 8 + 10
= 7
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Resolvendo a equação:
12x+ 32 + 48 + 40 + 75
42
= 7
12x+ 195
42
= 7
12x+ 195 = 294
12x = 99
x = 8, 25
Logo, a nota mı́nima que ele deve conseguir na disciplina I é 8,25 (Alternativa D).
Questão 84
Primeiramente, é importante observar que os reservatórios tem capacidades distintas. No gráfico, observe
que a escala horizontal da esquerda, referente ao reservatório A, é diferente da escala horizontal da direita,
referente ao reservatório B.
Observando o gráfico, quando o tempo (h) = 8, há 30 000 litros no reservatório A e 30 000 litros também no
reservatório B. No instante tempo (h) = 9, essa quantidade de água nos dois reservatórios ainda se mantém.
Observe ainda que é o único trecho do gráfico onde isso acontece.
Logo, o número de horas em que os dois reservatórios contêm a mesma quantidade de água é 1 (Alternativa A).
Questão 85
O véıculo fica imóvel quando sua velocidade é nula. Observando o gráfico, isso ocorre no intervalo de 6 a 8
minutos.
Logo,
8− 6 = 2 minutos
Assim, a alternativa correta é o item C.
Questão 86
Podemos relacionar em uma tabela o tempo (em minutos) de acesso em cada um dos sites na sexta-feira e no
sábado a partir das informações dos gráficos.
Sexta-feira Sábado
Site X 12 21
Site Y 30 51
Site Z 10 11
Site W 38 57
Site U 40 56
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Ao se dividir o tempo de acesso de cada site no sábado pelo tempo correspondente na sexta-feira, é posśıvel
calcular a porcentagem de aumento para cada um deles.
�
21
12
= 1, 75
�
51
30
= 1, 7
�
11
10
= 1, 1
�
57
38
= 1, 5
�
56
40
= 1, 4
Logo, como 1,75 é o maior número entre as razões, a maior taxa de aumento no tempo de acesso, da sexta-feira
para o sábado, foi no site X (Alternativa A).
Questão 87
A partir do ponto representado pela letra X, a primeira instrução é ir para oeste. Observando a rosa dos
ventos na figura, faz-se o primeiro percurso representado pela primeira seta na figura.
Em seguida, vira-se à direita na primeira rua que encontrar (segunda seta);
Por fim, vira-se à esquerda na próxima rua (terceira seta).
Logo, a padaria está representada pelo ponto numerado com 1 (Alternativa A).
Questão 88
Como descreve o enunciado, a temperatura máxima é indicada pelo ńıvel inferior do filete preto na coluna da
direita. A figura abaixo destaca esse ńıvel dentro desse filete.
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Assim, temperatura máxima mais aproximada registrada nesse termômetro é de 19 °C (Alternativa E).
Questão 89
Para calcular a média, precisamos multiplicar o número de acidentes pelo número de trabalhadores em cada
categoria, somar esses produtos e dividir pelo número total de trabalhadores:
Média =
(0 · 50) + (1 · 17) + (2 · 15) + (3 · 10) + (4 · 6) + (5 · 2)
100
Simplificando essa expressão, temos:
Média =
0 + 17 + 30 + 30 + 24 + 10
100
=
111
100
= 1, 11
Portanto, a média do número de acidentes por funcionários na amostra é 1,11. Logo, a alternativa correta
é a letra D.
Questão 90
Para utilizar o Método de Borda, vamos atribuir uma pontuação para cada posição em cada ranking. Por
exemplo, para o Ranking I, Ana recebe 5 pontos, Bia recebe 4 pontos, Caio recebe 3 pontos, Dani recebe 2
pontos e Edu recebe 1 pontos.
Aplicando essa lógica para todos os rankings, temos:
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Rankings Ana Bia Caio Dani Edu
Ranking I 5 4 3 2 1
Ranking II 2 1 4 5 3
Ranking III 4 5 3 1 2
Ranking IV 4 2 1 3 5
Agora, vamos somar as pontuações de cada aluno em todos os rankings. Por exemplo, Ana recebe 5 pontos
no Ranking I, 2 pontos no Ranking II, 4 pontos no Ranking III e 4 pontos no Ranking IV, totalizando 15
pontos.
Acontece ainda, que temos também a frequência dos rankings dado pela segunda tabela. Como se apresenta,
ela traz o número de vezes que se repetiu cada resultado dentro de um ranking.
Fazendo essa soma para todos os alunos, temos:
Rankings Ana Bia Caio Dani Edu
Ranking I 5 · 4 4 · 4 3 · 4 2 · 4 1 · 4
Ranking II 2 · 9 1 · 9 4 · 9 5 · 9 3 · 9
Ranking III 4 · 7 5 · 7 3 · 7 1 · 7 2 · 7
Ranking IV 4 · 5 2 · 5 1 · 5 3 · 5 5 · 5
ou
Rankings Ana Bia Caio Dani Edu
Ranking I 20 16 12 8 4
Ranking II 18 9 36 45 27
Ranking III 28 35 21 7 14
Ranking IV 20 10 5 15 25
TOTAL 86 70 74 75 70
Assim, a poesia vencedora foi a de Ana, que obteve a maior pontuação total de 86 pontos. Portanto, a
alternativa correta é o item E.
Questão 91
Para calcular o mı́nimo de pontos que o estudante precisa obter na quarta avaliação para ser aprovado,
podemos usar a seguinte fórmula:
Média = 0, 2 ·Avaliação1 + 0, 1 ·Avaliação2 + 0, 3 ·Avaliação3 + 0, 4 ·Avaliação4
Substituindo os valores que temos, temos:
60 = 0, 2 · 46 + 0, 1 · 60 + 0, 3 · 50 + 0, 4 ·Avaliação4
Simplificando a equação:
60 = 9, 2 + 6 + 15 + 0, 4 ·Avaliação4
60 = 30, 2 + 0, 4 ·Avaliação4
0, 4 ·Avaliação4 = 29, 8
Avaliação4 =
29, 8
0, 4
≈ 74, 5
Portanto, o mı́nimo de pontos que o estudante precisa obter na quarta avaliação para ser aprovado é de
aproximadamente 74,5. A resposta correta é a letra (C).
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Questão 92
As vendas de 2016 superaram em 360 unidades as vendas de 2015 e isso, no gráfico (pictograma), é representado
por 3 “carrinhos” a mais. Logo, cada carrinho na representação vale 360/3 = 120 unidades.
Com isso,
� em 2014 foram vendidos 1 · 120 = 120 unidades;
� em 2015 foram vendidos 2 · 120 = 240 unidades;
� em 2016 foram vendidos 5 · 120 = 600 unidades.
Logo, a média anual do número de carros vendidos pela marca A, nos anos representados no gráfico, pode ser
calculada:
120 + 240 + 600
3
=
960
3
= 320
Assim, a alternativa correta é o item D.
Questão 93
Para determinar qual atividade f́ısica proporciona o maior consumo de quilocalorias por minuto, precisamos
calcular a quantidade de quilocalorias gasta por minuto em cada atividade. Para isso, podemos dividir a
quantidade de quilocalorias pelo tempo em minutos:
� Atividade I: 20 kcal / 10 min = 2 kcal/min
� Atividade II: 100 kcal / 15 min = 6,67 kcal/min
� Atividade III: 120 kcal / 20 min = 6 kcal/min
� Atividade IV: 100 kcal / 25 min = 4 kcal/min
� Atividade V: 80 kcal / 30 min = 2,67 kcal/min
Portanto, a atividade f́ısica que proporciona o maior consumo de quilocalorias por minuto é a Atividade II,
com 6,67 kcal/min (Alternativa B).
Questão 94
Segundo o gráfico,
� No dia 1, a temperatura está abaixo de 10◦C, e a umidade relativa do ar foi inferior a 40%. Assim,
emitiu-se um alerta cinza;
� No dia 12, a temperatura prevista é de exatos 40◦C e a umidade relativa de 20%. Assim, como o alerta
laranja deve ser emitido sempre que a previsão do tempo estimar que a temperatura deve variar entre
35◦C e 40◦C, e a umidade relativa do ar deve ficar abaixo de 30%, o alerta laranja foi emitido de modo
equivocado;
� No dia 13, a temperatura está acima de 40◦C, e a umidade relativa do ar foi superior a 40%. Assim,
como a umidade relativa do ar não foi inferior a 25%, o alerta vermelho foi emitido também de modo
equivocado.
Logo, somente no dia 1 o aviso foi emitido corretamente (Alternativa A).
Questão 95
Seja x a média de altura dos 20jogadores da equipe e S a soma das alturas dos 20 jogadores. Logo,
x = 1, 8 =
S
20
⇒ S = 36
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Ao substituir um dos jogadores por outro jogador com 0,20 m mais baixo que ele, a soma das alturas é
alterada e passa a ser S − 0, 2. Assim, a nova média (xnova) fica:
xnova =
S − 0, 2
20
=
36− 0, 2
20
=
35, 8
20
= 1, 79
Logo, a média de altura do novo grupo é de 1,79 metros (Alternativa C).
Questão 96
Se o grupo que jogou basquete tem um integrante a mais do que o grupo que jogou futebol, o número de
alunos da turma é um número ı́mpar.
A mediana das alturas é 1,67 m, o que significa que metade da turma tem idade maior (ou igual) que 1,67 m
e a outra metade menor (ou igual) a 1,67. Como o grupo de basquete é formado pelos alunos mais altos da
classe, jogaram basquete todos os alunos com altura igual ou maior a 1,67 m.
Assim,
� como 1,65 < 1,67, P jogou futebol;
� como 1,66 < 1,67, J jogou futebol;
� como 1,67 = 1,67, F jogou basquete;
� como 1,68 > 1,67, M jogou basquete.
Logo, os alunos P, J, F e M jogaram, respectivamente, futebol, futebol, basquete, basquete (Alternativa C).
Questão 97
O número de unidades vendidas desse produto em dezembro de 2011 foi igual à média aritmética do número
de unidades vendidas nos meses de julho a novembro do mesmo ano. Logo,
vendas dezembro =
700 + 2500 + 2500 + 2800 + 2700
5
=
11200
5
= 2240
Assim, a redução no número de unidades vendidas de novembro para dezembro de 2011 foi de 2700−2240 = 460
unidades.
Seguindo essa tendência em 2012, o número de vendas nos primeiros meses seria:
� janeiro: 2240− 460 = 1780;
� fevereiro: 1780− 460 = 1320;
� março: 1320− 460 = 860;
� abril: 860− 460 = 400.
Portanto, o número de vendas já seria menor do que julho de 2011 em abril (Alternativa D).
Questão 98
Vamos calcular a taxa de urbanização para cada munićıpio:
� I:
8000
8000 + 4000
=
8000
12000
=
8
12
=
2
3
≈ 0, 66;
� II:
10000
10000 + 8000
=
10000
18000
=
10
18
=
5
9
≈ 0, 55;
� III:
11000
11000 + 5000
=
11000
16000
=
11
16
≈ 0, 69;
� IV:
18000
18000 + 10000
=
18000
28000
=
18
28
=
9
14
≈ 0, 64;
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� V:
17000
17000 + 12000
=
17000
29000
=
17
29
≈ 0, 59;
Logo, o munićıpio III receberá o investimento extra (Alternativa C).
Questão 99
Observando o gráfico, podemos organizar as informações na tabela seguinte:
Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo Total
Caldo de cana 3 1 2 4 7 7 4 28
Refrigerante 4 4 5 8 8 8 7 44
Pastel 2 4 4 7 8 10 10 45
De acordo com suas estimativas para a semana seguinte:
Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo Total
Caldo de cana 3 1 2 4 7 7 4 28
Refrigerante 7 5 7 12 15 15 11 72
Pastel 7 5 7 12 15 15 11 72
Logo, a quantidade a mais de pastéis que esse comerciante deve vender na próxima semana é 72− 45 = 27
(Alternativa B).
Questão 100
O gráfico da questão traz o consumo acumulado de energia, em watt · minuto, em função do tempo t. Como
esse consumo é acumulado, podemos calcular a diferença de potência a cada mundança de cômodo:
� Ponto (1; 20): Entrou na residência e permaneceu na sala no primeiro minuto. O 20 na segunda
coordenada confere com a potência da lâmpada presente nesse cômodo (20 W);
� Ponto (2; 35): Saiu da sala e adentrou no cômodo cuja lâmpada tem potencial de 35 − 20 = 15 W.
Olhando a planta baixa, trata-se da súıte (15 W);
� Ponto (3,40): Saiu da súıte e adentrou no cômodo cuja lâmpada tem potencial 40− 35 = 5 W. Assim,
trata-se do banho (5 W);
� Ponto (4,55): Saiu do banho e adentrou no cômodo cuja lâmpada tem potencial 55− 40 = 15 W. Dessa
forma, retornou à súıte (15 W);
� Ponto (5,75): Saiu da súıte e adentrou no cômodo cuja lâmpada tem potencial 75− 55 = 20 W. Segundo
a planta baixa, voltou novamente para a sala (20 W);
� Ponto (6,85): Saiu da sala e adentrou no cômodo cuja lâmpada tem potencial 85− 75 = 10 W. Portanto,
foi para cozinha (10 W);
� Ponto (7,105): Saiu da cozinha e foi para o cômodo cuja lâmpada tem potencial 105 − 85 = 20 W.
Novamente, voltou para a sala (20 W);
� Ponto (8,120): Saiu da sala e se encaminhou ao cômodo cuja lâmpada tem potencial 120− 105 = 15 W.
Finalmente, retornou à súıte (15 W).
Fazendo a respectiva associação com a numeração de cada cômodo, tem-se:
sala �súıte �banho �súıte �sala �cozinha �sala �súıte = 1�4�5�4�1�6�1�4
Assim, a alternativa correta é o item A.
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Questão 101
Para descobrir qual é o destino com menor custo diário em real, é necessário converter os gastos diários de
cada páıs para reais, utilizando as taxas de câmbio fornecidas na tabela. Em seguida, é preciso verificar se o
gasto diário convertido é menor ou igual a R$ 1 000,00, que é o teto de gasto diário estabelecido pelo casal.
O destino escolhido será aquele cujo gasto diário convertido em real for menor ou igual a R$ 1 000,00.
Vamos realizar as conversões e verificar os gastos diários convertidos para cada páıs:
� França: 315,00 euros · R$ 3,14/euro = R$ 989,10/dia (abaixo do teto de R$ 1 000,00)
� EUA: US$ 390,00 · R$ 2,78/US$ = R$ 1 083,42/dia (acima do teto de R$ 1 000,00)
� Austrália: A$ 400,00 · R$ 2,14/A$ = R$ 856,00/dia (abaixo do teto de R$ 1 000,00)
� Canadá: C$ 410,00 · R$ 2,10/C$ = R$ 861,00/dia (abaixo do teto de R$ 1 000,00)
� Reino Unido: 290,00 libras esterlina · R$ 4,24/libra = R$ 1 231,60/dia (acima do teto de R$ 1 000,00)
Portanto, o destino com menor custo diário em real e que respeita o teto de R$ 1 000,00/dia é a Austrália,
com um gasto diário convertido em real de R$ 856,00. Assim, a resposta correta é a alternativa A.
Questão 102
Para calcular a média diária de garrafas fora das especificações no peŕıodo considerado, precisamos somar
todas as garrafas fora das especificações e dividir pelo número total de dias:
0 · 52 + 1 · 5 + 2 · 2 + 3 · 1
60
=
0 + 5 + 4 + 3
60
=
12
60
=
1
5
= 0, 2
Portanto, a média diária de garrafas fora das especificações no peŕıodo considerado é de 0,2 garrafas por dia.
Assim, a resposta correta é a alternativa B.
Questão 103
A razão entre o número de peças produzidas e o número de horas trabalhadas em cada dia é:
� Dia 1:
800
4
= 200;
� Dia 2:
1000
8
= 125;
� Dia 3:
1100
5
= 220;
� Dia 4:
1800
9
= 200;
� Dia 5:
1400
10
= 140;
Logo, dado que quanto maior for a razão entre o número de peças produzidas e o número de horas trabalhadas,
maior será a eficiência da metodologia, a metodologia mais eficiente foi aplicada no dia 3 (Alternativa C).
Questão 104
O jovem que trabalha e estuda ou somente trabalha deve ser contabilizado dentro dos jovens que trabalha.
Assim, olhando para o gráfico tem-se nessas condições 13, 6% + 45, 2% = 58, 8% dos entrevistados.
Calculando essa porcentagem dentre os 363 mil jovens entrevistados:
58, 8% de 363 mil =
588
1000
· 363 000 = 213 444 jovens
Logo, a alternativa correta é o item C.
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Questão 105
Seja x a quantidade em estoque de cada perfume na loja. Para determinar quanto arrecadou em espécie,
em reais, cada um dos perfumes da loja, basta fazer o produto entre a porcentagem vendida, o preço e a
quantidade em estoque x:
� Perfume 1: 0, 13 · 200 · x = 26x;
� Perfume 2: 0, 10 · 170 · x = 17x;
� Perfume 3: 0, 16 · 150 · x = 24x;
� Perfume 4: 0, 29 · 100 · x = 29x;
� Perfume 5: 0, 32 · 80 · x = 25, 6x;
Como 29x > 26x > 25, 6x > 24x > 17x, o perfume que deverá ter maior reposição no estoque é o perfume 4
(Alternativa D).
Questão 106
Devemos comparar o tempo gasto por cada uma das opções (ônibus ou bicicleta) em cada dia da semana.
Para tal, recorde que a velocidade média é a razão entre a distância percorrida e o tempo. Logo,
tempo =
distância percorrida
velocidade média
Calcularemos o tempo para cada dia e opção de transporte.Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado
Ônibus 2/9 ≈ 0, 22 h 2/20 = 0, 1 h 2/15 ≈ 0, 13 h 2/12 ≈ 0, 17 h 2/10 ≈ 0, 2 h 2/30 ≈ 0, 07 h
Bicicleta 3/15 ≈ 0, 2 h 3/22 ≈ 0, 14 h 3/24 ≈ 0, 125 h 3/15 ≈ 0, 2 h 3/18 ≈ 0, 17 h 3/16 ≈ 0, 19 h
Basta agora verificar em qual dos dias o tempo gasto com a bicicleta é menor do que o tempo gasto com
ônibus. Como é posśıvel verificar, isso ocorre na segunda, quarta e sexta (Alternativa C).
Questão 107
Seja M a estatura média da equipe inicial e S11 a soma das alturas dos 11 jogadores mais altos dessa equipe.
Assim,
S11 + 1, 78 + 1, 82 + 1, 84 + 1, 86
15
= 1, 93 ⇒ S11 = 21, 65 m
Sejam x1, x2 e x3 as alturas dos 3 jogadores que irão substituir os 4 mais baixos da equipe junto com o
jogador de 2,02 metros. Logo:
S11 + 2, 02 + x1 + x2 + x3
15
≥ 1, 99
Substituindo S11 e simplificando a expressão:
21, 65 + 2, 02 + x1 + x2 + x3
15
≥ 1, 99
23, 67 + x1 + x2 + x3 ≥ 29, 85
x1 + x2 + x3 ≥ 6, 18
Logo, a média mı́nima das estaturas que o técnico deve fixar para o grupo de três novos jogadores é:
x1 + x2 + x3
3
=
6, 18
3
= 2, 06
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Assim, a alternativa correta é o item D.
Questão 108
O preço final de compra em cada depósito será calculado levando em conta o valor do saco de cimento em
cada depósito, a distância entre a casa e o depósito e o valor do frete para cada quilômetro. Vejamos:
� Depósito A: R$ 23,00 · 15 + R$ 1,00 · 10 = R$ 355,00;
� Depósito B: R$ 21,50 · 15 + R$ 3,00 · 12 = R$ 358,50;
� Depósito C: R$ 22,00 · 15 + R$ 1,50 · 14 = R$ 351,00;
� Depósito D: R$ 21,00 · 15 + R$ 3,50 · 18 = R$ 378,00;
� Depósito E: R$ 24,00 · 15 + R$ 2,50 · 2 = R$ 365,00.
Logo, o depósito mais econômico para a realização dessa compra será o depósito C (Alternativa C).
Questão 109
A parte em destaque no gráfico abaixo mostra os peŕıodos do dia onde o rúıdo superou 55 decibéis.
Portanto,
� das 2 h às 5 h: 3 horas;
� das 6 h às 9 h: 3 horas;
� das 11 h às 14 h: 3 horas;
� das 16 h às 17 h: 1 hora;
� das 19 h às 22 h: 3 horas.
Logo, o rúıdo esteve acima de 55 decibéis por 3 + 3 + 3 + 1 + 3 = 13 horas (Alternativa E).
Questão 110
A média ponderada das notas de cada empresa nos procedimentos analisados é calculada como se segue:
média ponderada =
3 · rapidez no atendimento + 5 · clareza nas informações + 2 · cortesia no atendimento
10
Calculando essa média para cada empresa:
� Empresa X: média =
3 · 5 + 5 · 1 + 2 · 2
10
=
15 + 5 + 4
10
=
24
10
= 2, 4;
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� Empresa Y: média =
3 · 1 + 5 · 4 + 2 · 2
10
=
3 + 20 + 4
10
=
27
10
= 2, 7;
� Empresa Z: média =
3 · 4 + 5 · 3 + 2 · 2
10
=
12 + 15 + 4
10
=
31
10
= 3, 1;
� Empresa W: média =
3 · 3 + 5 · 3 + 2 · 3
10
=
9 + 15 + 6
10
=
30
10
= 3, 0;
� Empresa T: média =
3 · 4 + 5 · 2 + 2 · 4
10
=
12 + 10 + 8
10
=
30
10
= 3, 0.
Logo, a empresa com maior média ponderada é a empresa Z e essa foi a empresa contratada (Alternativa C).
Questão 111
O gráfico da receita e do custo de produção exibe, pelo menos, 5 pontos com fácil identificação para cada
curva:
� Curva receita: Pontos (5,5); (10,25); (15,40); (25,50) e (30,45);
� Curva custo: Pontos (5,5); (10,45); (15,40); (25,10) e (30,35);
Subtraindo a ordenada de cada um dos pontos da curva custo da ordenada da curva receita:
� Curva lucro: Pontos (5,0); (10,−20); (15,0); (25,40) e (30,10).
Podemos plotar tais pontos em um gráfico:
Portanto, o único gráfico que contém os pontos dados e, assim sendo, representa o lucro dessa empresa, em
função da quantidade de itens produzidos, é o presente na alternativa A.
Questão 112
Vamos primeiro calcular o custo atual da refeição do atleta:
� 400 g de frango custam 400/1000 kg · R$ 12,50/kg = R$ 5,00;
� 600 g de batata-doce custam 600/1000 kg · R$ 5,00/kg = R$ 3,00;
� A hortaliça custa R$ 2,00.
Portanto, o custo atual da refeição é R$ 10,00 (custo fixo) + R$ 5,00 (frango) + R$ 3,00 (batata-doce) + R$
2,00 (hortaliça) = R$ 20,00.
Agora vamos calcular o novo preço da batata-doce após o aumento de 50%: R$ 5,00/kg + 50% de R$ 5,00/kg
= R$ 7,50/kg.
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Para manter o custo da refeição em R$ 20,00, o atleta precisará reduzir o custo dos outros itens para
compensar o aumento da batata-doce. Ele já tem um custo fixo de R$ 10,00, então os outros R$ 10,00 devem
ser distribúıdos entre o frango e a hortaliça.
Vamos supor que o atleta mantenha a quantidade de hortaliça e reduza a quantidade de frango. Então, o
novo custo da refeição seria:
� 400 g de frango custariam x reais
� 600 g de batata-doce custam R$7,50/kg · 600/1000 kg = R$4,50
� A hortaliça custa R$2,00
Somando tudo, temos: R$ 10,00 (custo fixo) + x (frango) + R$ 4,50 (batata-doce) + R$ 2,00 (hortaliça) =
R$ 20,00. Simplificando a equação, temos: x = R$3, 50
Portanto, o atleta pode gastar no máximo R$ 3,50 em frango para manter o custo da refeição em R$ 20,00.
Isso significa que ele pode comprar no máximo:
R$ 3,50 / R$ 12,50/kg = 0,28 kg de frango, ou seja, 280 g de frango.
A quantidade original de frango era 400 g, então a redução percentual é:
(400− 280)
400
· 100% = 30%
Portanto, a resposta correta é a alternativa (C) 30,0.
Questão 113
Para encontrar a frequência card́ıaca máxima do ciclista, podemos utilizar a fórmula:
Fc max. = 220− idade
Substituindo a idade do ciclista, que é 61 anos, temos:
Fc max. = 220− 61 = 159
Portanto, a faixa aeróbica ideal para o ganho de condicionamento f́ısico desse ciclista é entre:
0, 65 · 159 = 103, 35 ≈ 103 bpm
0, 85 · 159 = 135, 15 ≈ 135 bpm
Analisando os resultados das frequências card́ıacas máximas alcançadas pelo ciclista em cada trecho do
percurso, podemos ver que ele se manteve dentro da faixa aeróbica ideal nos trechos forte no plano e subida
moderada. Portanto, a alternativa correta é a letra D: forte no plano e subida moderada.
Questão 114
Para minimizar sua despesa, o paciente deve avaliar as opções de desconto oferecidas pelas farmácias. É
importante atentar para o fato de que os descontos só são dados quando os medicamentos X e Y são comprados
juntos na Farmácia 2 ou quando X, Y e Z são comprados juntos na Farmácia 3.
Observando a tabela de preços e as opções de desconto, temos:
� Comprar X, Y e Z na Farmácia 1: R$ 45,00 + R$ 40,00 + R$ 50,00 = R$ 135,00;
� Comprar X e Y na Farmácia 1, e Z na Farmácia 3: R$ 45,00 + R$ 40,00 + R$ 35,00 = R$ 120,00;
� Comprar X e Y na Farmácia 2, e Z na Farmácia 3: (0,8 · R$ 50,00) + (0,8 · R$ 50,00) + R$ 35,00 = R$
115,00;
� Comprar X, Y e Z na Farmácia 3: (0,8 · R$ 65,00) + (0,8 · R$ 45,00) + (0,8 · R$ 35,00) = R$ 116,00.
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Assim, o paciente deve comprar o medicamento X e Y na Farmácia 2, e o medicamentos Z na Farmácia 3,
para obter o valor mı́nimo de R$ 115,00. Portanto, a alternativa correta é a letra C.
Questão 115
Sejam x, y e z a massa de uma camiseta, uma calça e um sapato, respectivamente. Assim,{
12x+ 4y + 3z = 10
18x+ 3y + 2z = 10
Igualando as duas equações:
12x+ 4y + 3z = 18x+ 3y + 2z
y + z = 6x
Ou seja, a soma da massa de uma calça e um sapato é equivalente a massa de 6 camisas.
Reescrevendo a equação 18x+ 3y + 2z = 10 de modo conveniente:
18x+ 2y + y + z + z = 10
ou
18x+ 2y + z + (y + z) = 18x+ 2y + z + 6x = 24x+ 2y + z = 10
Logo, se a pessoa decide levar essa mala com duas calças, um sapato e o máximo de camisetas posśıveis, ela
consegue levar 24 camisetas (Alternativa B).
Questão 116
De acordo com o gráfico:
� A receita R de janeiro é de 10 milhões de reais e a despesa D é de 5 milhões. Logo, o lucro é de
10− 5 = 5 milhões.
� A receita R de fevereiro é de 20 milhões de reais e a despesa D é de 10 milhões. Logo, o lucro é de
20− 10 = 10 milhões.
� A receita R de março é de 15 milhões de reais e a despesa D é de 10milhões. Logo, o lucro é de
15− 10 = 5 milhões.
� A receita R de abril é de 20 milhões de reais e a despesa D é de 15 milhões. Logo, o lucro é de 20−15 = 5
milhões.
� A receita R de maio é de 28 milhões de reais e a despesa D é de 25 milhões. Logo, o lucro é de 28−25 = 3
milhões.
Assim, o maior lucro mensal que servirá como referência para os próximos meses é o do mês de fevereiro
(Alternativa B).
Questão 117
Em 2005, o volume de vendas do medicamento foi de 236 milhões. Em 2009, foi de 519,2 milhões. Assim
sendo, podemos calcular o aumento percentual como uma simples regra de três.
236 ·106 → 100%
519,2 ·106 → x%
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Multiplicando cruzado
x =
519, 2 · 106 · 102
236 · 106
= 2, 2 · 102 = 220%
Logo, o aumento percentual no número de vendas foi de 220− 100 = 120% (Alternativa C).
Questão 118
De acordo com o gráfico, 6 alunos tem 9 anos, 12 alunos tem 18 anos e 9 alunos tem 27 anos. Logo, a média
ponderada das idades pode ser calculada:
6 · 9 + 12 · 18 + 9 · 27
6 + 18 + 27
=
54 + 216 + 243
27
=
513
27
= 19
Portanto, a média das idades desses alunos é 19 anos (Alternativa D).
Questão 119
O menor preço para o qual pelo menos 50% dos apartamentos apresenta preço inferior a p reais é a mediana do
histograma apresentado. Para encontrar tal preço, podemos fazer uma tabela de distribuição de frequências
simples e agrupadas por classe.
Frequência simples Frequência agrupada
Classe absoluta relativa absoluta relativa
]300, 400] 5 5/105 ≈ 4,7% 5 4,7%
]400, 500] 10 10/105 ≈ 9,5% 15 14,2%
]500, 600] 5 5/105 ≈ 4,7% 20 18,9%
]600, 700] 15 15/105 ≈ 14,3% 35 33,2%
]700, 800] 20 20/105 ≈ 19% 55 52,2%
]800, 900] 15 15/105 ≈ 14,3% 70 66,5%
]900, 1000] 15 15/105 ≈ 14,3% 85 80,8%
]1000, 1100] 10 10/105 ≈ 9,5% 95 90,3%
]1100, 1200] 5 5/105 ≈ 4,7% 100 95%
]1200, 1300] 5 5/105 ≈ 4,7% 105 100%
Total 105 100%
Na sétima linha da tabela, na última coluna, vemos que a frequência agrupada relativa ultrapassa 50% na
classe ]700, 800]. Logo, o menor preço para o qual pelo menos 50% dos apartamentos apresenta preço inferior
a p é o limite superior desse intervalo, ou seja, 700 mil reais (Alternativa C).
Questão 120
Para encontrar a mediana, precisamos ordenar os números em ordem crescente ou decrescente. Neste caso,
vamos colocar em ordem crescente:
11, 11, 12, 13, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 20, 24
A mediana é o valor que fica exatamente no meio dessa lista ordenada. Como a lista tem 12 elementos, a
mediana é a média dos 6º e 7º termos. Portanto, a mediana é:
(15 + 16)
2
= 15, 5
Assim, de acordo com o pesquisador que acredita que a mediana representa bem o número anual t́ıpico de
terremotos em um peŕıodo, o número anual t́ıpico de terremotos de magnitude maior ou igual a 7 é de 15,5.
A alternativa correta é a letra (C).
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Questão 121
Para determinar o número de médicos por mil habitantes em 2020, precisamos calcular a variação média do
número de médicos e da população entre 2010 e 2020. A variação média é dada pela média aritmética das
variações de 1990 a 2000 e de 2000 a 2010.
A variação do número de médicos de 1990 a 2000 é:
292000− 219000 = 73000
A variação do número de médicos de 2000 a 2010 é:
365000− 292000 = 73000
Logo, a variação do número de médicos entre as duas décadas foi a mesma o que garante que a variação de
2010 para 2020 também será de 73000. Assim, em 2020, teremos 365000 + 73000 = 438000 médicos .
Por outro lado, a variação da população brasileira de 1990 a 2000 é de:
170000− 147000 = 23000
De 2000 a 2010 é:
191000− 170000 = 21000
Fazendo a média:
23000 + 21000
2
= 22000
Assim, a variação na população de 2010 para 2020 será de 22000 e, assim, a população em 2020 será de
191000 + 22000 = 213000.
Enfim, o número mais próximo do número de médicos por mil habitantes no ano de 2020 seria de
438000
213000
≈ 2, 06 (Alternativa D)
Questão 122
É preciso calcular o volume de água dispońıvel em cada reservatório dependendo do ńıvel de ocupação.
� Reservatório I: 20% de 105 = 21 bilhões de litros;
� Reservatório II: 30% de 100 = 30 bilhões de litros;
� Reservatório III: 50% de 20 = 10 bilhões de litros;
� Reservatório IV: 40% de 80 = 32 bilhões de litros;
� Reservatório V: 60% de 40 = 24 bilhões de litros.
Assim, o reservatório com maior volume de água nessa data foi o reservatório IV (Alternativa D).
Questão 123
Seja n o total de pessoas entrevistadas, X,Y e Z o número de pessoas em cada grupo de 10 a 24 anos, entre
24 e 60 anos e a partir de 60 anos, respectivamente. Ainda, sejam SX , SY e SZ a soma dos tempos dedicados
a leitura de cada grupo. Com isso, de acordo com o enunciado:
X + Y + Z = n
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e
SX
X
= 3;
SY
Y
= 5;
SZ
Z
= 12
Como a média do grupo inteiro é de 6 minutos:
SX + SY + SZ
n
= 6
Substituindo,
3X + 5Y + 12Z
n
= 6
Ainda,
X =
nx
100
; Y =
ny
100
; Z =
nx
100
Substituindo na equação acima,
3
nx
100
+ 5
ny
100
+ 12
nx
100
n
= 6
ou
3x
100
+
5y
100
+
12x
100
= 6 ⇒ 15x+ 5y = 600 ⇒ 3x+ y = 120
Por outro lado, x+ y + x = 2x+ y = 100. Assim,{
3x+ y = 120
2x+ y = 100
Subtraindo as duas equações, x = 20. Logo, y = 60.
Portanto, os valores de x e y do quadro são, respectivamente, iguais a 20 e 60 (Alternativa C).
Questão 124
Segundo o gráfico de frequências presente na questão, as quatro letras mais frequentes são A, E, O e S.
Fazendo a codificação dessas letras segundo a regra do exemplo fornecido com a Cifra de César, tem-se:
� Letra A → D;
� Letra E → H;
� Letra O → R;
� Letra S → V.
Assim, as quatro mais frequentes, em ordem decrescente de frequência, do texto codificado são D, H, R e V
(Alternativa C).
Questão 125
Devemos calcular a média de vendas de cada lanche dentre as três franquias. Para tal, faz-se a média entre
cada coluna da tabela.
� Lanche I:
415 + 415 + 415
3
= 415;
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� Lanche II:
395 + 445 + 390
3
= 410;
� Lanche III:
425 + 370 + 425
3
= 406, 7;
� Lanche IV:
430 + 370 + 433
3
= 411;
� Lanche V:
415 + 415 + 415
3
= 426, 6.
Portanto, como a média de vendas do Lanche V é a maior dentre todas as outras, a gerência deve incluir no
cardápio o lanche do tipo V (Alternativa E).
Questão 126
Primeiramente, é necessário calcular o faturamento anual desse supermercado, que pode ser obtido multiplicando
cada faturamento mensal pela quantidade de meses em que ele ocorreu e somando os resultados:
F = (3, 5 · 3) + (2, 5 · 2) + (5 · 2) + (3 · 4) + (7, 5 · 1) = 40, 5
Assim, a média de faturamento mensal desse supermercado é M = F
12 = 40,5
12 ≈ 3, 38. Como 2 ≤ M < 4, esse
supermercado receberá a comissão de tipo II. Portanto, a resposta correta é a letra (b) II.
Questão 127
Para determinar o jogador que precisa fazer a menor quantidade de pontos no quinto jogo para igualar a
média de pontos do melhor jogador da temporada passada, primeiro precisamos calcular a média de pontos
do melhor jogador da temporada passada.
Sabemos que o jogador do último ano teve uma média de 18 pontos por jogo nos cinco jogos finais. Portanto,
ele marcou um total de 18 · 5 = 90 pontos.
Agora, vamos calcular a média de pontos dos jogadores atuais nos quatro primeiros jogos:
Jogador I:
12 + 25 + 20 + 20
4
= 19, 25 pontos por jogo
Jogador II:
12 + 12 + 27 + 20
4
= 17, 75 pontos por jogo
Jogador III:
14 + 14 + 17 + 26
4
= 17, 75 pontos por jogo
Jogador IV:
15 + 18 + 21 + 21
4
= 18, 75 pontos por jogo
Jogador V:
22 + 15 + 23 + 15
4
= 18, 75 pontos por jogo
Agora, vamos calcular quantos pontos cada jogador precisa fazer no quinto jogo para igualar a média de 18
pontos do melhor jogador da temporada passada:
Jogador I: 90− (19, 25 · 4) = 90− 77 = 13 pontos
Jogador II: 90− (17, 75 · 4) = 90− 71 = 19 pontos
Jogador III: 90−(17, 75 · 4) = 90− 71 = 19 pontos
Jogador IV: 90− (18, 75 · 4) = 90− 75 = 15 pontos
Jogador V: 90− (18, 75 · 4) = 90− 75 = 15 pontos
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Portanto, o jogador que precisa fazer a menor quantidade de pontos no quinto jogo para igualar a média de
pontos do melhor jogador da temporada passada é o Jogador I (Alternativa A).
Questão 128
Observe que, de fato, a esperança de vida ao nascer em 2012 foi exatamente a média das registradas nos anos
de 2011 e 2013:
73, 67 + 74, 23
2
=
147, 9
2
= 73, 95
Seja E a expectativa de vida em 2014. Supondo que esse fato também ocorreu com a esperança de vida ao
nascer em 2013, em relação às esperanças de vida de 2012 e de 2014, tem-se:
E + 73, 95
2
= 74, 23 ⇒ E = 74, 51
Logo, a alternativa correta é o item B (Alternativa B).
Questão 129
O número total de candidatos inscritos nesse processo seletivo é dado pela soma do número de candidatos
por vaga em cada curso, multiplicado pelo número de vagas oferecidas para cada curso:
� Para o curso de Administração: 6 candidatos por vaga · 30 vagas = 180 candidatos.
� Para o curso de Ciências Contábeis: 6 candidatos por vaga · 40 vagas = 240 candidatos.
� Para o curso de Engenharia Elétrica: 7 candidatos por vaga · 50 vagas = 350 candidatos.
� Para o curso de História: 8 candidatos por vaga · 30 vagas = 240 candidatos.
� Para o curso de Letras: 4 candidatos por vaga · 25 vagas = 100 candidatos.
� Para o curso de Pedagogia: 5 candidatos por vaga · 25 vagas = 125 candidatos.
Somando o número de candidatos de cada curso, obtemos:
180 + 240 + 350 + 240 + 100 + 125 = 1235
Portanto, o número total de candidatos inscritos no processo seletivo é 1235 (Alternativa D).
Questão 130
Para encontrar a mediana, precisamos organizar os dados em ordem crescente e identificar o valor central.
Vamos calcular a mediana passo a passo:
1. Organizando os dados em ordem crescente: 0, 1, 2, 3, 4, 5
2. Calculando o número de observações (n):
n = 100 + 400 + 200 + 150 + 100 + 50 = 1000
3. Identificando a posição central:
Posição central =
(n+ 1)
2
=
(1000 + 1)
2
= 500, 5
4. Encontrando a mediana:
- Como o número de dados é par, a mediana será a média entre o 500◦ e o 501◦ termo.
- O 500◦ termo é 1 (pois há 100 observações de 0 e 400 observações de 1). O 500◦ termo é o último 1 do
conjunto de dados ordenado.
- Logo, O 501◦ termo é 2.
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Portanto, a mediana da quantidade de crianças por famı́lia é:
1 + 2
2
= 1, 5
Logo, a alternativa correta é o item B.
Questão 131
Como menciona o enunciado, a empresa obtém lucro quando a diferença entre receita e despesa é positiva.
Assim, isso ocorre nos meses de janeiro, março, maio, junho, julho, setembro, novembro e dezembro.
Calculamos o lucro para cada um desses meses:
� janeiro: 6− 3 = 3 milhões de reais;
� março: 3− 2 = 1 milhão de reais;
� maio: 6− 1 = 5 milhões de reais;
� junho: 5− 2 = 3 milhões de reais;
� julho: 6− 4 = 2 milhões de reais;
� setembro: 7− 4 = 3 milhões de reais;
� novembro: 8− 7 = 1 milhão de reais;
� dezembro: 6− 2 = 4 milhões de reais.
Colocando esses valores em ordem crescente:
1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5
Como temos um número par de valores, calculamos a média entre os valores medianos para encontrar a
mediana.
1, 1, 2, 3,3 , 3, 4, 5
Assim,
mediana =
3 + 3
2
= 3, 0
Logo, a alternativa correta é o item D.
Questão 132
Segundo o gráfico, a loja vendeu no setor adulto 18000 peças nos primeiros 10 dias do mês e 15000 peças
entre o dia 10 e o dia 20 desse mês. Se a variação acontecer de forma linear, nos 10 dias seguintes essa loja
deve vender 12000 peças, pois
15000− 18000 = 12000− 15000 = −3000
Ou seja, a cada 10 dias vendem-se 3000 peças a menos no setor adulto.
Para o setor infantil tem-se:
7000− 8000 = 6000− 7000 = −1000
Ou seja, a cada 10 dias vendem-se 1000 peças a menos no setor infantil. Logo, entre o dia 20 e o dia 30
venderá 6000 peças nesse setor.
Somando todas as peças que supõem serem vendidas:
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18000 + 15000 + 12000 + 8000 + 7000 + 6000 = 66000
Com isso, faltará vender 77000− 66000 = 11000 peças para que a meta fixada para o mês seja alcançada
(Alternativa C).
Questão 133
A rentabilidade do aluguel de um imóvel é calculada pela razão entre o valor mensal de aluguel e o valor de
mercado desse imóvel. Calculando a rentabilidade para cada ano:
� 2005:
630
90000
= 0, 007;
� 2007:
960
120000
= 0, 008;
� 2009:
1350
270000
= 0, 005;
� 2011:
1800
450000
= 0, 004;
� 2013:
3240
540000
= 0, 006.
Logo, a rentabilidade do aluguel foi maior no ano de 2007 (Alternativa B).
Questão 134
Primeiro, vamos calcular o salário médio mensal atual dos professores na instituição.
Existem 60 mestres com salário de R$ 8.000,00 e 40 doutores com salário de R$ 12.000,00.
O salário médio é dado pela média ponderada dos salários dos mestres e dos doutores:
Salário médio =
(
Total de mestres · Salário dos mestres
Total de professores
)
+
(
Total de doutores · Salário dos doutores
Total de professores
)
Salário médio =
(
60 · 8000
100
)
+
(
40 · 12000
100
)
Salário médio = 4800 + 4800 = 9600
Portanto, o salário médio atual dos professores é de R$ 9.600,00.
Após o aumento de 25% para os mestres, tem-se:
Novo salário médio =
(
60 · 8000 · 1, 25
100
)
+
(
40 · 12000 · x
100
)
≤ 12240
onde x− 1 é a porcentagem de aumento na forma decimal que os professores doutores devem ter.
Resolvendo a inequação: (
600000
100
)
+
(
480000x
100
)
≤ 12240
6000 + 4800x ≤ 12240
4800x ≤ 6240
x ≤ 1, 3
Logo, o aumento salarial, em porcentagem, a ser concedido aos doutores deverá ser de, no máximo, 30%
(Alternativa D).
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Questão 135
O véıculo que chegou em último lugar é o que demorou mais tempo para completar a prova. Observando
o gráfico, trata-se do véıculo que manteve a velocidade constante durante todo o peŕıodo, ou seja, cuja
velocidade é representada pela reta em destaque no gráfico abaixo. Esse véıculo completa a prova em 15
segundos.
Durante o percurso, o véıculo em questão ocupou a terceira posição até aproximadamente os primeiros 5
segundos, momento em que foi ultrapassado. Entre os 10 e 15 segundos seguintes, o véıculo foi ultrapassado
novamente e caiu para a última posição, onde permaneceu até o final da prova. Portanto, o número de
ultrapassagens realizadas por esse véıculo é zero (Alternativa A).
Questão 136
Para determinar o operário que irá minimizar os gastos da pessoa com a contratação, devemos considerar o
custo total para cada um dos operários.
O custo total é calculado somando o valor gasto com as horas trabalhadas, o valor gasto com o transporte e
o tempo necessário para a conclusão do serviço.
Assim,
Custo total = (Preço por hora · Tempo até conclusão) + Preço do transporte
Vamos calcular o custo total para cada operário:
� Operário I:
Custo total = (120× 8) + 0, 00 = 960, 00
� Operário II:
Custo total = (180× 6) + 0, 00 = 1.080, 00
� Operário III:
Custo total = (170× 6) + 20, 00 = 1.040, 00
� Operário IV:
Custo total = (110× 9) + 10, 00 = 1.000, 00
� Operário V:
Custo total = (110× 10) + 0, 00 = 1.100, 00
Portanto, o operário que a pessoa deve contratar é o Operário I, pois tem o menor custo total de contratação,
que é de R$ 960,00 (Alternativa A).
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Funções, equações e
inequações do 1° grau
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ENEM - MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
FUNÇÕES, EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 1° GRAU
Questão 1
Observando a tabela, vê-se que existe uma relação linear entre o número de bolas acrescidas no recipiente e o
ńıvel de água neste recipiente. De fato, a cada acréscimo de 5 bolas, o ńıvel deágua sobre 0,35 cm.
Veja:
� Se x = 5, y = 6, 35.
� Se x = 5 + 5 = 10, y = 6, 35 + 0, 35 = 6, 70.
� Se x = 10 + 5 = 15, y = 6, 70 + 0, 35 = 7, 05.
Com isso, por exemplo, se x = 5 − 5 = 0, y = 6, 35 − 0, 35 = 6. Logo, conclui-se que a partir do ńıvel da
água de 6 cm (x = 0) o ńıvel da água sobe 0,35 cm para cada 5 bolas acrescentadas no recipiente. Assim,
cada bola acrescentada implica em um aumento de
0, 35
5
= 0, 07 cm. Desse modo, a expressão algébrica que
permite calcular o ńıvel da água (y) em função do número de bolas (x) é:
y = 0, 07x+ 6 (Alternativa E)
Questão 2
Seja x a quantia que cada um pagaria inicialmente antes da verificação de que faltaria R$ 510,00 para arcar
com as despesas e que mais 5 pessoas entrariam no grupo. Seja, também, a despesa final representada por D.
Logo:
50 · x+ 510 = D (1)
Com a entrada de mais 5 pessoas, cada uma das 50 pessoas pagará mais R$ 7,00 e as 5 novas pessoas pagarão
também o mesmo valor. Desse modo, a divisão será feita de modo equânime. Assim:
55 · (x+ 7) = D (2)
Igualando as equações (2) e (1):
55 · (x+ 7) = 50 · x+ 510
55x+ 385 = 50x+ 510
55x− 50x = 510− 385
5x = 125
x =
125
5
x = 25
Como o valor a ser pago por cada um é x+ 7, a cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas
é 25 + 7 = 32 reais.
Logo, a alternativa correta é o item D.
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Questão 3
As variáveis relacionadas e exibidas no gráfico são a idade (em anos) e a altura (em cm). Da forma como o
enunciado traz, a altura do filho está em função de sua idade.
Como constatado, a variação da altura do filho se dava de forma mais rápida de de 0 a 10 anos do que dos 10
aos 17 anos e, a partir de 17 anos, essa variação passava a ser cada vez menor, até se tornar impercept́ıvel.
Logo, o melhor gráfico para representar este crescimento tem um segmento de reta de maior inclinação para
a idade de 0 a 10 anos e segmentos com inclinações menores que vão decrescendo a medida que os anos se
passam.
Ao comparar todos os gráficos exibidos nas diferentes alternativas, conclui-se que o melhor gráfico que
representa a altura do filho desse casal em função da idade é o gráfico presente no item A (Alternativa A).
Questão 4
O gráfico trazido na questão considera que a variação no número de favelas no munićıpio do Rio de Janeiro
entre 1980 e 2004 é linear. Pelo que é colocado, o padrão na variação no peŕıodo 2004/2012 continuará nos
próximos 6 anos e, assim, concluirá com três peŕıodos de 12 anos cada (1980/1992, 1992/2004 e 2004/2016)
representados, cada um, por um segmento de reta. Veja:
A figura acima ajuda na compreensão da questão. Nesta, o valor desconhecido é o número de favelas em
2016 desejado. Denota-se por x tal número. Como é linear o crescimento entre os anos de 2004 a 2006:
968− 750
2010− 2004
=
x− 968
2016− 2010
⇒ 218
4
=
x− 968
4
⇒ x = 1186
Logo, o número de favelas em 2016 é maior que 1150 e menor que 1200 (Alternativa C).
Questão 5
Seja x a distância alcançada no primeiro salto. Como o segundo salto é 1,2 metros menor do que o primeiro,
e o terceiro salto, 1,5 metros menor do que o segundo, a soma dos três saltos pode ser representada por
x+ (x− 1, 2) + (x− 1, 2− 1, 5) = 3x− 3, 9
Se a soma dos três saltos deve ser de 17,4 m,
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3x− 3, 9 = 17, 4
3x = 17, 4 + 3, 9
3x = 21, 4
x = 7, 1
Logo, o primeiro salto deve ser de 7,1 metros. Ou seja, estar entre 7,0 m e 8,0 m (Alternativa D).
Questão 6
Uma vez que independente da época ou variação de preço, o quilograma da fruta custe R$ 1,75, pode-se
calcular o valor m a ser pago por n kg a partir da expressão m = 1,75n. De outra forma,
m
n
= 1, 75 o
que evidencia que as variáveis quantidade e preço a pagar são diretamente proporcionais com constante de
proporcionalidade igual a 1,75. Assim, o gráfico que representa a situação é uma reta que parte da origem
com inclinação 1,75.
Logo, a alternativa correta é o item E.
Questão 7
Para o mês de fevereiro houve um acréscimo de 4 300 vagas no setor em relação a janeiro. Logo, em janeiro
haviam 880 605− 4 300 = 876 305 vagas.
Considerando que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros
meses do ano, teremos:
� janeiro: 876 305;
� fevereiro: 876 305 + 1 · 4300;
� março: 876 305 + 2 · 4300;
� abril: 876 305 + 3 · 4300;
� maio: 876 305 + 4 · 4300;
� junho: 876 305 + 5 · 4300;
Portanto, se y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os
meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona
essas quantidades nesses meses é y = 876 305 + (x− 1) · 4300. O termo x− 1 se justifica, pois em janeiro
quando x = 1 não soma-se a parcela de 4 300. Simplificando,
y = 876 305 + (x− 1) · 4 300
y = 876 305 + 4 300x− 4 300
y = 872 005 + 4 300x
Logo, a alternativa correta é o item (Alternativa C).
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Questão 8
Em relação ao valor cobrado, cada plano é composto de uma parte fixa e outra variável. O plano K tem um
valor fixo de R$ 29,90 por 200 minutos mensais e R$ 0,20 por cada minuto excedente. O plano Z tem um
valor fixo de R$ 49,90 por 300 minutos mensais e R$ 0,10 por cada minuto excedente. Com isso, o gráfico
que representa o valor pago, em reais, nos dois planos em função dos minutos utilizados é composto de uma
parte constante (reta paralela ao eixo horizontal) e uma parte variável, cuja inclinação depende do valor do
minuto excedente.
Ao analisar as alternativas dispońıveis em relação à parte constante estão corretos os itens C ou D. Nessas o
plano K apresenta um reta horizontal que intercepta o eixo vertical em R$ 29,90 durante os 200 primeiros
minutos e o plano Z intercepta o eixo vertical em R$ 49,90 durante os 300 primeiros minutos.
Ao verificar as alternativas em relação à parte variável, no entanto, a única alternativa correta é o item D.
Nessa, a inclinação da reta referente ao plano K é maior, estando de acordo com seu maior valor de tarifa
por minuto excedente. Na alternativa C, por outro lado, as inclinações são as mesmas o que equivaleria a
uma outra situação considerando a mesma tarifa excedente para ambos os planos.
Logo, a alternativa correta é o item D.
Questão 9
A primeira empresa cobrou R$ 100 000 por km constrúıdo acrescidos de um valor fixo de R$ 350 000. Logo,
se E1(n) é o valor a receber por essa empresa pelos n km constrúıdos,
E1(n) = 100 000n+ 350 000
A segunda empresa cobrou R$ 120 000 por km constrúıdo acrescidos de um valor fixo de R$ 150 000. Assim,
se E2(n) é o valor a receber pelos n km constrúıdos,
E2(n) = 120 000n+ 150 000
Como quer-se a equação que possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a
prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas, igualamos as duas expressões:
E1(n) = E2(n)
100 000n+ 350 000 = 120 000n+ 150 000
Dividindo a equação por 1000,
100n+ 350 = 120n+ 150 (Alternativa A)
Questão 10
O lucro total LT (q) é a diferença entre o faturamento total e o custo total dos q produtos produzidos e
vendidos. Logo, LT (q) = FT (q)− CT (q). Substituindo pelas expressões dadas e simplificando,
LT (q) = FT (q)− CT (q) = 5q − (2q + 12) = 3q − 12
Como quer-se que a indústria não tenha prejúızo, LT (q) ≥ 0. Assim,
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LT (q) ≥ 0
3q − 12 ≥ 0
3q ≥ 12
q ≥ 4
Portanto, a quantidade mı́nima de produtos é 4 (Alternativa D).
Questão 11
O valor de equiĺıbrio é encontrado quando a quantidade de oferta (QO) e a quantidade de demanda (QD) são
iguais. Igualando as duas equações e resolvendo,
QO = QD
−20 + 4P = 46− 2P
4P + 2P = 46 + 20
6P = 66
P = 11
Logo, o valor de equiĺıbrio é de R$ 11,00 (Alternativa B).
Questão 12
Para os 100 primeirosprodutos vendidos o vendedor ganha R$ 750,00 mais uma comissão de R$ 3,00 por
cada produto. Assim, se f(x) é o salário desse vendedor dado que x produtos foram vendidos, logo
f(x) = 750 + 3x, se 0 ≤ x ≤ 100
Caso ele venda mais de 100 produtos, sua comissão passa a ser de R$ 9,00 para cada produto vendido, a
partir do 101◦ produto vendido. Portanto, a função f(x) toma nova forma:
f(x) =
{
750 + 3x, se 0 ≤ x ≤ 100
750 + 3 · 100 + 9(x− 100), se x > 100
ou, simplificando,
f(x) =
{
750 + 3x, se 0 ≤ x ≤ 100
150 + 9x, se x > 100
Observe que a função f(x) é uma função dada por partes tendo, em cada uma, uma expressão do primeiro
grau. Como a segunda parte possui maior coeficiente angular do que a primeira (9 > 3), graficamente
tem-se para esse trecho uma reta com maior inclinação. Assim, a única alternativa correspondente é a
alternativa E.
Questão 13
A altura da coluna de água na escultura não aumenta linearmente com o tempo em cada uma de suas 3
partes. A 1◦ parte a ser completa de água, por exemplo, é um tronco de cone com a maior base voltada para
baixo. Assim sendo, a altura da coluna de água nessa parte depende da área de cada uma das posśıveis seções
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transversais nesse tronco que, por sua vez, são inversamente proporcionais ao quadrado do raio do ćırculo
que compõe essa seção. Com isso, o gráfico nesse instante é um trecho de uma parábola voltada para cima.
A 2◦ parte a ser completa de água é um cilindro. Como cada seção transversal neste cilindro resultaria em
um ćırculo de mesmo raio, a altura da coluna é diretamente proporcional ao raio e ao tempo de enchimento
nessa parte. Logo, o gráfico nesse instante é uma reta.
A 3◦ parte a ser completa de água é um tronco de cone com a maior base voltada para cima. Com isso, a
altura da coluna de água nessa parte também depende da área de cada uma das posśıveis seções transversais
nesse tronco que também são inversamente proporcionais ao quadrado do raio do ćırculo que compõe essa
seção. A diferença agora é que começamos com os ćırculos de menor raio e depois os de maior raio. Assim, o
gráfico nesse instante é um trecho de uma parábola voltada para baixo.
Logo, a alternativa correta é o item D.
Questão 14
O gráfico mostrado traz o tempo mensal (em minutos) no eixo horizontal e o valor mensal (em reais) no eixo
vertical. Como se observa, traz 5 planos diferentes de telefonia cujos valores a pagar varia linearmente com a
quantidade de minutos utilizados.
Como a pessoa pretende gastar exatamente R$ 30,00 por mês com telefone, ela deve analisar cada caso e
optar pelo mais vantajoso, ou seja, por aquele em que com o valor dispońıvel fala-se mais tempo.
Como a fatura deve atingir R$ 30,00, é útil traçar uma reta horizontal no valor a pagar igual a 30 reais. Essa
reta está em azul no gráfico.
Como se vê, essa reta intercepta quatro retas referente aos planos A, C, D e E. No plano A, R$ 30,00 daria
direito a quase 20 minutos; no plano C, teriam 30 minutos; no plano D, zero minutos e, no plano E, algo
entre 20 e 30 minutos.
Logo, o plano mais vantajoso, em tempo de chamada, para o gasto previsto para essa pessoa é o plano C
(Alternativa C).
Questão 15
Seja n a quantidade que habitualmente era comprada antes do aumento. Assim, se cada produto custava R$
10,00 e mais R$ 6,00 era levado para as eventuais despesas extras, a quantidade de dinheiro que era levada
semanalmente por ser expressa pela expressão 10n+ 6.
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Com o aumento, o produto de R$ 10,00 passa a custar 10% a mais, ou seja, R$ 12,00. Como informado no
enunciado, o dinheiro levado agora compra duas unidades a menos em relação à quantidade habitualmente
comprada. Assim,
10n+ 6 = 12(n− 2)
Resolvendo a equação:
10n+ 6 = 12(n− 2)
10n+ 6 = 12n− 24
10n− 12n = −24− 6
−2n = −30
n = 15
Logo, a quantidade inicialmente comprada era de 15 unidades e a quantia levada semanalmente pode ser
calculada:
10 · (15) + 6 = 150 + 6 = R$ 156, 00
Portanto, a alternativa correta é o item B.
Questão 16
O plano descrito no enunciado da questão sugere três faixas para cobrança dependendo do valor gasto pelo
cliente:
� um valor fixo de R$ 12,00 para os clientes que fazem até 100 ligações ao mês;
� um valor adicional de R$ 0,10 por ligação, a partir da 101a até a 300a ligação;
� um valor fixo mensal de R$ 32,00 entre 300 e 500 ligações.
Assim sendo, o gráfico que dá o valor a ser pago em função no número de minutos utilizados no mês tem três
faixas distintas:
1. uma reta paralela ao eixo horizontal (eixo x) cortando o eixo vertical (eixo y) em 12 para até 100
ligações ao mês;
2. uma reta crescente de coeficiente angular 0,10 para número de ligações entre a 101a até a 300a ligação;
3. uma reta paralela ao eixo horizontal (eixo x) cortando o eixo vertical (eixo y) em 32 entre 300 e 500
ligações.
Observando os gráficos dados, o único que melhor representa a situação descrita é o que está dispońıvel no
item B (Alternativa B).
Questão 17
O gráfico apresenta o peŕıodo de operações e variação do valor de cada ação, em reais, no decorrer do dia,
entre os peŕıodos de 10h e 17h, e a indicação dos valores ideal (Vi), mı́nimo (Vm) e ótimo (Vo).
Às 10hs, o investidor tem x ações. Como se observa, entre 10h e 11h o valor da ação supera o valor ideal (Vi)
e, assim, ele faz a primeira operação: vende metade das ações que possui, ficando com x
2 ações.
Entre 11hs e 12hs, o valor da ação fica abaixo do valor mı́nimo (Vm). Com isso, faz a segunda operação
comprando a mesma quantidade de ações que possui e volta a ter x ações novamente.
Entre 12hs e 13hs, o valor da ação supera novamente o valor ideal (Vi) e, com isso, ele faz a terceira operação:
vende metade das ações que possui, ficando novamente com x
2 ações.
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Entre 13hs e 14hs, o valor da ação supera o valor ótimo (Vo) e, então, ele vende todas as ações. Sem mais
ações, essa foi a quarta e última operação do dia.
Logo, o investidor fez 4 operações naquele dia (Alternativa B). A figura abaixo traz os 4 pontos onde as
operações foram feitas.
Questão 18
Com a dose Y administrada anteriormente para a mesma criança, é posśıvel determinar sua idade. Se x
representa a idade da criança, basta substituir os valores na fórmula.
14 =
(
x
x+ 12
)
· 42
Resolvendo,
14
42
=
(
x
x+ 12
)
1
3
=
x
x+ 12
x+ 12 = 3x
2x = 12
x = 6
Logo, a criança tem 6 anos.
Calculamos, agora, a dose do medicamento X:
dose do medicamento X =
(
6
6 + 12
)
· 60
Simplificando,
dose do medicamento X =
(
6
18
)
· 60
dose do medicamento X =
(
1
3
)
· 60
dose do medicamento X = 20
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Assim, a enfermeira deverá ministrar uma dosagem do medicamento X, igual a 20 mg (Alternativa B).
Questão 19
Seja (x; y) as coordenadas cartesianos do ponto T no mesmo sistema referencial. Observe também que a
esquina da Rua A com a Rua B (chamaremos de ponto E) tem coordenadas (550; 20).
Calculemos a distância entre os pontos P e E e os pontos Q e E:
d(P,E ) = 550− 30 = 520
d(Q,E ) = 320− 20 = 300
Como 520 > 300, o ponto de parada representado pelo ponto T ficará na Rua A. Logo, y = 20 (O ponto T
tem mesma ordenada do ponto P ).
Para determinar a abcissa do ponto T , podemos usar das distâncias d(P,E ) e d(Q,E ). Isso se justifica, pois,
T deverá ser instalado, nesse percurso, entre as paradas já existentes P e Q, de modo que as distâncias
percorridas pelo ônibus entre os pontos P e T e entre os pontos T e Q sejam iguais. Fazendo a média entre
essas distâncias,
520 + 300
2
= 410
Com isso, x = 30 + 410 = 440.
Logo, as coordenadas do novo ponto de parada são (440; 20) (Alternativa E).
Questão 20
Como a empresa tem 1200 funcionários (mais doque 1 001), precisa, de acordo com o artigo 93 da Lei n◦
8.213/91, que 5% dos seus cargos com beneficiários reabilitados ou pessoas com deficiência. No entanto, ela
só tem 10 funcionários dessa natureza.
Seja x o número mı́nimo de empregados beneficiários reabilitados ou pessoas com deficiência que ela deve
contratar. Logo, pela referida lei, 5% de (1200 + x) empregados é igual a (x+ 10) empregados. Escrevendo a
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equação:
0, 05 · (1200 + x) = x+ 10
60 + 0, 05x = x+ 10
60− 10 = x− 0, 05x
0, 95x = 50
x =
50
0, 95
x ≈ 52, 63
Assim, arredondando para cima, o número mı́nimo de empregados na condição apresentada, que deverá ser
contratado pela empresa é 53 (Alternativa E).
Questão 21
O coeficiente angular da reta de equação y = mx+ n é uma medida que descreve a inclinação da reta em
relação ao eixo x. Ele é representado pela letra ”m”e é calculado como a razão entre a diferença entre as
coordenadas y de dois pontos na reta e a diferença entre as coordenadas x destes mesmos pontos.
m =
y2 − y1
x2 − x1
onde (x1, y1) e (x2, y2) são as coordenadas genéricas desses dois pontos.
Vamos pegar dois pontos quaisquer da reta no gráfico. Você pode escolher quaisquer dois pontos. Os pontos
O = (0,0) e N = (8,16) foram os escolhidos.
Calculamos o coeficiente angular da reta que passa por esses dois pontos:
m =
16− 0
8− 0
= 2
Assim, a equação da reta que descreve a trajetória retiĺınea inicialmente pensada é y = 2x. (Obs: o coeficiente
linear n é zero, pois a reta corta o eixo y no eixo das ordenadas.)
Com a alteração da trajetória do projétil B, a nova reta que descreve sua trajetória precisará interceptar o
ponto V, que é o vértice da parábola que representa a trajetória do projétil A (seu ponto mais alto). Assim,
a nova trajetória tem o seguinte esboço:
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Calculando o coeficiente angular dessa nova reta que passa pelos pontos V e O:
m =
16− 0
4− 0
= 4
Portanto, a equação da reta que descreve a nova trajetória retiĺınea é y = 4x.
Logo, para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B deverá aumentar
em 2 unidades (Alternativa C).
Questão 22
De acordo com o gráfico, no primeiro mês há 30% do ńıvel do reservatório e no sexto mês há 10% do ńıvel.
Esses dados representam os dois pontos necessários para calcular o coeficiente angular da reta que ilustra a
relação linear entre a porcentagem do ńıvel do reservatório e o número de meses no ano.
Calculando o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (1,30) e (6,10):
m =
10− 30
6− 1
=
−20
5
= −4
Assim, o coefiente angular mostra que a cada mês o reservatório perde 4% de sua capacidade (em relação ao
total).
Como no 6◦ mês há 10% do ńıvel, no 7◦ mês haverá 10− 4 = 6% do ńıvel; no 8◦ mês haverá 6− 4 = 2% do
ńıvel e, com mais 15 dias (meio mês), o reservatório estará vazio.
Logo, o tempo mı́nimo, após o sexto mês, para que o reservatório atinja o ńıvel zero de sua capacidade é dois
meses e meio (Alternativa A).
Questão 23
A primeira bomba retirou 1000 litros de água em 1 hora, de um total de 6000 litros para 5000 litros. Desta
forma, sua vazão é de 1000 litros por hora.
Quando a segunda bomba foi ligada, juntas elas esvaziaram 5000 litros de água em 2 horas, que é o tempo
decorrido entre 3 horas e 1 hora. Logo, a vazão combinada das duas bombas é de 2500 litros por hora (5000
litros divididos por 2 horas).
Para encontrar a vazão da bomba que foi ligada no ińıcio da segunda hora, basta subtrair a vazão da primeira
bomba da vazão das duas bombas juntas. Isso permitirá obter a vazão, em litros por hora, da bomba
adicionada.
2500− 1000 = 1500 litros por hora (Alternativa C)
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Questão 24
Dado que a espessura do material (e) que reveste a parede é inversamente proporcional ao quadrado da
distância (D) até a fonte sonora, tem-se:
e ·D2 = k (3)
onde k é uma constante de proporcionalidade.
Por outro lado, uma vez que o custo do revestimento (C) é diretamente proporcional ao volume do material
do revestimento (V ), tem-se:
C
V
= q (4)
onde q é uma constante de proporcionalidade diferente de k.
Uma vez que o volume do revestimento é o produto de sua área pela sua espessura, V = A · e. Substituindo
na equação (4),
C
A · e
= q (5)
Isolando e na equação (3) na equação (5),
C
A · k
D2
= q
Simplificando:
C
Ak
D2
= q
CD2
Ak
= q
CD2
A
= qk
CD2
A
= m
onde m é o produto das constantes q e k. Substituindo o caso dado,
500 · 32
9
= m
500 · 9
9
= m
m = 500
Assim, a expressão que fornece o custo para revestir uma parede de área A (em metro quadrado), situada a
D metros da fonte sonora, é
CD2
A
= m
C =
m ·A
D2
C =
500 ·A
D2
Logo, a alternativa correta é o item B.
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Questão 25
O gerente de um estacionamento sabe que um passageiro que utiliza seu carro nos traslados casa-aeroporto-casa
gasta cerca de R$ 10, 00 em combust́ıvel nesse trajeto. Ele sabe, também, que um passageiro que não utiliza
seu carro nos traslados casa-aeroporto-casa gasta cerca de R$ 80, 00 com transporte. Suponha que os
passageiros que utilizam seus próprios véıculos deixem seus carros nesse estacionamento por um peŕıodo de
dois dias. Para tornar atrativo a esses passageiros o uso do estacionamento, o valor, em real, cobrado por dia
de estacionamento deve ser, no máximo, de:
R$ 80, 00− R$ 10, 00
2
=
R$ 70, 00
2
= R$ 35, 00
Onde R$ 70, 00 é o valor restante depois de subtrair o custo do combust́ıvel do valor gasto sem usar o próprio
carro. Assim, o valor máximo que pode ser cobrado pelo estacionamento por dia é R$ 35, 00.
Questão 26
Como a água entra no reservatório 1 a uma vazão constante e os reservatórios 1 e 2 são idênticos, em formato
de bloco retangular, a altura h do ńıvel de água no reservatório 1 é proporcional ao tempo de enchimento (ou
volume de água que entra) até o instante que a água atinge o ńıvel do cano de ligação. Observe a figura a
seguir:
Assim sendo, o primeiro trecho deve ser uma reta crescente.
Quando a água atinge o ńıvel do cano de ligação, o reservatório 2 começa a encher. Assim, enquanto o ńıvel
da água no reservatório 2 não atinge o mesmo ńıvel do reservatório 1, a altura h do ńıvel do reservatório 1
não se modifica. Com isso, graficamente temos uma reta constante nesse trecho.
Ao atingir o mesmo ńıvel de água que o reservatório 1, o reservatório 2 começa a encher junto com o
reservatório 1. Como é de se imaginar, agora a taxa de crescimento do ńıvel h de água no reservatório 1
é menor do que inicialmente, dado que o volume do reservatório é maior. Assim, o último trecho deve ser
também uma reta crescente, menos inclinada do que no primeiro trecho.
Obsrvando os gráficos presentes em cada alternativa, o único que representa corretamente a situação é o que
está contido no item D (Alternativa D).
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Questão 27
Para não aumentar o preço do suco, o comerciante precisa manter o custo de produção do suco constante,
mesmo com a alta no preço da embalagem da polpa de acerola. Para isso, ele precisa reduzir o preço da
embalagem da polpa de morango de forma que o custo total das duas polpas continue o mesmo.
Vamos calcular, primeiramente, qual é o custo de produção antes do aumento no preço da embalagem da
polpa de acerola:
custo inicial =
2
3
· 18, 00 + 1
3
· 14, 70 = 12, 00 + 4, 90 = 16, 90
Para não aumentar o preço do suco, o comerciante negociou com o fornecedor uma redução no preço da
embalagem da polpa de morango. Assim, seja x o novo preço da embalagem da polpa de morango. Como
não deve haver alteração no preço final do custo de produção:
custo após aumento = custo inicial= 10, 90 =
2
3
· x+
1
3
· 15, 30
Resolvendo a equação,
16, 90 =
2x
3
+ 5, 10
16, 90− 5, 10 =
2x
3
11, 80 =
2x
3
11, 80 · 3 = 2x
35, 40 = 2x
x = 17, 70
Portanto, a redução, em real, no preço da embalagem da polpa de morango deverá ser de R$ 18,00 − R$
17,70 = R$ 0,30 (Alternativa E).
Questão 28
Para determinar o menor custo para visitar os topos dos dois mirantes e retornar ao solo, é necessário analisar
as diferentes opções dispońıveis.
Uma opção é subir e descer pelos dois elevadores, sem utilizar o teleférico. Nesse caso, o custo seria de:
Custo elevador 1 (subir): R$ 0,15
Custo elevador 1 (descer): R$ 0,10
Custo elevador 2 (subir): R$ 1,80
Custo elevador 2 (descer): R$ 2,30
Total: R$ 4,35
Outra opção é utilizar o teleférico para ir de um mirante ao outro, e subir e descer pelo mesmo elevador.
Nesse caso, há duas possibilidades:
� Subir pelo elevador 1 e descer pelo elevador 2:
Custo elevador 1 (subir): R$ 0,15
Custo elevador 2 (descer): R$ 2,30
Custo teleférico: R$ 2,00
Total: R$ 4,45
� Subir pelo elevador 2 e descer pelo elevador 1:
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Custo elevador 2 (subir): R$ 1,80
Custo elevador 1 (descer): R$ 0,10
Custo teleférico: R$ 2,50
Total: R$ 4,40
Logo, o menor custo, em real, para uma pessoa visitar os topos dos dois mirantes e retornar ao solo é de R$
4,35 (Alternativa C).
Questão 29
Vamos analisar o percurso do elevador:
� Subiu 7 andares a partir do andar em que a criança entrou.
� Desceu 10 andares.
� Desceu mais 13 andares.
� Subiu 9 andares.
� Desceu 4 andares.
� Parou no 5º andar.
Seja x o número do andar por onde a criança entrou. Assim,
x+ 7− 10− 13 + 9− 4 = 5
Resolvendo a equação:
x+ 7− 10− 13 + 9− 4 = 5
x− 11 = 5
x = 16
Logo, a criança partiu do 16◦ andar. Com isso,
� Subiu 7 andares a partir do andar em que a criança entrou. Logo, chegou ao 16 + 7 = 23◦ andar.
� Desceu 10 andares. Logo, chegou ao 23− 10 = 13◦ andar.
� Desceu mais 13 andares. Logo, chegou ao 13− 13 = 0◦ andar (térreo).
� Subiu 9 andares. Logo, chegou ao 0 + 9 = 9◦ andar.
� Desceu 4 andares. Logo, chegou ao 9− 4 = 5◦ andar.
Se o elevador parou uma vez no último andar do edif́ıcio, isso significa que ele subiu até o último andar em
algum momento da sequência. Como se vê, o maior andar que a criança alcançou foi o 23◦ andar.
Portanto, a alternativa correta é o item C.
Questão 30
Vamos analisar a situação descrita no problema. Sabemos que a empresa pretende investir em ambos os
meios de divulgação: distribuição de panfletos na rua e anúncios na rádio local. Vamos chamar de X o valor
gasto em anúncios na rádio e de Y o valor gasto com a produção e distribuição de panfletos.
O número de pessoas alcançadas por cada meio de divulgação é dado no enunciado:
� Cada panfleto distribúıdo alcança uma pessoa;
� Cada anúncio na rádio alcança 1500 pessoas.
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Logo, se a empresa investir Y reais na distribuição de panfletos, ela alcançará 1000 · Y
180 pessoas (lembrando
que o custo é dado para cada 1000 unidades de panfletos). Se a empresa investir X reais em anúncios na
rádio, ela alcançará 1500 pessoas.
Portanto, o número total de pessoas alcançadas pela campanha publicitária será dado por:
X
120
· 1500 + Y
180
· 1000 =
150X
12
+
100Y
18
=
50X
4
+
50Y
9
Logo, a alternativa correta é o item A.
Questão 31
Vamos chamar o valor de cada parcela inicial de P , e o valor do automóvel de A. Seja N o número de
parcelas na proposta inicial da loja.
Assim, podemos escrever a equação:
N · P = A
Se o cliente decidir aumentar o prazo em 5 parcelas, o valor de cada parcela diminui em R$ 200,00. Portanto,
a nova quantidade de parcelas será (N + 5), e o valor de cada parcela será (P − 200). Temos então:
(N + 5) · (P − 200) = A
Se o cliente decidir diminuir o prazo em 4 parcelas, o valor de cada parcela aumenta em R$ 232,00. Portanto,
a nova quantidade de parcelas será (N − 4), e o valor de cada parcela será (P + 232). Temos então:
(N − 4) · (P + 232) = A
Como o valor do automóvel é o mesmo em todas as opções de pagamento, podemos igualar as três equações
acima, de duas a duas, e obter um sistemas de equações lineares de 2 incógnitas P e N .
Igualamos, primeiramente, as duas primeiras equações:
N · P = (N + 5) · (P − 200)
NP = NP − 200N + 5P − 1000
5P − 200N = 1000
P − 40N = 200
Com a primeira e última equação:
N · P = (N − 4) · (P + 232)
NP = NP + 232N − 4P − 928
4P − 232N = −928
P − 58N = −232
Logo, temos o sistema de equações {
P − 40N = 200
P − 58N = −232
Isolando P na primeira equação e substituindo na segunda:
(200 + 40N)− 58N = −232
−18N = −432
N = 24
Assim, a quantidade N de parcelas a serem pagas de acordo com a proposta inicial da loja é 24 (Alternativa B).
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Questão 32
Para determinar qual máquina o passageiro deve escolher para esperar o menor tempo posśıvel, é necessário
calcular o tempo médio de atendimento que cada máquina vai levar, levando em consideração o número de
pessoas em cada fila.
A partir das informações dadas, podemos calcular esse tempo de atendimento em cada máquina da seguinte
forma:
� Máquina 1: 35 segundos · 5 pessoas = 175 segundos;
� Máquina 2: 25 segundos · 6 pessoas = 150 segundos;
� Máquina 3: 22 segundos · 7 pessoas = 154 segundos;
� Máquina 4: 40 segundos · 4 pessoas = 160 segundos;
� Máquina 5: 20 segundos · 8 pessoas = 160 segundos;
Portanto, a máquina que apresenta o menor tempo médio de atendimento é a Máquina 2, com um tempo de
150 segundos (2 minutos e meio). Portanto, o passageiro deve se dirigir à Máquina 2 para esperar o menor
tempo posśıvel (Alternativa B).
Questão 33
Podemos dividir o gráfico em três faixas, de acordo com as faixas de consumo de água, e calcular o valor a
ser pago em cada uma delas. Seguindo como é determinado em cada faixa:
� Faixa 1: 12, 00 reais, para 0 ≤ V ≤ 6;
� Faixa 2: 3, 00 · (V − 6) + 12 = 3V − 6 reais, para 6 < V ≤ 10;
� Faixa 3: 6, 00 · (V − 10) + 12, 00 + 12, 00 = 6V − 36 reais, para 10 < V ≤ 15.
Plotando a função para cada intervalo, tem-se:
Logo, a alternativa correta é o item A.
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Questão 34
A concentração alcoólica c é dada por c = q
V , onde V é o volume de sangue presente no organismo do
indiv́ıduo. Substituindo V pelo valor numérico dado por 0, 08m, temos V = 0, 08m e, portanto, c = q
0,08m .
A concentração alcoólica prejudicial à saúde do indiv́ıduo, de acordo com a Associação Médica Americana, é
superior a 0,4 gramas por litro de sangue, ou seja, quando c > 0, 4.
Substituindo c na inequação acima, obtemos:
q
0, 08m
> 0, 4
Portanto, a expressão que relaciona q e m e representa a concentração alcoólica prejudicial à saúde do
indiv́ıduo é q
0,08m > 0, 4. A resposta correta é a letra E.
Questão 35
A empresa tem X funcionários, sendo 1 deles o gerente, que recebe R$ 1 000,00 por semana. Os outros X − 1
funcionários são diaristas que trabalham 2 dias por semana e recebem R$ 80,00 por dia trabalhado.
Assim, o gasto semanal com o gerente é de R$ 1 000,00. Já o gasto semanal com cada um dos diaristas é de
2 dias de trabalho × R$ 80,00 por dia trabalhado, ou seja, R$ 160,00. Portanto, o gasto semanal total com
os X − 1 diaristas é de (X − 1)×R$160, 00.
Logo, o gasto semanal total da empresa com seus funcionários é dado por:
Y = 1000 + (X − 1)× 160
Simplificando, temos:
Y = 160X + 840
Portanto, a alternativa correta é a letra D.
Questão 36
Inicialmente, vamos calcular o valor total do orçamento sem os descontos e aumentos propostos:
� Elaboração do projeto: R$ 10 000,00;
� Custos fixos: R$ 40 000,00;
� Área interna da piscina: R$ 2 500,00/m2 × 40 m2 = R$ 100 000,00.
Portanto, o valor total do orçamento é de R$ 150 000,00.
A construtoradecidiu reduzir o valor de elaboração do projeto em 50%, o que resulta em uma economia de
R$ 5 000,00.
Em seguida, a construtora recalculou o valor do metro quadrado para a construção da área interna da piscina,
aumentando-o em 25%. O novo valor para a construção da área interna da piscina é R$ 2 500,00/m2 × 1,25
= R$ 3 125,00/m2.
Por fim, a construtora pretende dar um desconto de x% nos custos fixos, de maneira que o novo valor do
orçamento seja reduzido em 10% em relação ao total inicial. Assim, o novo valor do orçamento será:
� Elaboração do projeto: R$ 5 000,00;
� Custos fixos com desconto: R$ 40 000,00 ×(1− x);
� Área interna da piscina: R$ 3 125,00/m2 × 40 m2 = R$ 125 000,00.
Portanto,
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(1− 0, 1) × R$ 150 000,00 = R$ 5 000,00 + R$ 40 000,00 ×(1− x) + R$ 125 000,00
ou
R$ 135 000,00 = R$ 40 000,00 ×(1− x) + R$ 130 000,00
Resolvendo a equação,
R$ 5 000,00 = R$ 40 000,00 ×(1− x)
1
8
= (1− x)
0, 125 = (1− x)
x = 1− 0, 125
x = 0, 875
x = 87, 5%
Portanto, a alternativa correta é a letra D.
Questão 37
Primeiro, precisamos calcular quanto a internet e a mensalidade escolar custarão após os acréscimos.
� A internet teve um acréscimo de 20%, então terá um aumento de:
20% de 120 reais = 0,20 · 120 = 24 reais
Portanto, o novo valor da internet será:
120 + 24 = 144 reais
� A mensalidade escolar teve um acréscimo de 10
10% de 700 reais = 0,10 · 700 = 70 reais
Portanto, o novo valor da mensalidade escolar será:
700 + 70 = 770 reais
A despesa mensal total antes dos acréscimos era:
120 + 700 + 400 = 1220 reais
A despesa mensal total após os acréscimos será:
144 + 770 + x = 1220, onde x é o novo valor da mesada.
Simplificando a equação, temos:
x = 1220− 144− 770
x = 306
Portanto, a mesada terá um valor de 306 reais.
Para calcular a redução percentual da mesada, podemos usar uma regra de três:
400 −→ 100%
306 −→ y
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Multiplicando cruzado:
400y = 30600
y =
30600
400
y = 76, 5%
Logo, a redução percentual será:
100% − 76,5% = 23,5%
Portanto, a resposta correta é a alternativa (B).
Questão 38
Se h = 16 cm, então as restrições se resumem a
|2 · 16 + b− 63, 5| ≤ 1, 5
|32 + b− 63, 5| ≤ 1, 5
|b− 31, 5| ≤ 1, 5
Assim, usando da definição de módulo,
b− 31, 5 ≤ 1, 5
ou
b− 31, 5 ≥ −1, 5
Resolveremos ambas as equações:
b− 31, 5 ≤ 1, 5
b ≥ 1, 5 + 31, 5
b ≥ 33
e
b− 31, 5 ≥ −1, 5
b ≥ −1, 5 + 31, 5
b ≥ 30
Logo, 30 ≤ b ≤ 33 (Alternativa C).
Questão 39
O volume de um ĺıquido contido no tanque T1 pode ser calculado pelo produto c ·L ·x, onde c é o comprimento,
L é a largura e x é a altura desse tanque.
Ao passar pelo aerador A1, o volume do ĺıquido é aumentado em 15%. Logo, ele sai de cLx e passa a valer
1, 15 · cLx = 1, 15cLx.
Ao passar pelo aerador A2, o volume do ĺıquido é aumentado em 10%. Logo, ele sai de 1, 15cLx e passa a
valer 1, 1 · 1, 15cLx = 1, 265cLx.
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Quando esse ĺıquido chega no tanque T2, ele é armazenado nesse novo reservatório que agora possui dimensões
diferentes do tanque T1. Podemos também calcular o volume desse ĺıquido nesse tanque pelo produto
c
2
· 2L · y = cLy.
Como todo ĺıquido é despejado no tanque T2, após ter seus volumes aumentados nos aeradores A1 e A2:
1, 265cLx = cLy
1, 265x = y
Logo, a alternativa correta é o item A.
Questão 40
A vazão de ĺıquido no interior da garrafa é constante e cessa quando atinge o ńıvel de envasamento. Dessa
forma, a altura do ĺıquido na garrafa aumenta de forma linear com o tempo até o momento em que o diâmetro
dos ćırculos obtidos pela seção transversal nessa garrafa através de um plano paralelo a sua base começam a
diminuir. Em outras palavras, isso ocorre devido ao afunilamento da garrafa.
O gráfico da opção (b) apresenta uma reta inclinada crescente até o ińıcio do afunilamento dessa garrafa e, a
partir desse ponto, uma curva ascendente, representando que a altura já não cresce mais linearmente com o
tempo devido ao afunilamento. As outras opções apresentam variações que não condizem com a situação
descrita.
Assim, o esboço de gráfico que melhor representa a variação da altura do ĺıquido em função do tempo na
garrafa indicada na imagem é o da opção (b).
Questão 41
Para resolver esse problema, vamos calcular o custo total de cada laboratório para um peŕıodo de 4 anos e
depois compará-los. Em seguida, encontraremos a economia por usuário.
Para o laboratório do tipo A, o custo total será de:
CA = 180.000 + 4× 60.000 = 420.000
Logo, dividindo esse custo pelos 100 usuários, cada um custará 4.200 reais.
Para o laboratório do tipo B, o custo total será de:
CB = 120.000 + 4× 16.000 = 184.000
Analogamente, dividindo esse custo pelos 80 usuários, cada um custará 2.300 reais.
Como o problema pede a economia por usuário, vamos subtrair o custo por usuário para cada laboratório:
Epor usuário =
CA
100
− CB
80
= 4.200− 2.300 = 1.900
Portanto, a economia da escola por usuário ao optar pelo laboratório tipo B em vez do laboratório tipo A
será de 1.900 reais ou 1,90 mil reais. Portanto, a alternativa correta é a letra E.
Questão 42
Vamos chamar o número de lavagens simples por dia de x e o número de lavagens completas por dia de
y. Sabemos que o preço da lavagem simples é de R$ 20,00 e o preço da lavagem completa é de R$ 35,00.
Portanto, a receita diária do lava-rápido pode ser representada pela seguinte equação:
20x+ 35y ≥ 300
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Precisamos descobrir o menor número inteiro de lavagens que garantirá que essa equação seja satisfeita.
Podemos testar as opções apresentadas:
� Se x = 6 e y = 0, a receita diária será de R$ 120,00;
� Se x = 0 e y = 6, a receita diária será de R$ 210,00;
� Se x = 7 e y = 0, a receita diária será de R$140,00;
� Se x = 0 e y = 7, a receita diária será de R$245,00;
� Se x = 8 e y = 0, a receita diária será de R$160,00;
� Se x = 0 e y = 8, a receita diária será de R$280,00;
� Se x = 1 e y = 8, a receita diária será de R$ 300,00;
� Se x = 0 e y = 9, a receita diária será de R$ 315,00;
� Se x = 0 e y = 10, a receita diária será de R$ 350,00.
A partir desses valores, podemos ver que a menor quantidade inteira de lavagens que garantirá a receita
diária mı́nima é de 9 lavagens completas, o que resultará em uma receita diária de R$ 315,00.
Portanto, a alternativa correta é a letra C.
Questão 43
Para resolver essa questão, precisamos calcular a quantidade de combust́ıvel consumida por cada modelo de
aeronave em um voo lotado entre as duas cidades.
Para o modelo de aeronave A, sabemos que o consumo de combust́ıvel é de 0,02 litro por quilômetro e por
passageiro, e que o voo tem uma distância de 2 000 km. Portanto, a quantidade de combust́ıvel consumida
pelo modelo de aeronave A é:
0, 02× 200× 2000 = 8000 litros
Para o modelo de aeronave B, sabemos que ele transporta 10% a mais de passageiros que o modelo A, ou
seja, transporta 200× 1, 1 = 220 passageiros. Sabemos também que o consumo de combust́ıvel por passageiro
e por quilômetro é 10% menor que o modelo A, ou seja, é de 0, 02× 0, 9 = 0, 018 litro por quilômetro e por
passageiro. Portanto, a quantidade de combust́ıvel consumida pelo modelo de aeronave B é:
0, 018× 220× 2000 = 7920 litros
Agora podemos comparar a quantidade de combust́ıvel consumida por cada modelo de aeronave. A quantidade
de combust́ıvel consumida pelo modelo de aeronave B é 7920 litros, enquanto que a quantidade de combust́ıvel
consumida pelo modelo de aeronave A é 8000 litros. Logo, a quantidade de combust́ıvel consumida pelo
modelo de aeronave B é 8000− 7920 = 80 litros menor que o modelo de aeronave A.
Como a quantidade de combust́ıvel consumida pelo modelo de aeronave B é 80 litros menor que o modelo de
aeronave A, e a quantidadede combust́ıvel consumida pelo modelo de aeronave A é de 8 000 litros, podemos
concluir que a quantidade de combust́ıvel consumida pelo modelo de aeronave B é cerca de 1% menor que o
modelo de aeronave A.
Portanto, a resposta correta é a letra B: 1% menor.
Questão 44
Podemos representar a relação entre o preço do produto (R) e o imposto devido (I) através de um gráfico
de etapas (ou step function), onde cada etapa representa um intervalo de valores de R e uma função que
determina o valor de I dentro desse intervalo.
Para a primeira etapa, onde R ≤ 5000, temos que o imposto devido é isento, ou seja, I = 0 para qualquer
valor de R dentro desse intervalo. Portanto, essa etapa corresponde a uma linha horizontal no gráfico, com
valor de I igual a zero para qualquer valor de R dentro do intervalo.
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Para a segunda etapa, onde 5000 < R ≤ 10000, temos que o imposto devido é de 10% do valor excedente a
5000. Isso pode ser representado por uma reta com inclinação de 10% a partir do ponto (5000, 0) até o ponto
(10000, 500), onde o imposto devido é igual a 10% de (10000− 5000) = 500.
Para a terceira etapa, onde 10000 < R ≤ 15000, temos que o imposto devido é de R$ 500 mais 30% do valor
excedente a R$ 10 000. Isso pode ser representado por uma reta com inclinação de 30% a partir do ponto
(10000, 500).
Logo, a única alternativa que corresponde a descrição é o item A (Alternativa A).
Questão 45
Para avaliar a eficiência da nova ração, o zootecnista precisa verificar se o coeficiente de variação da distribuição
das massas dos coelhos alimentados com a nova ração é menor do que o coeficiente de variação da distribuição
das massas dos coelhos alimentados com a ração atual.
O coeficiente de variação pode ser calculado da seguinte forma:
Para a ração atual:
CV =
s
x̄
=
1 kg
10 kg
= 0, 1
Para a nova ração:
CV =
s
x̄
=
1, 5 kg
x̄
Como o zootecnista quer que o coeficiente de variação da nova ração seja menor do que o coeficiente de
variação da ração atual, podemos igualar as expressões dos coeficientes de variação e resolver para x̄:
1, 5 kg
x̄
< 0, 1 ⇒ x̄ > 15 kg
Portanto, a substituição da ração ocorrerá se a média da distribuição das massas dos coelhos da amostra for
superior a 15 kg.
Assim, a resposta correta é a alternativa E) 15,0.
Questão 46
O preço P a ser pago pela hospedagem é composto pelo preço das diárias d · n, acrescido da taxa fixa de
limpeza L e da taxa de serviço, que é um valor percentual s calculado sobre o valor pago pelo total das
diárias d · n. Portanto, temos que:
P = d · n+ L+ d · n · s
Assim, a alternativa correta é a letra A.
Questão 47
Para determinar a expressão algébrica que descreve o salário mensal S(q) em função da quantidade de peças
vendidas q, vamos considerar os critérios mencionados.
Até a quinquagésima peça vendida, paga-se 5 reais por peça, e a partir da quinquagésima primeira peça
vendida, o valor pago é de 7 reais por peça.
Podemos dividir a expressão em duas partes, dependendo do valor de q:
� Se q ≤ 50, então o salário é dado por S(q) = 675 + 5q, pois até a quinquagésima peça vendida paga-se 5
reais por peça.
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� Se q > 50, então o salário é dado por S(q) = 675 + 5(50) + 7(q − 50) = 675 + 250 + 7q − 350 = 575 + 7q,
pois a partir da quinquagésima primeira peça vendida paga-se 7 reais por peça.
Portanto, a expressão algébrica que descreve o salário mensal S(q) em função de q é:
S(q) =
{
675 + 5q, se q ≤ 50
575 + 7q, se q > 50
Essa questão foi anulada por falta de alternativa correta.
Questão 48
Seja x o comprimento do circuito maior, em metros, e y o comprimento do circuito menor. Se percorrer 3
voltas em torno do circuito maior e 2 voltas em torno do menor, perfazem um total de 1 800 m, logo:
3x+ 2y = 1800
Sabe-se também que 2 voltas em torno do circuito maior e 1 volta em torno do menor percorrem 1100 m.
Assim,
2x+ y = 1100
Resolvendo o sistema de equações formado por essas duas equações:{
3x+ 2y = 1800
2x+ y = 1100
Multiplicando −2 na segunda equação, {
3x+ 2y = 1800
−4x− 2y = −2200
Somando as duas equações,
−x = −400 ⇒ x = 400
Logo, 2(400) + y = 1100 ⇒ y = 300 metros.
No segundo dia, ele pretende percorrer 5 000 m nos circuitos do parque, fazendo um número inteiro de voltas
em torno deles e de modo que o número de voltas seja o maior posśıvel. Assim, seja n1 o número de voltas
no circuito maior e n2 o número de voltas no menor. Logo,
n1(400) + n2(300) = 5000
Como quer-se o maior número de voltas posśıvel colocamos n2 com o maior valor posśıvel. Vejamos algumas
possibilidades:
� Se n2 = 16 e n1 = 0, então 0 · 400 + 16 · 300 = 4800;
� Se n2 = 15 e n1 = 1, então 1 · 400 + 15 · 300 = 4900;
� Se n2 = 14 e n1 = 2, então 2 · 400 + 14 · 300 = 5000.
Logo, a soma do número de voltas em torno dos dois circuitos (n1 + n2), no segundo dia, será 2 + 14 = 16
(Alternativa E).
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Questão 49
Vamos calcular o aumento na quantidade de compradores, em consequência da segunda divulgação, em
relação à primeira divulgação.
Na rede social A, o anúncio inicialmente foi visualizado por 3.000 pessoas. Desses, 10% clicaram no anúncio,
o que resulta em 300 pessoas sendo redirecionadas para o site. E, por fim, 3% dessas 300 pessoas compraram
o produto. Logo, 0, 03 · 300 = 9 pessoas compraram o produto.
Na rede social B, o anúncio inicialmente foi visualizado por 1.000 pessoas. Desses, 30% clicaram no anúncio,
o que resulta em 300 pessoas sendo redirecionadas para o site. E, por fim, 2% dessas 300 pessoas compraram
o produto. Assim, 0, 02 · 300 = 6 pessoas compraram o produto.
Agora, o responsável pelo produto decidiu investir mais R$ 300,00 em cada rede social. Vamos calcular o
aumento na quantidade de compradores.
Na rede social A, o investimento foi de três vezes o que foi investido anteriormente. Assim sendo, se a
quantidade de novas pessoas que verão o anúncio é diretamente proporcional ao investimento realizado, e que
a quantidade de pessoas que comprarão o produto também se manterá proporcional à quantidade de pessoas
que clicarão sobre o anúncio, logo 9 · 3 = 27 pessoas comprarão o produto.
Na rede social B, o investimento foi de 1,5 vezes o que foi investido anteriormente. Assim, 6 · 1, 5 = 9 pessoas
comprarão o produto.
Agora, vamos comparar o aumento na quantidade de compradores com os resultados da primeira divulgação.
Na primeira divulgação, tivemos:
� Na rede social A: 9 compradores
� Na rede social B: 6 compradores
Logo, 15 compradores.
Com a segunda divulgação:
� Na rede social A: 27 compradores
� Na rede social B: 9 compradores
Logo, 36 compradores.
Portanto, o aumento na quantidade de compradores, em consequência da segunda divulgação, em relação à
primeira divulgação, é dado por:
36
15
− 1 = 2, 4− 1 = 1, 4 = 140%
Enfim, o aumento na quantidade de compradores foi classificado como bom (Alternativa C).
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Funções, equações e
inequações do 2° grau
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ENEM - MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
FUNÇÕES, EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 2° GRAU
Questão 1
Seja x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia
com a venda do álcool. Como para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros
a mais por dia, tem-se:
V = (n° de litros vendidos) · (preço)
Como o número de litros vendidos e o preço dependem do valor de x, em centavos:
V = (10.000 + 100x) ·
(
1, 50− x
100
)
V = 15.000− 100x+ 150x− x2
V = 15.000 + 50x− x2
Logo, a alternativa correta é o item D.
Questão 2
A expressão dada calcula a temperatura T (t) em função do tempo t. É importante obervar que esta funçãoé
descrita em partes: tem-se um comportamento linear para 0 ≤ t < 100 e quadrático para t ≥ 100.
Pode-se começar, a prinćıpio, encontrando o tempo necessário para que o forno esteja a 48 ◦C. Para tal,
substitui-se T (t) por 48 na lei de formação da função para a primeira expressão:
48 =
7
5
t+ 20 ⇒ 7
5
t = 28 ⇒ t = 20
Assim, esta peça entra no forno no instante t = 20.
Para alcançar a temperatura de 200 ◦C, fazemos de igual forma. Calcula-se, agora, o valor de t para
T (t) = 200. É razoável pensar que agora tal temperatura é encontrada a partir da segunda expressão da lei
de formação. Logo,
200 =
2
125
t2 − 16
5
t+ 320
0 =
2
125
t2 − 16
5
t+ 120 (Multiplica-se a equação por 125)
0 = 2t2 − 400t+ 15000 (Divide-se por 2)
0 = t2 − 200t+ 7500
Aplicando a fórmula resolutiva (Fórmula de Bháskara),
∆ = (−200)2 − 4 · 1 · 7500
∆ = 40000− 30000
∆ = 10000
√
∆ = 100
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t1 =
−(−200) + 100
2
=
300
2
= 150
t2 =
−(−200)− 100
2
=
100
2
= 50
Como 50 < 100, t2 não serve para questão. Logo, a peça entra no forno no instante t = 20 e sai do forno no
instante t = 150. Assim, ficou 150− 20 = 130 minutos (Alternativa D).
Questão 3
Se a potência (P) de um chuveiro elétrico é dada pelo produto entre sua resistência elétrica (R) e o quadrado
da corrente elétrica (i) que por ele circula, logo
P = R · i2
O consumo de energia elétrica (E), por sua vez, é diretamente proporcional à potência do aparelho. Assim,
E = kP = k(R · i2)
onde k é uma constante de proporcionalidade. Se considerarmos uma resistência R fixa e assumirmos um
número real a = kR, o consumo de energia elétrica é dado em função da corrente e tem expressão
E(i) = a · i2
Tal função é quadrática (o gráfico é uma parábola), crescente, e com valor inicial igual a zero (E(0) = 0).
Logo, a alternativa correta é o item D.
Questão 4
A altura do ĺıquido desejada é o valor da constante C a determinar. Como, via teoria, o vértice da parábola
pode ser encontrado pela relação xv = − b
2a
, logo:
xv = − −6
2 ·
(
3
2
) =
6
3
= 2
Assim, a parábola tem o ponto (2,0) como seu vértice.
Substituindo tal ponto na lei de formação,
0 =
3
2
· (2)2 − 6(2) + C
0 =
3
2
· 4− 12 + C
0 = 6− 12 + C
C = 6
Logo, a altura do ĺıquido contido na taça é de 6 cent́ımetros (Alternativa E).
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Questão 5
Como descrito, T (t) é a temperatura do forno no instante t. Se T (t) = 39,
39 = − t2
4
+ 400
Resolvendo a equação:
t2
4
= 400− 39
t2
4
= 361
t2 = 361 · 4
t =
√
361 · 4
t = 19 · 2
t = 38
Assim, o tempo mı́nimo de espera após desligar o forno é de 38 minutos (Alternativa D)
Questão 6
A cada nota x que sofrerá, possivelmente, uma alteração, há uma nota y (ou f(x)) correspondente. Assim,
com os três exemplos listados temos a informação de três pontos que pertencem ao gráfico da função procurada.
São eles:
� A nota zero permanece zero: ponto (0,0);
� A nota 10 permanece 10: ponto (10,10);
� A nota 5 passa a ser 6: ponto (5,6).
A partir disso, é posśıvel encontrar a resposta correta por eliminação substituindo os pontos nas funções
apresentadas nas alternativas e verificando a igualdade. A função procurada é aquela que contém todos os
pontos. Vejamos:
Alternativa A: y = − 1
25
x2 +
7
5
x
� (0,0): 0 = − 1
25
· 02 + 7
5
· 0 ⇔ 0 = 0 (Verdadeiro!)
� (10,10): 10 = − 1
25
· 102 + 7
5
· 10 ⇔ 10 = −4 + 14 ⇔ 10 = 10 (Verdadeiro!)
� (5,6): 6 = − 1
25
· 52 + 7
5
· 5 ⇔ 6 = −1 + 7 ⇔ 6 = 6 (Verdadeiro!)
Alternativa B: y = − 1
10
x2 + 2x
� (0,0): 0 = − 1
10
· 02 + 2 · 0 ⇔ 0 = 0 (Verdadeiro!)
� (10,10): 10 = − 1
10
· 102 + 2 · 10 ⇔ 10 = −10 + 20 ⇔ 10 = 10 (Verdadeiro!)
� (5,6): 6 = − 1
10
· 52 + 2 · 5 ⇔ 6 = −2, 5 + 10 ⇔ 6 = 7, 5 (Falso!)
Alternativa C: y =
1
24
x2 +
7
12
x
� (0,0): 0 =
1
24
· 02 + 7
12
· 0 ⇔ 0 = 0 (Verdadeiro!)
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� (10,10): 10 =
1
24
· 102 + 7
12
· 10 ⇔ 10 =
25
6
+
35
6
⇔ 10 = 10 (Verdadeiro!)
� (5,6): 6 =
1
24
· 52 + 7
12
· 5 ⇔ 6 =
25
24
+
35
12
⇔ 6 =
95
24
(Falso!)
Alternativa D: y =
4
5
x+ 2
� (0,0): 0 =
4
5
· 0 + 2 ⇔ 0 = 2 (Falso!)
Alternativa E: y = x
� (0,0): 0 = 0 (Verdadeiro!)
� (10,10): 10 = 10 (Verdadeiro!)
� (5,6): 6 = 5 (Falso!)
Logo, a alternativa correta é o item A.
Questão 7
Se a padaria vende, em média, 100 pães especiais por dia e arrecada com essas vendas, em média, R$ 300, 00,
cada pão custa (também em média) 3 reais.
Como a quantidade q de pães vendidos depende do seu preço, q está em função de p e a expressão dada pode
também ser escrita da forma a seguir:
q(p) = 400− 100p (1)
Ainda, o lucro deve continuar o mesmo:
p · q(p) = 300 (2)
Substituindo a equação (1) em (3):
p · (400− 100p) = 300 ⇒ −100p2 + 400p− 300 = 0 ⇒ p2 − 4p+ 3 = 0
Aplicando a fórmula resolutiva (Fórmula de Bháskara),
∆ = (−4)2 − 4 · 1 · 3
∆ = 16− 12
∆ = 4
√
∆ = 2
p1 =
−(−4) + 2
2
=
6
2
= 3
p2 =
−(−4)− 2
2
=
2
2
= 1
Como é desejado o menor valor de p (para que q(p) seja maior), logo p = 1, 00 real. Assim, se cada pão custar
1 real, q(1) = 400 − 100 · (1) = 300, ou seja, serão vendidos 300 pães. Com isso, R$ 0, 50 ≤ p ≤ R$ 1, 50
(Alternativa A).
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Questão 8
Segundo o enunciado, o número de bactérias é o maior posśıvel quando a estufa atinge sua temperatura
máxima e, nesse momento, o estudante deve retirá-las da estufa. Nesse sentido, devemos encontrar o valor
máximo da função T (h) = −h2 + 22h− 85.
O valor máximo (ou mı́nimo) de uma função quadrática do tipo f(x) = ax2 + bx+ c, onde x é a variável
independente da função, depende do coeficiente a. Se a é positivo, a função é concava para cima e tem um
mı́nimo local; se a é negativo, a função é concava para baixo e tem um máximo local. O valor máximo (ou
mı́nimo) é encontrado substituindo x = −b/2a na expressão da função. De igual forma, pode-se diretamente
calcular o valor máximo ou mı́nimo a partir da expressão −∆/4a, onde ∆ = b2 − 4ac.
Fazendo da segunda maneira descrita,
∆ = 222 − 4 · (−1) · (−85) = 484− 340 = 144.
Logo,
Tmax = − 144
4 · (−1)
= 36◦
Como 30 ≤ 36 ≤ 43, a temperatura no interior da estufa está classificada como alta quando o estudante
obtém o maior número posśıvel de bactérias (Alternativa D).
Questão 9
O gráfico da função parabólica y = 9− x2 é esboçado abaixo. Junto, há também o retângulo cujas dimensões
são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.
A interseção da curva parabólica com o eixo x acontece nas ráızes da função. Fazendo 9− x2 = 0, decorre
que x2 = 9 ⇒ x = ±3. Logo, a entrada do túnel tem 3− (−3) = 6 metros.
A altura do túnel também pode ser visualizada pelo gráfico: 9 metros. Contudo, na ausência do gráfico ela
por ser encontrada pelo y vértice.
yv = −∆
4a
= −b2 − 4ac
4a
= −02 − 4 · (−1) · (9)
4 · (−1)
=
36
4
= 9
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Logo, o túnel tem base 6 e altura 9 metros.
Como a área sob uma parábola como esta é igual a 2
3 da área do retângulo cujas dimensões são, respectivamente,
iguais à base e à altura da entrada do túnel, tem-se:
2
3
· (6 · 9) = 36 m2
Logo, a alternativa correta é o item C.
Questão 10
A segunda dedetização começou no dia em que o número de infectados chegou a 1600, então precisamos
resolver a equação:
2t2 + 120t = 1600
Subtraindo 1600 dos dois lados da equação:
2t2 + 120t− 1600 = 0
Podemos usar o método da fórmula geral da equação do segundo grau (fórmula de Bháskara) para encontrar
as ráızes desta equação:
t =
−b±
√
b2 − 4ac
2a
em que a = −2, b = 120 e c = −1600.
Aplicando as fórmulas, temos:
t =
−120±
√
1202 − 4 · (−2) · (−1600)
2 · 2
t =
−120±
√
14400− 12800
4
t =
−120±
√
1600
4
t =
−120± 40
4
Logo:
t = 20 ou t = −40
Como tnão pode ser negativo (pois representa dias), temos que t = 20 é a solução. Logo, a segunda
dedetização começou no 20◦ dia da epidemia (Alternativa B).
Questão 11
Seja A a área da base do viveiro, x sua largura e y sua profundidade. Como o viveiro tem formato de prisma
reto-retangular, temos que:
A = xy
Além disso, sabemos que a tela utilizada nas laterais tem 100 metros de comprimento, o que significa que a
soma das medidas das quatro arestas laterais do prisma é igual a 100. Usando as medidas x e y, podemos
escrever:
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2x+ 2y = 100 ⇒ y = 50− x
Substituindo essa expressão para y na equação da área da base, temos:
A = xy = x(50− x) = −x2 + 50x
Para encontrar o valor máximo de A, devemos encontrar o valor de x que maximiza essa expressão. Podemos
fazer isso usando a técnica do vértice, que consiste em encontrar as coordenadas do vértice da parábola
y = −x2 + 50x.
Para isso, vamos completar quadrados na expressão da parábola:
y = −x2 + 50x = −(x2 − 50x) = −(x2 − 50x+ 625) + 625 = −(x− 25)2 + 625
Portanto, as coordenadas do vértice da parábola são (25, 625), o que significa que o valor máximo da área da
base do viveiro ocorre quando a largura é de 25 metros e a profundidade é de 25 metros (Alternativa D).
Questão 12
A força de defesa do jogador J2 é diretamente proporcional ao seu ńıvel e ao quadrado de sua experiência, ou
seja, D2 = d · n2 · (e2)2, onde d é uma constante de proporcionalidade, n2 é o ńıvel do jogador 2 e e2 a sua
experiência. Substituindo os valores n2 = 2 e e2 = 6, temos D2 = d · 2 · 62 = 72d.
A força de ataque do jogador J1 é diretamente proporcional à sua experiência e ao quadrado de seu ńıvel, ou
seja, A1 = a · (n1)
2 · e1, onde a é outra constante de proporcionalidade, n1 é o ńıvel do jogador 1 e e1 a sua
experiência. Substituindo os valores n1 = 4 e e1 = 5, temos A1 = a · 42 · 5 = 80a.
Podemos calcular as constantes de proporcionalidade de ataque e defesa (a e d) a partir das informações
iniciais. Como sabemos que os jogadores iniciam o jogo no ńıvel 1 com experiência 1 e possuem força de
ataque 2 e de defesa 1, temos:
A = a · n2 · e ⇒ 2 = a · (1)2 · 1 ⇒ a = 2;
D = d · n · e2 ⇒ 1 = d · (1)2 · 1 ⇒ d = 1;
Logo, a diferença entre a força de ataque do jogador J1 e a força de defesa do jogador J2 é dada por
A1 −D2 = 80(2)− 72(1) = 160− 72 = 88 (Alternativa B).
Questão 13
Para elaborar o gráfico da arrecadação em função do valor do desconto no preço atual dos ingressos, precisamos
determinar o número de pessoas que irão ao show para cada valor de ingresso, calcular a receita para cada
valor e plotar os pontos (valor do desconto, receita) no gráfico.
Sabemos que com o ingresso a R$ 20,00, o show atrai 200 pessoas, e que a cada redução de R$1,00 no preço do
ingresso, o número de pessoas aumenta em 40. Portanto, se o ingresso custar R$ 19,00, por exemplo, o número
de pessoas será de 240 = (200 + 40), se custar R$ 18,00, o número de pessoas será de 280 = (200 + 2× 40), e
assim por diante.
A receita será o produto do número de pessoas pelo preço do ingresso, ou seja, para um ingresso a R$
20,00, a receita será de R$ 4.000, 00 = (200 × 20). Para um ingresso a R$ 19,00, a receita será de R$
4.560, 00 = (240× 19), para um ingresso a R$ 18,00, a receita será de R$ 5.040, 00 = (280× 18), e assim por
diante.
Portanto, para um desconto de x reais, com x um número natural, o valor do ingresso é 20 − x reais e o
número de pessoas que se interessam pelo show é 200 + 40x. Logo, a arrecadação em função de x, A(x),
pode ser expressa por:
A(x) = (20− x) · (200 + 40x) = 4000 + 800x− 200x− 40x2 = −40x2 + 600x+ 4000
Observando a função quadrática que encontramos e relacionando com seu gráfico, tem-se:
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� o gráfico é uma parábola (função quadrática);
� a concavidade é voltada para baixo (a < 0);
� uma das ráızes é 20 (interseção com o eixo x).
Logo, o gráfico que mais se assemelha ao que deve ser elaborado pelo administrador é o gráfico da alternativa
E, que mostra uma parábola voltada para baixo, amostrada para valores discretos (gráfico é formado somente
de pontos), correspondente aos valores posśıveis de x como números naturais.
Questão 14
Pelo enunciado,
a∆b = a2 + ab− b2
e
a ∗ b = ab+ a
Logo:
(a∆b) ∗ (b∆a) = 0
(a2 + ab− b2) ∗ (b2 + ab− a2) = 0
(a2 + ab− b2)(b2 + ab− a2) + (a2 + ab− b2) = 0
Agora, substituindo b = 1:
(a2 + a− 1)(1 + a− a2) + (a2 + a− 1) = 0
ou
(a2 + a− 1)[(1 + a− a2) + 1)] = 0
(a2 + a− 1)(2 + a− a2) = 0
Se o produto entre dois fatores é zero, então um dos fatores é zero. Logo:
a2 + a− 1 = 0 ou 2 + a− a2 = 0
Encontrando a solução de cada equação aplicando a fórmula resolutiva (Fórmula de Bhaskara):
a1,2 =
−1±
√
12 − 4 · (1) · (−1)
2 · 1
a1,2 =
−1±
√
5
2
a1 =
−1 +
√
5
2
a2 =
−1−
√
5
2
e
a3,4 =
−1±
√
12 − 4 · (−1) · (2)
2 · (−1)
a3,4 =
−1±
√
9
−2
a3 = 2
a4 = −1
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Logo, a equação (a2 + a− 1)(2 + a− a2) = 0 tem 4 soluções: −1, 2,
−1−
√
5
2
e
−1 +
√
5
2
. As duas maiores
soluções são 2 e
−1 +
√
5
2
e, portanto, a soma dessas maiores soluções valem:
2 +
−1 +
√
5
2
=
3 +
√
5
2
A alternativa correta é o item E.
Questão 15
A função p(t) = −t2 + 10t+ 24 é uma função quadrática, e o valor máximo ocorre no vértice da parábola.
A fórmula da coordenada desse vértice é dada por (tv, p(tv)), onde tv = − b
2a e p(tv) representa o valor
máximo da função.
Nesse caso, temos a = −1 e b = 10, então podemos calcular o valor de tv:
tv = − 10
2(−1)
= − 10
−2
= 5
Agora, vamos substituir tv na função para encontrar o valor máximo:
p(tv) = −(tv)
2 + 10tv + 24 = −(5)2 + 10(5) + 24 = −25 + 50 + 24 = 49
Portanto, o valor máximo da função ocorre no mês t = 5 e a quantidade de pessoas infectadas é 49.
Assim, como 5 ≤ 5 ≤ 6, a proposta escolhida é a III (Alternativa C).
Questão 16
A função que descreve a trajetória da bola é dada por y = −x2
6 − 7x
3 + 12.
A coordenada do vértice de uma função quadrática da forma y = ax2 + bx+ c é dada por
(
− b
2a ,−
∆
4a
)
, onde
∆ = b2 − 4ac e − ∆
4a é o valor máximo (ou mı́nimo) da função.
Nesse caso, temos a = − 1
6 e b = − 7
3 . Vamos encontrar o valor máximo substituindo esses valores na fórmula:
yv = −
(
−7
3
)2
− 4 ·
(
−1
6
)
· 12
4 ·
(
−1
6
) = −
49
9
+ 8
−2
3
=
49 + 72
9
2
3
=
121
9
· 3
2
=
121
6
Portanto, o valor máximo da função é 121
6 ≈ 20, 17. Agora vamos comparar esse valor com as alturas dos
tetos dos ginásios.
� Ginásio I: Altura do teto = 17 m
O valor máximo da função é superior à altura do teto (considerando a mesma unidade de medida),
portanto, o saque desse jogador foi invalidado no ginásio I.
� Ginásio II: Altura do teto = 18 m
O valor máximo da função também é superior à altura do teto, portanto, o saque foi invalidado no
ginásio II.
� Ginásio III: Altura do teto = 19 m
O valor máximo da função ainda é superior à altura do teto, portanto, o saque foi invalidado no ginásio
III.
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� Ginásio IV: Altura do teto = 21 m
O valor máximo da função é inferior à altura do teto. Contudo, ainda temos que considerar a altura da
bola em relação ao eixo x (das abscissas) que está localizado a 1,5 m do piso da quadra. Assim, o saque
atinge a altura de aproximadamente 20, 17 + 1, 5 = 21, 57 metros e, com isso, foi também invalidado no
ginásio IV.
� Ginásio V: Altura do teto = 40 m
O valor máximo da função mais a altura da bola em relação ao eixo x é inferior à altura do teto. Logo,
o saque não foi invalidado no ginásio V.
Portanto, o saque desse jogador foi invalidado apenas no ginásio I, II, III e IV. Logo, a alternativa correta
é o item D.
Questão 17
Vamos determinar quantas vezes a velocidadedo pistão se anulou durante as 10 horas de funcionamento da
máquina.
A expressão que relaciona a velocidade V do pistão com a temperatura T é dada por V = T 2 − 4.
Para encontrar os valores de T em que V = 0, podemos igualar a expressão a zero e resolver a equação:
T 2 − 4 = 0
Adicionando 4 em ambos os lados da equação, temos:
T 2 = 4
Tomando a raiz quadrada em ambos os lados, obtemos:
T = ±2
Portanto, a velocidade do pistão se anula quando a temperatura T é igual a 2 ou −2.
No gráfico fornecido, podemos ver que a curva da temperatura intercepta as linhas T = 2 ou T = −2 em
cinco momentos.
Portanto, a alternativa correta é o item E.
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Funções, equações e
inequações exponenciais e
logarítmicas
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ENEM - MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
FUNÇÕES, EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
Questão 1
Omodelo exponencial fornecido estima a população com 60 anos ou mais de idade nos páıses em desenvolvimento
entre 2010 e 2050. Como observado, x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim
sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x. Assim sendo, a estimativa para o
ano de 2030 é encontrada calculando y para x = 30:
y(30) = 363e0,03·30
Por outro lado, o cálculo da exponencial e0,03·30 não pode ser realizado sem o uso de uma calculadora. Para
contornar este impasse, precisamos aproveitar o valor fornecido e0,3 = 1, 35.
Assim,
y(30) = 363e0,03·30 = 363e0,03·10·3 = 363e0,3·3 = 363(e0,3)3 = 363 · 1, 353 ≈ 893
Logo, a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre 870 e 910 milhões (Alternativa E).
Questão 2
A fórmula dada Mw = −10, 7 +
2
3
log10(M0) permite encontrar Mw em função de M0. Por outro lado,
conhecendo Mw é posśıvel encontrar M0. Se Mw = 7, 3,
7, 3 = −10, 7 +
2
3
log10(M0)
7, 3 + 10, 7 =
2
3
log10(M0)
18, 00 =
2
3
log10(M0)
27, 00 = log10(M0)
Aplicando a definição de logaritmo, M0 = 1027,00 (Alternativa E).
Questão 3
Seja mc a massa desse indiv́ıduo na infância. Se Ac é sua área de superf́ıcie corporal, então Ac = k · (mc)
2
3 .
Seja ma a massa desse mesmo indiv́ıduo na maioridade. Se com a maioridade sua massa é multiplicada por
8, logo ma = 8mc. Substituindo na fórmula,
Aa = k · (ma)
2
3 = k · (8mc)
2
3 = k · 8 2
3 · (mc)
2
3 = k · 3
√
64 · (mc)
2
3 = 4 · k · (mc)
2
3 = 4Ac
Assim, a área corporal com a maioridade (Aa) é quatro vezes maior do que a área corporal na infância (Ac).
Logo, a alternativa correta é o item B.
Questão 4
Segundo a questão, A é a massa inicial do césio-137 e M(t) a massa após t minutos. Como o texto diz que a
meia-vida do césio-137 é 30 anos, logo M(30) =
A
2
. Substituindo,
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A
2
= A · (2, 7)k·30
1
2
= (2, 7)30k
2−1 = (2, 7)30k
Aplicando logaritmo nos dois lados,
log 2−1 = log(2, 7)30k
Aplicando as propriedades do logaritmo,
− log 2 = 30k · log 2, 7
−0, 3 = 30k · log 2, 7
− 0, 3
30 · log 2, 7
= k
k = − 1
100 · log 2, 7
Como quer-se saber o tempo para que a massa seja reduzida a 10% da massa inicial, M(t) =
A
10
. Substituindo
na função,
A
10
= A · (2, 7)
−
t
100 · log 2, 7
1
10
= (2, 7)
−
t
100 · log 2, 7
log
1
10
= log(2, 7)
−
t
100 · log 2, 7
log 10−1 = − t
100 ·����log 2, 7
·����log(2, 7)
−1 = − t
100
t = 100
Logo, o tempo necessário é de 100 anos (Alternativa E).
Questão 5
Sejam x1 e x2 as abcissas dos pontos A e B, como mostrado na figura abaixo.
Como o eixo x sempre divide ao meio a altura h do vidro e a base do vidro é paralela ao eixo x, log x2 = − log x1
e, com isso, log(x1 + n) = − log x1 ou log(x1 + n) + log x1 = 0.
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Aplicando a propriedade dos logaritmos que diz que o logaritmo do produto é a soma dos logaritmos (ao
contrário),
log(x1 + n) + log x1 = 0
log(x1(x1 + n)) = 0
log(x2
1 + x1n) = 0
x2
1 + x1n = 100
x2
1 + x1n = 1
x2
1 + nx1 − 1 = 0
Aplicando a fórmula resolutiva (Fórmula de Bháskara),
∆ = (n)2 − 4 · 1 · (−1)
∆ = n2 + 4
x1 =
−n±
√
n2 + 4
2
Contudo, como n e x1 são positivos, a única solução posśıvel é x1 =
−n+
√
n2 + 4
2
.
Ainda, log(x1 + n) =
h
2
. Assim,
log(x1 + n) = log
(
−n+
√
n2 + 4
2
+ n
)
= log
(
n+
√
n2 + 4
2
)
=
h
2
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Logo,
h = 2 log
(
n+
√
n2 + 4
2
)
(Alternativa E)
Questão 6
A temperatura da liga diminui 1% a cada 30 minutos, então ela perde 0, 01 vezes sua temperatura original a
cada 30 minutos.
Como a liga sai do forno a 3000 ◦C, depois de t minutos, sua temperatura será 3000 · (1 − 0, 01)
t
30 =
3000 · (0, 99) t
30 .
Vamos calcular o tempo em que a temperatura da liga atingirá 30 ◦C. Então, temos:
30 = 3000 · (0, 99) t
30
30
3000
= (0, 99)
t
30
1
100
= (0, 99)
t
30
0, 01 = (0, 99)
t
30
Aplicando log dos dois lados da equação
log 0, 01 = log(0, 99)
t
30
−2 =
t
30
log(0, 99)
−60
t
= log(99)− log(100)
−60
t
= log(32 · 11)− log(100)
−60
t
= 2 log(3) + log(11)− log(100)
−60
t
= 0, 954 + 1, 041− 2
−60
t
= −0, 005
−60
−0, 005
= t
t = 12000
Finalmente, convertendo de minutos para horas:
12000 min =
12000
60
= 200 horas
Logo, o tempo decorrido até que a liga atinja 30 ◦C é de aproximadamente 200 horas (Alternativa D).
Questão 7
Podemos usar a equação M = 2/3 · log E
E0
para encontrar a relação entre as energias liberadas nos dois
terremotos. Primeiro, vamos calcular as magnitudes dos dois terremotos:
M1 = 2/3 · log(E1/E0)
M2 = 2/3 · log(E2/E0)
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Sabemos que M1 = 9, 0 e M2 = 7, 0, então podemos calcular as energias liberadas pelos dois terremotos.
Para M1,
9 = 2/3 · log(E1/E0)
27
2
= log(E1)− log(E0)
log(E0) = log(E1)−
27
2
Para M2,
7 = 2/3 · log(E2/E0)
21
2
= log(E2)− log(E0)
log(E0) = log(E2)−
21
2
Finalmente, podemos comparar as energias liberadas pelos dois terremotos igualando log(E0) :
log(E1)−
27
2
= log(E2)−
21
2
log(E1)− log(E2) = −21
2
+
27
2
log
(
E1
E2
)
= 3
103 =
E1
E2
E1 = 103 · E2
Portanto, a alternativa correta é o item C.
Questão 8
Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 min, a população será duplicada, pois:
p(20 min) = 40 · 23· 20 min
60 min
= 40 · 21
= 40 · 2
= 80 mil.
Comparando com a quantidade inicial de 40 mil unidades, vemos que após 20 minutos a população de
bactérias dobrou (Alternativa D).
Questão 9
O gráfico que representa a função y traz dois pontos: (0; 0, 5) e (6; 32). Isso quer dizer que no instante inicial
(t = 0) a muda tem altura 0,5 metros e que, após 6 anos, ela atinge a altura de 32 metros. Ao substituir um
dos pontos dados na lei de formação da função, encontramos o valor da constante a.
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Ponto (0; 0, 5):
0, 5 = a(0−1)
0, 5 = a−1
0, 5 =
1
a
a =
1
0, 5
a = 2
O próximo passo é descobrir qual o valor de t tem imagem 7, 5 + 0, 5 = 8 pela função. Isso se explica,
pois, como a planta ja tem 0,5 metros e o corte acontecerá após crescerem 7,5 m após o plantio, o corte
deverá ocorrer quando a planta atingir 8 metros. Assim sendo, queremos saber a abcissa do ponto (t; 8).
Substituindo:
8 = 2(t−1)
23 = 2(t−1)
3 = t− 1
t = 4
Logo, o tempo entre a plantação e o corte, em ano, é igual a 4 anos Alternativa B.
Questão 10
Para encontrar o número de prestações n que satisfazem a condição do valor máximo de R$ 400,00 por
prestação, precisamos fazer alguns cálculos com a fórmula dada. Substituindo os valores dados:
P =
5.000× 1, 013n × 0, 013
(1, 013n − 1)
=
65 · 1, 013n
1, 013n − 1
Sabemos que P ≤ 400, então:
65 · 1, 013n
1, 013n − 1
≤ 400
65 · 1, 013n ≤ 400 · (1, 013n − 1)
65 · 1, 013n ≤ 400 · 1, 013n − 400
400 ≤ 335 · 1, 013n
400
335
≤ 1, 013n
log(400/335) ≤ log(1, 013n)
log 400− log 335 ≤ n · log1, 013
2, 602− 2, 525 ≤ n · 0, 005
0, 077 ≤ n · 0, 005
n ≥ 0, 077
0, 005
n ≥ 15, 4
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Assim, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é 16
(Alternativa D).
Questão 11
A primeira das parcelas a ser antecipada junto com a 30a parcela deverá ter um desconto de pelo menos 25%
do valor presente dessa parcela. Suponhamos exatos 25%. Assim,
P = (1− 0, 25) · V ⇒ P = 0, 75 · V
Substituindo também i =
1, 32
100
= 0, 0132 na fórmula V = P · (1 + i)
n
e resolvendo a equação,
V = 0, 75 · V · (1 + 0, 0132)
n
1 = 0, 75 · (1, 0132)n
1 =
3
4
· (1, 0132)n
4
3
= (1, 0132)n
Aplicando logaritmo natural nos dois lados da equação:
ln
4
3
= ln(1, 0132)n
Usando as propriedades dos logaritmos e substituindo os valores dados:
0, 2877 = n · 0, 0131
n =
0, 2877
0, 0131
≈ 21, 96
Logo, a 22a a partir da 30a parcela tem um desconto de pelo menos 25%. Assim, trata-se da 30 + 22 = 52a
parcela (Alternativa C).
Questão 12
Sejam N(t) o número de transistores no tempo t e N0 o número de transistores em 1986. Assim, como o
número de transistores por cent́ımetro quadrado dobra a cada dois anos,
N(t) = N0 · 2t/2
Sabe-que o número de transmissores em 1986 era de 100 000. Logo, N0 = 105.
Quer-se saber qual o tempo t para que o número de transmissores chegue a 100 bilhões ou 1011. Com isso,
1011 = 105 · 2t/2
Resolvendo:
1011
105
= 2t/2
106 = 2t/2
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Aplicando logaritmo nos dois lados da equação e as propriedades dos logaritmos:
log 106 = log 2t/2
6 log 10 =
t
2
· log 2
6 · 1 =
t
2
· 0, 3
6 =
0, 3t
2
t =
12
0, 3
t = 40
Assim, há de passar 40 anos após 1986, ou seja, o ano de 2026 (Alternativa D).
Questão 13
Para produzir a Hydrangea cor-de-rosa mais valorizada comercialmente, deve-se preparar o solo de modo que
o pH seja superior a 7 e inferior a 8. Sabendo que pH = − log10 x, para produzir a Hydrangea cor-de-rosa de
maior valor comercial, deve-se preparar o solo de modo que x assuma
7 < − log10 x < 8.
Resolvendo cada inequação separadamente:
7 < − log10 x ⇒ −7 > log10 x ⇒ 10−7 > x ou x < 10−7
− log10 x < 8 ⇒ log10 x > −8 ⇒ 10−8 < x ou x > 10−8
Assim:
10−8 < x < 10−7
Portanto, a resposta correta é valores maiores que 10−8 e menores que 10−7 (Alternativa E).
Questão 14
Substituindo os valores dados na fórmula Ms = 3, 30 + log(A.f), temos:
Ms = 3, 30 + log(2000 µm · 0, 2 Hz)
= 3, 30 + log(400 µm ·Hz)
= 3, 30 + log(4 · 102 µm ·Hz)
= 3, 30 + log 4 + log 102
= 3, 30 + log 22 + log 102
= 3, 30 + 2 · log 2 + log 102
= 3, 30 + 0, 60 + 2
= 5, 90
O valor obtido para Ms é maior ou igual a 5,0 e menor ou igual a 5,9, portanto, o terremoto pode ser descrito
como “Moderado”. A resposta correta é a alternativa C.
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Questão 15
Seja X = x6 o IDH do primeiro páıs para um certo valor x entre zero e um. Assim, teremos:
� O primeiro páıs terá um IDH de x6
� O segundo páıs terá um IDH de x3
� O terceiro páıs terá um IDH de x2
� O quarto páıs terá um IDH de x12
� O quinto páıs terá um IDH de x18
Como nenhum dos páıses atingiu o ı́ndice máximo e, além disso, nenhum páıs zerou, então:
0 < x18 < x12 < x6 < x3 < x2 < x < 1
pois 0 < x < 1.
Assim, podemos ver que x2 é o maior valor, e portanto, o terceiro páıs obteve o maior IDH.
Logo, a alternativa correta é o item C.
Questão 16
Se X = log(r) e Y = log(f), então:
10X = r e 10Y = f
Substituindo na Lei de Zipf:
f =
A
rB
⇒ 10Y =
A
(10X)B
⇒ 10Y =
A
10X·B
Aplicando logaritmos dos dois lados da última equação e aplicando as propriedades operatórias dos logaritmos:
log 10Y = log
(
A
10X·B
)
Y · log 10 = logA− log 10X·B
Y · log 10 = logA−X ·B · log 10
Y = logA−BX
Portanto, a alternativa correta é o item A.
Questão 17
Para encontrar o fóssil mais antigo, devemos encontrar o que tem mais tempo de morte, ou seja, o que tem
a menor quantidade de carbono 14 em relação ao Q0. Podemos usar a fórmula Q(t) = Q0 · 2−
t
5730 para
encontrar o tempo t decorrido desde a morte do organismo.
Para isso, vamos isolar t na fórmula:
Q(t) = Q0 · 2−
t
5730
Q(t)
Q0
= 2−
t
5730
ln
(
Q(t)
Q0
)
= ln
(
2−
t
5730
)
ln
(
Q(t)
Q0
)
= − t
5730
· ln(2)
t = − 5730
ln(2)
· ln
(
Q(t)
Q0
)
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Agora, basta calcular o valor de t para cada fóssil e verificar qual tem o maior valor de t (o que indica que o
organismo morreu há mais tempo).
� Fóssil 1: t1 = − 5730
ln(2)
· ln
(
32
128
)
= − 5730
ln(2)
· ln
(
25
27
)
= − 5730
ln(2)
· ln 2−2 = −5730
��ln 2
· −2 ·��ln 2 = 11460
� Fóssil 2: t2 = − 5730
ln(2)
· ln
(
8
256
)
= − 5730
ln(2)
· ln
(
23
28
)
= − 5730
ln(2)
· ln 2−5 = −5730
��ln 2
· −5 ·��ln 2 = 28650
� Fóssil 3: t3 = − 5730
ln(2)
· ln
(
64
512
)
= − 5730
ln(2)
· ln
(
26
29
)
= − 5730
ln(2)
· ln 2−3 = −5730
��ln 2
· −3 ·��ln 2 = 17190
� Fóssil 4: t4 = − 5730
ln(2)
· ln
(
512
1024
)
= − 5730
ln(2)
· ln
(
29
210
)
= − 5730
ln(2)
· ln 2−1 = −5730
��ln 2
· −1 ·��ln 2 = 5730
� Fóssil 5: t5 = − 5730
ln(2)
· ln
(
128
2048
)
= − 5730
ln(2)
· ln
(
27
211
)
= − 5730
ln(2)
· ln 2−4 = −5730
��ln 2
· −4 ·��ln 2 = 22920
Assim,
Fóssil Q0 Q(t) t (anos)
1 128 32 11460
2 256 8 28650
3 512 64 17190
4 1024 512 5730
5 2048 128 22920
Portanto, o fóssil mais antigo encontrado foi o número 2 (Alternativa B).
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Funções, equações e
inequações trigonométricas
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ENEM - MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
FUNÇÕES, EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Questão 1
Quer-se o maior e menor valor da função r(t) dada. O menor valor corresponde ao periélio e, o maior valor,
ao afélio.
A função r(t) é dada em termos de uma fração onde o numerador é constante e a variável t está no denominador.
Logo, o maior valor da função ocorre quando 1 + 0, 15× cos(0, 06t) é menor posśıvel.
Tratando-se de uma soma, a expressão 1 + 0, 15 × cos(0, 06t), por sua vez, é menor posśıvel quando
0, 15 × cos(0, 06t) é menor posśıvel. Por sua vez, 0, 15 × cos(0, 06t) é menor posśıvel quando cos(0, 06t) é
menor posśıvel.
Dado que a função trigonométrica cosseno assume valores entre −1 e 1, o menor valor da função ocorre
quando cos(0, 06t) = −1. Isto implica,
r(t) =
5865
1 + 0, 15× (−1)
=
5865
1− 0, 15
=
5865
0, 85
= 6900
Por outro lado, usando argumentos análogos, o maior valor da função ocorre quando cos(0, 06t) = 1. Com
isso,
r(t) =
5865
1 + 0, 15× 1
=
5865
1 + 0, 15
=
5865
1, 15
= 5100
Logo, o periélio é de 5100 km e o afélio 6900 km. Assim, S = 5100 + 6900 = 12000 km (Alternativa B).
Questão 2
A função cosseno tem imagem no intervalo [−1, 1]. Em outras palavras, o maior valor assumido pela função é
1 e o menor é −1.
Como é desejado conhecer o mês de produção máxima, P (x) deve ser o menor posśıvel e isso implica que
cos
(
π · x− π
6
)
seja -1. Do ćırculo trigonométrico, o cosseno de um ângulo vale −1 para ângulos da forma
(2n+ 1)π com n ∈ Z. Assim,
π · x− π
6
= (2n+ 1)π
Resolvendo para x,
π · x− π
6
= (2n+ 1)π
π(x− 1)
6
= (2n+ 1)π
(x− 1) = 12n+ 6
x = 12n+ 7
Uma vez que 1 ≤ x ≤ 12, n = 0 e x = 7. Portanto, o mês de produção máxima desse produto é julho
(Alternativa D).
Questão 3
Primeiramente, é importante notar que o número de batimentos card́ıacos por minuto é igual a 90, o que
significa que o número de batimentos card́ıacos por segundo é 90/60 = 3/2.
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A partir dos dados fornecidos, podemos encontrar alguns parâmetros da função P (t).
Sabemos que a pressão mı́nima é 78 e a pressão máxima é 120, o que significa que a amplitude da função é
B = (120− 78)/2 = 21. Também sabemos que a pressão média é (120 + 78)/2 = 99,o que significa que o
valor de A na função é 99.
Para encontrar o valor de k, precisamos levar em conta o fato de que um batimento card́ıaco representa o
intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões máximas. Isso significa que o peŕıodo da função é igual ao
tempo de um batimento card́ıaco, ou seja, T = 1/(3/2) = 2
3 segundos. O peŕıodo está relacionado com k por
meio da fórmula T = 2π
k . Substituindo os valores conhecidos, temos:
2
3
=
2π
k
=⇒ k = 3π
Portanto, a função P (t) obtida pelo cientista ao analisar o caso espećıfico é:
P (t) = 99 + 21 · cos(3πt)
(Alternativa A)
Questão 4
Como o gráfico da função f contém o ponto (0, 88), o ponto A, que representa uma das cadeiras da
roda-gigante, ou o seu centro (ponto O), encontram-se a 88 metros do solo.
Quanto t =
π
2
, o ponto A deslocou-se 90 graus no sentido anti-horário e encontra-se no lugar mais alto da
roda gigante. Observando no gráfico, vê-se que agora dista 168 metros do solo. Assim, o raio da roda gigante
é de 168− 88 = 80 metros.
Como o interesse da função periódica é a variação no comprimento vertical do ponto em relação a um ângulo
dado, temos que utilizar a função seno. Observe, por exemplo, que sen(0) = 0 vai nos garantir que a altura
do ponto A em relação ao solo seja a própria altura do ponto O e que sen
(π
2
)
= 1, por outro lado, garante a
altura máxima.
Assim:
� f(0) = 80 · sen(0) + 88 = 80 · 0 + 88 = 88 (A está no lugar inicial)
� f
(π
2
)
= 80 · sen
(π
2
)
+ 88 = 80 · 1 + 88 = 168 (A está na altura máxima)
� f(π) = 80 · sen(π) + 88 = 80 · 0 + 88 = 168 (A está novamente na mesma altura do ponto O)
� f
(
3π
2
)
= 80 · sen
(
3π
2
)
+ 88 = 80 · (−1) + 88 = 8 (A está na altura mı́nima)
Logo, a expressão da função altura é f(t) = 80sen(t) + 88 (Alternativa A).
Questão 5
Para que h(t) = 6, tem-se que sen
(
βt
2
− π
2
)
=
1
2
⇒
(
βt
2
− π
2
)
=
π
6
+ 2kπ ou
(
βt
2
− π
2
)
=
5π
6
+ 2kπ. Da
primeira igualdade, (
βt− π
2
)
=
π
6
+ 2kπ(
3(βt− π)
6
)
=
π + 12kπ
6(
3βt− 3π
6
)
=
π(1 + 12k)
6
3βt− 3π = π(1 + 12k)
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Se k = 0 (primeira volta):
3βt− 3π = π
Isolando βt:
βt =
4π
3
Da segunda igualdade, (
βt− π
2
)
=
5π
6
+ 2kπ(
3(βt− π)
6
)
=
5π + 12kπ
6(
3βt− 3π
6
)
=
π(5 + 12k)
6
3βt− 3π = π(5 + 12k)
Se k = 0 (primeira volta):
3βt− 3π = 5π
Isolando βt:
βt =
8π
3
Fazendo k = 1 novamente na primeira igualdade:
3βt− 3π = 13π
Isolando βt:
βt =
16π
3
Como
16π
3
>
8π
3
>
4π
3
, t deve ser um valor entre 0 e 4 e deve-se considerar π = 3:
0 < t =
16π
3 · β
=
16
β
< 4 ⇒ β > 4
Assim, conclui-se que o menor valor inteiro a ser atribúıdo ao parâmetro β, de forma que o motor a ser
constrúıdo tenha boa potência, é 5 (Alternativa D).
Questão 6
A posição inicial da mola no instante zero (t = 0) é a posição da mola distendida. Comparando com o gráfico,
vê-se que essa posição corresponde a P = −3 cm, ou seja, P (0) = −3. Ainda, do gráfico, observa-se que a
amplitude da onda que representa essa curva no gráfico é 3. Ou seja, A = 3.
O peŕıodo (T) de uma onda é medido em segundos (s) e representa o tempo necessário para que um ciclo
completo da onda ocorra. Como é posśıvel notar no gráfico, um ciclo completo ocorre a cada π segundos.
Assim, podemos calcular a frequência:
ω =
2π
T
=
2π
π
= 2
Logo, a expressão procurada é do tipo P (t) = ±3 cos(2t) ou P (t) = ±3 sen(2t).
Como sabemos que P (0) = −3, testaremos os dois casos:
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� P (0) = ±3 cos(2 · 0) = ±3 = −3;
� P (0) = ±3 sen(2 · 0) = 0 ̸= −3
Portanto, a expressão algébrica que representa as posições P (t) da massa m, ao longo do tempo no gráfico, é
P (t) = −3 cos(2t) (Alternativa A).
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Geometria analítica
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ENEM - MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
GEOMETRIA ANALÍTICA
Questão 1
O primeiro passo para a resolução pode ser marcar o ponto P no gráfico. Como tal ponto representa a
localização do hospital público que deve distar 5 km ou menos da estação do metrô, cabe também desenhar
um ćırculo de raio 5 com centro no ponto P. Veja:
O passo seguinte é analisar quais das alternativas descritas na questão traz um ponto que pertence à reta
y = x+4 dada e é interno ao ćırculo proposto. Se esse ponto faz parte da reta e do ćırculo, logo sua distância
ao ponto P é menor do que 5 km.
Analisando a figura, o único ponto interno ao ćırculo que pertence à reta é o ponto B = (−3, 1). Logo, a
alternativa correta é o item B.
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Questão 2
Ao desenhar no plano cartesiano cada um dos 5 conjuntos algébricos descritos, obtém-se uma figura geométrica
que representa a cabeça, olhos, nariz ou boca da figura desenhada pelo professor. Analisemos cada um dos
conjuntos.
� Conjunto I: Circunferência de equação x2 + y2 = 9.
A equação descreve uma circunferência de centro (0, 0) e raio 3. De fato, basta comparar a equação
dada com a equação canônica da circunferência (x− x0)
2 + (y − y0)
2 = r2, onde (x0, y0) é o centro da
circunferência e r é o seu raio.
� Conjunto II: Parábola de equação y = −x2 − 1, com x variando de −1 a 1.
Comparando com a forma canônica y = ax2 + bx+ c, os coeficientes a, b e c são, respectivamente, −1, 0
e −1. Assim, trata-se de uma parábola com concavidade voltada para baixo (a < 0), eixo das ordenadas
como eixo de simetria (b = 0) e que intercepta esse eixo no ponto (0,−1).
� Conjunto III: Quadrado formado pelos vértices (−2, 1), (−1, 1), (−1, 2) e (−2, 2.).
� Conjunto IV: quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2).
� Conjunto V: ponto (0, 0).
Cada conjunto descrito está mostrado na figura abaixo.
Logo, a alternativa correta é o item E.
Questão 3
A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos. Seja V o tempo que
a luz vermelha fica acessa em cada ciclo.
Como a luz verde permanece acesa em 2
3 do tempo que a luz vermelha fica acesa, logo:
2V
3
= X
ou,
V =
3X
2
(1)
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Se cada ciclo completo compreende o acendimento de cada uma das luzes, a soma do tempo gasto por cada
luz é igual ao tempo gasto no ciclo. Assim,
X + 5 + V = Y
Substituindo a equação 1,
X + 5 +
3X
2
= Y
Ajeitando todos os termos do lado esquerdo da equação e simplificando,
X + 5 +
3X
2
= Y
X + 5 +
3X
2
− Y = 0
2X + 10 + 3X − 2Y = 0
5X − 2Y + 10 = 0
Logo, a alternativa correta é o item B.
Questão 4
Ao ligar os pontos A, B e C, encontramos um triângulo de vértices A, B e C. O ponto equidistante aos
vértices é o circuncentro do triângulo, que é o encontro de duas suas mediatrizes.
O circuncentro pode ser observado no gráfico, ou ainda, encontrado analiticamente. Vejamos como isso é
posśıvel.
Seja P Ponto pelo qual a mediatriz do lado AB passa. Como ela divide o lado pelo seu ponto médio,
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P =
(
30 + 70
2
,
20 + 20
2
)
= (50, 20)
O gráfico mostra o ponto P encontrado:
Observando, a mediatriz relativa ao lado AB está sobre a reta x = 50.
Encontremos, agora, a equação da mediatriz que passa sobre o lado AC. Calculando o coeficiente angular
dessa reta,
mAC =
50− 20
60− 30
= 1
Seja Q o ponto médio do segmento AC. Assim:
Q =
(
60 + 30
2
,
20 + 50
2
)
= (45, 35)
O gráfico a seguir mostra o ponto Q encontrado:
Como tal mediatriz passa pelo ponto médio do segmento AC e é perpendicular a ele,
m′ = − 1
m
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onde m′ é o coeficiente angular da reta suporte à mediatriz que passa pelo lado AC. Logo,
m′ = −1
1
= −1
Como tal reta passa pelo ponto (45, 35), podemos encontrar sua equação:
y − y0 = m′(x− x0)
y − 35 = −(x−45)
y = −x+ 80
Encontrando, por fim, a interseção entre as retas x = 50 e y = −x+80, x = 50 e y = 30. Logo, a alternativa
correta é o item E. Observe que a resposta poderia ter sido obtida facilmente de forma visual pelo primeiro
gráfico.
Questão 5
Considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem está localizada
no topo do suporte do balanço, o eixo X é paralelo ao chão do parque, o eixo Y tem orientação positiva para
cima e um ponto P de coordenadas (x, y) fixado no assento do balanço.
Como a distância do ponto P à origem do sistema é fixa (a corda do suporte mede 2 metros), pode-se utilizar
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a fórmula da distância entre dois pontos quaisquer no plano e escrever:
(x− x0)
2 + (y − y0)
2 = r2
(x− 0)2 + (y − 0)2 = 22
x2 + y2 = 4
Escrevendo y em função de x,
y2 = 4− x2 ou y =
√
4− x2
Tais pontos (x, y), no entanto, tem sempre y positivo. Isso é facilmente visto levando em conta que a raiz
quadrada, quando existe, é sempre um número positivo. Assim, para ter um número negativo na ordenada
invertemos o sinal da função.
Logo, a curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função y = −
√
4− x2
ou f(x) = −
√
4− x2 (alternativa D).
Questão 6
Como é descrito, os valores a e b são, respectivamente, a metade do seu comprimento horizontal e a metade
do seu comprimento vertical e a diferença entre os comprimentos horizontal e vertical é igual à metade do
comprimento vertical. Assim,
2a− 2b = b ⇒ 2a = 3b ⇒ a =
3b
2
Substituindo na fórmula do volume:
V = 4 · 3b
2
· b2 = 6b3
Logo, a alternativa correta é o item B.
Questão 7
Calcularemos, primeiramente, o comprimento de cada percurso. O segmento de reta que atravessa os bairros
tem ińıcio no ponto (−1, 1) e final no ponto (1,−1). Logo, o comprimento desse segmento pode ser calculado
encontrando a distância entre esses dois pontos. Calculando essa distância:
dreta(F,B) =
√
(1− (−1))2 + (−1− 1)2 =
√
22 + 22 =
√
8 = 2
√
2 km
Por outro lado, a semicircunferência que contorna os bairros tem raio igual a
√
2 km. Isso ocorre, pois,
aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo em destaque na figura a seguir, o raio dessa circunferência é
igual a hipotenusa desse triângulo.
raio =
√
12 + 12
=
√
1 + 1
=
√
2
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Dado que conhecemos o raio, podemos encontrar o comprimento do arco usando a fórmula que calcula a
circunferência de um ćırculo.
dcircunferencia(F,B) =
2πr
2
= π
√
2 km
Usando agora as aproximações para cada percurso:
dreta(F,B) = 2 · 1, 4 = 2, 8 km
dcircunferencia(F,B) = 3 · 1, 4 = 4, 2 km
A construção de 1 m de galeria via segmento de reta demora 1,0 h, enquanto que 1 m de construção de
galeria via semicircunferência demora 0,6 h. Logo,
� tempo para construção do percurso dado pelo segmento de reta = 2800 m · 1 = 2800 horas;
� tempo para construção do percurso dado pela circunferência = 4200 m · 0,6 = 2520 horas.
Assim, o menor tempo posśıvel para conclusão da construção da galeria, para atender às necessidades de
água do bairro, é de 2520 horas (Alternativa B).
Questão 8
A equação linear de cada reta apresentada é dada na forma reduzida por y = mx+ n ou mx− y = −n, onde
x e y são incógnitas. Se as retas não se cruzam em um único ponto, então não há um par (x, y) que satisfaça
a todas as equações simultaneamente. Portanto, o sistema de três equações e duas incógnitas não possui uma
solução real, já que não existe um ponto que esteja presente em todas as três retas (Alternativa D).
Questão 9
O quadrilátero que representa a área a ser isolada é limitado por 4 segmentos de retas. Nossa tarefa é
encontrar a equação de cada segmento de reta.
Você pode encontrar a equação de uma reta conhecendo dois de seus pontos usando a seguinte fórmula:
y − y1 = m(x− x1)
onde:
� m é a inclinação da reta, que pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
m =
y2 − y1
x2 − x1
onde (x1, y1) e (x2, y2) são dois pontos na reta.
Uma vez que você tenha encontrado m, você pode usar um dos pontos e a inclinação para encontrar a equação
da reta na forma y = mx+ b, onde b é a intercepção com o eixo y. Para encontrar b, você pode substituir os
valores de x e y de um dos pontos na equação da reta e resolver para b. Faremos isso para cada reta que
compõe o lado do quadrilátero.
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reta 1: Contém os pontos (0,0) e (4,9);
y − 0 =
9− 0
4− 0
(x− 0)
y =
9x
4
4y = 9x
4y − 9x = 0
reta 2: Contém os pontos (0,0) e (8,3);
y − 0 =
3− 0
8− 0
(x− 0)
y =
3x
8
8y = 3x
8y − 3x = 0
reta 3: Contém os pontos (4,9) e (8,9);
y − 9 =
9− 9
8− 4
(x− 4)
y − 9 = 0
y = 9
reta 4: Contém os pontos (8,3) e (8,9).
Nesta situação, a fórmula fornecida não pode ser utilizada, pois a reta é paralela ao eixo y (resultaria em
uma divisão por zero!). Porém, encontrar sua equação é muito fácil. Ela tem a forma x = k, onde k é a
abcissa dos pontos dessa reta. Portanto, sua equação é x = 8.
Seguindo, a região que queremos está compreendida entre as retas 1, 2, 3 e 4. Dado que
� está abaixo ou sobre a reta 1, logo 4y − 9x ≤ 0;
� está acima ou sobre a reta 2, logo 8y − 3x ≥ 0;
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� está abaixo ou sobre a reta 3, logo y ≤ 9;
� está à esquerda ou sobre a reta 4, logo x ≤ 8;
Assim, a alternativa correta é o item E.
Questão 10
Podemos utilizar a equação geral da parábola para encontrar a altura H da abóbada parabólica da Igreja de
São Francisco de Assis. Essa equação é dada por:
y = ax2 + bx+ c
Fixemos a origem do plano cartesiano como segue na figura:
Logo, conhecemos os pontos (5, 0), (4, 3) e (0, H) da parábola.
Substituindo o ponto (0, H):
H = a · 02 + b · 0 + c =⇒ c = H
Substituindo o ponto (5, 0):
0 = a · 52 + b · 5 +H
0 = 25a+ 5b+H
Substituindo o ponto (4, 3):
3 = a · 42 + b · 4 +H
3 = 16a+ 4b+H
Ainda, como a coordenada x do vértice da parábola é zero, b = 0. Assim, temos o sistema:{
25a+H = 0
16a+H = 3
Vamos multiplicar a primeira equação por −16 e a segunda equação por 25 para eliminar a variável a:{
−400a− 16H = 0
400a+ 25H = 75
Somando as duas equações, obtemos:
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9H = 75
Logo, H = 75
9 = 25
3 .
Assim, a medida da altura H, em metro, é
25
3
(Alternativa D).
Questão 11
A equação (p+ a)(v+ b) = K pode ser escrita como v+ b = K
p+a . Note que a, b, e K são constantes positivas,
portanto, p+ a é sempre positivo. Dessa forma, o gráfico de v em função de p é a parte do gráfico de uma
hipérbole no 1◦ quadrante onde seu eixo de simetria é a bissetriz dos quadrantes pares. Ou seja, um dos
ramos de uma hipérbole.
Assim, a opção correta é ramo de hipérbole (Alternativa E).
Questão 12
Vamos encontrar a solução correta a partir das alternativas.
� Alternativa A: reta x = 0;
Se o tiro é dado por meio da reta x = 0, então acertam-se os pontos A e E. Logo, obtém-se 2 pontos.
� Alternativa B: reta y = 0;
Se o tiro é dado por meio da reta y = 0, então somente o ponto C é atingido. Logo, obtém-se 1 ponto.
� Alternativa C: circunferência x2 + y2 = 16;
Se o tiro é dado por meio da circunferência de equação x2 + y2 = 16, então acertam-se os pontos A e C.
Isso ocorre, pois, tal circunferência tem centro na origem e raio
√
16 = 4. Logo, obtém-se 4 pontos.
� Alternativa D: circunferência x2 + (y − 2)2 = 4;
Se o tiro é dado por meio da circunferência de equação x2 + (y − 2)2 = 4, então acertam-se os pontos C
e D. Isso ocorre, pois, tal circunferência tem centro no ponto (0, 2) e raio
√
4 = 2. Logo, obtém-se 4
pontos.
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� Alternativa E: circunferência (x− 2)2 + (y − 2)2 = 8;
Se o tiro é dado por meio da circunferênciade equação (x− 2)2 + (y − 2)2 = 8, então acertam-se os
pontos A, B e C. Isso ocorre, pois, tal circunferência tem centro no ponto D = (2, 2) e raio
√
8 = 2
√
2.
Logo, obtém-se 6 pontos.
A figura a seguir exibe cada opção.
Dado que o maior número de pontos é 6, a alternativa correta é o item E.
Questão 13
Seja um plano cartesiano com origem no ponto A = (0, 0) e ponto B = (30, 0). Desse modo, observe que a
distância entre tais pontos é 30 metros.
Uma posśıvel opção para um primeiro bombeiro se posicionar que satisfizesse o fato de que a distância de um
bombeiro ao foco A, fosse o dobro da distância desse bombeiro ao foco B, seria o ponto M = (20, 0). Veja a
figura.
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Outro bombeiro, entretanto, poderia se posicionar de igual forma. Seja N = (x, y) esse ponto. Aplicando a
fórmula que calcula a distância entre dois pontos:
d(A,N) = 2 · d(N,B)√
(x− 0)2 + (y − 0)2 = 2 ·
√
(30− x)2 + (0− y)2√
x2 + y2 = 2 ·
√
(30− x)2 + (−y)2
x2 + y2 = 4 · ((30− x)2 + (−y)2)
x2 + y2 = 4 · (900− 60x+ x2 + y2)
x2 + y2 = 3600− 240x+ 4x2 + 4y2
0 = 3x2 + 3y2 − 240x+ 3600
Dividindo por 3,
x2 + y2 − 80x+ 1200 = 0
Completando quadrados,
x2 − 80x+ 1600− 1600 + y2 + 1200 = 0
(x− 40)2 − 1600 + y2 + 1200 = 0
(x− 40)2 + y2 = 400
Essa equação é a equação de uma circunferência de centro (40,0) e raio =
√
400 = 20. Assim sendo, qualquer
ponto N dessa circunferência tem a propriedade de que a distância desse ponto ao foco A é o dobro da
distância desse ponto ao foco B.
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Como M e N são dois pontos dessa circunferência, a maior distância entre eles acontece quando são
diametralmente opostos. Por exemplo, quando N = (60, 0).
Logo, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é 40 (Alternativa B).
Questão 14
Como se observa na figura, os pares ordenados (x, y) representados pelos pontos em destaque no logotipo são
tais que:
� 0 ≤ x ≤ 10, com x ∈ N;
� 0 ≤ y ≤ 10, com y ∈ N;
� y ≤ x.
Logo, o conjunto de pontos do logotipo é dado pelo pares ordenados (x, y) ∈ N× N tais que 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
(Alternativa B).
Questão 15
Calcularemos as distâncias através de cada um dos pontos de conexão. Para isso, utilizaremos o Teorema de
Pitágoras. Para calcular a distância entre os pontos que representam as cidades A e B passando pelo ponto
de conexão II, por exemplo, somamos a hipotenusa dos triângulos em destaque abaixo:
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Seja d(A, II) a distância do ponto A ao ponto II, por exemplo. Vamos aos cálculos:
� Percurso pelo ponto de conexão I: d(A, I) + d(B, I) = 40+
√
202 + 302 = 40+
√
1300 = 40+ 10
√
13 km;
� Percurso pelo ponto de conexão II: d(A, II) + d(B, II) =
√
402 + 102 +
√
202 + 202 =
√
1700 +
√
800 =
10
√
17 + 20
√
2 km;
� Percurso pelo ponto de conexão III: d(A, III)+d(B, III) =
√
402 + 152+
√
202 + 152 =
√
1825+
√
625 =
5
√
73 + 25 km;
� Percurso pelo ponto de conexão IV: d(A, IV)+d(B, IV) =
√
402 + 202+
√
202 + 102 =
√
2000+
√
500 =
30
√
5 km;
� Percurso pelo ponto de conexão V: d(A,V) + d(B,V) =
√
402 + 302 + 20 =
√
2500 + 20 = 70 km.
Levando em conta essas distâncias aproximadas:
� Percurso pelo ponto de conexão I: 40 + 10
√
13 ≈ 76, 05 km;
� Percurso pelo ponto de conexão II: 10
√
17 + 20
√
2 ≈ 69, 51 km;
� Percurso pelo ponto de conexão III: 5
√
73 + 25 ≈ 67, 72 km;
� Percurso pelo ponto de conexão IV: 30
√
5 ≈ 67, 08 km;
� Percurso pelo ponto de conexão V: 70 km.
Portanto, a localização sugerida escolhida para o ponto de conexão deve ser o ponto IV (Alternativa D).
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Geometria espacial
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ENEM - MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
GEOMETRIA ESPACIAL
Questão 1
Os anéis de Borromeo tratados na questão são tais que, dois a dois, eles estão somente sobrepostos (um em
cima do outro). O que garante a não separação dos anéis, então, é um terceiro que atravessa a interseção
destes dois primeiros. Com isto, cada um dos anéis funciona como um elo que garante a junção dos outros
dois.
Observando as representações presentes em cada item, a única que melhor representa os anéis de Borromeo é
a alternativa E.
Questão 2
Como descrito no enunciado, todos os prismas numerados em algarismos romanos são retos, com bases
triangulares.
Como os prismas I e III são perpendiculares ao prisma IV e ao poliedro II, isso implica que todo plano
paralelo à face α do prisma I, necessariamente é perpendicular aos planos que contém as faces dos prismas II
e IV e que, assim, a interseção desse plano imaginário com estes prismas é uma seção transversal paralela à
suas bases. Como as bases são triangulares, a interseção desse plano imaginário com a escultura contém dois
triângulos congruentes com lados correspondentes paralelos (Alternativa A).
Questão 3
Calcula-se primeiro a medida do lado da caixa cúbica. Como seu volume é 13.824 cm3, então:
Volcubo = 13.824 = l3 ⇒ l =
3
√
13.824 = 24 cm
Com 24 cm de lado, observe que só será posśıvel colocar 2 esferas em cada dimensão. Isso ocorre, pois, como
o raio é 6 cm, o diâmetro é 12 cm e 12 + 12 = 24.
Logo, a caixa ficará cheia tendo 2 esferas no comprimento, 2 na largura e 2 na altura. Assim, comportará
23 = 8 esferas (Alternativa B).
Questão 4
Pode-se, primeiramente, calcular o volume de uma das velas de parafina antes da mudança do modelo.
Denotamos tal volume de VP. Como a altura da pirâmide com os 3 espaçamentos de 1 cm é 19 cm e a base
superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, logo:
VP =
base2 · altura
3
=
62 · (19− 3)
3
= 192 cm3
Com a retirada da pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, podemos encontrar a
resposta desejada subtraindo o volume desta pirâmide menor (nomeada Vp) do volume da pirâmide inicial
(VP). Contudo, é preciso antes encontrar a altura desta pirâmide menor.
Como cada uma das velas é formada por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas
e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, pode-se chamar a altura de cada bloco de a,
por exemplo. Assim,
a+ 1 + a+ 1 + a+ 1 + a = 19 cm ⇒ 4a = 16 ⇒ a = 4
Logo,
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Vp =
1, 52 · 4
3
= 3 cm3
Enfim,
VP − Vp = 192− 3 = 189 cm3 (Alternativa B)
Questão 5
Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces constitúıdas por 1 quadrado e 4 triângulos de mesma base e
altura. Como a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta (desde que a face não seja
paralelo ao plano), se o plano interceptar todas as faces, o poĺıgono obtido nessa interseção tem 5 lados
(Alternativa C).
Questão 6
A planificação de um sólido geométrico é a apresentação de todas as formas bidimensionais que constituem sua
superf́ıcie em um plano. Dado que o bebedouro 3 é um semicilindro, é constitúıdo por dois semićırculos e um
retângulo. A única figura que representa uma planificação correta para este bebedouro é o da alternativa E.
(Alternativa E).
Questão 7
O volume das barras de chocolate no formato de paraleleṕıpedo pode ser calculado multiplicando suas três
dimensões:
Volume do paraleleṕıpedo = 3 · 18 · 4 = 216 cm3
Como a barra em formato cúbico tem mesmo volume, pode-se calcular a sua aresta:
Volume do cubo = (aresta)
3 ⇒ (aresta)
3
= 216 ⇒ aresta =
3
√
216 = 6 cm
Logo, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a 6 cm (Alternativa B):
Questão 8
O produto das três dimensões comprimento, largura e altura de um paraleleṕıpedo resulta no seu volume
(Alternativa B).
Questão 9
Encher 20 copinhos pela metade equivale a encher 10 copinhos por completo. Assim, o volume de água
necessário pode ser calculado por:
10 ·Vcopinho = 10 · πr2h
onde r é o raio da base e ha sua altura. Substituindo:
10 ·Vcopinho = 10 · π · 22 · 4 = 160π cm3
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Assumindo R é o raio da leiteira e H a sua altura, calcula-se o seu volume:
Vleiteira = π ·R2 ·H = π · 42 · 20 = 320π cm3
Logo, o volume da leiteira é duas vezes o volume necessário para encher 10 copinhos ou, de modo equivalente,
o volume da leiteira é 20 vezes maior do que o do copo.
Assim, Dona Maria deverá encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o
volume do copo (Alternativa A).
Questão 10
A área da superf́ıcie lateral de um cilindro pode ser calculado pela fórmula:
Alateral = 2πrh
onde r é o seu raio e h a sua altura. O volume, por sua vez, é dado por:
V = πr2h
Substituindo para cada tanque:
� Tanque (1): Alateral = 2πrh = 2 · 3 · 2 · 6 = 72 m2
V = πr2h = 3 · 22 · 6 = 72 m3
Razão entre a área lateral e o volume:
72
72
= 1
� Tanque (2): Alateral = 2πrh = 2 · 3 · 2 · 8 = 96 m2
V = πr2h = 3 · 22 · 8 = 96 m3
Razão entre a área lateral e o volume:
96
96
= 1
� Tanque (3): Alateral = 2πrh = 2 · 3 · 3 · 8 = 144 m2
V = πr2h = 3 · 32 · 8 = 216 m3
Razão entre a área lateral e o volume:
144
216
=
2
3
Dado que o preço do tanque é diretamente proporcional à medida da área da superf́ıcie lateral do tanque,
deve-se escolher o tanque de menor área lateral e maior volume. Logo, deverá ser escolhido o tanque III, pela
relação área/capacidade de armazenamento de
2
3
(Alternativa D).
Questão 11
O volume de um cilindro é dado por:
V = πr2h
onde r é o seu raio e h a sua altura.
Com o envolvimento do cilindro por uma camada de concreto, tem-se um novo cilindro cujo diâmetro passa
a ser 2 m + 20 cm + 20 cm = 2 m + 0,2 m + 0,2 m = 2,4 m (Veja figura abaixo). Logo, seu raio vale 1,2 m.
O volume da manilha corresponde ao volume de uma casca ciĺındrica. Pode-se calcular seu volume fazendo a
diferença entre o volume deste novo cilindro, de raio 1,2 m, e o volume do cilindro inicial, de raio 1 m.
Assim,
Vcasca = π · (1, 2)2 · 4− π · (1)2 · 4 = 5, 456 m3
Como cada m3 custa R$ 10,00, logo o preço dessa manilha é igual a 5, 456 · 10 = R$ 54, 56 (Alternativa D).
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Questão 12
O volume da tora em m3 é dado por:
V = rodo2 · altura · 0, 06
onde o “rodo” é a medida da circunferência da árvore na altura do peito de um homem (1,30 m).
Calcula-se, primeiramente, o volume da tora de cada espécie:
� Tora I: V = 32 · 12 · 0, 06 = 6, 48 m3
� Tora II: V = 42 · 10 · 0, 06 = 9, 6 m3
Cada tora da espécie I tem 0,77 toneladas/m3. Logo, para 3 toras:
3 · 0, 77 · 6, 48 = 14, 9688 toneladas
Cada tora da espécie II tem 0,78 toneladas/m3. Logo, para 2 toras:
2 · 0, 78 · 9, 6 = 14, 976 toneladas
Assim, os caminhões devem transportar uma carga de, aproximadamente, 14, 9688+ 14, 976 ≈ 29, 9 toneladas
(Alternativa A).
Questão 13
Calcula-se, primeiramente, o volume da taça com formato de um hemisfério:
Vsemiesfera =
1
2
· 4
3
πR3 =
1
2
· 4
3
π(3)3 = 18π cm3
Como o volume de champanhe nos dois tipos de taças deve ser igual igual:
Vsemiesfera = Vcone
18π =
1
3
π(3)2h
18π = 3πh
h =
18π
3π
h = 6
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Logo, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça é de 6,00 cm (Alternativa B).
Questão 14
Calcula-se o volume de um cubo de aresta a por meio da fórmula V = a3.
Se o cubo maior tem aresta medindo 12 cm, seu volume é V = 123 = 1728 cm3.
Se o cubo menor tem aresta medindo 8 cm, seu volume é V = 83 = 512 cm3.
Como o porta-lápis tem o formato do cubo maior menos o cubo menor em seu interior, logo:
Vporta-lápis = 1728− 512 = 1216 cm3
(Alternativa D)
Questão 15
Os quatro cortes saem de O em direção às arestas AD,BC,AB e CD, nessa ordem. Assim, como AD e BC
são arestas opostas, os dois primeiros cortes são iguais. Para o terceiro e quarto corte tem-se novamente
agora opostas as aretas AB e DC. Logo, estes últimos também são iguais.
Assim sendo, os formatos dos sólidos descartados são iguais dois a dois (Alternativa E).
Questão 16
O cone é uma superf́ıcie de revolução obtida a partir da rotação de um triângulo retângulo em torno de um
eixo que passa por um dos seus catetos. De outra forma, é a figura geométrica formada pela união de uma
região circular (base) com um ponto que não pertence ao plano onde esse ćırculo se encontra.
Como se apresenta, o modelo de sombrinha tem a forma de um cone. Logo, a alternativa correta é o
item E.
Questão 17
Calcula-se, inicialmente, o volume do copo de acordo com as dimensões dadas. Tendo 10 cm de altura e 4 cm
de diâmetro (2 cm de raio),
volume do copo = π · r2 · h = 3 · 22 · 10 = 120 cm3
Em seguida, há de se converter o volume de cm3 para ml. Para tal, usamos que 1 dm3 = 1 litro.
Sabendo que 1 dm3 = 1000 cm3, aplica-se regra de três simples para determinar o volume em litros equivalente.
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1000 cm3 ⇒ 1 litro
120 cm3 ⇒ x litros
Multiplicando cruzado,
1000x = 120
x =
120
1000
x = 0, 12 litros
Logo, o volume do copo é de 0,12 litros ou 120 ml.
Uma vez que há de se usar uma parte de açúcar para cinco partes de água, dividimos 120 por 6 para
determinar quantos ml tem cada parte.
120/6 = 20
Assim, tem-se 5 partes de 20 ml de água, totalizando 100 ml, e 1 parte de açucar de 20 ml. Logo, a
alternativa correta é o item C.
Questão 18
A planificação de um sólido geométrico é a apresentação em duas dimensões de todas as formas geométricas
que constituem sua superf́ıcie em um plano. Para os sólidos geométricos de Maria, tem-se a planificação de
um cilindro, evidenciado pelos ćırculos na base e no topo, um prisma de base pentagonal, revelado pelos
pentágonos nas bases, e uma pirâmide de base triangular.
Logo, os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações é o cilindro, prisma de base
pentagonal e pirâmide (Alternativa A).
Questão 19
Como é descrito, o trajeto feito pelo motoqueiro é uma circunferência que passa pelos pontos A e B. Sendo
assim, a imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão é a sua sombra pelo foco de luz e está no
mesmo plano que a circunferência que passa pelos pontos A e B. Como a interseção de dois planos é uma reta,
a única imagem posśıvel do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão é a reta contida na alternativa E.
Logo, a alternativa correta é o item E.
Questão 20
Ao colocar o objeto no tanque, o ńıvel de água nesse reservatório subiria de modo que o volume final no
tanque seja a soma do volume inicial de água com o volume do objeto colocado. Assim sendo, calculamos
primeiro o volume de água do tanque (Vi) antes de colocar o objeto:
Vi = 40 · 30 · (25− 5) = 24 000 cm3
Após colocar o objeto, o volume final (Vf) é:
24 000 + 2 400 = 26 400 cm3
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Considere que o aumento no ńıvel de água tenha x cm. Calculando, agora, as novas dimensões referentes ao
novo volume,
Vf = 26 400 = 40 · 30 · (20 + x) ⇒ 26 400 = 24 000 + 1 200x ⇒ 2 400 = 1 200x ⇒ x = 2
Logo, o ńıvel subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura (Alternativa C).
Questão 21
A projeção de um ponto P sobre um plano qualquer que não contenha esse ponto é um ponto P ’ desse plano
mais próximo de P tal que o segmento PP ’ seja perpendicular a esse plano.
De acordo com a trajetória descrita por João, a projeção do ponto E estaria no centro do quadrado na base
da pirâmide e a projeção de M e C seriam os próprios pontos M e C. A figura a seguir mostra o deslocamento
descrito em vermelho e a projeção da trajetória no plano da base da pirâmide em verde.
Logo, o desenho que Bruno deve fazer é o que se apresenta no item C (Alternativa C).
Questão 22
De acordo com o texto, a argila sofre uma contração, em dimensões lineares, de 20%. Isso quer dizerque um
objeto tridimensional como um cubo ou um paraleleṕıpedo, por exemplo, perde 20% em cada uma de suas
dimensões (comprimento, largura e altura).
Uma travessa de forma cúbica cuja aresta mede a após o cozimento e a contração sofrida terá aresta medindo
80% de a. De outra forma, pode-se dizer que cada aresta será igual a 0, 8a. Assim sendo, seu volume passará
de a3 para (0, 8a)3 = 0, 512a3, ou seja, 51,2% do que era originalmente.
Logo, o novo volume é 100%− 51, 2% = 48, 8% menor que V, porque o volume diminui de a3 para 0, 8a3
(Alternativa C).
Questão 23
O cone é a figura geométrica obtida quando ligamos por meio de um segmento de reta cada ponto de uma
circunferência a um ponto fora do plano que a contém. Um tronco de cone, por sua vez, é a figura geométrica
obtida ao seccionar o cone por um plano paralelo à sua base que não é um cone.
A forma apresentada é composta de dois troncos de cone. Um interno e outro externo.
Logo, a alternativa correta é o item D.
Questão 24
Quatro copos estarão perfeitamente dispostos sobre a bandeja se cada taça ficar perpendicular em relação a
base quadrada da bandeja com todas as taças contidas inteiramente nela. Abaixo tem-se um esboço.
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Como se vê, o lado do quadrado precisa ser, pelo menos, de tamanho 2AC + 2BD. Logo,
2AC + 2BD = l
Como AC =
7
5
BD,
2
(
7
5
BD
)
+ 2BD = l
14
5
BD + 2BD = l
24
5
BD = l
Portanto, a razão
l
BD
vale:
24
5
BD
BD
=
24
5
Logo, a alternativa correta é o item D (Alternativa D).
Questão 25
A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é o pé da reta perpendicular ao plano que passa por esse
ponto. Abaixo, como exemplo, temos o ponto P e sua projeção P’.
No caso da gangorra, o plano é o chão. Os pontos A e B tem sua projeção ortogonal sobre o plano do chão
que se altera dependendo da posição dos pontos A e B. Como tais pontos só se alteram em duas dimensões
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(altura e comprimento), a projeção (que de outra forma, é uma redução de dimensionalidade) tem apenas
uma dimensão (comprimento).
Veja a projeção do ponto B da gangorra em três momentos distintos. O mesmo acontece do lado esquerdo
com o ponto A.
Logo, a alternativa correta é o item B.
Questão 26
Para determinar a quantidade máxima de forragem que cabe no silo é preciso calcular o volume do prisma
reto trapezoidal mostrado na figura. Para tal, assim como em qualquer prisma, o volume é o produto da área
da base pela altura.
A base do prisma é um trapézio. Esse tem lado maior igual a 6 metros (largura do topo), lado menor igual
a 5 metros (largura do fundo) e altura igual a 2 metros. A largura do fundo é 5 metros, pois é 2 · 0, 5 = 1
metro menor do que a largura do topo como diz o enunciado.
Calculando a área da base do prisma (área do trapézio):
At =
(B + b) · h
2
=
(6 + 5) · 2
2
= 11 m2
Logo, para o volume:
V = 11 · 20 = 220 m3
Como 1 tonelada de forragem ocupa 2 m3 desse tipo de silo,
1 tonelada ⇒ 2 m3
x toneladas ⇒ 220 m3
Aplicando a regra de três, 2x = 220 ⇒ x = 110 toneladas.
Logo, a alternativa correta é o item A.
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Questão 27
A questão proposta aborda sobre a planificação do cone ou, mais especificamente, do tronco de cone. Se o
revestimento fosse feito em todo o cone, o adesivo coincidiria com um setor circular como é apresentado na
alternativa D. No entanto, como vai apenas até a metade de sua altura, tal adesivo tem o formato de um
setor circular menos a planificação de um menor cone que não será revestido. A figura a seguir ajudará a
entender o corte.
Logo, a alternativa correta é o item E.
Questão 28
O volume da lata antes da mudança pode ser calculado pelo produto das três dimensões da lata:
V = 24 · 24 · 40 = 23040 cm3
Com a mudança, as dimensões da base de 24 cm passam a ter 25% de aumento. Assim, passam a ter
24 + 0, 25 · 24 = 24 + 6 = 30 cm. Logo, para não sofrer alteração no volume em relação a lata anterior,
V = 30 · 30 · h = 23040 cm3
onde h é a nova altura da lata. Resolvendo a equação,
900x = 23040
h =
23040
900
h = 25, 6
Assim, a nova altura deve ser de 25,6 cm.
Fazendo uma regra de três para calcular a porcentagem de redução:
40 cm ⇒ 100%
25, 6 cm ⇒ x%
que implica
40x = 2560 ⇒ x = 64%
Logo, a altura deve reduzir em (100− 64)% = 36% (Alternativa D).
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Questão 29
A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é o pé da reta perpendicular ao plano que passa por esse
ponto. A seguir, como exemplo, temos o ponto P e sua projeção P’.
A figura da questão traz uma escada circular e informa que certa pessoa sobe essa escada deslizando a mão
sobre o corrimão do ponto A até o ponto D. Pede-se a projeção ortogonal dessa curva composta por todos
esses pontos entre A e D no plano do chão da escada. A figura a seguir mostra a escada e a projeção desses
pontos.
Uma vista superior da escada permite enxergar exatamente a forma circular dessa projeção.
Logo, a alternativa correta é o item C.
Questão 30
Uma representação da ṕılula como descrita está na figura abaixo.
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Como se observa, a ṕılula é composta de um cilindro de raio R e altura 10 mm mais uma esfera de raio R. O
volume dessa ṕılula, então, é a soma dos volumes do cilindro e da esfera.
V = π ·R2 · altura +
4 · π ·R3
3
Calculemos o volume para a primeira ṕılula de raio R = 5 mm :
V1 = 3 · 52 · 10 + 4 · 3 · 53
3
V1 = 750 + 500
V1 = 1250 mm3
Para a segunda ṕılula após a redução do raio,
V2 = 3 · 42 · 10 + 4 · 3 · 43
3
V2 = 480 + 256
V2 = 736 mm3
Assim, a redução do volume da ṕılula, em miĺımetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a
1250− 736 = 514 (Alternativa E).
Questão 31
Se o diâmetro do cilindro de madeira é d, a circunferência do ćırculo de sua base mede dπ. Isso se dá, pois a
circunferência de um ćırculo qualquer de raio r mede 2πr e o diâmetro é o dobro do raio.
Se foram realizadas 5 voltas completas em torno de tal cilindro, logo a altura do lado da folha de papel usado
na confecção do diploma é 5 vezes maior do que a circunferência dπ. Portanto, a medida dessa altura é 5dπ
cm ou 5πd cm (Alternativa D).
Questão 32
Como a Figura 1 mostra, cada contêiner tem o formato de uma paraleleṕıpedo cuja base é um retângulo de
dimensões 6, 4 · 2, 5m. Assim sendo, a área da base desse paraleleṕıpedo vale 6, 4 · 2, 5 = 16 m2.
A Figura 2 traz a área para armazenar contêineres. Calculando essa área, tem-se 32 · 10 = 320 m2.
Dividimos a área dispońıvel pela área da base de cada contêiner. Assim,
320
16
= 20
Logo, cabem 20 contêineres na primeira camada. Veja a figura:
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Uma vez que são 100 contêineres para armazenar, várias camadas precisarão ser feitas. Dividindo o número
de contêineres pelo número de contêineres em cada camada:
100
20
= 5
Assim, 5 camadas precisarão ser feitas para armazenar todos os contêineres. Como cada um deles tem altura
de 2,5 metros, a altura mı́nima a ser atingida por essa pilha de contêineres
2, 5 · 5 = 12, 5 metros (Alternativa A)
Questão 33
Primeiro, precisamos calcular o volume da cisterna atual. Sabemos que ela tem formato ciĺındrico, com
altura de 3 m e raio de 1 m. Temos:
V = π · r2 · h
V = 3 · (1)2 · 3
V = 3 · 3
V = 9 m3
Agora, sabemos que o volume da nova cisterna deve ser 81 m3 e que a altura será a mesma da cisterna antiga,
que é 3 m. Logo, temos:
81 = π · r2 · h
81 = 3 · r2 · 3
r2 =
81
9
r2 = 9
r =
√
9
r = 3
O raio da cisterna atual é 1 m e o raio da nova cisterna é 3 m. Portanto, o aumento no raio da cisterna será:
3− 1 = 2 m
O raio da cisterna deve ser aumentado em 2 m para atingir o volume desejado de 81 m3 (Alternativa C).Licensed to José Leal - lealqmc@gmail.com - 00961249382
Questão 34
A fórmula para o volume de um cilindro é V = πr2h. O raio da lata é de 300 mm e a altura é de 1200 mm,
então:
V = π(300 mm)2(1200 mm)
= π(90000) mm2(1200 mm)
= 3 · 90000 · 1200 mm3
= 324 · 106 mm3
Como a quantidade de chuva acumulada é um terço da capacidade da lata, o ı́ndice pluviométrico será:
I =
1
3
· V
1 m2
=
1
3
· 324 · 10
6 mm3
1 m2
=
1
3
· 324 · 10
6 mm3
106 mm2
= 108 mm
Portanto, o ı́ndice pluviométrico da região, durante o peŕıodo do temporal, foi de 108 mm (Alternativa D).
Questão 35
A fábrica de sorvetes utiliza embalagens plásticas no formato de paraleleṕıpedo retangular reto, com medidas
internas de 10 cm de altura e base de 20 cm por 10 cm. O volume da embalagem é, então, dado por:
Vembalagem = 20 cm · 10 cm · 10 cm = 2000 cm3
A mistura sabor chocolate é colocada na embalagem no estado ĺıquido e, quando levada ao congelador, tem
seu volume aumentado em 25
Vchocolate = 1000 cm3 · 1, 25 = 1250 cm3
Por fim, será adicionada à embalagem uma mistura sabor morango, de modo que, ao final do processo
de congelamento, a embalagem fique completamente preenchida com sorvete, sem transbordar. O volume
máximo da mistura sabor morango que deverá ser colocado na embalagem é, então, dado por:
Vmorango = Vembalagem − Vchocolate = 2000 cm3 − 1250 cm3 = 750 cm3
Acontece, porém, que a mistura sabor morango também sofrerá aumento em seu volume. Assim, o volume
da mistura sabor morango antes de ser congelado deve ser 750 cm3 / 1,25 = 600 cm3.
Logo, o volume máximo da mistura sabor morango que deverá ser colocado na embalagem é de 600 cm3
(Alternativa B).
Questão 36
O cubo tem 8 vértices e 6 faces. Cortando cada um dos cantos (vértices) do cubo, retiram-se esses cantos,
que são tetraedros de arestas menores do que metade da aresta do cubo. (Ver figura abaixo.)
Assim, o tetraedro formado agora tem 6 + 8 faces, pois cada corte plano gerou uma nova face nesse poliedro.
Logo,
6 + 8 = 14 faces
e a quantidade de cores que serão utilizadas na pintura das faces do troféu é 14 (Alternativa C).
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Questão 37
O raio r do tampo circular a ser escolhido deve ser pelo menos igual ao comprimento do raio do ćırculo que
circunscreve o triângulo equilátero da base do prisma (veja a figura).
Assim sendo, deve-se encontra o raio r do ćırculo que circunscreve o triângulo equilátero de lado 30 cm.
Como o triângulo é equilátero, a altura h do triângulo representado na figura é uma mediatriz desse triângulo.
Logo, o centro do ćırculo é também o circuncentro desse triângulo. Além disso, note também que o centro do
ćırculo é o baricentro, incentro e ortocentro desse triãngulo.
Dois resultados decorrem desses fatos e são necessários para continuarmos:
� a altura de um triângulo equilátero de lado l é
l
√
3
2
;
� o raio r do ćırculo que circunscreve um triângulo equilátero é 2
3 da sua altura.
Com isso, o raio r procurado pode ser calculado por:
r =
2
3
· l
√
3
2
=
l
√
3
3
=
30
√
3
3
= 10
√
3.
Fazendo a substituição de
√
3 como 1,7,
r = 10 · 1, 7 = 17 cm
Logo, o tampo de menor diâmetro que é suficiente para cobrir a base superior do suporte da mesa deve medir
18 cm (Alternativa A).
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Questão 38
O volume de um cilindro reto é dado por V = πr2h, então o volume do cilindro reto é V = 32 · 12π = 108π.
O volume de um cone é dado por V = 1
3πr
2h, então o volume do cone é V = 1
3 · 32 · 3π = 9π.
O volume total do silo é dado por Vcilo = Vcilindro + Vcone = 108π + 9π = 117π ≈ 351.
O número mı́nimo de viagens necessárias para transportar todo o volume de grãos armazenados no silo é
dado por:
Vcilo
Vcaminhão
=
351
20
≈ 17, 55
Portanto, o caminhão precisará fazer pelo menos 18 viagens (Alternativa D).
Questão 39
A vista lateral do esboço obtido pelos alunos seria a representação de uma cadeira dobrável, ou seja, uma
forma compacta e fechada que ocupa menos espaço e é fácil de ser armazenada.
Um detalhe essencial é que o “X” observado quando são cruzados as pernas da cadeira só aparece quando a
cadeira está de frente e aberta (como na figura da questão). Ao fechar a cadeira e observar sua vista lateral,
esse “X” desaparece. Resta então dúvidas sobre as alternativas A e C.
Por outro lado, repare que a cadeira possui uma barra de sustentação em ambas as pernas. Essas barras
aparecem quando a cadeira é fechada e vista de lado e é o que diferencia as duas alternativas.
Logo, a alternativa correta é o item C.
Questão 40
Para calcular o volume total de petróleo derramado, é necessário primeiro calcular o volume de cada
compartimento. Como os compartimentos A, B ou C têm mesmo volume, cada um possui 20 m · 10 m · 7 m
= 1400 m3.
Há também a necessidade de calcular o volume do paraleleṕıpedo que fica acima dos compartimentos A, B e
C. Essa seção do reservatório é destacada na figura abaixo:
Calculando o volume:
V = 60 · 10 · (10− 7) = 1800 m3
Com um furo no fundo do compartimento C, o volume de petróleo derramado é igual ao volume do
compartimento C mais o volume do paraleleṕıpedo em destaque.
1800 + 1400 = 3200 m3
Logo, o volume de petróleo derramado foi de 3200 m3 ou 3,2 ·103 m3 (Alternativa D).
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Questão 41
Os entes matemáticos são frequentemente utilizados por artistas plásticos para produzir formas e imagens
através de manipulações. Considerando uma obra que retrata os diversos poĺıgonos obtidos pelas intersecções
de um plano com uma pirâmide regular de base quadrada, a classificação dos poĺıgonos posśıveis de serem
retratados incluem triângulos, quadrados, trapézios, quadriláteros irregulares e pentágonos, apenas. Um
posśıvel pentágono obtido, por exemplo, é mostrado abaixo:
Portanto, a alternativa correta é a letra E.
Questão 42
A projeção ortogonal de um ponto no plano é a representação do ponto na direção perpendicular a uma linha
espećıfica, a linha de projeção. De modo simples, pode ser entendido como a “sombra” desse ponto no plano
considerando uma fonte de luz perpendicular ao plano.
O percurso do ponto A até o ponto B é feito sobre um arco de circunferência, que é um dos paralelos. Assim
sendo, a projeção no plano é também um arco, uma vez que essa circunferência está contida em um plano
que é paralelo ao plano α.
Por outro lado, o percurso do ponto B ao ponto C é feito também sobre um arco de circunferência (um dos
meridianos), porém contida em um plano perpendicular ao plano α. Assim sendo, a projeção no plano é um
segmento de reta.
Logo, a alternativa correta é o item E.
Questão 43
Em geometria, arestas, vértices e faces são elementos importantes na descrição de formas e objetos
tridimensionais. A contagem desses elementos é um aspecto importante da teoria matemática da geometria,
e é usada para ajudar a classificar diferentes tipos de poliedros e outros objetos tridimensionais.
� Arestas são as linhas que conectam dois vértices em um objeto tridimensional.
� Vértices são os pontos de interseção das arestas em um objeto tridimensional.
� Faces são as superf́ıcies planas que compõem um objeto tridimensional.
Inicialmente, na Figura 1, a pirâmide de base quadrada tem 8 arestas, 5 vértices e 5 faces. Com os quatro
cortes de formatos iguais nos cantos da base, 4 novas faces surgem, 3 novas arestas para cada canto e cada
um dos 4 vértices da base da pirâmide é substitúıdo por 3 novos vértices. Assim:
� Arestas: 8 + 3 · 4 = 20;
� Vértices: 1 + 4 · 3 = 13;
� Faces: 5 + 4 = 9.
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Logo, uma joia poliédrica terá 9 faces, 20 arestas e 13 vértices (Alternativa A).
Questão 44
Seja Ve e Vc os volumes dos frascos esféricos e ciĺındricos, respectivamente. Comoos volumes devem ser os
mesmos,
Ve = Vc
Substituindo as respectivas expressões para o cálculo do volume e simplificando:
4
3
πR3 = π
(
R
3
)2
· h
4R3
3
=
R2
9
· h
9 · 4R3
3R2
= h
h = 12R
Logo, a altura do frasco ciĺındrico deverá ser igual a 12R (Alternativa E).
Questão 45
A capacidade de uma piscina pode ser calculada como o produto de sua largura, comprimento e profundidade.
Antes da reforma, a capacidade da piscina era de 50 m · 20 m · 2 m = 2000 m3. Após a reforma, a capacidade
será de 50 m · 25 m · 3 m = 3750 m3. Assim, a capacidade da piscina reformada é
3750
2000
= 1, 875 da piscina
anterior, ou seja, 87,5% maior do que a capacidade da piscina original. Portanto, a resposta correta é 88%
(Alternativa E).
Questão 46
A projeção ortogonal de um ponto no plano é a imagem do ponto na direção perpendicular a uma linha
espećıfica, conhecida como a linha de projeção. De outro modo, pode ser entendida como a “sombra” do
ponto no plano, levando em consideração uma fonte de luz que incida perpendicularmente ao plano.
Ao se deslocar do ponto A ao ponto B, a projeção do deslocamento que o inseto descreve no plano que contém
a base ABCD é um segmento de mesmo comprimento do segmento AB. Isso é claro, pois o segmento AB está
contido no plano que contém a base ABCD.
Ao se deslocar do ponto B ao ponto E, a projeção do deslocamento coincide com o segmento BC e vai até seu
ponto médio. Isso ocorre, pois o ponto E é equidistante aos pontos B e C e o triângulo BEC está sobre a
mesma face perpendicular ao plano de projeção.
Seguindo do ponto E ao ponto C, a projeção do deslocamento também coincide com o segmento BC,
continuando a partir de seu ponto médio até o ponto C.
Logo, a alternativa correta é o item E.
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Questão 47
A capacidade da caixa-d’água é de 4 m · 3 m · 2 m = 24 metros cúbicos. Como 1 m3 = 1000 litros, a
quantidade de água a ser retirada é de 24 m3 x 1000 litros = 24 000 litros.
Como 1 minuto equivale a 60 segundos, 20 minutos equivalem a 20 · 60 = 1200 segundos e esse deve ser o
tempo máximo da operação. Assim, a bomba deve ter uma vazão de, no mı́nimo,
24000
1200
= 20 litros/segundo.
Portanto, a alternativa correta é o item E.
Questão 48
Para calcular a quantidade de produto necessária para tratar a água da piscina, precisamos primeiramente
calcular o volume da piscina.
Como a piscina tem base retangular, o volume é calculado multiplicando a área da base pela altura:
V = A · h
onde A é a área da base da piscina e h a altura da piscina.
Para encontrar a área da base da piscina, multiplicamos a largura pelo comprimento:
A = largura · comprimento
Assim,
A = 3 m · 5 m = 15 m2
A altura da piscina é de 1,7 m, mas devemos considerar apenas a altura da água, que é de 1, 7 m − 0, 5 m =
1, 2 m.
Agora podemos calcular o volume da piscina:
V = A · h = 15 m2 · 1, 2 m = 18 m3
Convertendo o volume para litros, temos:
18 m3 = 18 · 1000 = 18000 L
Portanto, precisamos de:
1, 5 mL/1000 L · 18000 L = 27 mL
Portanto, a resposta correta é a letra B) 27,00.
Questão 49
Para escolher a caixa que melhor acomoda o objeto cúbico de 80 cm de aresta, precisamos verificar qual
caixa tem o menor espaço livre em seu interior após acomodar o objeto.
O objeto cúbico de 80 cm de aresta tem volume:
Vobjeto = 80 cm · 80 cm · 80 cm = 512000 cm3
Agora precisamos calcular o volume de cada caixa:
� Vcaixa1 = 86 cm · 86 cm · 86 cm = 636056 cm3
� Vcaixa2 = 75 cm · 82 cm · 90 cm = 553500 cm3
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� Vcaixa3 = 85 cm · 82 cm · 90 cm = 627300 cm3
� Vcaixa4 = 82 cm · 95 cm · 82 cm = 638780 cm3
� Vcaixa5 = 80 cm · 95 cm · 85 cm = 646000 cm3
Para verificar qual caixa tem o menor espaço livre em seu interior, precisamos subtrair o volume do objeto
do volume da caixa e escolher aquela com menor resultado. É importante, ainda, observar que, por mais que
a caixa 2 tenha volume maior que o volume do objeto, ela não pode ser utilizada uma vez que uma de suas
dimensões é menor do que 80 cm.
� Vlivre1 = Vcaixa1 − Vobjeto = 636056 cm3 − 512000 cm3 = 124056 cm3
� Vlivre3 = Vcaixa3 − Vobjeto = 627300 cm3 − 512000 cm3 = 115300 cm3
� Vlivre4 = Vcaixa4 − Vobjeto = 638780 cm3 − 512000 cm3 = 126780 cm3
� Vlivre5 = Vcaixa5 − Vobjeto = 646000 cm3 − 512000 cm3 = 134000 cm3
Portanto, a caixa que tem o menor espaço livre em seu interior é a caixa 3, com Vlivre3 = 115300 cm3.
Portanto, a resposta correta é a alternativa C.
Questão 50
Na Figura 2 é posśıvel observar que a estrutura da cabana é um prisma composto por uma base triangular,
uma face superior triangular e três faces laterais retangulares, que conectam a base à face superior. Assim, a
forma geométrica da superf́ıcie cujas arestas estão representadas na figura 2 é um prisma triangular reto
(Alternativa E).
Questão 51
Para determinar qual modelo de caixa é o mais adequado para armazenar o maior número de potes de tinta,
precisamos verificar quantos potes cabem em cada caixa e escolher a caixa com a maior capacidade.
O diâmetro dos potes é de 4 cm. Podemos empilhar os potes de forma que a largura e comprimento da caixa
escolhida comporte o máximo de diâmetros posśıveis e a altura da pilha seja igual à altura interna da caixa.
Vamos calcular a capacidade de cada caixa e verificar quantos potes de tinta cabem em cada uma delas:
� Caixa I: A largura da caixa é de 8 cm e o comprimento é também de 8 cm. Assim, podemos colocar
2 · 2 = 4 potes por camada e empilhar até 6 camadas de potes (6 × 6 = 36 ≤ 40). Logo, totalizando
4 · 6 = 24 potes por caixa.
� Caixa II: A largura da caixa é de 8 cm e o comprimento é de 20 cm. Assim, podemos colocar 2 · 5 = 10
potes por camada e empilhar até 2 camadas de potes (6× 2 = 12 ≤ 14). Logo, totalizando 10 · 2 = 20
potes por caixa.
� Caixa III: A largura da caixa é de 18 cm e o comprimento é de 5 cm. Assim, podemos colocar 4 · 1 = 4
potes por camada e empilhar até 5 camadas de potes (6× 5 = 30 ≤ 35). Logo, totalizando 4 · 5 = 20
potes por caixa.
� Caixa IV: A largura da caixa é de 20 cm e o comprimento é de 12 cm. Assim, podemos colocar 5 · 3 = 15
potes por camada e empilhar até 2 camadas de potes (6× 2 = 12 ≤ 12). Logo, totalizando 15 · 2 = 30
potes por caixa.
� Caixa V: A largura da caixa é de 24 cm e o comprimento é também de 8 cm. Assim, podemos colocar
6 · 2 = 12 potes por camada e empilhar até 2 camadas de potes (6× 2 = 12 ≤ 14). Logo, totalizando
12 · 2 = 24 potes por caixa.
Assim, a opção de caixa que permite armazenar o maior número de potes é a caixa IV, que comporta 30
potes por caixa. Portanto, a alternativa correta é o item D.
Questão 52
Para construir um cubo de dimensões 4 × 4 × 4 no jogo Minecraft, é necessário empilhar um total de
4× 4× 4 = 64 cubinhos. Observando a imagem fornecida, já foram empilhados 16+16+14+7 = 53 cubinhos.
Portanto, ainda faltam 64− 53 = 11 cubinhos para completar o cubo.
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Com isso, a peça única formada pelos cubinhos que ainda faltam para empilhar deve possuir 16− 14 = 2
cubinhos na 3◦ camada e 16− 7 = 9 cubinhos na 4◦ camada. Diante das alternativas apresentadas, somente
as alternativas (A) e (E) trazem essa configuração.
A alternativa E, no entanto, traz os dois cubinhos da 3◦ camada de modo que não encaixarão na pilha já
constrúıda. Assim sendo, a única peça que cabe para completar o bloco é a peça dispońıvel na alternativa A.
Questão 53
A projeção ortogonal de cada letra depende, obviamente, da letra em questão. Como elas se dispõe de
maneira que o espaçamento entre letras adjacentes é o mesmo, essa distância é refletida na sombra como um
espaço entre as sombras. Assim, como em 4 letras temos 3 espaços, exclui-se as alternativas a), b) e d).
As alternativas c) e e) trazem diferença acerca da sombra da letra P. Porém, uma vez que a letra P temcomprimento horizontal maior que a letra E e menor do que a letra N, logo sua sombra também tem
comprimento entre as sombras da letra E e da letra N.
Assim, a alternativa correta é o item E.
Questão 54
Para obter o tetraedro truncado a partir do tetraedro regular, precisamos seccionar paralelamente a cada
face do tetraedro e remover um terço das arestas em cada corte.
As figuras abaixo mostram o tetraedro truncado e as secções que foram feitas:
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Portanto, a resposta correta é: 4 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros (Alternativa A).
Questão 55
O volume dos reservatórios central e auxiliares pode ser calculado pela fórmula que calcula o volume de um
cilindro. Seja R o raio do reservatório central, H a sua altura e r o raio dos reservatórios auxiliares. Seja,
ainda, h como a altura de água atingida após abrir os registros. Por fim, seja d o diâmetro interno do cano
ciĺındrico responsável pela ligação entre os reservatórios e c o seu comprimento.
Vamos calcular o volume do reservatório central:
V = π ·R2 ·H = π · 22 · 3, 30 = 13, 2π m3
Ao abrir os registros, o volume de água do reservatório central é dividido entre os 4 reservatórios auxiliares e
entre os canos ciĺındricos que fazem as ligações até que as alturas dos reservatórios se igualem. Assim:
4(π · r2 · h+ π · (d/2)2 · c) + π ·R2 · h = 13, 2π m3
Substituindo e resolvendo para h:
4[π · (1, 5)2 · h+ π · (0, 10/2)2 · 20] + π · 22 · h = 13, 2π
4[π · 2, 25 · h+ π · 0, 0025 · 20] + π · 4 · h = 13, 2π
4[2, 25hπ + 0, 05π] + 4hπ = 13, 2π
9hπ + 0, 2π + 4hπ = 13, 2π
13hπ + 0, 2π = 13, 2π
(13h+ 0, 2)π = 13, 2π
13h+ 0, 2 = 13, 2
13h = 13
h = 1
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Logo, a medida das alturas das colunas de água nos reservatórios auxiliares, após cessar o fluxo de água entre
eles, é de 1 metro (Alternativa D).
Questão 56
Para determinar a quantidade mı́nima de caminhões que o mestre de obras precisa solicitar à usina de
concreto, precisamos calcular o volume total de concreto necessário para a laje que pode ser calculado a
partir do produto entre a área da laje e sua espessura. Uma vez que já conhecemos a espessura, precisamos
calcular a área da laje.
Vamos dividir essa laje em três regiões A1, A2 e A3.
Calculando cada uma das áreas:
� A1 = 8 · (5 + 2 + 1) = 64 m2;
� A2 = 3 · (5 + 2) = 21 m2;
� A3 = 3 · 5 = 15 m2.
Logo, a área da laje é dada pela soma das áreas: A1 +A2 +A3 = 64 + 21 + 15 = 100 m2.
Como a espessura é de 5 cent́ımetros ou 0,05 metros, podemos calcular o volume de concreto necessário:
Volume = área da laje · espessura = 100 · 0, 05 = 5 m3
Portanto, a menor quantidade de caminhões, utilizando suas capacidades máximas, que o mestre de obras
deverá pedir à usina de concreto para fazer a laje é de um caminhão com a capacidade máxima de 5 m3
(Alternativa C).
Questão 57
O volume da caixa-d’agua na maquete em dećımetros cúbicos é 0, 2 · 0, 351 · 0, 4 = 0, 02808. Logo, o volume
desse reservatório na maquete é de 0, 02808 litros.
A razão entre o volume da caixa-d’água original e o volume dessa caixa na maquete é igual ao cubo da razão
de proporcionalidade k entre suas dimensões. Assim,
0, 02808
28080
=
1
k3
Resolvendo a equação,
1
106
=
1
k3
⇒ k3 = 106 ⇒ k = 100
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Portanto, a escala usada pelo arquiteto foi de 1 em 100 (Alternativa B).
Questão 58
Como descreve o enunciado da questão, o Templo de Kukulkán é um tronco reto de pirâmide de base
quadrada. Assim, a base é formada por um quadrado e a parte superior é também formada por um quadrado
menor, portanto, a opção (A) com 2 quadrados é uma possibilidade.
No entanto, para unir os dois quadrados a partir dos seus vértices, a parte lateral deve ser formada por 4
trapézios isósceles, que se encaixam entre o quadrado superior e a base quadrada, sendo assim a opção (C)
com 2 quadrados e 4 trapézios isósceles é a resposta correta.
Portanto, a alternativa correta é o item C.
Questão 59
Como as caixas-d’água possuem o mesmo volume e formato ciĺındrico, temos que:
πR2hA = πr2hB ,
onde R é o raio da caixa-d’água do tipo A, r é o raio da caixa-d’água do tipo B, hA é a altura da caixa-d’água
do tipo A e hB é a altura da caixa-d’água do tipo B.
Além disso, temos que hB = 0, 25hA. Substituindo na equação acima, obtemos:
πR2hA = πr20, 25hA,
ou seja,
r2 = 4R2.
Logo, o raio da caixa-d’água tipo B é dado por:
r = 2R.
Portanto, a alternativa correta é o item B.
Questão 60
Para que a coluna de água atinja a altura de 15 cm, é necessário adicionar mais 7 cm de água. Se Ab é a área
da base do recipiente, vamos calcular o volume de água necessário para atingir essa altura:
V = Ab · h = 4 · 3 · 7 = 84 cm3
O volume de cada bolinha é de 6 cm3. Portanto, o número mı́nimo n de bolinhas necessárias para atingir o
volume necessário de água é:
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n =
84
6
= 14
Portanto, o número mı́nimo de bolinhas necessárias para que se possa retirar o objeto que flutua na água,
seguindo as instruções dadas, é de 14 bolinhas (Alternativa A).
Questão 61
O comprimento de cada uma das 20 mangueiras de iluminação, consideradas como segmentos de reta de
mesmo comprimento, pode ser calculado dividindo os 100 metros dispońıveis por 20:
100
20
= 5 metros
Com isso, o raio da circunferência (r) pode ser calculado pelo Teorema de Pitágoras como mostra a figura
abaixo.
52 = 32 + r2
25 = 9 + r2
r2 = 16
r = 4
Portanto, o raio, em metro, da circunferência deverá ser de 4 metros (Alternativa A).
Questão 62
O objetivo da questão é verificar se o(a) estudante consegue observar as três projeções ortogonais da peça
dada formada por quatro cubos idênticos nos 3 planos quadriculados perpendiculares entre si. É importante
observar, também, a posição da peça dentro da malha quadriculada e sua projeção na malha correspondente.
As alternativas A) e E), por exemplo, mostram a projeção correta para as três faces da peça em questão,
contudo a alternativa A) traz essa projeção em lugares incorretos dentro da malha quadriculada.
A figura que apresenta uma posśıvel posição desse sólido, com suas respectivas projeções ortogonais sobre os
três planos citados de modo correto dentro da malha quadriculada, é a alternativa E.
Questão 63
A cáıda da água deve seguir a inclinação do telhado, portanto, a planta do escoamento da água deve seguir
as setas que indicam a inclinação das partes do telhado na Figura 2. Olhando para as opções, a única que
segue a inclinação correta do telhado é a alternativa B, pois indica corretamente as cáıdas de água nas
direções em que o telhado foi constrúıdo.
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Questão 64
A figura a seguir mostra uma vista lateral da representação do Atomium constrúıda no software Geogebra.
Observe que, como descrito no enunciado, essa estrutura está apoiada por um dos vértices sobre uma base
paralela ao plano do solo e a diagonal do cubo, contendo esse vértice, é ortogonal (perpendicular) ao plano
da base.
A partir de uma vista superior da mesma estrutura obtemos a imagem a seguir. Observe que desse modo
conseguimos visualizar exatamente a projeção ortogonal sobre o plano do solo do trajeto percorrido por esse
visitante.
Logo, a alternativa correta é o item E.
Questão 65
O brinquedo em questão é composto de dois cubos onde um se encontra dentro de outro. Isso se justifica,
pois, as hastes de mesma tonalidade e espessura são congruentes. Logo, representado por suas faces laterais,
há 6 · 2 = 12 quadrados.
As hastes metálicas na cor cinza conectam os vértices correspondentes de cada cubo formando, com isso,
vários trapézios isósceles. Tem-se 4 (quatro) na base, 4 nas laterais e 4 no topo.
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Portanto, a união das hastes forma 12 trapézios isósceles e 12 quadrados (Alternativa A).
Questão 66
Duas faces são consideradas opostas quando não têm arestas, nem vértices em comum. Um exemplo de faces
opostas em um octaedro é apresentado a seguir. As duas faces em destaque são opostas, pois não possuem
arestas, nem vértices em comum.
Vamos montar o octaedro dado a partir da planificação do octaedro do enunciado. Observe que as faces de
mesma cor e número na planificação fazem sua correspondência no octaedro montado.
Logo, a única face oposta à face de cor cinza é a face de número 4 (Alternativa E).
Questão 67
O volume do tronco de um cone pode ser calculado pela fórmula:
V =
πh(R2 + r2 +Rr)
3
onde:
� V = volume do tronco de cone;
� h = altura do tronco de cone;
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� R = raio da base maior do tronco de cone;
� r = raio da base menor do tronco de cone;
� π = constante matemática.
Uma vez que o diâmetro é o dobro do raio:
V =
πh[(D/2)2 + (d/2)2 + (D/2)(d/2)]
3
Substituindo os dados do problema:
V =
3 · 12[(10/2)2 + (8/2)2 + (10/2)(8/2)]
3
V =
36[25 + 16 + 20]
3
V =
36[25 + 16 + 20]
3
V = 732 cm3
Como 1 cm3 = 1 mL, 732 cm3 = 732 mL (Alternativa C).
Questão 68
Para resolver este problema, é necessário entender que a área total a ser pintada é composta pelas quatro
paredes e pelo piso interno do contêiner.
No projeto original, a área total a ser pintada é dada por:
Área Total Original = 4(largura · altura) + 4(comprimento · altura) + (largura · comprimento)
Já nas novas dimensões (o dobro do comprimento e da largura), a área total a ser pintada é dada por:
Nova Área = 4(2 · largura · altura) + 4(2 · comprimento · altura) + (2 · largura · 2 · comprimento)
Simplificando, temos:
Nova Área = 8(largura · altura) + 8(comprimento · altura) + 4(largura · comprimento)
Portanto, a quantidade de tinta necessária seria o dobro para as paredes e quatro vezes para o piso. Logo, o
Fornecedor II foi o que prestou informações adequadas (Alternativa B).
Questão 69
Para calcular o volume de água que o reservatório deve comportar, precisamos saber qual é o consumo diário
total da população. Com 100 habitantes e um consumo médio de 120 litros de água por dia, temos:
100 · 120 = 12.000 litros/dia
Como o reservatório precisa atender à demanda de água da população por 7 dias, o volume de água que ele
deve comportar é:
7 · 12.000 = 84.000 litros ou 84 m3
O reservatório terá a forma de um cilindro circular reto, e sabemos que a base tem diâmetro interno de 5
metros, o que significa que o raio interno da base é 5/2 = 2, 5 metros. Vamos chamar de h a altura interna
do cilindro, em metros.
O volume de um cilindro é dado por:
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V = πr2h
Substituindo os valores que conhecemos, temos:
84 = 3 · 2, 52 · h
Simplificando, temos:
84 = 18, 75h
h =
84
18, 75
h = 4, 48
Portanto, o reservatório deve ter uma altura interna mı́nima de 4,48 metros (Alternativa D).
Questão 70
Para determinar o projeto que exige a menor área de revestimento, precisamos encontrar o projeto com o
menor valor para a soma das áreas das paredes e do fundo da piscina.
A fórmula para calcular a área de um paraleleṕıpedo reto retângulo sem considerar o topo (base superior) é
dada por:
A = cL+ 2aL+ 2ac
onde:
� c é o comprimento da piscina,
� l é a largura da piscina,
� a é a altura (profundidade) da piscina.
Vamos calcular as áreas para cada um dos projetos:
Para o projeto I:
A1 = 25 · 2 + 2 · 1, 8 · 2 + 2 · 1, 8 · 25 = 147, 2 m2
Para o projeto II:
A2 = 9 · 5 + 2 · 2 · 5 + 2 · 2 · 9 = 101 m2
Para o projeto III:
A3 = 15 · 6 + 2 · 1 · 6 + 2 · 1 · 15 = 132 m2
Para o projeto IV:
A4 = 4 · 15 + 2 · 1, 5 · 15 + 2 · 1, 5 · 4 = 117 m2
Para o projeto V:
A5 = 12 · 3 + 2 · 2, 5 · 3 + 2 · 2, 5 · 12 = 111 m2
Portanto, a piscina que exige a menor área de revestimento é o projeto II (Alternativa B).
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Questão 71
Para resolver essa questão, vamos utilizar a fórmula do volume de um cone:
V =
1
3
πr2h
O volume original do chocolate é desconhecido, mas sabemos que o diâmetro da base é igual a 8 cm e a
altura é igual a 10 cm. Portanto, o raio da base do cone original é r1 = 8
2 = 4 cm.
Queremos encontrar o novo raio da base, r2, para o chocolate com um volume 19% menor. Vamos calcular o
novo volume:
V2 = 0, 81 · V1
Substituindo a fórmula do volume do cone e simplificando, temos:
1
3
π(r2)
2 · 10 = 0, 81 ·
(
1
3
π · 42 · 10
)
Cancelando os fatores em comum e resolvendo a equação, encontramos:
(r2)
2 = 0, 81 · 42
(r2)
2 = 0, 81 · 16
(r2)
2 = 12, 96
r2 = 3, 6
Portanto, o raio da base do novo chocolate será aproximadamente 3,6 cm (Alternativa C).
Questão 72
A projeção ortogonal é uma técnica usada para representar objetos tridimensionais em um plano bidimensional
de forma que as linhas projetadas sejam perpendiculares ao plano de projeção. Nesse tipo de projeção,
os objetos são projetados em um plano por meio de linhas de projeção perpendiculares a esse plano. A
posição dessas linhas em relação ao objeto determina como ele será projetado no plano. Cada vista ortogonal
representa uma perspectiva espećıfica do objeto e fornece informações sobre suas dimensões, formas e
posicionamento relativo dos elementos.
Para a questão, como os planos que contém os meridianos são perpendiculares entre si, com o plano que
contém o meridiano 1 paralelo ao plano α, o plano que contém o plano do meridiano 2 também é perpendicular
ao plano α. Assim, a projeção das trajetórias destacadas na figura sobre o plano α são retas perpendiculares
entre si que se ligam através dos arcos descritos pelo percurso no meridiano 1.
Logo, a alternativa correta é o item E.
Questão 73
Para calcular a quantidade de esferas que podem ser obtidas a partir da peça ciĺındrica, precisamos calcular o
volume da peça ciĺındrica e o volume de uma esfera. Em seguida, podemos dividir o volume da peça ciĺındrica
pelo volume de uma esfera para obter a quantidade de esferas.
O volume de uma peça ciĺındrica é dado pela fórmula:
Vc = πr2h
Onde r é o raio da base da peça ciĺındrica e h é a altura da peça ciĺındrica.
Substituindo os valores fornecidos, temos:
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Vc = π · (4 cm)2 · 50 cm = 800π cm3
Para calcular o volume de uma esfera, usamos a fórmula:
Ve =
4
3
πr3
Onde r é o raio da esfera, que é metade do diâmetro.
Substituindo o valor do diâmetro fornecido (1 cm), temos:
Ve =
4
3
π ·
(
1 cm
2
)3
=
π
6
cm3
Agora podemos calcular a quantidade de esferas dividindo o volume da peça ciĺındrica pelo volume de uma
esfera:
N =
Vc
Ve
Substituindo, temos:
N =
800π
π
6
= 4800
Portanto, a quantidade de esferas que podem ser obtidas a partir de cada peça ciĺındrica é de 4800
(Alternativa D).
Questão 74
De acordo com a planificação para o cubo mostrada na Figura 1, as faces opostas com cores iguais são dadas
como se observa na figura abaixo.
Por outro lado, observe também que, no cubo pintado com o quadrado de cor cinza escuro, as três faces
não são opostas entre si, pois compartilham o mesmo vértice. Logo, as opções posśıveis para planificação
devem conter quadrados de cor cinza em regiões de cores distintas. Assim, as únicas opções posśıveis são as
alternativas A ou D.
Analisando, por fim, o cubo formado pelas duas planificações, tem-se que a alternativa correta é o
item D.
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Questão 75
De acordo com o que é descrito no enunciado, o deslocamento completo do robô é dado como na figura a
seguir. Por outro lado, a projeção ortogonal dessa trajetória no plano da base do cubo é também mostrada
na face da base do cubo em cor de destaque.
Assim, a alternativacorreta é o item A.
Questão 76
Para determinar o modelo de caixa-d’água com a maior capacidade volumétrica, precisamos comparar os
volumes dos diferentes modelos.
O volume de um cilindro é dado pela fórmula V = Ab · P , onde Ab é a área da base e P é a profundidade.
Como a base de um cilindro é um ćırculo cuja área é calculada pela fórmula πr2, observe que Ab varia no
quadrado da variação do raio desse ćırculo. Se o raio do ćırculo dobra, por exemplo, sua área é quadruplicada.
Se o raio é reduzido à metade, por outro lado, sua área é reduzida à quarta parte.
Vamos analisar cada modelo:
� Modelo I: Volume = Ab · P
� Modelo II: Volume = ( 12Ab) · (2P ) = Ab · P
� Modelo III: Volume = ( 14Ab) · (2P ) =
1
2
·Ab · P
� Modelo IV: Volume = (2Ab) · ( 12P ) = Ab · P
� Modelo V: Volume = (4Ab) · ( 12P ) = 2 ·Ab · P
Portanto, o modelo escolhido deve ser o modelo V, pois ele tem maior capacidade (Alternativa E).
Questão 77
Para encontrar o número de porções da receita-base de massa necessárias, precisamos considerar a diferença
de volume entre os docinhos de 2 cm de diâmetro e os docinhos de 4 cm de diâmetro.
O volume de uma esfera é dado pela fórmula V = 4
3πr
3, onde r é o raio da esfera.
Primeiro, vamos calcular o volume dos docinhos de 2 cm de diâmetro:
V1 =
4
3
π(13) =
4
3
π
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Agora, vamos calcular o volume dos docinhos de 4 cm de diâmetro:
V2 =
4
3
π(23) =
4
3
π8 =
32
3
π
A razão entre os volumes dos docinhos de 4 cm e os docinhos de 2 cm é:
V2
V1
=
32
3 π
4
3π
=
32
4
= 8
Isso significa que cada docinho de 4 cm de diâmetro tem 8 vezes o volume de um docinho de 2 cm de diâmetro.
Se uma receita-base produz 50 docinhos maciços com 2 cm de diâmetro, a mesma receita faz 50
8 = 6, 25
docinhos com 4 cm de diâmetro. Logo, para fazer 150 docinhos com 4 cm de diâmetro serão necessárias
150÷ 6, 25 = 24 receitas (Alternativa E).
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Geometria plana
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ENEM - MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
GEOMETRIA PLANA
Questão 1
Considere que a área do terreno retangular equivale a 100% da área útil doado pelo governo para a construção
de residências. Seja, ainda, M como o ponto médio de AD e N como ponto médio de BC. Como AB =
BC
2
, o
quadrado AMNB contém 50% da área do terreno, assim como o quadrado MDCN.
Por sua vez, o quadrado demarcado por Antônio com vértice em A é igual a
1
25
do quadrado AMNB (ou
MDCN). É fácil verificar isto observando que, como AE =
AB
5
, cabem 5 destes quadrados na horizontal
sobre o segmento AM e 5 na vertical sobre AB.
Logo, o quadrado demarcado por Antônio tem 2% da área total do terreno e para que ele atenda a
recomendação, precisa aumentar o lado do seu quadrado para atingir, no máximo, (100− 94) = 6% da área
total.
Logo, atenderia exatamente o limite determinado pela condição se ele triplicasse a área do quadrado
(Alternativa C).
Questão 2
A solução desta tarefa passa pela observação do padrão que se apresenta no quebra-cabeças que está sendo
montado e apresentado na figura A. Com isso, a peça que completa o espaço em destaque na figura A tem
um triângulo cinza claro na direita, um triângulo cinza escuro em baixo, 1 triângulo com flores brancas em
cima e um triangulo com flor branca e miolo negro à esquerda.
Analisando as duas peças dispońıveis, é posśıvel preencher corretamente o espaço indicado pela seta no
tabuleiro da figura A colocando a peça 2 após girá-la 90◦ no sentido anti-horário (Alternativa C).
Questão 3
Seja x é a distância desejada. A figura abaixo ajudará a compreender a situação descrita.
Os dois triângulos retângulos na figura são semelhantes. Logo, a razão entre lados correspondentes é a mesma:
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2, 2
0, 8
=
x+ 3, 2
3, 2
3, 2 · 2, 2 = 0, 8(x+ 3, 2)
7, 04 = 0, 8x+ 2, 56
0, 8x = 4, 48
x = 5, 6
Logo, a alternativa correta é o item D.
Questão 4
A informação importante desta questão é que a direção seguida por um avião é sempre dada pela semirreta
com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino do avião. Assim sendo, o avião II segue uma
direção fazendo 135◦ com o segmento de reta que representa a direção seguida por um a avião A1 (caminho
verde) e chega à capital de número 13: Belo Horizonte.
Em seguida, o avião III segue uma direção fazendo 90◦ com o segmento de reta que representa a direção
seguida pelo avião A2 (caminho azul) e chega à capital de número 9: Salvador.
Assim, Carlos fez uma conexão em Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador (Alternativa B).
Questão 5
Seja Q1 e Q2 as vazões da água e A1 e A2 as áreas das seções transversais, respectivamente, nas canaletas
representadas nas figuras I e II. Como temos os trapézios que representam os cortes transversais, conseguimos
calcular as áreas A1 e A2,
A1 =
(base maior + base menor) · altura
2
=
(30 + 20) · 2, 5
2
= 62, 5 m2
A2 =
(49 + 41) · 2
2
= 90 m2
Uma vez que conhecemos Q1, a velocidade da água (v) no local pode ser calculada:
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Q1 = A1v ⇒ 1.050 = 62, 5v ⇒ v = 16, 8 m/s
Dado a velocidade v, a vazão esperada para depois da reforma na canaleta pode ser calculada:
Q2 = A2v ⇒ Q2 = 90 · 16, 8 ⇒ v = 1512 m3/s (Alternativa D)
Questão 6
Para a primeira encomenda, tem-se os seguintes custos:
� tela: 8 · (0, 25 · 0, 5) · R$ 20, 00 = R$ 20, 00
� moldura: 8 · (2 · 0, 25 + 2 · 0, 5) · R$ 15, 00 = R$ 180, 00
� taxa de entrega: R$ 10, 00
TOTAL: R$ 20, 00 + R$ 180, 00 + R$ 10, 00 = R$ 210, 00
Para a segunda encomenda, tem-se os seguintes custos:
� tela: 8 · (0, 5 · 1, 0) · R$ 20, 00 = R$ 80, 00
� moldura: 8 · (2 · 0, 5 + 2 · 1, 0) · R$ 15, 00 = R$ 360, 00
� taxa de entrega: R$ 10, 00
TOTAL: R$ 80, 00 + R$ 360, 00 + R$ 10, 00 = R$ 450, 00
Logo, o valor da segunda encomenda será maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro
(Alternativa B).
Questão 7
Pelo caso AA (ângulo-ângulo), os triângulos BAC e MNC são semelhantes. Logo,
AC
NC
=
AB
MN
=
BC
MC
.
Dado que N é o ponto médio do segmento AC, logo
AC
NC
=
AB
MN
=
BC
MC
= 2. Assim, o triângulo BAC é uma
ampliação do triângulo MNC na razão 2.
Duas figuras semelhantes possuem áreas proporcionais que variam no quadrado da proporção entre suas
dimensões. Assim sendo, o triângulo BAC tem 22 = 4 vezes a área do triângulo MNC e, com isso, a área a ser
calçada corresponde a
3
4
da área do triângulo BAC, enquanto que a área do triângulo MNC corresponde a
1
4
.
Logo, a área a ser calçada corresponde ao triplo da área do triângulo MNC (Alternativa E).
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Questão 8
A área da página inteira é o produto de suas dimensões:
260 · 400 = 104000 mm2
A área destinada a outros jornais é:
x · 26 = 26x mm2
Como esta área corresponde a 4% da página inteira,
4% de 104000 = 26x ⇒ 0, 04 · 104000 = 26x ⇒ 4160 = 26x ⇒ x = 160 mm
Logo, a alternativa correta é o item D.
Questão 9
O deslocamento horizontal y do bloco de pedra está relacionado com o raio R da base dos rolos ciĺındricos.
Como não há deslizamento, a distância y corresponderá ao peŕımetro (circunferência) da base dos rolos
ciĺındricos, que é 2πR, mais a distância percorrida pelos rolos que também vale 2πR.
Logo, a expressão do deslocamento horizontal y do bloco de pedra em função de R, após o rolo ter dado uma
volta completa sem deslizar, é 2πR+ 2πR = 4πR (Alternativa E).
Questão 10
Consideremos a face triangular do prisma e suas dimensões,
Fazendo divisões convenientes, tem-se dois pares de triângulos retângulos congruentes.
Logo,
8− r = 10− (6− r) ⇒ 8− r = 4 + r ⇒ 2r = 4 ⇒ r = 2
Assim, o raio da perfuração da peça é igual a 2 cm (Alternativa B).Licensed to José Leal - lealqmc@gmail.com - 00961249382
Questão 11
Calcula-se a área de um retângulo fazendo o produto entre sua base e altura. Assim,
� Área do terreno 1: 55 · 45 = 2475 m2
� Área do terreno 2: 55 · 55 = 3025 m2
� Área do terreno 3: 60 · 30 = 1800 m2
� Área do terreno 4: 70 · 20 = 1400 m2
� Área do terreno 5: 95 · 85 = 8075 m2
A restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar
a praça. Com isso, o peŕımetro de cada um dos terrenos não pode ultrapassar 180 m. Calculando cada
peŕımetro,
� Peŕımetro do terreno 1: 55 + 55 + 45 + 45 = 200 m
� Peŕımetro do terreno 2: 55 + 55 + 55 + 55 = 220 m
� Peŕımetro do terreno 3: 60 + 60 + 30 + 30 = 180 m
� Peŕımetro do terreno 4: 70 + 70 + 20 + 20 = 180 m
� Peŕımetro do terreno 5: 95 + 95 + 85 + 85 = 360 m
Logo, os únicos terrenos posśıveis são o terreno 3 e o terreno 4. Como o 3 tem maior área, os moradores
deverão escolher o terreno 3 (Alternativa C).
Questão 12
O poĺıgono que dá a forma a calçada é formado por 3 hexágonos regulares. Assim sendo, cada um dos seus
ângulos internos mede 60◦. Com isso, ao rotacionar esse poĺıgono em torno de seu centro por um ângulo de
60◦, tem-se novamente o poĺıgono com a mesma disposição.
Logo, a alternativa correta é o item B.
Questão 13
O percurso de cada raia não tem o mesmo comprimento. Para ver isso, basta observar que os arcos de
circunferência têm tamanhos diferentes a medida em que o raio aumenta. O atleta na raia 1, por exemplo,
percorre, em uma volta, 2 · 84, 39 metros mais a circunferência do ćırculo de raio 36,5 m. O atleta na raia 8,
por outro lado, percorre 2 · 84, 39 metros mais a circunferência do ćırculo de raio 36,5 + 9,76 m.
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Como a circunferência é uma função crescente do raio do ćırculo, partindo do mesmo ponto o corredor na
raia mais próxima ao centro seria beneficiado em relação aos demais corredores (Alternativa A).
Questão 14
O peŕımetro de uma figura plana é a soma dos seus lados. Assim, dado que o raio dos 4 ćırculos tem mesma
medida, cada lado do losango tem medida 2r. Logo, o peŕımetro do losango da Figura 1 é 4 · 2r = 8r.
Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em vértices opostos do losango e ainda mantendo-se
a configuração das tangências, o novo losango terá cada lado medindo 3r. Com isso, seu peŕımetro será
4 · 3r = 12r.
Se o peŕımetro era 8r e passou a ser 12r, houve um aumento e quer-se encontrá-lo na forma percentual. Para
tal, utiliza-se uma regra de três simples,
8r ⇒ 100%
12r ⇒ x%
Multiplicando de forma cruzada e resolvendo a equação,
8rx = 1200r
8x = 1200
x =
1200
8
= 150
Logo, subiu de 100% para 150% alcançando um acréscimo de 50% (Alternativa E).
Questão 15
De acordo com as instruções dadas,
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� 600 BTU/h por m2, considerando-se até duas pessoas no ambiente:
Como a sala tem dimensões 4× 5 = 20 m2, serão necessários 600 · 20 = 12 000 BTU/h em relação à área
da sala.
� para cada pessoa adicional nesse ambiente, acrescentar 600 BTU/h:
Como há 4 pessoas no ambiente, tem 2 a mais que o orientado na instrução anterior. Logo, 600 · 2 =
1200 BTU/h a mais serão necessários.
� acrescentar mais 600 BTU/h para cada equipamento eletroeletrônico em funcionamento no ambiente:
Com um aparelho de televisão em funcionamento, adiciona-se mais 600 BTU/h.
Fazendo a soma,
12 000 + 1 200 + 600 = 13800 BTU/h (Alternativa D)
Questão 16
Segundo o texto, a base da estátua considerada é quadrada e a base de apoio tem formato circular. Também
é informado, por medida de segurança, que a base da estátua deve estar contida inteiramente na base de
apoio. A figura a seguir mostra uma representação para o caso extremo.
Observe aqui que o raio R do ćırculo é igual a metade da diagonal do quadrado de lado L. Esse é o caso
extremo. Atendendo à recomendação, a metade da diagonal do quadrado também pode ser menor do que o
raio do ćırculo.
Como a diagonal vale L
√
2, logo:
R ≥ L
√
2
2
Multiplicando o numerador e o denominador da fração do lado direito da inequação por
√
2,
R ≥ 2L
2
√
2
=
L√
2
Logo, a alternativa correta é o item A.
Questão 17
Calcula-se, inicialmente, a área de cada cômodo.
� Área I: 5 · 8 = 40 m2;
� Área II: 5 · (14− 8) = 5 · 6 = 30 m2;
� Área III: (9− 5) · 6 = 4 · 6 = 24 m2;
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� Área IV:
(6 + 4) · 7
2
= 35 m2.
Logo, seguindo a recomendação de cada tipo de aquecedor,
� Área I: modelo A, pois 35 < 40 < 45;
� Área II: modelo B, pois 30 < 35;
� Área III: modelo B, pois 24 < 35;
� Área IV: modelo A, pois 35 = 35 < 45.
Assim, serão necessários duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B (Alternativa C).
Questão 18
Seja O o centro do quadrado com vértices G, H, I e J. Uma divisão conveniente da figura ajuda a calcular
sua área.
Dado que AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado, AP = PO = OQ = QC. Como triângulos
de mesma base e altura tem mesma área, os triângulos APB, POB, OQB, QCB, APD, POD, OQD e QCD
tem todos mesma área.
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Ainda, como A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado, a área do triângulo AOB, por exemplo,
vale 1/2 da área do quadrado AOBG. Logo, o triângulo APB tem 1/4 da área do quadrado AOBG. O mesmo
vale para os quadrados OCHB, IDOA e DJCO. Assim, a parte mais clara equivale a 1/4 do quadrado todo
(quadrado IJHG).
Fazendo, agora, as contas acerca do custo por m2 dependendo do material:
1
4
· R$50, 00 +
3
4
· R$30, 00 = R$35, 00
Logo, a alternativa correta é o item B.
Questão 19
A informação apresentada sobre a longitude do vulcão é 124◦3’0”: 124 graus, 3 minutos e 0 segundos.
Desejando essa medida na forma decimal, quer-se saber a fração de graus que corresponde aos minutos e
segundos fornecidos.
Usando regra de três simples,
60 minutos ⇒ 1 grau
3 minutos ⇒ x graus
Multiplicando de forma cruzada,
60x = 3
x =
3
60
=
1
20
= 0, 05
Logo, 124◦3’0” = 124,05◦ (Alternativa B).
Questão 20
Fazendo um esboço do prisma obĺıquo que representa uma das torres e acrescentando um ponto C oportuno,
tem-se:
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Aplicando trigonometria básica ao triângulo ABC,
tan 15◦ =
AC
AB
0, 26 =
AC
114
AC = 29, 64 m
Assim, a área da base desse prédio pode ser calculada:
Área = 29, 64 · 29, 64 = 878, 5296 m2
Logo, trata-se de uma valor maior do que 700 m2 (Alternativa E).
Questão 21
Unindo todos os centros dos ćırculos que representam o corte transversal dos dutos tem-se um triângulo
equilátero de lado igual a 60 cm. Isso se justifica, pois o raio do ćırculo menor é 30 cm e o lado do triângulo
corresponde ao dobro do raio, uma vez que os ćırculos são tangentes. Note, ainda, que o centro do ćırculo
maior é também o centro do triângulo nomeado de ponto O.
O centro de um triângulo equilátero é também seu baricentro. Da teoria, trata-se do encontro das medianas
desse triangulo. Ainda da teoria, a distância de um dos vértices do triângulo equilátero a seu baricentro é
2/3 da altura desse triângulo relativa à esse vértice. Veja:
Como (também da teoria!) a altura h vale
l
√
3
2
, logo AO =
2
3
· 60
√
3
2
= 20
√
3 . Assim, o raio (R) do ćırculo
maior (segmento vermelho na figura abaixo) pode ser calculado:
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10 + 30 + 20
√
3 = 40 + 20 · 1, 7 = 74 cm
Logo, a alternativa correta é o item C.
Questão 22
Como as placas são quadradas, a área de cada uma das placas é y2. Tendo N placas em cada caixa, a área S
que pode ser coberta é dada pelo produto N · y2.
Ao triplicar a medida dos lados de suas placas, cada uma passa a ter lado 3y. Assim sendo, a área de cada
uma passa a ser (3y)2 = 9y2. Dadoque a nova caixa não sofreu alteração na área de cobertura S, a mudança
se deu no número de placas dessa nova caixa. Seja X tal quantidade.
Assim:
S = X · 9y2
Mas como S = N · y2,
N · y2 = X · 9y2
N · ��y
2 = X · 9��y
2
N = 9X
X =
N
9
Logo, a quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a
N
9
(Alternativa A).
Questão 23
O volume da piscina restante após a construção da ilha de lazer é o volume do cilindro inicial de raio R e o
volume do novo cillindro de raio r. Segundo o enunciado, a piscina restante deve ter no mı́nimo 4 m3 de
volume. Assim,
12− π · r2 · 1 ≥ 4
Resolvendo a equação,
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12− 3 · r2 · 1 ≥ 4
−3 · r2 ≥ 4− 12
−3 · r2 ≥ −8
3 · r2 ≤ 8
r2 ≤ 8
3
r ≤
√
8
3
≈ 1, 6
Logo, o raio máximo da ilha de lazer r, em metros, estará mais próximo de 1,6 (Alternativa A).
Questão 24
A simetria em relação a um ponto é o “giro” da figura por uma trajetória circular tomando o ponto como
centro dessa trajetória. Esse giro pode acontecer no sentido horário ou anti-horário. Observe que um dos
vértices do quadrado da figura (ponto O) mantém-se fixo e a figura gira em torno dele por um ângulo de 180◦.
Assim, a alternativa correta é o item E.
Questão 25
São semelhantes os triângulos ABD e AFE e os triângulos CAB e EFB. Logo,
DB
EF
=
BA
FA
e
CA
EF
=
AB
FB
Como CA = 4 e DB = 6,
6
EF
=
BA
FA
e
4
EF
=
AB
FB
(1)
e, assim,
6 · FA = 4 · FB ⇒ 3
2
FA = FB
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Isolando EF na primeira igualdade em (1),
EF =
6FA
BA
Mas como BA = FA+ FB e FB =
3
2
FA,
EF =
6FA
FA+
3
2
FA
EF =
6FA
5
2
FA
EF =
6��FA
5
2
��FA
EF =
12
5
EF = 2, 4
Logo, o comprimento da haste EF é de 2,4 m (Alternativa C).
Questão 26
A figura da questão traz a planificação de uma caixa que tem a forma de um paraleleṕıpedo retângulo. As
três dimensões da caixa (largura, altura e comprimento) são os três segmentos de tamanhos diferentes em
destaque na figura abaixo.
Assim sendo, observe que os 90 cm mostrados trazem, além do segmento desejado, dois comprimentos de 24
cm.
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Logo, as três dimensões da caixa são 24 cm, (90 − 24 − 24) = 42 cm e x cm. Uma vez que a soma das
dimensões não pode ultrapassar 115 cm,
24 + 42 + x ≤ 115
66 + x ≤ 115
x ≤ 115− 66
x ≤ 49
Portanto, o maior valor posśıvel para x é 49 cm (Alternativa E).
Questão 27
O lado de maior extensão para o plantio mede 14 m. Como há de se ter um espaçamento mı́nimo de 3 metros
entre as mudas e também entre as mudas e a lateral, descontamos 3 + 3 = 6 metros dessa dimensão, restando
14− 6 = 8 metros. Logo, pode-se plantar 3 mudas nesse lado de maior extensão.
O lado de menor extensão mede 11,5 m. Da mesma forma, descontamos 3 + 3 = 6 metros dessa dimensão,
restando 11, 5− 6 = 5, 5 metros. Logo, somos levados a acreditar que seria posśıvel plantar somente 2 mudas
nesse lado de menor extensão.
Acontece, porém, que as fileiras de mudas não precisam estar alinhadas na vertical. A figura a seguir mostra
como uma terceira fileira de mudas pode perfeitamente ser encaixada respeitando as condições propostas no
enunciado. O quadriculado proposto e os ćırculos pontilhados de raio 3 ajudam a entender a situação.
Logo, o número máximo de mudas que podem ser plantadas é 9 (Alternativa C).
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Questão 28
Após as dobras e o corte sobre as linhas pontilhadas ao longo da folha dobrada como descrito (Figura 2),
abre-se a folha e a bandeirinha está pronta. A folha aberta com os cortes tem a seguinte forma com a parte
colorida a área que foi retirada do quadrado:
Assim, a figura que representa a forma da bandeirinha pronta é a figura da alternativa E.
Questão 29
A área de cobertura das 2 antenas que serão substitúıdas é a soma das áreas dos ćırculos de raio 2 km. Logo,
Área coberta = 2 · πr2 = 2 · π · 22 = 8π km2
A nova área de cobertura equivale a área de um ćırculo de raio igual ao diâmetro de um dos ćırculos menores.
Logo, vale 4 km. Assim, a nova área coberta pode ser calculada:
Nova área coberta = π · 42 = 16π km2
Assim, com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi
ampliada em 16− 8 = 8 km2 (Alternativa A).
Questão 30
Cada figura apresentada pode ser dividida em triângulos de forma conveniente onde cada porcentagem possa
ser observada. Veja:
Assim sendo, em cada figura, da esquerda para direita,
�
5
9
é carboidrato,
3
9
é gordura e
1
9
é protéınas;
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�
4
8
é carboidrato,
3
8
é gordura e
1
8
é protéınas;
�
6
10
é carboidrato,
3
10
é gordura e
1
10
é protéınas;
�
7
12
é carboidrato,
4
12
é gordura e
1
12
é protéınas;
�
12
16
é carboidrato,
3
16
é gordura e
1
16
é protéınas;
Como
6
10
= 60%,
3
10
= 30% e
1
10
= 10%, o único que satisfaz as condições necessárias para representar a
ingestão correta de diferentes tipos de alimentos é o pentágono (Alternativa C).
Questão 31
A piscina como se apresenta é a união de três setores circulares iguais de raio R cujo ângulo central é 60◦.
Por conseguinte, a área desses setores juntos equivale a área da metade de um ćırculo de raio R.
Como o proprietário quer que a área ocupada pela nova piscina seja menor que a ocupada pela piscina já
existente de 50× 24m, logo
π ·R2
2
< 50 · 24
Resolvendo a inequação:
π ·R2
2
< 1200
π ·R2 < 2400
R2 <
2400
3
R2 < 800
R <
√
800
R < 28, 2 (aproximadamente)
Uma vez que R deve ser um número natural, R = 28 (Alternativa B).
Questão 32
A área do trapézio é dada como segue:
Área do trapézio =
(Base maior + base menor) · altura
2
Logo, a área de cada garrafão no esquema I é:
Área do trapézio =
(600 + 360) · 580
2
= 278 400cm2
Com o novo formato retangular, cada garrafão no esquema II tem área:
Área do retângulo = 580 · 490 = 284 200cm2
Logo, houve um aumento na área ocupada por cada garrafão, correspondente a 284 200− 278 400 = 5 800
cm2 (Alternativa A).
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Questão 33
Para resolver esse problema, vamos analisar cada diâmetro posśıvel da serra copo, e verificar se ele atende às
condições estabelecidas pelo marceneiro, ou seja, se uma peça de base circular com esse diâmetro não cabe
nas perfurações quadrada, retangular e triângular, e se nenhuma dessas peças cabe na perfuração circular
com esse diâmetro.
Alguns resultados serão úteis antes da análise:
1. A altura de um triângulo equilátero de lado l vale
l
√
3
2
;
2. O raio r de uma circunferência inscrita em um triângulo equilátero é um terço de sua altura. Logo, o
raio r de uma circunferência inscrita em um triângulo equilátero de lado l vale
l
√
3
6
;
3. O raio R de uma circunferência circunscrita em um triângulo equilátero é dois terços de sua altura.
Logo, o raio R de uma circunferência inscrita em um triângulo equilátero de lado l vale
l
√
3
3
.
Diâmetro I: 3,8 cm
� Se a perfuração tem esse diâmetro, é fácil observar que a peça circular com esse diâmetro também
entrará no orif́ıcio de base quadrada. Isso ocorre, pois 3, 8 < 4, que é o lado da perfuração quadrada.
Também cabe observar que é a única perfuração onde essa peça redonda caberia. De fato, não caberia
na perfuração retangular (3, 8 > 3) e na perfuração triangular (3, 8 >
6, 8
√
3
6
≈ 1, 93) cm.
Diâmetro II: 4,7 cm
� Nesse caso, a peça circular com esse diâmetro não entraria na perfuração quadrada (4, 7 > 4). Como
4, 7 > 3, 8, as mesmas considerações do item anterior valem para a perfuração retangular e triangular.
� A peça quadrada não entraria na perfuração circular. De fato, para que isso fosse posśıvel é necessário
que a diagonal desse quadrado sejamenor ou igual ao diâmetro da perfuração circular. Como o quadrado
tem lado igual a 4 cm, sua diagonal vale 4
√
2 ≈ 5, 6 > 4, 7.
� A peça retangular também não entraria na perfuração circular. De fato, para que isso fosse posśıvel é
necessário que a diagonal maior desse retângulo seja menor ou igual ao diâmetro da perfuração circular.
Como o retângulo tem lados 4 e 3 cm, sua diagonal vale 5 cm (teorema de Pitágoras) e 5 > 4, 7.
� A peça triangular também não entraria na perfuração circular. Para que isso pudesse ocorrer, é
necessário que o raio da circunferência que circunscreve o triângulo seja maior do que
l
√
3
3
. Contudo,
4, 7
2
= 2, 35 <
6, 8
√
3
3
≈ 3, 85.
Diâmetro III: 5,6 cm
� Também, a peça circular com esse diâmetro não entraria em nenhuma das perfurações.
� A peça quadrada, no entanto, entraria na perfuração circular. De fato, a diagonal desse quadrado ficaria
igual ao diâmetro da perfuração circular 4
√
2 ≈ 5, 6 = 5, 6.
� A peça retangular também entraria na perfuração circular. De fato, como o retângulo tem lados 4 e 3
cm, sua diagonal vale 5 cm e 5 < 5, 6.
� A peça triangular não entraria na perfuração circular. Para tal, observe que
5, 6
2
= 2, 8 < 3, 85.
Dada as análises anteriores, não é dif́ıcil imaginar que os diâmetros maiores (IV e V) também não se
adequariam à situação. Assim, o exemplar de serra copo o marceneiro deverá escolher é o exemplar II de
diâmetro 4,7 (Alternativa B).
Questão 34
Seja P = (90, y) a interseção dos dois segmentos de reta que representam a distribuição de salários pagos
destacando-se a parcela do total da massa salarial que é paga aos 10% que recebem os maiores salários. É
importante observar que a área do trapézio indicado na figura também faz parte da área B.
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A área B pode ser calculada em função de y como a soma da área de um triângulo e a área de um trapézio:
B =
(90− 0) · y
2
+
(100 + y) · (100− 90)
2
= 45y + 500 + 5y = 500 + 50y
Ainda, a área do triângulo maior em destaque (S) é igual a soma das áreas A+B:
S = A+B = A+ 500 + 50y
Por outro lado, a área S também pode ser calculada usando a fórmula que dá a área de um triângulo.
S =
100 · 100
2
= 5000
Igualando as duas áreas:
A+ 500 + 50y = 5000
A = 4500− 50y
Usando, agora, a fórmula para o cálculo do ı́ndice de Gini e igualando a meta desejada pela empresa:
A
A+B
= 0, 3
4500− 50y
4500− 50y + 500 + 50y
= 0, 3
4500− 50y
5000
= 0, 3
4500− 50y = 1500
−50y = 1500− 4500
−50y = −3000
y = 60
Logo, o ponto P tem coordenadas (90, 60). Assim, para atingir a meta desejada, o percentual deve ser de
100− 60 = 40% (Alternativa A).
Questão 35
O terreno do filho mais velho pode ser decomposto em partes menores para que seja posśıvel calcular sua
área em termos das fórmulas de áreas conhecidas (triângulos).
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Área I:
I =
15 · 15
2
= 112, 5 m2
Área II:
I =
21 · 3
2
= 31, 5 m2
Assim, o terreno do irmão mais velho tem área de 112, 5 + 31, 5 = 144 m2.
Dado que os terrenos devem ter áreas de mesma medida,
x · (x+ 7) = 144 ⇒ x2 + 7x− 144 = 0
Resolvendo a equação do 2◦ grau por soma e produto:{
x1 + x2 = −7
x1 · x2 = −144 ⇒ x1 = 9 e x2 = −16
Como x deve ser positivo, exclui-se a solução x2 = −16 e as dimensões do terreno são x1 = 9 e x1 + 7 = 16.
Logo, esse senhor precisa encontrar um terreno retangular cujas medidas do comprimento e da largura sejam
iguais, respectivamente, a 9 e 16 metros (Alternativa B).
Questão 36
O peŕımetro do terreno dispońıvel é dado pela expressão 2x+ 2y. Como nos lados paralelos ao palco será
usada uma tela do tipo A, mais resistente, cujo valor do metro linear é R$ 20,00; e nos outros dois lados será
usada uma tela do tipo B, comum, cujo metro linear custa R$ 5,00, o custo é dado pela expressão:
2x · 20 + 2y · 5 = 40x+ 10y
Dado que a empresa dispõe de R$ 5 000 dispońıvel,
40x+ 10y = 5000 ⇒ 4x+ y = 500 (2)
Por outro lado, a área do terreno (A) é dada pelo produto xy que deve ser máxima. Isolando y na Equação
(2) e substituindo na expressão da área:
A = x(500− 4x) = −4x2 + 500x
Observe, agora, que a área A está em função de x e que essa função é quadrática.
A área máxima ocorre para x = xvértice:
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xvértice = − b
2a
= − 500
2 · (−4)
= 62, 5
Assim, x = 62, 5 e y = 500− 4(62, 5) = 250. Logo, será comprado 2x = 2 · 62, 5 = 125 m da tela do tipo A e
2y = 2 · 250 = 500 m da tela do tipo B (Alternativa D).
Questão 37
Um triângulo retângulo é um tipo de triângulo que possui um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90 graus.
Os outros dois ângulos são agudos, ou seja, menores que 90 graus. Como o mosaico deve ter o formato de um
triângulo retângulo, os mosaicos 4 e 5 não tem as caracteŕısticas descritas.
Dois triângulos retângulos são congruentes se possuem os mesmos comprimentos para seus lados adjacentes
ao ângulo reto. Essa congruência implica que os outros lados e ângulos dos triângulos também são iguais.
Ao observar os mosaicos restantes, vê-se que apenas os mosaicos 2 e 3 contém duas peças como triângulos
retângulos congruentes.
Um triângulo isósceles é um tipo de triângulo em que dois dos seus lados possuem o mesmo comprimento.
Isso implica que os ângulos opostos a esses lados também possuem o mesmo valor. Observando os mosaicos 2
e 3, vê-se que somente o mosaico 2 apresenta essa terceira peça com esse formato.
Logo, o único mosaico que atende as caracteŕısticas citadas é o mosaico 2 (Alternativa B).
Questão 38
O tampo de vidro retangular deve ser escolhido de forma que, ao ser colocado sobre a base retangular da
mesa, sobre a borda externa da base deve sobrar uma região, correspondendo a uma moldura em vidro,
limitada por um mı́nimo de 4 cm e máximo de 8 cm fora da base da mesa, em cada lado.
Para que seja escolhido o tampo de menor área posśıvel que satisfaça as condições, devemos analisar cada
tampo que atenda às condições exigidas. Vamos analisar cada opção:
� Tipo 1: 110 cm × 125 cm
Nesse caso, sobrará 2,5 cm em cada lateral da base da mesa. Como 2,5 cm está abaixo do mı́nimo de 4
cm exigido pelo problema, essa opção não é válida.
� Tipo 2: 115 cm × 125 cm
Nesse caso, sobrará 5 cm na lateral AC e 2,5 cm na lateral AB. Essa opção não é válida, pois a sobra
mı́nima exigida pelo problema não é atingida na lateral AB.
� Tipo 3: 115 cm × 130 cm
Nesse caso, sobrará 5 cm na lateral AC e 5 cm na lateral AB. Essa opção é válida, pois a sobra mı́nima
exigida pelo problema é atingida em ambas as laterais sem ultrapassar a sobra máxima.
� Tipo 4: 120 cm × 130 cm
Nesse caso, sobrará 7,5 cm na lateral AC e 5 cm na lateral AB. Essa opção é válida, pois a sobra mı́nima
exigida pelo problema também é atingida em ambas as laterais sem ultrapassar a sobra máxima.
� Tipo 5: 120 cm × 135 cm
Nesse caso, sobrará 7,5 cm na lateral AC e 7,5 cm na lateral AB. Essa opção também é válida, pois a
sobra mı́nima exigida pelo problema também é atingida em ambas as laterais sem ultrapassar a sobra
máxima.
Acontece, porém, que é desejado escolher o tampo de menor área posśıvel que satisfaça as condições propostas.
Assim sendo, o tampo escolhido deve ser o do tipo 3 (Alternativa C).
Questão 39
Em resumo, para que o pouso de um avião seja autorizado, a aeronave deve satisfazer as seguintes condições
de segurança:
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� sua envergadura deve ser menor do que 0,045 km = 45 metros;
� seu comprimento deve ser inferior a 60 metros;
� sua carga máxima não ultrapasse 110 t = 110 000 kg.
Logo, observando a tabela vê-se que os únicos modelos de acordo são os modelos A e B (Alternativa B).
Questão 40
O fato de um dos lados do terreno encontrar-se às margens do rio, não querdizer que não será cercado. O rio
na figura serve apenas de referência. Assim, serão necessários 2x+ 2y metros de tela para cercar o terreno.
O material da cerca custa R$ 4,00 por metro para os lados do terreno paralelos ao rio (lados de medida x), e
R$ 2,00 por metro para os demais lados (lados de medida y). Logo, o custo pode ser calculado:
2x · 4 + 2y · 2 = 8x+ 4y = 4(2x+ y)
Sabendo que o proprietário gastará R$ 7 500,00 para cercar todo o terreno,
4(2x+ y) = 7500
Logo, a alternativa correta é o item A.
Questão 41
Seja r o raio do bolim e R o raio da bocha. A figura a seguir nos ajudará com o restante da solução.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo em destaque:
(R+ r)2 = (R− r)2 + d2
d2 = (R+ r)2 − (R− r)2
d2 = R2 + 2Rr + r2 − (R2 − 2Rr + r2)
d2 = 4Rr
d =
√
4Rr
d = 2
√
Rr
Substituindo R = 5 e r = 2 cm:
d = 2
√
5 · 2 = 2
√
10
Logo, a razão
d
r
vale:
d
r
=
2
√
10
2
=
√
10
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Assim, a alternativa correta é o item E.
Questão 42
Para determinar o aumento no número de mudas de morango, podemos seguir os seguintes passos:
� Determinar a área atual da plantação de morangos em metros quadrados:
área de cada muda = 0, 1 m× 0, 2 m = 0, 02 m2
Como a área total da plantação é de 10 000 m2, podemos dividir a área total pelo tamanho de cada
muda:
número de mudas =
10 000 m2
0, 02 m2
= 500 000
� Determinar a nova área da plantação de morangos:
Para aumentar a área em 20%, precisamos multiplicar a área atual por 1,2:
nova área = 10 000 m2 × 1, 2 = 12 000 m2
� Determinar o número de mudas de morango necessárias na nova área:
Usando o mesmo tamanho de muda de 0, 02 m2, podemos calcular o número de mudas necessárias
dividindo a nova área pela área de cada muda:
número de mudas =
12 000 m2
0, 02 m2
= 600 000
� Determinar o aumento no número de mudas de morango:
Para calcular o aumento, subtráımos o número atual de mudas do número necessário de mudas:
aumento no número de mudas = 600 000− 500 000 = 100 000
Portanto, o aumento no número de mudas de morango necessário para aumentar a área plantada em 20% é
de 100 000 (Alternativa C).
Questão 43
A imagem abaixo ajudará com a solução.
Assim, a forma de recolocar a tela na posição original, obedecendo ao que foi estabelecido, é girando-a em
um ângulo de 45◦ + 45◦ + 45◦ = 135◦ no sentido horário (Alternativa B).
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Questão 44
Observe a figura abaixo:
Como podemos ver, a altura dos três canos empilhados é dado por 2r + h, onde r é o raio do cano e h a
altura do triângulo equilátero de lado 2r.
A altura h de um triângulo de lado l é dado por
l
√
3
2
. Esse é um importante resultado da geometria plana.
Assim:
h =
2r
√
3
2
= r
√
3
Usando que r = 0, 6 m e
√
3 ≈ 1, 7:
h = 0, 6 · 1, 7 = 1, 02 metros
Logo, a altura dos três canos empilhados é:
2r + h = 2 · 0, 6 + 1, 02 = 2, 22 metros
Somando a essa altura a distância da carroceria ao solo e a margem de segurança:
2, 22 + 1, 30 + 0, 5 = 4, 02 metros
Portanto, a alternativa correta é o item D.
Questão 45
A região em que serão afixados os doces corresponde à superf́ıcie da esfera restante após a retirada da calota
esférica removida do melão. Para maximizar a área dessa superf́ıcie, precisamos cortar a calota o mais
próximo posśıvel da base do melão, mas garantindo que a seção circular de corte tenha raio mı́nimo de 3 cm.
Desse modo, a área máxima é obtida para o menor raio posśıvel para a calota, ou seja, com raio igual a 3 cm.
Seja h a altura da calota esférica cortada do melão, como na figura. Como o diâmetro do melão é 10 cm,
seu raio é r = 5 cm. O raio da seção circular de corte é 3 cm. Usando o Teorema de Pitágoras, podemos
encontrar o tamanho do segmento OA:
OB
2
= OA
2
+AB
2
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Substituindo:
52 = OA
2
+ 32
25 = OA
2
+ 9
OA
2
= 16
OA = 4
Logo,
h = 5−OA = 5− 4 = 1
Portanto, o chefe de cozinha deverá cortar a calota do melão a uma altura de 1 cm (Alternativa C).
Questão 46
Para determinar a área mı́nima da bandeja necessária, precisamos encontrar as dimensões da bandeja que
podem acomodar as quatro taças, com as bases totalmente apoiadas na bandeja e dispostas em uma única
fileira paralela ao lado maior da bandeja.
Como cada taça tem uma base de raio 4 cm, a primeira taça é acomodada perfeitamente em uma área
quadrada de lado 8cm.
A segunda taça, no entanto, não pode ter a base adjacente à base da primeira taça. Lembre-se que, como a
borda superior é um ćırculo de maior raio, é preciso que essas distâncias sejam respeitadas também na base
para que uma não se sobreponha a outra. Veja o esquema da bandeja com as quatro taças em uma vista
superior:
Assim, a maior dimensão da bandeja tem comprimento:
8 + 1 + 1 + 8 + 1 + 1 + 8 + 1 + 1 + 8 = 38 cm
A menor, por outro lado, tem comprimento 8 cm.
Logo, a bandeja a ser escolhida deverá ter uma área mı́nima, em cent́ımetro quadrado, igual a 38×8 = 304 cm2
(Alternativa C).
Questão 47
Para que o pivô complete uma volta completa em 25 horas, cada torre deve percorrer uma distância igual
à circunferência da trajetória percorrida pelo pivô em 25 horas. Esse trajeto é diferente para cada torre e
equivale à circunferência de três diferentes ćırculos com diferentes raios.
Vamos calcular o comprimento desse trajeto para cada torre:
� T1:
circunferência = 2 · π· raio
circunferência = 2 · 3 · 50 = 300 m
� T2:
circunferência = 2 · π· raio
circunferência = 2 · 3 · 100 = 600 m
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� T3:
circunferência = 2 · π· raio
circunferência = 2 · 3 · 150 = 900 m
Assim, as distâncias que devem ser percorridas pelas torres T1, T2 e T3 são, respectivamente, 300, 600 e 900
metros.
Como o tempo de percurso é igual a 25 horas para cada torre, podemos calcular as velocidades que cada uma
delas deve ter:
� T1:
velocidadeT1 =
distância
tempo
=
300
25
= 12 metros por hora;
� T2:
velocidadeT2
=
600
25
= 24 metros por hora;
� T3:
velocidadeT3
=
900
25
= 36 metros por hora;
Logo, as velocidades das torres T1, T2 e T3 devem ser, em metro por hora, de 12, 24 e 36 (Alternativa A).
Questão 48
Vamos começar calculando a quantidade total de energia economizada por dia na primeira fase do projeto:
Área de painéis solares para energia elétrica no estacionamento: 100 m2
Área de painéis solares para energia elétrica no hospital: 100 m2
Total de área de painéis solares para energia elétrica: 200 m2
Economia diária de energia elétrica: 1 kWh/m2 × 200 m2 = 200 kWh/dia
Área de painéis solares para energia térmica no hospital: 200 m2
Economia diária de energia térmica: 0,7 kWh/m2 × 200 m2 = 140 kWh/dia
Total de economia diária na primeira fase: 200 kWh/dia + 140 kWh/dia = 340 kWh/dia
Para obter o dobro dessa quantidade na segunda fase, precisamos economizar 2 × 340 kWh/dia = 680
kWh/dia.
Sabemos que a área de painéis solares para energia elétrica será aumentada em 75%, o que significa que
teremos:
Área de painéis solares para energia elétrica no estacionamento: 100 m2 × 1.75 = 175 m2
Área de painéis solares para energia elétrica no hospital: 100 m2 × 1.75 = 175 m2
Total de área de painéis solares para energia elétrica: 175 m2 + 175 m2 = 350 m2
Economia diária de energia elétrica: 1 kWh/m2 × 350 m2 = 350 kWh/dia
Precisamos agora descobrir qual deve ser a área de painéis solares para energia térmica para alcançar a
economia diária de 680 kWh/dia.
Seja x a área de painéis solares para energia térmica em m2 na segunda fase. Sabemos que a economia diária
de energia térmica será:
0,7 kWh/m2 × x m2
Então, temos a seguinte equação:
0, 7x = 680− 350
0, 7x = 330
x = 330/0, 7
x ≈ 471, 43 m2
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Portanto, a área total dos painéisque geram energia térmica em metro quadrado, para se obter o dobro da
quantidade de energia economizada diariamente em relação à primeira fase, deverá ter o valor mais próximo
de 472 (Alternativa C).
Questão 49
Nessa posição, os lados AB e AC correspondem aos remos, que têm o mesmo tamanho, portanto, esses lados
possuem a mesma medida. O ângulo BÂC é de 170◦, o que indica que esse triângulo é obtusângulo, pois
possui um ângulo maior que 90◦. Além disso, como os lados AB e AC são iguais e o ângulo oposto ao lado
BC é maior que 90◦, podemos concluir que esse triângulo é obtusângulo isósceles.
Portanto, a alternativa correta é o item E.
Questão 50
Em t = 0 ou t = tf, o ponto M se encontra a mesma distância do ponto O. Tal distância equivale à metade
do comprimento da viga. Assim, se f é a função que associa a cada tempo t uma distância d do ponto M ao
ponto O, então
f(0) = f(tf)
e, com isso, os pontos (0, d) e (tf, d) do gráfico tem mesma altura (comprimento da metade da viga).
Em seguida, temos que analisar o comportamento dessa função quando 0 < t < tf. Seja α o ângulo que a
viga faz com o chão. Observe a figura abaixo:
O quadrilátero à direita foi constrúıdo a partir do triângulo retângulo tendo a viga como sua hipotenusa.
Uma propriedade interessante dos retângulos é que suas diagonais se cortam ao meio. Logo, OM é metade do
tamanho da viga para qualquer ângulo α e f(t) é constante para qualquer 0 < t < tf.
Assim, a alternativa correta é o item A.
Questão 51
A partir da rosa dos ventos como é disposto, vamos fixar um transferidor com origem em N e crescente no
sentido horário.
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Assim, como a lente da câmera está apontada inicialmente no sentido Oeste, ela está fixada em 270◦.
Devemos determinar a posição da câmera após a terceira mudança de sentido. Começando a partir do Oeste,
temos:
� 1ª mudança: 135◦ no sentido anti-horário. Logo, 270◦ − 135◦ = 135◦ (Sudeste (SE));
� 2ª mudança: 60◦ no sentido horário. Assim, 135◦ + 60◦ = 195◦;
� 3ª mudança: 45◦ no sentido anti-horário. Logo, 195◦ − 45◦ = 150◦.
A partir da posição atual da câmera, precisamos girar a lente para chegar ao sentido NO (315◦). Como
NO está mais próximo fazendo uma mudança no sentido horário, devemos somar x graus a 150◦ para obter
(315◦). Assim,
150 + x = 315 ⇒ x = 165
Portanto, a mudança de sentido necessária para reposicionar a câmera no sentido Noroeste é de 165◦ no
sentido horário. Logo, a alternativa correta é o item E.
Questão 52
Qualquer uma das circunferências concêntricas está dividida em 12 partes iguais pelas 12 semirretas como
mostra a figura. Dependendo do raio dessas circunferências, podemos calcular a medida do arco correspondente
a
1
12
dessa circunferência para cada caso. Recorde, para tal, que a circunferência é calculada pela fórmula
C = 2 · π · r. Assim:
Raio
1 2 3 4 5 6
circunferência 2π 4π 6π 8π 10π 12π
arco
2π
12
4π
12
6π
12
8π
12
10π
12
12π
12
Usando π = 3, 1,
Raio
1 2 3 4 5 6
circunferência 6, 2 12, 4 18, 6 24, 8 31 37, 2
arco
π
6
= 0, 516 1, 03 1, 55 2, 06 2, 583 3, 1
A última tabela mostra que só é vantajoso andar sobre um arco em relação a um segmento de reta unitário,
se esse é referente à circunferência de raio 1. Para qualquer outra circunferência, o arco é maior do que uma
unidade.
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O caminho mais curto é mostrado na figura abaixo.
Logo, tem comprimento:
1 + 1 + 1 +
π
6
+
π
6
+
π
6
+
π
6
+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =
4π
6
+ 8 =
2π
3
+ 8
Assim, a alternativa correta é a opção A.
Questão 53
A razão entre as áreas de duas figuras planas proporcionais é uma grandeza que varia no quadrado da razão
de proporcionalidade da razão entre suas dimensões. Isso significa que, se duas figuras são proporcionais,
a razão entre as suas áreas será igual ao quadrado da razão de proporcionalidade da razão entre as suas
dimensões.
Com a redução da fonte, o tamanho da letra é reduzido por um fator de proporcionalidade k. A área por sua
vez, como descrito, é reduzida a
1
16
da área inicial. Logo,
1
k2
=
1
16
⇒ k = 4
Assim, a fonte do logotipo deve ser reduzida a um quarto do seu tamanho.
192
4
= 48
Logo, a alternativa correta é a opção B.
Questão 54
Dividimos a figura de modo conveniente:
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Assim, se a menor das peças é um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem 2 cm, o lado do quadrado
mede:
2 · 7 = 14 cm
Logo, a alternativa correta é a opção A.
Questão 55
Observe a figura abaixo:
Aplicando o teorema de Pitágoras,
R2 = r2 + 82 ou R2 − r2 = 64
Por outro lado, a área do passeio é a diferença entre a área do ćırculo maior de raio R e o ćırculo menor de
raio r. Assim:
Área : πR2 − πr2 = π(R2 − r2) = π · 64 = 64π
Logo, a alternativa correta é o item D.
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Questão 56
Primeiro, vamos calcular a área da região original que já está pavimentada. Sabemos que o diâmetro é de 6
metros, então o raio é metade disso, ou seja, 3 metros. Assim, a área da região original é:
Ao = π · r2 = 3 · 32 = 27 m2
Agora, vamos calcular a área da região ampliada. Sabemos que o novo diâmetro é de 6 + 8 = 14 metros,
então o novo raio é metade disso, ou seja, 7 metros. Assim, a área da região ampliada é:
Aa = π · r2 = 3 · 72 = 147 m2
Para saber se o material dispońıvel em estoque será suficiente, precisamos calcular a diferença entre a área
ampliada e a área original:
Aa −Ao = 147− 27 = 120 m2
Portanto, a área a ser pavimentada é de 120 m2. Como o condomı́nio tem material suficiente para pavimentar
mais 100 m2, conclúımos que o material dispońıvel não será suficiente para pavimentar toda a área ampliada.
Logo, a resposta correta é a letra E: não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada
mede 120 m2.
Questão 57
Podemos usar a relação entre os diâmetros das catracas e a velocidade linear da bicicleta, que é dada pela
fórmula:
v =
2πr
T
onde v é a velocidade linear da bicicleta, r é o raio da roda e T é o peŕıodo da rotação da roda. Para uma
volta completa dos pedais, o peŕıodo é o mesmo com ambas as catracas.
Seja d1 o diâmetro da catraca original, que é 7 cm, e d2 o diâmetro da nova catraca. Temos que a velocidade
com a nova catraca deve ser 1,5 vezes maior do que a velocidade com a catraca original, ou seja:
v2
v1
= 1, 5
Substituindo as fórmulas para v1 e v2 na equação acima, temos:
2π d1
2
T
· T
2π d2
2
= 1, 5 ⇒ d1
d2
=
3
2
Substituindo d1 = 7 cm, tem-se:
7
d2
=
3
2
⇒ d2 =
14
3
≈ 4, 66
Portanto, o valor mais próximo do diâmetro da nova catraca é 4,7 cm (alternativa C).
Questão 58
Cada uma das placas, de modo simplificado, tem o formato abaixo:
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Podemos calcular a área de cada placa subtraindo a áreas hachurada (área cinza) da figura da área do
retângulo de dimensões 40 × 60 cm.
área do retângulo = 40× 60 = 2400 cm2
área hachurada = (40× 20)− πr2
2
= 800− 3, 14 · 202
2
= 800− 628 = 172 cm2
Logo,
área da placa = 2400− 172 = 2228 cm2
Como são 10 placas para serem pintadas:
área pintada = 2228 · 10 = 22280 cm2
Logo, a alternativa correta é o item B.
Questão 59
Como trata-se de uma folha de papel retangular, AD = BC = 12 cm e AB = DE+EC. Logo, DE = 18−12 =
6 cm.
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo ADE:
AE
2
= AD
2
+DE
2
AE
2
= 122 + 62
AE
2
= 144 + 36
AE
2
= 180
AE =
√
180
AE =
√
22 · 32 · 5
AE = 6
√
5
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Assim, a medida do segmento AE é 6
√
5 cm (Alternativa D).
Questão 60
Para que o usuário P tenha a possibilidade de um match com os usuários Q, R e S simultaneamente, é
necessário que esses usuários estejam dentrodo raio de abrangência de 3 km definido pelo usuário P. Além
disso, é preciso que o usuário P também esteja dentro da região de abrangência que foi definida por cada um
dos usuários Q, R e S.
Observe o gráfico abaixo.
Analisando o gráfico, podemos ver que o único ponto que representa um bar que está dentro dos ćırculos de
raios definidos pela região de abrangência dos usuários Q, R e S é o bar I. Por outro lado, o ćırculo de raio 3
com centro no ponto (5,6) também contém os pontos Q, R e S.
Portanto, a resposta correta é a alternativa A.
Questão 61
Para determinar as dimensões da maior Bandeira Nacional posśıvel a partir das medidas do tecido verde,
devemos utilizar as medidas dadas na lei no 5.700. Sabemos que a largura da bandeira é dividida em 14
partes iguais, então cada parte terá 1
14 da largura.
Se a largura do tecido verde é de 150 cm e desejamos fixar o tamanho do módulo pela largura, temos que
cada uma dessas partes equivaleria a 150
14 ≈ 10, 71 cm. Multiplicando esse valor por 20, no entanto, teŕıamos
o comprimento da bandeira, que é de 20× 10, 71 ≈ 214, 2 cm que seria maior do que os 180 cm dispońıveis.
Isso mostra que o comprimento é que deve determinar o tamanho do módulo M.
Usando o comprimento para determinar o tamanho do módulo M, divide-se 180/20 encontrando 9 cm para o
tamanho desse módulo. Assim, a largura da bandeira terá 9 · 14 = 126 cm que é menor do que os 150 cm
dispońıveis.
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Para determinar a medida do lado do quadrado azul que compõe o ćırculo central da bandeira, sabemos que
o raio desse ćırculo é de 3,5 módulos. Como cada módulo equivale a 9 cm, temos que o raio do ćırculo é de
3, 5× 9 = 31, 5 cm. Portanto, o diâmetro do ćırculo que equivale ao lado do quadrado que circunscreve esse
ćırculo é de 2× 31, 5 = 63 cm.
Portanto, a resposta correta é a alternativa D.
Questão 62
Analisaremos cada planta:
� Planta 1:
⇀ Possui o afastamento mı́nimo de 4 m das ruas apresentadas;
⇀ Possui o afastamento mı́nimo de 1 m da divisa com o lote 2 ao qual faz divisa;
⇀ A área constrúıda é de (10− 5) · (20− 5) = 5 · 15 = 75 m2. Logo, como
75
200
= 0, 375, a área total
constrúıda é de 37, 5% e não se encontra dentro do critério estabelecido de ficar entre 40% e 50% da
área constrúıda.
� Planta 2:
⇀ Possui o afastamento mı́nimo de 4 m da rua apresentada;
⇀ Possui o afastamento mı́nimo de 1 m da divisa com os lotes aos quais faz divisa;
⇀ A área constrúıda é de (10− 2) · (20− 5) = 8 · 15 = 120 m2. Logo, como
120
200
= 0, 6, a área total
constrúıda é de 60% e não se encontra dentro do critério estabelecido de ficar entre 40% e 50% da área
constrúıda.
� Planta 3:
⇀ Possui o afastamento mı́nimo de 4 m das ruas apresentadas;
⇀ Possui o afastamento mı́nimo de 1 m da divisa com os lotes 4 e 5 aos quais faz divisa;
⇀ A área constrúıda é de (10 − 5) · (20 − 8) = 5 · 12 = 60 m2. Logo, como
60
200
= 0, 3, a área total
constrúıda é de 30% e não se encontra dentro do critério estabelecido de ficar entre 40% e 50% da área
constrúıda.
� Planta 4:
⇀ Não possui o afastamento mı́nimo de 4 m da rua apresentada (somente 2 metros);
⇀ Possui o afastamento mı́nimo de 1 m da divisa com os lotes aos quais faz divisa;
⇀ A área constrúıda é de (10− 4) · (20− 4) = 6 · 16 = 96 m2. Assim, como
96
200
= 0, 48, a área total
constrúıda é de 48% e encontra-se dentro do critério estabelecido de ficar entre 40% e 50% da área
constrúıda.
� Planta 5:
⇀ Possui o afastamento mı́nimo de 4 m da rua apresentada;
⇀ Possui o afastamento mı́nimo de 1 m da divisa com os lotes aos quais faz divisa;
⇀ A área constrúıda é de (10− 5) · (20− 2) = 5 · 18 = 90 m2. Logo, como
90
200
= 0, 45, a área total
constrúıda é de 45% e encontra-se dentro do critério estabelecido de ficar entre 40% e 50% da área
constrúıda.
Portanto, a prefeitura aprovará apenas a planta da casa 5 (Alternativa E).
Questão 63
Para calcular a quantidade de pisos necessários para cobrir a sala, precisamos calcular a área da sala e a área
de uma única peça de porcelanato:
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Área da sala = comprimento × largura = 3,6 m × 3,2 m = 11,52 m2
Área de uma peça de porcelanato = lado × lado = 0,8 m × 0,8 m = 0,64 m2
A quantidade de pisos necessários (q) será a área da sala dividida pela área de uma única peça de porcelanato:
q = Área da sala/Área de uma peça de porcelanato
q = 11, 52 m2/0, 64 m2 = 18 peças
Agora, precisamos descobrir qual combinação de caixas de porcelanato nos dará exatamente 18 peças, com o
menor desperd́ıcio posśıvel.
� Para a caixa do tipo A, temos 4 peças por caixa, o que significa que precisamos comprar pelo menos
5 caixas desse tipo para obter 18 peças. No entanto, isso resultaria em 2 peças extras, o que é um
desperd́ıcio.
� Para a caixa do tipo B, temos 3 peças por caixa, o que significa que precisamos comprar pelo menos 6
caixas desse tipo para obter 18 peças. No entanto, o valor unitário de cada peça nessa caixa é maior do
que o valor unitário na caixa do tipo A.
A melhor combinação seria comprar 3 caixas do tipo A (que nos dá 12 peças) e 2 caixas do tipo B (que nos
dá mais 6 peças), totalizando 18 peças e sem nenhum desperd́ıcio. O preço total seria:
Preço das 3 caixas do tipo A = 3 × R$ 35,00 = R$ 105,00
Preço das 2 caixas do tipo B = 2 × R$ 27,00 = R$ 54,00
Preço total = R$ 105,00 + R$ 54,00 = R$ 159,00
Portanto, a resposta correta é a alternativa (C): 3 caixas do tipo A e 2 caixas do tipo B.
Questão 64
O ângulo interno de um octógono regular (poĺıgono de 8 lados) vale
180(n− 2)
n
=
180(8− 2)
8
=
1080
8
= 135◦
Assim, como em uma volta completa tem-se 360◦, o poĺıgono regular necessário para cobrir a região entre
os octógonos deve ser tal que seus quatro ângulos internos seja igual a 360◦ − (135◦ · 2) = 90◦. Logo, é um
quadrado. Veja:
Para cobrir a região lateral do mosaico, basta usar a metade desse quadrado cortado através de sua diagonal.
Ou seja, um triângulo retângulo isósceles.
Portanto, os azulejos necessários para o devido preenchimento das áreas em branco desse painel são os de
formato 1 e 3 (Alternativa D).
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Questão 65
De acordo com a figura,
� há pessoas andando em uma mesma direção em duas áreas distintas de área 30 m × 100 m = 3 000 m2
cada;
� há pessoas movimentando sem deixar o local em uma área 30 m × 200 m = 6 000 m2;
� há pessoas paradas em uma área de 30 m × 300 m = 9 000 m2.
Logo, a estimativa no número de pessoas pode ser realizada de acordo com a metodologia descrita no
enunciado.
� 3000 m2 · 4 · 2 = 24 000 pessoas;
� 6000 m2 · 5 = 30 000 pessoas;
� 9000 m2 · 6 = 54 000 pessoas.
Portanto, o número estimado de pessoas presentes a essa manifestação foi igual a
24 000 + 30 000 + 54 000 = 108 000 pessoas
Descontando 1 000 pessoas para cada um dos 4 carros de som observado na figura,
108 000− 4 · (1 000) = 104 000 pessoas (Alternativa B)
Questão 66
A altura (h) de um triângulo equilátero está relacionada com a medida do lado (l) desse triângulo pela
relação:
h =
l
√
3
2
Logo, substituindo a altura h = 8 cm e
√
3 = 1, 7:
8 =
l · 1, 7
2
⇒ l ≈ 9, 4
Uma vez que o comprimento da barra utilizada é igual ao peŕımetro do triângulo equilátero representado na
Figura 2, tem-se para o peŕımetro:
peŕımetro = 3l = 28, 2
Portanto, o valor que mais se aproxima da medida do comprimento da barra, em cent́ımetros, é 27,18
(Alternativa D).
Questão 67
Para cada modelo, podemos calcular a área de impressão e o custo de fabricação:
� Triângulo equilátero de lado 12 cm:
A altura do triângulo é 12
√
3
2 = 6
√
3 cm, então a área é 12·6
√
3
2 = 36
√
3 cm2. O custo de fabricação é
0, 01 · 36
√
3 ≈ 0, 61 reais.
� Quadrado de lado 8 cm:
A área do quadrado é 8 · 8 = 64 cm2. O custo de fabricaçãoé 0, 01 · 64 = 0, 64 reais.
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� Retângulo de lados 11 cm e 8 cm:
A área do retângulo é 11 · 8 = 88 cm2. O custo de fabricação é 0, 01 · 88 = 0, 88 reais.
� Hexágono regular de lado 6 cm:
A altura de um triângulo equilátero que compõe o hexágono é 6
√
3
2 = 3
√
3 cm, então a área é 6·3
√
3
2 = 9
√
3
cm2. Como o hexágono é composto de 6 triângulo equiláteros congruentes como esse, logo tem área
9
√
3 · 6 = 54
√
3 cm2. O custo de fabricação é 0, 01 · 54
√
3 ≈ 0, 92 reais.
� Ćırculo de diâmetro 10 cm:
O raio do ćırculo é 10
2 = 5 cm, então a área é π · 52 ≈ 75 cm2. O custo de fabricação é 0, 01 · 75 ≈ 0, 75
centavos.
Portanto, o modelo que tem maior área de impressão dentro do limite de preço é o ćırculo (Alternativa E).
Questão 68
A figura a seguir ilustra o que acontece nas outras três partes que foram dobradas seguindo o roteiro descrito
com as dobraduras e o corte.
Logo, a alternativa correta é o item C.
Questão 69
Para determinar a medida real da área da varanda, precisamos levar em consideração a escala de 1:50 utilizada
na planta baixa. Primeiro, vamos calcular a área da varanda na planta baixa dividindo essa área em duas
regiões retangulares: Área 1 e Área 2.
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Área 1: 4 · 18, 4 = 73, 6 cm2.
Área 2: (16− 4) · 5 = 60 cm2.
Logo, a área da varanda no projeto é de 73, 6 + 60 = 133, 6 cm2.
Recorde, agora, que a razão entre áreas de duas regiões varia no quadrado da razão entre suas dimensões
(escala). Assim,
(
1
50
)2
=
área da varanda no projeto
área da varanda real
Substituindo e fazendo as contas:
1
2500
=
133, 6 cm2
área da varanda real
⇒ área da varanda real = 334000 cm2 = 33, 40 m2
Logo, a alternativa correta é o item A.
Questão 70
A partir de cada ponto onde o automóvel se encontra é importante lembrar que a noção de “virar à esquerda”,
“seguir em frente” ou “virar à direita” depende da direção do véıculo. Partindo do ponto P, por exemplo,
o primeiro movimento deve ser virar à direita (D). Observe que uma decisão sobre o movimento deve ser
tomada a cada interseção entre as linhas verticais e horizontais simbolizam ruas.
Após virar a direita, o véıculo deve seguir em frente (F) na próxima interseção. Logo, tem-se, por enquanto,
a sequência DF. Os próximos passos são descritos a seguir:
3. virar à esquerda (E);
4. seguir em frente (F);
5. virar à direita (D);
6. virar à direita (D);
7. virar à esquerda (E);
8. virar à esquerda (E);
9. seguir em frente (F);
10. seguir em frente (F);
11. virar à direita (D).
Assim, a sequência final é DFEFDDEEFFD (Alternativa C).
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Grandezas proporcionais
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ENEM - MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Questão 1
Para alcançar o ponto Y a partir do ponto X o ônibus precisa percorrer a distância de 5 quadras. O caminho
é mostrado na figura abaixo. Tendo cada quadra 200 m, o ônibus percorrerá 5 · 200 = 1000 m = 1 Km.
Conhecendo a distância e a velocidade do ônibus, pode-se calcular o tempo gasto assumindo a velocidade
constante (movimento uniforme):
velocidade =
distância
tempo
⇒ tempo =
1
40
= 0, 025 horas
Como 1 hora tem 60 minutos,
0, 025
1
=
x
60
⇒ x = 1, 5 minutos
Logo, a alternativa correta é o item D.
Questão 2
O consumo de biod́ısel é proporcional à porcentagem adicionada de biod́ısel ao d́ısel. Assim sendo,
4%
925
=
3%
x
⇒ x = 693, 75 milhões de litros
Logo, a alternativa correta é o item D.
Questão 3
Como a escala do desenho a ser feito é de 1:150, este terá dimensões 36/150 metros de largura e 28,5/150
metros de comprimento. Calculando tais razões,
36
150
= 0, 24 m = 24 cm
28, 5
150
= 0, 19 m = 19 cm
Deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha, esta folha deverá ter 24 + 1 + 1 = 26 cm de
largura e 19 + 1 + 1 = 21 cm de comprimento (Alternativa D).
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Questão 4
Vamos supor que não haja mudança no número de máquinas e trabalhadores possivelmente contratados pela
cooperativa para a colheita. Assim sendo, a capacidade de colheita deste grupo é proporcional ao número de
horas diárias trabalhadas.
Pelo argumento do fazendeiro, a cooperativa deve colher 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior
a R$ 25.000,00. Logo, 30 hectares por dia. Como não há mudança no número de máquinas e trabalhadores
possivelmente contratados pela cooperativa para a colheita, a jornada de trabalho deverá ser aumentada.
6 horas diárias ⇒ 20 hectares
x horas diárias ⇒ 30 hectares
Aplicando a regra de três, 20x = 180 ⇒ x = 9 horas.
Cabe observar que o custo final para o fazendeiro ficará menos de R$ 25.000:
12 · R$10, 00 · 6 + 4 · R$1000, 00 · 6 = R$24.720, 00
Assim, a cooperativa deveria aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias (Alternativa D).
Questão 5
O número de alimentos arrecadados no peŕıodo é diretamente proporcional ao número de horas diárias
trabalhadas, ao número de dias e ao número de alunos no grupo. Considerando o peŕıodo de 1 dia,
12 = k · 20 · 1 · 3
onde k é a constante de proporcionalidade. Resolvendo a equação, k =
1
5
.
Para o peŕıodo de 20 dias seguintes:
qtd. de alimentos arrecadados = k · 50 · 20 · 4
=
1
5
· 50 · 20 · 4
= 800 kg
Logo, arrecadou-se 10 · 12 + 800 = 920 Kg (Alternativa A).
Questão 6
Para completar mais 16 voltas, o carro precisará percorrer 16 · 7 km = 112 km. Como o consumo médio
é de 75 litros para cada 100 km, pode-se calcular a quantidade de litros necessária e a massa de gasolina
correspondente por regra de três,
75 litros ⇒ 100 km
x litros ⇒ 112 km
Com isso, 100x = 8400 ⇒ x = 84.
Para a massa,
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750 gramas ⇒ 1 L
y litros ⇒ 84 L
Logo, y = 63000 gramas = 63 Kg.
Assim, o peso do carro será, no mı́nimo, 605 + 63 = 668 kg (Alternativa B).
Questão 7
Calcula-se primeiro a área de um campo de futebol em km2. Como o campo tem formato retangular e suas
dimensões são 120 m = 0,12 km por 90 m = 0,09 km, tem-se,
Área de um campo de futebol = 0, 12 · 0, 09 = 0, 0108 km2
Divide-se agora a área aproximada do bioma Pantanal pela área de um campo de futebol,
150.355
0, 0108
≈ 14.000.000
Logo, a alternativa correta é o item E.
Questão 8
A câmera de João tem 2.0 megapixels de resolução. Com isso, cada imagem gerada terá 2 · 106 de pontos e,
como cada um desses pontos são armazenados, em geral, em 3 bytes, cada imagem terá 3 · 2 · 106 = 6 · 106
bytes.
Contudo, o algoritmo de compreensão permite a redução em até 95% da quantidade de bytes para armazená-las.
Logo, cada imagem precisará de 5%, apenas, do que precisaria sem a redução. Assim, cada imagem ocupará
0, 05 · 6 · 106 = 0, 3 · 106 = 3 · 105 bytes.
Tendo 150 imagens para armazenar, será necessário 150 · 3 · 105 = 450 · 105 = 4, 5 · 107 bytes, no mı́nimo, de
armazenamento. Analisando as alternativas,
(A) 700 MB = 700 · 106 bytes = 7, 0 · 108 bytes. Comporta as imagens.
(B) 1 GB = 1 · 109 bytes. Comporta as imagens.
(C) 16 GB = 16 · 109 bytes = 1, 6 · 1010 bytes . Comporta as imagens.
(D) 16 MB = 16 · 106 bytes = 1, 6 · 107 bytes. Não comporta as imagens.
(E) 64 MB = 64 · 106 bytes = 6, 4 · 107 bytes. Comporta as imagens.
Logo, como João deseja armazená-las de modo que o espaço restante no dispositivo seja o menor espaço
posśıvel, ele deve utilizar um cartão de memória de 64 MB (Alternativa E).
Questão 9
Tendo iniciado seus exerćıcios às 10h30min e finalizado às 11h7min, Joana levou 37 minutos. De fato, para
cumprir o programa integralmente, ela gastaria 10 min + 60 s = 11 min no aquecimento e 3 · 30 s + 2 · 60 s
= 3,5 min em cada aparelho. Levando em conta também o tempo de intervalo entre as trocas de aparelhos(5
trocas), tem-se:
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tempo mı́nimo = 11 min + 6 · 3, 5 min + 5 · 60s = 37 min.
Logo, Joana poderia ter feito todos os exerćıcios e cumprido rigorosamente os peŕıodos de descanso especificados
em seu programa (Alternativa B).
Questão 10
Substituindo os valores dados na fórmula apresentada para o cálculo do volume da cisterna em litros, o
volume da cisterna é Vc = 2000 · 15 = 30.000 L.
Adicionando 10% ao valor calculado, o volume da cisterna recomendado para o peŕıodo é de 30.000 + 10%
de 30.000 = 33.000 m3.
A área do telhado a fim de atender a necessidade de armazenagem pode, então, ser calculada:
área do telhado =
33.000
110
= 300 m2
Logo, o telhado, retangular, deverá ter as dimensões mı́nimas de 15 metros por 20 metros, pois assim teria
uma área de 300 m2 (Alternativa B).
Questão 11
O número racional 40%, na forma fracionária, é igual a
40
100
=
2
5
. Logo, a única representação posśıvel é
aquela que mostra o quadro dividido em 5 partes com duas delas preenchidas. Assim, a alternativa correta
é o item C.
Questão 12
Convertendo na mesma unidade, 42 m = 4200 cm.
Fazendo a razão:
2, 1
4200
=
21
42000
=
1
2000
= 1 : 2000
Logo, a alternativa correta é o item E.
Questão 13
De acordo com as figuras do enunciado,
� para uma área transversal fixa, dobrar o comprimento do condutor (2l) implica dobrar a sua resistência
(2R);
� para um comprimento fixo, dobrar a área transversal do condutor (2A) implica reduzir à metade sua
resistência (R/2);
� para uma resistência fixa, dobrar a área transversal do condutor (2A) implica em dobrar o comprimento
(2l);
Logo,
� o comprimento do condutor é diretamente proporcional à sua resistência.
� a área transversal do condutor é inversamente proporcional à sua resistência.
� a área transversal do condutor é diretamente proporcional ao seu comprimento.
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Assim, as proporcionalidades existentes entre resistência (R) e comprimento (l), resistência (R) e área da
secção transversal (A), e entre comprimento (l) e área da secção transversal (A) são, respectivamente, direta,
inversa e direta (Alternativa C).
Questão 14
Com um lucro de R$ 145 000,00 em 2019, houve um acréscimo percentual em relação a 2018 que foi de R$
132 000,00. Deve-se calcular essa porcentagem de aumento:
R$ 132 000,00 −→ 100%
R$ 145 000,00 −→ x%
Usando regra de três,
132 000x = 14 500 000
x =
14 500 000
132 000
x =
14 500
132
x ≈ 109, 85
Logo, o crescimento foi de aproximadamente 9,85 % e, portanto, considerado bom (Alternativa C).
Questão 15
Com o tratamento tradicional, 40% dos pacientes foram curados e, consequentemente, 60% dos pacientes não
foram. Em seguida, os pacientes que não obtiveram cura foram distribúıdos em dois grupos de 30% cada e
submetidos a dois tratamentos inovadores.
Dos 30% do primeiro grupo com tratamento inovador, 35% dos pacientes foram curados. Logo, estes
correspondem a 35% · 30% = 0, 105 = 10, 5% do total.
Dos 30% do segundo grupo com tratamento inovador, 45% dos pacientes foram curados. Logo, estes
correspondem a 45% · 30% = 0, 135 = 13, 5% do total.
Assim, em relação aos pacientes submetidos inicialmente, os tratamentos inovadores proporcionaram cura de
10, 5% + 13, 5% = 24% (Alternativa B).
Questão 16
Segundo o texto, em 2006 o Brasil produziu 43% dos 40 bilhões de litros da produção de etanol mundial.
Isso dá 17,2 bilhões de litros para esse ano. Ainda, também em 2006, os Estados Unidos produziram 45% dos
40 bilhões de litros da produção de etanol mundial, o que equivale a 18 bilhões de litros para esse ano.
Considerando que, em 2009, a produção mundial de etanol seja a mesma de 2006 e que os Estados Unidos
produzirão somente a metade de sua produção de 2006, o Brasil terá que produzir também a metade da
produção dos Estados Unidos. Com isso, juntos, os dois páıses manterão a proporção de 88%. Logo, o Brasil
terá que produzir, em 2009, um total de 17,2 + 18/2 = 26,2 bilhões de litros de etanol.
Calcula-se, agora, a porcentagem de aumento correspondente na produção brasileira:
17, 2 bilhões −→ 100%
26, 2 bilhões −→ x%
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Usando regra de três,
17, 2x = 2620
x =
2620
17, 2
x ≈ 152, 32%
Logo, o Brasil deve aumentar sua produção em, aproximadamente, 52,32 % (Alternativa C).
Questão 17
Se cada 10 litros de óleo poderão contaminar 10 milhões (107) de litros de água potável, logo 1000 litros
de óleo contaminarão 1000/10 = 100 vezes mais litros de água potável. Tal resultado também poderia ser
obtido por meio de uma regra de três simples:
10 litros de óleo −→ 107
1000 litros de óleo −→ x
logo,
10x = 107 · 1000
x =
1010
10
x = 109
Assim, a quantidade de água potável contaminada por semana nessa cidade é de 109 litros (Alternativa E).
Questão 18
A maquete deverá ser constrúıda na escala de 1 : 250. Assim, a razão entre as dimensões da quadra de
esportes real e na maquete deve ser 250. Convertendo a medida da quadra em cm,
28 m = 2800 cm
12 m = 1200 cm
Seja x o comprimento e y a largura da maquete. Com isso,
2800
x
=
1200
y
= 250
o que implica em x = 11, 2 e y = 4, 8
Logo, a alternativa correta é o item C.
Questão 19
A referência do trecho da not́ıcia apresentada mostra que o ano é de 2010. Como refere-se ao ano anterior,
entende-se que em 2009 os brasileiros beberam o equivalente a 331 bilhões de x́ıcaras de café.
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Com cada x́ıcara contendo 120 mL de café, 331 bilhões de x́ıcaras contém 331 · 120 · 109 mL = 39 720 ·109
mL de café. Como cada litro contém 1 000 mL, o consumo de café em 2009 foi de 39,72 ·109 mL.
Se em 2010 os brasileiros beberem ainda mais café, aumentando o consumo em
1
5
do que foi consumido no
ano anterior, tem-se um aumento de 20% em relação a 2009. Calculando esse aumento,
39, 72 · 109mL+ 20% de 39, 72 · 109 = 39, 72 · 1, 2 · 109 = 47, 664 · 109 ≈ 48 · 109 L
Portanto, a previsão mais aproximada para o consumo de café em 2010 é de 48 bilhões de litros (Alternativa E).
Questão 20
A escala do mapa pode ser encontrada fazendo a razão entre a distância real de 2000 km e a distância no
mapa medindo 8 cm. Contudo, é necessário antes converter as medidas para a mesma unidade. Passando
2000 km para cm, tem-se 2000 ·105 cm ou 2 · 108 cm.
Calculando agora a razão de proporcionalidade,
2 · 108
8
= 0, 25 · 108 = 25 000 000
Logo, o mapa observado pelo estudante está na razão 1 : 25 000 000 (Alternativa E).
Questão 21
Com 30 pessoas, será necessário:
� 30 · 250 g = 7500 g = 7, 5 kg de carne;
� 30/4 = 7, 5 copos americanos de arroz;
� 30 · 4 = 120 colheres de sopa de farofa;
� 30/6 = 5 garrafas de vinho;
� 30/2 = 15 garrafas de cerveja;
� 30/3 = 10 garrafas de espumante.
Logo, para seguir as orientações à risca, o anfitrião deverá dispor de 7,5 kg de carne, 7 copos americanos e
meio de 7,5 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de
vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante (Alternativa E).
Questão 22
Segundo o texto, um chuveiro com potência de 4 800 W consome 4,8 kW por hora. Se uma pessoa toma dois
banhos diariamente de 10 minutos cada, gasta 20 minutos por dia com banho. Em 7 dias, são 7 · 20 = 140
minutos. Pode-se calcular os kW gastos com uma regra de três simples,
60 minutos −→ 4, 8 kW
140 minutos −→ x
logo,
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60x = 672
x =
672
60
x = 11, 2
Portanto, em 7 dias serão consumidos 11,2 kW (Alternativa D).
Questão 23
Um acréscimo de 8 mil internações de mulheres equivaleria a
8
32
=
1
4
= 25% de aumento. Se o acréscimo dos
homens acontecer na mesma proporção, tem-se também um aumento de 25% sobre os 28 mil. Assim,
25% de 28 =
1
4
· 28 = 7
Logo, o número de homens que